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历年考研数学线代真题1987-2016年(最新最全)

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历年考研数学一真题1987-2016

1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分)

(2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014??

??=??????

A 求矩阵.

B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(4)设A 为n 阶方阵,且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵,则*||A 等于 (A )a

(B )1a

(C )1n a -

(D )n a

九、(本题满分8分)

问,a b 为何值时,现线性方程组

123423423412340

221(3)2321x x x x x x x x a x x b

x x x ax +++=++=-+--=+++=-

有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)

(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______.

三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关

(C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示

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(D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 七、(本题满分6分)

已知,=AP BP 其中100100000,210,001211????

????==-????????-????

B P 求5

,.A A 八、(本题满分8分)

已知矩阵20000101x ??

??=??

????

A 与20000001y ????=????-??

B 相似. (1)求x 与.y

(2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(5)设矩阵300100140,010,003001????

????==????

????????

A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中

(A )必有一列元素全为0 (B )必有两列元素对应成比例

(C )必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D )任一列向量是其余列向量的线性组合 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) 七、(本题满分6分)

问λ为何值时,线性方程组131231234226423

x x x x x x x x λλλ+=++=+++=+??

???有解,并求出解的一般形式.

八、(本题满分8分)

假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明

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(1)1λ为1-A 的特征值.

(2)λ

A

为A 的伴随矩阵*A 的特征值.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα

则该向量组的秩是_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是

(A )1211212()2

k k -+++ββααα

(B )1211212()2

k k ++-+ββααα

(C )1211212()2

k k -+++ββαββ

(D )1211212()2

k k ++-+ββαββ

七、(本题满分6分) 设四阶矩阵

1100213401100

213,0011002100010

002-????

????-?

???==????

-????

????

B C 且矩阵A 满足关系式

1()-''-=A E C B C E

其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A

八、(本题满分8分)求一个正交变换化二次型222

12312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.

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1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(5)设4阶方阵52002100,00120011????

?

?=??-????

A 则A 的逆阵1-A =_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有 (A )=ACB E (B )=CBA E (C )=BAC E (D )=BCA E 七、(本题满分8分)

已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β (1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?

(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式. 八、(本题满分6分)

设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.

1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ????

??=??????

A L L L L L L L 其中0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠=L 则矩阵A 的秩()r A =_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

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(5)要使12100,121???? ? ?

== ? ? ? ?-????

ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为

(A )[]212- (B )201011-??

????

(C )102011-????-??

(D )011422011-??

??--??

????

八、(本题满分7分)

设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问: (1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论. (2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.

九、(本题满分7分)

设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为

1231111,2,3,149?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????ξξξ又向量12.3?? ?= ? ???β

(1)将β用123,,ξξξ线性表出. (2)求(n n A β为自然数).

1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(5)已知12324,369t ??

??=??

????Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则 (A )6t =时P 的秩必为1

B )6t =时P 的秩必为2

(C )6t ≠时P 的秩必为1

(D )6t ≠时P 的秩必为2

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七、(本题满分8分)

已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形222

12325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵. 八、(本题满分6分)

设A 是n m ?矩阵,B 是m n ?矩阵,其中,n m

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知11[1,2,3],[1,,],23

==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则n A =_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组

(A )12233441,,,++++αααααααα线性无关 (B )12233441,,,----αααααααα线性无关 (C )12233441,,,+++-αααααααα线性无关 (D )12233441,,,++--αααααααα线性无关 八、(本题满分8分) 设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为

122400

x x x x +=-=,

又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +- (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.

(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由. 九、(本题满分6分)

设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*

'=A A 时,证明0.

≠A 1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

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(5)设三阶方阵,A B 满足关系式1

6,-=+A BA A BA 且1003100,41007??

????

??=????

??

???

?A 则B =_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ????????

????????====????????

????????????????

A B P P 则必有 (A )12AP P =B

(B )21AP P =B (C )12P P A =B

(D )21P P A =B

八、(本题满分7分)

设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1??

??=??????

ξ求.A 九、(本题满分6分)

设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(5)设A 是43?矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103??

??=??

??-??

B 则()r AB =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

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(5)四阶行列式

1

122

334

4

0000000

a b a b a b b a 的值等于

(A )12341234a a a a b b b b -

(B )12341234a a a a b b b b +

(C )12123434()()a a b b a a b b -- (D )23231414()()a a b b a a b b -- 八、(本题满分6分)

设,T A =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,T ξ是ξ的转置.证明 (1)2=A A 的充分条件是 1.T =ξξ (2)当1T =ξξ时,A 是不可逆矩阵. 九、(本题满分8分)

已知二次型222

123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2, (1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(4)设12243,311t -??

??=??

??-??

A B 为三阶非零矩阵,且,=AB O 则t =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(4)设111122232333,,,a b c a b c a b c ??????

