当前位置：文档库 › 电磁场与电磁波答案第四版谢处方完整版

电磁场与电磁波答案第四版谢处方完整版

电磁场与电磁波答案第

四版谢处方

HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-

一章习题解答

1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下：

求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；

（6）?A C ；

（7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。

解（1

）23A x y z

+-=

==+e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e

e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （4）由 cos AB θ

14==?A B A

B ，得 1cos AB θ-=(135.5= （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ=

=-A B B （6）?=A C 1

235

02x

-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 041502x

-=-e e e 8520x y z ++e e e

所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e

（8）()??=A B C 1014502

---=-e e e 2405x y z -+e e e

1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)

P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。（1）判断123

PP P ?是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。

解（1）三个顶点1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 的位置矢量分别为 12y z =-r e e ，243x y z =+-r e e e ，3625x y z =++r e e e 则 12214x z =-=-R r r e e ， 233228x y z =-=++R r r e e e ，由此可见

故123

PP P ?为一直角三角形。（2）三角形的面积

122312231117.1322S =?=?==R R R R

1.3 求(3,1,4)P '-点到(2,2,3)P -点的距离矢量R 及R 的方向。

解 34P x y z '=-++r e e e ，223P x y z =-+r e e e ，则 53P P P P x y z ''=-=--R r r e e e 且P P 'R 与x 、y 、z 轴的夹角分别为

1.4 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和456x y z =-+B e e e ，求它们之间的夹角和A 在B 上的分量。

解 A 与B 之间的夹角为

11cos (

)cos 131θ--===AB A B A B A 在B 上的分量为 3.53277

B A ===-B A B 1.5 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和64x y z =--+B e e e ，求?A B 在

x y z =-+C e e e 上的分量。

解 ?=A B 234641

x y z

-=--e e e 132210x y z -++e e e

所以?A B 在C 上的分量为 ()?=

C A B ()14.433

?=-=-A B C C 1.6 证明：如果A B =A C 和?=A B ?A C ，则=B C ；解由?=A B ?A C ，则有()()??=??A A B A A C ，即由于A B =A C ，于是得到 ()()=A A B A A C 故 =B C

1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A 为一已知矢量，p =A X 而=?P A X ，p 和P 已知，试求X 。

解由=?P A X ，有

故得 p -?=A A P X A A

1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,,3)3

π定出，求该点在：（1）直角坐标

中的坐标；（2）球坐标中的坐标。

解（1）在直角坐标系中 4cos(23)2x π==-

、4sin(2y π==、3z =

故该点的直角坐标为(2,-。（2）在球坐标系中 5r ==、1tan (453.1θ-==、23120φπ== 故该点的球坐标为(5,53.1,120)

1.9 用球坐标表示的场225r r

=E e ，（1）求在直角坐标中点(3,4,5)--处的E 和x E ；

（2）求在直角坐标中点(3,4,5)--处E 与矢量22x y z =-+B e e e 构成的夹角。解（1）在直角坐标中点(3,4,5)--处，2222(3)4(5)50r =-++-=，故（2）在直角坐标中点(3,4,5)--处，345x y z =-+-r e e e ，所以

故E 与B 构成的夹角为

11cos ()cos (153.63θ--===EB E B E B

1.10 球坐标中两个点111(,,)r θφ和222(,,)r θφ定出两个位置矢量1R 和2R 。证明1R 和2R 间夹角的余弦为

解由 111111111sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e 得到 12

cos γ=

=R R R R 1.11 一球面S 的半径为5，球心在原点上，计算： (3sin )d r S

θ?e S 的值。解 (3sin )d (3sin )d r r r S

S θθ==

??e S e e 222

d 3sin 5sin d 75π

φθθθπ?=?? 1.12 在由5r =、0z =和4z =围成的圆柱形区域，对矢量22r z r z =+A e e 验证

散度定理。

解在圆柱坐标系中 21()(2)32rr z r r r z

???=+=+??A

所以 4

d d d (32)d 1200z r r r π

τφπ?=+=????A

又 2

d (2)(d d d )r z r r z z S

r z S S S φφ=+++=??A S e e e e e

故有 d 1200τ

τπ?=?A d S

?A S

1.13 求（1）矢量22222324x y z x x y x y z =++A e e e 的散度；（2）求?A 对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。

解（1）2222232222()()(24)2272x x y x y z x x y x y z x y z

????=++=++???A （2）?A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为（3）A 对此立方体表面的积分

故有 1d 24τ

τ?=?A d S =?A S

1.14 计算矢量r 对一个球心在原点、半径为a 的球表面的积分，并求?r 对球体积的积分。

解 22

d d d sin d 4r S

S aa

a π

φθθπ==

=????r S r e

又在球坐标系中，221()3r r r r

??==?r ，所以

1.15 求矢量22x y z x x y z =++A e e e 沿xy 平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x 轴和y 轴相重合。再求??A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

解 2

d d d 2d 0d 8C

x x x x y y =-+-=?????A l

又 2222x

y z x z yz x x y z x x y z

??==+???e e e A e e 所以 22

d (22)d d 8x z z S

yz x x y ??=+=???A S e e e

故有 d 8C

=?A l d S

=???A S

1.16 求矢量2x y x xy =+A e e 沿圆周222x y a +=的线积分，再计算??A 对此圆面积的积分。

解 2

d d d C

x x xy y =

?A l 24

422

(cos sin cos sin )d 4

a a

a π

πφφφφφ-+=

1.17 证明：（1）3?=R ；（2）??=R 0；（3）()?=A R A 。其中x y z x y z =++R e e e ，A 为一常矢量。

解（1）3x y z

x y z

????=

++=???R （2） x y z

x y z x y y

?????==???e e e R 0 （3）设x x y y z z A A A =++A e e e ，则x y z A x A y A z =++A R ，故

1.18 一径向矢量场()r f r =F e 表示，如果0?=F ，那么函数()f r 会有什么特点呢？

解在圆柱坐标系中，由 1d [()]0d rf r r r

?==F

可得到

()C

f r r

C 为任意常数。在球坐标系中，由 221d [()]0d r f r r r

?==F

可得到 2

()C f r r =

1.19 给定矢量函数x y y x =+E e e ，试求从点1(2,1,1)

P -到点2(8,2,1)P -的线积分d ?

E l ：（1）沿抛物线2x y =；（2）沿连接该两点的直线。这个E 是保守场吗？解（1） d d d x y C

E x E y =+=??E l d d C

y x x y +=?

（2）连接点1(2,1,1)P -到点2(8,2,1)P -直线方程为

x x y y --=-- 即 640x y -+= 故 2

d d d d(64)(64)d x y C

E x E y y y y y =+=-+-=???E l 2

(124)d 14y y -=?

由此可见积分与路径无关，故是保守场。

1.20 求标量函数2x yz

ψ=的梯度及ψ在一个指定方向的方向导数，此方向由

单位矢量x

y z

e e e (2,3,1)点的方向导数值。解 222()()()x y z x yz x yz x yz x y z

ψ???

?=++=??