??????===??????????????????ααα则三条直线1112223330,0,0a x b y c a x b y c a x b y c ++=++=++= (其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是

(A )123,,ααα线性相关 (B )123,,ααα线性无关

(C )秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα (D )123,,ααα线性相关12,,αα线性无关 七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)

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(1)设B 是秩为2的54?矩阵123,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]T T T ==--=--ααα是齐次线性方程组x =B 0的解向量,求x =B 0的解空间的一个标准正交基.

(2)已知111??

??=??

??-??ξ是矩阵2125312a b -????=????--??A 的一个特征向量.

1)试确定,a b 参数及特征向量ξ所对应的特征值.

2)问A 能否相似于对角阵?说明理由. 八、(本题满分5分)

设A 是n 阶可逆方阵,将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为.B (1)证明B 可逆. (2)求1.-AB

1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(4)设A 为n 阶矩阵*,0,≠A A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值,λ则*2()+A E 必有特征值________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设矩阵 111222333a b c a b c a b c ??

????????

是满秩的,则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323

x a y b z c a a b b c c ---==---

(A )相交于一点 (B )重合(C )平行但不重合(D )异面 十、(本题满分6分)

已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x y z ξηζ????

????=????????????

P 化为椭圆柱面方程2244,ηξ+=求,a b 的值和正交矩阵.P 十一、(本题满分4分)设A 是n 阶矩阵,若存在正整数,k 使线性方程组k x =A 0有解向量,α且1.k -≠A α0证明:向量组1,,,k -αA αA αL 是线性无关的. 十二、(本题满分5分)

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已知方程组(Ⅰ)

1111221,222112222,221122,220

00

n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=L L M

L

的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).T T T n n n n n n b b b b b b b b b L L L L 试写出线性方程组(Ⅱ)

1111221,222112222,221122,220

00

n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=+++=+++=L L M

L

的通解,并说明理由.

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1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 是m n ?矩阵,B 是n m ?矩阵,则

(A )当m n >时,必有行列式||0≠AB (B )当m n >时,必有行列式||0=AB

(C )当n m >时,必有行列式||0≠AB

(D )当n m >时,必有行列式||0=AB

十、(本题满分8分)

设矩阵153,10a c b c a -??

??=????--??

A 其行列式||1,=-A 又A 的伴随矩阵*

A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),T

=--α求,,a b c 和0λ的值. 十一、(本题满分6分)

设A 为m 阶实对称矩阵且正定,B 为m n ?实矩阵,T B 为B 的转置矩阵,试证T B AB 为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩().r n =B

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(4)已知方程组12312

112323120x a x a x ????????????+=????????????-??????无解,则a

= _____. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.

(4)设n 维列向量组1,,()m m n <ααL 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββL 线性无关的充分必要条件为

(A )向量组1,,m ααL 可由向量组1,,m ββL 线性表示 (B )向量组1,,m ββL 可由向量组1,,m ααL 线性表示

(C )向量组1,,m ααL 与向量组1,,m ββL 等价(D )矩阵1(,,)m =A ααL 与矩阵1(,,)m =B ββL 等价 十、(本题满分6分)

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设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,10

100308?????

?=???

?-??

A 且11

3--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .

十一、(本题满分8分)

某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16

熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练

工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ?? ???

(1)求11n n x y ++?? ???与n n x y ??

???

的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++????= ? ?????A

(2)验证1241,11-????== ? ?????ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.(3)当111212x y ??

?

??= ? ? ?

?? ???

时,求11.n n x y ++?? ???2001年全国硕士研究生入学统一

考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(4)设24+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(4)设11114

0001

1110

000,111100001

1110

0????

?

?

?

?== ? ? ?

?????

A B ,则A 与B (A )合同且相似 (B )合同但不相似 (C )不合同但相似

(D )不合同且不相似

九、(本题满分6分)

设12,,,s αααL 为线性方程组=AX O 的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβααL ,其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββL 也为=AX O 的一个基础解系?

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十、(本题满分8分)

已知三阶矩阵A 和三维向量x ,使得2,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-A A A x x x . (1)记2(,,),=P A A x x x 求B 使1-=A PBP .

(2)计算行列式+A E .

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2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(4)已知实二次型3231212

32221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为

历年考研数学线代真题1987-2016年(最新最全)

九、(本题满分6分)

已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.

十、(本题满分8分)

设,A B 为同阶方阵,

(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等.

(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

(4)从2

R 的基1211,01????== ? ?-????αα到基1211,12????== ? ?????

ββ的过渡矩阵为 .