?e e e

故沿方向l x y z

=e e e e 的方向导数为点(2,3,1)处沿l e 的方向导数值为 1.21 试采用与推导直角坐标中y x z A A A x y z

????=++???A 相似的方法推导圆柱坐标下的公式 1()z r A A rA r r r z φφ????=++???A 。

解在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场A 沿r e 方向穿出该六面体的表面的通量为

同理

因此，矢量场A 穿出该六面体的表面的通量为故得到圆柱坐标下的散度表达式 0()1lim

r z

A rA A r r r z

φτψτφ?→?????==++????A

题1.21图

1.22 方程222222x y z u a b c

=++给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。

解由于 222

222x y z x y z u a b c ?=++e e e

故椭球表面上任意点的单位法向矢量为

1.23 现有三个矢量A 、B 、C 为

（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示

（2）求出这些矢量的源分布。解（1）在球坐标系中

故矢量A 既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；

在圆柱坐标系中

故矢量B 可以由一个标量函数的梯度表示；

直角在坐标系中

故矢量C 可以由一个矢量函数的旋度表示。（2）这些矢量的源分布为 0?=A ，0??=A ；

2sin r φ?B =，0??=B ； 0?=C ，(26)z x y ??=-C e

1.24 利用直角坐标，证明解在直角坐标中 1.25 证明

解根据?算子的微分运算性质，有

式中A ?表示只对矢量A 作微分运算，H ?表示只对矢量H 作微分运算。

由()()?=?a b c c a b ，可得

同理 ()()()H H ??=-??=-??A H A H A H 故有 ()??=??-??A H H A A H

1.26 利用直角坐标，证明解在直角坐标中所以

1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明()0u ???=及()0???=A ，试证明之。

解（1）对于任意闭合曲线C 为边界的任意曲面S ，由斯托克斯定理有由于曲面S 是任意的，故有

（2）对于任意闭合曲面S 为边界的体积τ，由散度定理有

其中1S 和2S 如题1.27图所示。由斯托克斯定理，有

()d d S C ??=??A S A l ， 2

()d d S C ??=??A S A l

由题1.27图可知1C 和2C 是方向相反的同一回路，则有 1

d d C C =-??A l A l 所以得到 1

()d d d d d 0C C C C τ

τ???=

+=-+=?????A A l A l A l A l

由于体积τ是任意的，故有 ()0???=A

二章习题解答

2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为

43230049

U d x ρε--=-，式中阴极板位于0x =，阳极板

位于x d =，极间电压为0U 。如果040V U =、1cm d =、横截面210cm S =，求：（1）0x =和x d =区域内的总电荷量Q ；（2）2x d =和x d =区域内的总电荷量Q '。

解（1） 43230004

d ()d 9d

Q U d x S x τρτε--==-=??11004 4.7210C 3U S d ε--=-?

（2） 4323

004d ()d 9d

d Q U d x S x τρτε--'

'==

-=?

?11004(10.9710C 3U S d ε---=-? 2.2 一个体密度为732.3210C m ρ-=?的质子束，通过1000V 的电压加速后形成等

2mm ，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。

解

2710kg -?、电量191.610C q -=?。由得 61.3710v ==? m s 故 0.318J v ρ== 2A m

2.3 一个半径为a 的球体内均匀分布总电荷量为Q 的电荷，球体以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球内的电流密度。

解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球内任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为球内的电荷体密度为

故 33

3sin sin 434Q Q r r a a φφω

ρωθθππ===J v e e 2.4 一个半径为a 的导体球带总电荷量为Q ，同样以匀角速度ω绕一个直径旋

转，求球表面的面电流密度。

解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球面上任一点P 的位置矢量为r

，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为

题1.27图

球面的上电荷面密度为

故 2

sin sin 44S Q Q a a a

φω

σωθθππ===J v e e 2.5 两点电荷18C q =位于z 轴上4z =处，24C q =-位于y 轴上4y =处，求(4,0,0)处的电场强度。

解电荷1q 在(4,0,0)处产生的电场为电荷2q 在(4,0,0)处产生的电场为故(4,0,0)处的电场为

2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷l ρ，求垂直于圆平面的轴线上z a =处的电场强度(0,0,)a E ，设半圆环的半径也为a ，如题2.6 图所示。

解半圆环上的电荷元d d l l l a ρρφ''=在轴线上z a =处的电场强度为

d φ'==E 在半圆环上对上式积分，得到轴线上z a =处的电场强度为 2.7 三根长度均为L ，均匀带电荷密度分别为1l ρ、2l ρ和3l ρ地线电荷构成等边三角形。设1l ρ=22l ρ=32l ρ，计算

三角形中心处的电场强度。解建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为

3tan 302L d == 则

故等边三角形中心处的电场强度为

2.8 －点电荷q +位于(,0,0)a -处，另－点电荷2q -位于(,0,0)a 处，空间有没有电场强度0=E 的点？

解电荷q +在(,,)x y z 处产生的电场为电荷2q -在(,,)x y z 处产生的电场为

(,,)x y z 处的电场则为12=+E E E 。令0=E ，则有由上式两端对应分量相等，可得到

222322232()[()]2()[()]x a x a y z x a x a y z +-++=-+++ ①

2223222232[()]2[()]y x a y z y x a y z -++=+++ ② 2223222232[()]2[()]z x a y z z x a y z -++=+++ ③

当0y ≠或0z ≠时，将式②或式③代入式①，得0a =。所以，当0y ≠或0z ≠时无解；

当0y =且0z =时，由式①，有

题 2.6图

题2.7图

解得

但3x a =-+

不合题意，故仅在(3,0,0)a --处电场强度0=E 。

2．9 σ。证明：垂直于平面的z 轴上0z z =处的电场强度E 中，有一半是有平面上半径为03z 的圆内的电荷产生的。

解半径为r 、电荷线密度为d l r ρσ=的带电细圆环在z 轴上0z z =处的电场强度为故整个导电带电面在z 轴上0z z =处的电场强度为

而半径为03z 的圆内的电荷产生在z 轴上0z z =处的电场强度为 2.10 一个半径为a 的导体球带电荷量为Q ，当球体以均匀角速度ω绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度B 。

解球面上的电荷面密度为

当球体以均匀角速度ω绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r a =r e 点处的电流面密度为

将球面划分为无数个宽度为d d l a θ=的细圆环，则球面上任

一个宽度为d d l a θ=细圆环的电流为 d d sin d 4S Q I J l ωθθπ

细圆环的半径为sin b a θ=，圆环平面到球心的距离cos d a θ=，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为

故整个球面电流在球心处产生的磁场为 3

000sin d 86z z

Q Q a a

μωθμωθππ==?B e e 2.11 两个半径为b 、同轴的相同线圈，各有N 匝，相互隔开距离为d ，如题2.11图所示。电流I 以相同的方向流过这两个线圈。

（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度x x B =B e ；（2）证明：在中点处d d x B x 等于零；

（3）求出b 与d 之间的关系，使中点处22d x B x 也等于零。

解（1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 2

232

2()

Ia a z μ=+B e

得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 2

(4)

NIb b d μ=+B e

（2）两线圈的电流在其轴线上x )0(d x <<处的磁感应强度为

00223222322()

2[()]x NIb NIb b x b d x μμ??=+??++-??B e 所以 22

0022522252

d 33()d 2()2[()]x B NIb x NIb d x x b x b d x μμ-=-+++- 故在中点2d x =处，有

题2.11图

题2.10图

题 2.13图（3） 222200222722252d 153d 2()2()

x B NIb x NIb x b x b x μμ=-+++ 令 0d d 2

==d x x x

B ，有 0]4[1]4[45252227222=+-+d b d b d 即 5222d b d += 故解得 b d =

2.12 一条扁平的直导体带，宽为a 2，中心线与z 轴重合，通过的电流为I 。证

明在第一象限内的磁感应强度为 04x I B a

μαπ=-，021ln 4y I r

B a r μπ= 式中α、1r 和2r 如

题2.12图所示。解将导体带划分为无数个宽度为x 'd 的细条带，每一细条带的电流x a I I '=d 2d 。由安培环路定

理，可得位于x '处的细条带的电流I d 在点),(y x P 处

的磁场为则 022

d d d sin 4[()]

x Iy x B B a x x y μθπ'=-=-'-+ 所以

2.13 如题2.13图所示，有一个电矩为1p 的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为

2p 的电偶极子，位于矢径为r 的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为

式中11,θ=<>r p ，22,θ=<>r p ，φ是两个平面1(,)r p 和2(,)r p 间的夹角。并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？

解电偶极子1p 在矢径为r 的点上产生的电场为所以1p 与2p 之间的相互作用能为

因为11,θ=<>r p ，22,θ=<>r p ，则又因为φ是两个平面1(,)r p 和2(,)r p 间的夹角，所

以有

另一方面，利用矢量恒等式可得因此

12121221

()[()()()()]r

=??+=p p r p r p r p r p 1212sin sin cos p p θθφ+1212cos cos p p θθ

于是得到 =e W 12

304p p r

πε(12sin sin cos θθφ-122cos cos θθ) 故两偶极子之间的相互作用力为

题 2.12图

r q const

F r

=?=-=?1204p p πε-

(12sin sin cos θθφ-122cos cos θθ)3d 1

()d r r

= 12

034p p r πε(12sin sin cos θθφ-122cos cos θθ) 由上式可见，当120θθ==时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。

2.14 两平行无限长直线电流1I 和2I ，相距为d ，求每根导线单位长度受到的安培力m F 。

解无限长直线电流1I 产生的磁场为 0112I

r φμπ=B e

直线电流2I 每单位长度受到的安培力为 1

0121221120d 2m z I I

I z d μπ=?=-?F e B e

式中12e 是由电流1I 指向电流2I 的单位矢量。

同理可得，直线电流1I 每单位长度受到的安培力为 012

211212

2m m I I d

μπ=-=F F e 2.15 一根通电流1I 的无限长直导线和一个通电流2I 的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为d ，如题2.15图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为这里α是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。

解无限长直线电流1I 产生的磁场为

圆环上的电流元22d I l 受到的安培力为

由题2.15图可知 2d (sin cos )d x z a θθθ=-+l e e

所以 20120

(sin cos )d 2(cos )m z x aI I d a πμθθθπθ=--=+?F e e 2.16 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子p 绕坐标原点所受到的力矩为()??+?r p E p E 。解如题2.16图所示，设d q =p l (d 1)l <<，则电偶极子p 绕坐标原点所受到的力矩为当d 1l <<时，有故得到三章习题解答 3.1 真空中半径为a 的一个球面，球的两极点处

分别设置点电荷q 和

q -，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如

题3.1图所示)。解由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为

题2.15图

题2.16 图题3.1 图

则球赤道平面上电通密度的通量

3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电子云，在球心有一正电荷Ze （Z 是原子序数，e 是质子

电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314r a Ze r r r π??