二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(4)设向量组I :12,,,r αααL 可由向量组II :12,,,s βββL 线性表示,则

(A )当s r <时,向量组II 必线性相关 (B )当s r >时,向量组II 必线性相关 (C )当s r <时,向量组I 必线性相关 (D )当s r >时,向量组I 必线性相关 (5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ?矩阵,现有4个命题:

①若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ②若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解 以上命题中正确的是

(A )①② (B )①③ (C )②④ (D )③④ 九、(本题满分10分)

设矩阵322232223????=??????A ,010101001??

??=??????P ,1*-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*

A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.

十、(本题满分8分)

已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ,:2l 032=++a cy bx ,:3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

(5)设矩阵210120001??

??=??

????

A ,矩阵

B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ . 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为

(A )??????????101001010 (B )??????????100101010 (C )??????????110001010 (D )??

???

?????100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有

(A )A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关(B )A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C )A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关(D )A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (20)(本题满分9分)

设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,

n n

n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=??++++=?≥??

?++++=?L L L L L L L L L

试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

(21)(本题满分9分)

设矩阵12314315a -??

??=--??

????

A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化. 2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵

123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα, 如果1=A ,那么=B .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是

(A )01≠λ (B )02≠λ (C )01=λ (D )02=λ

(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则 (A )交换*A 的第1列与第2列得*B (B )交换*A 的第1行与第2行得*B

(C )交换*A 的第1列与第2列得*-B (D )交换*A 的第1行与第2行得*-B

(20)(本题满分9分)

已知二次型212322

21321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2. (1)求a 的值;

(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解.

(21)(本题满分9分)

已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ??

??=??

????

B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解. 2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

(5)设矩阵2112??

= ?-??

A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵

B 满足2=+BA B E ,则B =.

(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤=.

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(11)设12,,,,s αααL 均为n 维列向量,A 是m n ?矩阵,下列选项正确的是 (A )若12,,,,s αααL 线性相关,则12,,,,s A αA αA αL 线性相关 (B )若12,,,,s αααL 线性相关,则12,,,,s A αA αA αL 线性无关

(C )若12,,,,s αααL 线性无关,则12,,,,s A αA αA αL 线性相关(D )若12,,,,s αααL 线性无关,则12,,,,s A αA αA αL 线性无关.

(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记1100

10001??

?

= ? ??

?

P ,则 (A )1-=C P AP (B )1-=C PAP (C )T =C P AP (D )T =C PAP

(20)(本题满分9分)

已知非齐次线性方程组1234123412

341435131

x x x x x x x x ax x x bx +++=-??

++-=-??++-=?有3个线性无关的解,

(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A .

(2)求,a b 的值及方程组的通解.

(21)(本题满分9分)

设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T

T

=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解. (1)求A 的特征值与特征向量.

(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T =Q AQ A .

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)

(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是

(A ),,122331---αααααα (B ),,122331+++αααααα(C )1223312,2,2---αααααα (D )1223312,2,2+++αααααα

(8)设矩阵211121112--?? ?=-- ? ?--??A ,100010000?? ?

= ? ???

B ,则A 与B

(A )合同,且相似 (B )合同,但不相似(C )不合同,但相似 (D )既不合同,也不相似 二、填空题(11-16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上)

(15)设矩阵0100001000010000?? ?

?= ? ???

A ,则3A 的秩为________. (21)(本题满分11分)

设线性方程组12312321

23020,40

x x x x x ax x x a x ++=??

++=??++=?与方程 12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解.

(22)(本题满分11分)

设3阶实对称矩阵A 的特征向量值12311,2, 2.(1,1,1)T λλλ===-=-α是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,记534,=-+B A A E 其中E 为3阶单

位矩阵.

(1)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B .

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (5)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ,则

(A )-E A 不可逆,+E A 不可逆 (B )-E A 不可逆,+E A 可逆 (C )-E A 可逆,+E A 可逆 (D )-E A 可逆,+E A 不可逆

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

(13)设A 为2阶矩阵,12,αα为线性无关的2维列向量,12120,2==+A αA ααα,则A 的非零特征值为 . (20)(本题满分11分)

T T =+A ααββ,T α为α的转置,T β为β的转置.证明: (1)()2r ≤A .(2)若,αβ线性相关,则()2r

(21)(本题满分11分)

设矩阵22

21212n n

a a a a a ??? ? ?= ? ???A O O O ,现矩阵A 满足方程=AX B ,其中()1,,T n x x =X L ,()1,0,,0=B L , (1)求证()1n n a =+A .

(2)a 为何值,方程组有唯一解,求1x .

(3)a 为何值,方程组有无穷多解,求通解.

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(5)设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311

,,23

ααα到基122331,,+++αααααα的过渡矩阵为

(A )101220033?? ? ? ??? (B )120023103?? ? ? ??? (C )1112461112461112

46??- ? ? ?-

? ? ?- ??? (D )1

11222111444111666??- ? ?

?- ? ? ?- ??? (6)设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3==A B ,则分块矩阵O A B O ??

???

的伴随矩阵为