=- ???

D e ，试证

明之。

解位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 12

4r Ze

π=D e 原子内电子云的电荷体密度为 33

3434a a Ze Ze

r r ρππ=-=-

电子云在原子内产生的电通量密度则为 32234344r r a

r Ze r r r ρπππ==-D e e 故原子内总的电通量密度为 122314r a Ze r r r π??

=+=- ???

D D D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为3

0C m ρ, 两圆柱面半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题3.3图()a 所示。求空间各部分的电场。

解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布，如题3.3图()b 所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。

在b r >区域中，由高斯定律0

d S

ε=

E S ，可求得大、小圆柱中的正、负电荷

在点P 产生的电场分别为 2200120022r b b r r πρρπεε==r E e 220012

0022r a a r r πρρπεε'

-''==-''r E e

点P 处总的电场为 2211220()2b a r r ρε'

'=+=

r r E E E 题3. 3图()a

题3. 3图()b

＝

＋

在b r <且a r >'区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为

点P 处总的电场为 2022

20()2a r ρε''=+=-'

r E E E r 在a r <'的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为

点P 处总的电场为 0033

()22ρρεε''=+=-=E E E r r c 3.4 半径为a 的球中充满密度()r ρ的体电荷，已知电位移分布为

325

()()r r Ar r a D a Aa r a r ?+≤?=?+≥?

? 其中A 为常数，试求电荷密度()r ρ。

解：由ρ?=D ，有 2

21d ()()d r r r D r r

ρ=?=D

故在r a <区域 23

22002

1d ()[()](54)d r r r Ar r Ar r r

ρεε=+=+ 在r a >区域 54

022

1d ()()[]0d a Aa r r r r r

ρε+== 3.5 一个半径为a 薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q 为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q 。已知球内部的电场为4()r r a =E e ，设球内介质为真空。计算：（1）球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。

解（1）由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为

（2）球体内的总电量Q 为 322

0040

d 64d 4a

r Q r r a a τρτεππε===??

球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q -，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q ，所以球壳外表面上的总电荷为2Q ，故球壳外表面上的电荷面密度为

224Q a

σεπ== 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r a =和r b =()b a >，圆柱表面分别带有密度为1σ和2σ的面电荷。（1）计算各处的电位移0D ；（2）欲使r b >区域内00=D ，则1σ和2σ应具有什么关系？

解（1）由高斯定理0d S

q =?D S ，当r a <时，有 010=D

当a r b <<时，有 02122rD a ππσ= ，则 1

02r

a r

σ=D e 当b r <<∞时，有 0312222rD a b ππσπσ=+ ，则 12

03r

a b r

σσ+=D e

（2）令 12

030r a b r

σσ+==D e ，则得到 12b a σσ=- 3.7 计算在电场强度x y y x =+E e e 的电场中把带电量为2C μ-的点电荷从点

1(2,1,1)P -移到点2(8,2,1)P -时电场所做的功：（1）沿曲线2

2x y =；（2）沿连接该两点的直线。

解（1）d d d d x y C

W q q E x E y ===+=???F l E l

（2）连接点1(2,1,1)P -到点2(8,2,1)P -直线方程为

x x y y --=-- 即 640x y -+= 故W =2

d d d(64)(64)d C

q y x x y q y y y y +=-+-=??2

(124)d 142810()q y y q J --==-??

3.8 长度为L 的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为0l ρ。（1）计算线电荷平分面上任意点的电位?；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E ，并用?=-?E 核对。

解（1）建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面

上任意点P 的电位为

(,0)L L r ?-'==?

（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元z l 'd 0ρ在点P 的电场为故长为L 的线电荷在点P 的电场为由?=-?E 求E ，有

3.9 已知无限长均匀线电荷l ρ的电场

02l

r r ρπε=E e ，试用定义式()d P

r r r ?=?E l 求其电位函

数。其中P r 为电位参考点。

解 000()d d ln ln 222P

r r r

l l l P r r

r r r r r r

ρρρ?πεπεπε====??

E l 由于是无限长的线电荷，不能将P r 选为无穷远点。

3.10 一点电荷q +位于(,0,0)a

-，另一点电荷2q -位于(,0,0)a ，求空间的零电位面。

解两个点电荷q +和2q -在空间产生的电位

题3.8图

令(,,)0x y z ?=，则有

即 2222224[()]()x a y z x a y z +++=-++

故得 222254

()()33

x a y z a +++=

由此可见，零电位面是一个以点5(,0,0)3

a -为球心、4

3a 为半径的球面。

3.11 证明习题3.2的电位表达式为 2013

()()422a a

Ze r r r r r ?πε=

+- 解位于球心的正电荷Ze 在原子外产生的电通量密度为 12

4r Ze

r π=D e

电子云在原子外产生的电通量密度则为 3222

4344a r r r Ze

r r

ρπππ==-D e e 所以原子外的电场为零。故原子内电位为

3.12 电场中有一半径为a 的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为（1）求圆柱内、外的电场强度；

（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。

解（1）由?=-?E ，可得到 r a <时， 0?=-?=E

r a >时， ?=-?=E 22

[()cos ][()cos ]r a a A r A r r r r r

φφφφ??----=??e e

（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为

3.13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足20??= （1）sin()sin()hz kx ly e - 其中222h k l =+；（2）[cos()sin()]n r n A n φφ+ 圆柱坐标；（3）cos()n r n φ- 圆柱坐标；（4）cos r φ 球坐标；（5）2cos r φ- 球坐标。

解（1）在直角坐标系中 2222

222x y z

???

?????=++???

而 22

222[sin()sin()]sin()sin()hz hz kx ly e k kx ly e x x

?--??==-??

故 2222()sin()sin()0hz k l h kx ly e ?-?=--+=

（2）在圆柱坐标系中 222

222

1()r r r r r z ???

?φ?????=++????

而

11(){[cos()sin()]}n r r r n A n r r r r r r

?φφ????

=+=????22[cos()sin()]n n r n A n φφ-+ 故 20??=

（3） 2211(){[cos()]}cos()n n r r r n n r n r r r r r r

?φφ---????

==????

故 20??= （4）在球坐标系中 22

222222

111()(sin )sin sin r r r r r r ???

?θθθθθφ

??????=++????? 而 2222112

()[(cos )]cos r r r r r r r r r r

?θθ????==????

故 20??=

（5） 222222112

()[(cos )]cos r r r r r r r r r r

?θθ-????==????

故 20??=

3.14 已知0>y 的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解

（1）cosh y e x -；（2）x e y cos -；（3

）cos sin e x x （4）z y x sin sin sin 。

解（1）222222(cosh )(cosh )(cosh )y y y

e x e x e x x y z

---???++=???2cosh 0y e x -≠

所以函数x e y cosh -不是0>y 空间中的电位的解；

（2） 222222(cos )(cos )(cos )y y y

e x e x e x x y z

---???++=???cos cos 0y y e x e x ---+=

所以函数x e y cos -是0>y 空间中可能的电位的解；

（3）

222222(cos sin )(cos sin )(cos sin )e x x e x x e x x x y z

???++=???

所以函数x x e y sin cos 2-不是0>y 空间中的电位的解；

（4） 222

222(sin sin sin )(sin sin sin )(sin sin sin )x y z x y z x y z x y z

???++=???

所以函数z y x sin sin sin 不是0>y 空间中的电位的解。

3.15 中心位于原点，边长为L 的电介质立方体的极化强度矢量为

0()x y z P x y z =++P e e e 。（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。

解（1） 03P P ρ=-?=-P

同理 0()()()()22222

P P P P L L L L L

y y z z P σσσσ===-====-=

（2） 32

00d d 3602P P P S

L q S P L L P τρτσ=+=-+?=??

3.16 一半径为0R 的介质球，介电常数为0r εε，其内均匀分布自由电荷ρ，证明

中心点的电位为

200

21()23r r R ερ

εε+ 解由d S

q =?D S ，可得到

0r R <时， 3

1443r r D ππρ=

即 13r D ρ=， 1100

3r r D r E ρεεεε== 0r R >时， 32

2443

R r D ππρ=

即 3

0223R D r

ρ= ， 3

0122003R D E r ρεε== 故中心点的电位为

3.17 一个半径为R 的介质球，介电常数为ε，球内的极化强度r K r =P e ，其中K 为一常数。（1）计算束缚电荷体密度和面密度；（2）计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。

解（1）介质球内的束缚电荷体密度为 22

21d ()d p K K

r r r r r ρ=-?=-=-P 在r R =的球面上，束缚电荷面密度为 p r r R r R K

σ=====n P e P

（2）由于0ε=+D E P ，所以 0

0εεε

?=?+?=

?+?D E P D P 即 0

(1)εε

?=?D P 由此可得到介质球内的自由电荷体密度为

2000()p K

r εεερρεεεεεε=?=?=-=---D P

总的自由电荷量 2

200014d 4d R K RK q r r r τ

επερτπεεεε===--?? （3）介质球内、外的电场强度分别为

介质球内、外的电位分别为

3.18 （1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；（2）导出束缚电荷密度P ρ的表达式。

解（1）由0ε=+D E P ，得束缚电荷体密度为 0P ρε=-?=-?+?P D E 在介质内没有自由电荷密度时，0?=D ，则有 0P ρε=?E 由于ε=D E ，有 ()0εεε?=?=?+?=D E E E

所以 ε

??=-E E

由此可见，当电介质不均匀时，?E 可能不为零，故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。

（2）束缚电荷密度P ρ的表达式为 00P ε

ρεεε

=?=-?E E

3.19 两种电介质的相对介电常数分别为1r ε=2和2r ε=3，其分界面为z =0平面。如果已知介质1中的电场的

那么对于介质2中的2E 和2D ，我们可得到什么结果？能否求出介质2中任意点的2E 和2D

解设在介质2中

在0z =处，由12()0z ?-=e E E 和12()0z -=e D D ，可得于是得到 2(,,0)2x E x y y =

故得到介质2中的2E 和2D 在0z =处的表达式分别为 220(,,0)23(103)

(,,0)(6910)

x y z x y z x y y x x y y x ε=-+=-+E e e e D e e e

不能求出介质2中任意点的2E 和2D 。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。

3.20 电场中一半径为a 、介电常数为ε的介质球，已知球内、外的电位函数分别为

验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。

解在球表面上

故有 12(,)(,)a a ?θ?θ=， 120r a r a r r

εε==??=??

可见1?和2?满足球表面上的边界条件。球表面的束缚电荷密度为

3.21 平行板电容器的长、宽分别为a 和b ，极板间距离为d 。电容器的一半厚度(2

~0d

)用介电常数为ε的电介质填充，如题3.21图所示。

(1)(1) 板上外加电压0U ，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；

(2)(2) 若已知板上的自由电荷总量为Q ，求此时极板间电压和束缚电荷； (3)(3) 求电容器的电容量。

解（1）设介质中的电场为z E =E e ，空气中的电场为0=E 0z E e 。由=D 0D ，有

00E E εε=

又由于 002

2U d

E d E -=+

由以上两式解得

0002()U E d εεε=-+ ，0

002()U E d

εεε=-+

故下极板的自由电荷面密度为

0002()U

E d εεσεεε==-+下

上极板的自由电荷面密度为 00

0002()U E d

εεσεεε=-=

+上

电介质中的极化强度 000

002()()()z U d εεεεεεε-=-=-+P E e

故下表面上的束缚电荷面密度为 000

02()()p z U d εεεσεε-=-=+e P 下

上表面上的束缚电荷面密度为 000

02()()p z U d εεεσεε-==-+e P 上

（2）由 002()U Q

ab d εεσεε==+

得到 00()2dQ U ab εεεε+= 故 0()p Q

ab εεσε-=下

（3）电容器的电容为 002()ab Q

C U d

εεεε==+ 3.22 厚度为t 、介电常数为04εε=的无限大介质板，

放置于均匀电场0E 中，板与0E 成角1θ，如题3.22图所示。

求：（1）使24θπ=的1θ值；（2）介质板两表面的极化电荷密度。

解（1）根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有

12tan tan εθθε

= 由此得到 1110

201tan 1

tan tan tan 144

εθεθεε---==== （2）设介质板中的电场为E ，根据分界面上的边界条件，有00n n E E εε=，即

题

3.22图

题 3.21图