豫南九校2019-2020学年上期期末联考
高二数学(理)试题
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若0
60sin 2018=y ,则='y ( )
A . 1009
B .31009
C .0
D .2018
2.在各项均为正数的等比数列}{n a 中,若4115=a a ,8126=a a ,则=98a a ( ) A .12 B .24 C . 26 D .32
3.在空间直角坐标系中,已知)3,2,1(A ,)6,1,2(--B ,)1,2,3(C ,)0,3,4(D ,则直线AB 与
CD 的位置关系是( )
A . 垂直
B .平行
C . 异面
D . 相交但不垂直 4.若0,0>>y x ,则“xy y x 222=+”的一个充分不必要条件是( ) A .y x = B .y x 2= C. 2=x 且1=y D .y x =或1=y
5.抛物线24
1y x =的焦点到双曲线1322
=-y x 的渐近线距离是( ) A .3 B .
22 C. 23 D .2
1
6.下列说法正确的是( )
A .“函数)(x f 为奇函数”是“0)0(=f ”的充分不必要条件
B .在AB
C ?中,“B A <”是“B A sin sin <”的既不充分也不必要条件 C.若命题q p ∧为假命题,则q p ,都是假命题
D .命题“若0232=+-x x ,则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ,则0232
≠+-x x ”
7.已知数列{}n a 的前n 项和3
2
31+=
n n a S ,则 {}n a 的通项公式=n a ( ) A .n n a )21(-= B .1)21(--=n n a C. 1)21(-=n n a D .1)2
1
(+-=n n a
8.已知实数y x ,满足不等式组??
?
??≤-+≥+-≥042010y x y x y ,则函数3++=y x z 的最大值为( )
A .2
B . 4 C. 5 D .6
9.在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若ABC ?为锐角三角形,且满足
C A C A C B sin cos cos sin 2)cos 21(sin +=+,则下列等式成立的是( )
A . b a 2=
B .a b 2= C. B A 2= D .A B 2=
10.函数)()(x g x x f -=的图像在点2=x 处的切线方程是1--=x y ,则=+)2(')2(g g ( )
A . 7
B .4 C. 0 D .-4
11.已知直三棱柱111C B A ABC -中,0120=∠ABC ,2=AB ,11==CC BC ,则异面直线
1AB 与1BC 所成角的正弦值为( )
A .
23 B .5
15 C. 510 D .33 12.已知直线01:=-+y x l 截圆)0(:2
2
2
>=+Ωr r y x 所得的弦长为14,点N M ,在圆Ω上,且直线03)1()21(:'=--++m y m x m l 过定点P ,若PN PM ⊥,则||MN 的取值范围为( )
A . ]32,22[+-
B .]22,22[+- C. ]36,26[+- D .]26,26[+-
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.函数x a x a x x f )3()1()(2
4
-+--=的导函数)('x f 是奇函数,则实数=a .
14.已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的半焦距为c ,且满足02
2<+-ac b c ,则该椭圆的离心
率e 的取值范围是 .
15.已知ABC ?,4==AC AB ,2=BC ,点D 为AB 延长线上一点,2=BD ,连结CD ,则=∠BDC cos .
16.已知直线)0,0(22>>=-b a by ax 过圆01242
2=++-+y x y x 的圆心,则
1
1
24++
+b a 的最小值为 . 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (1)关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集非空,求实数a 的取值范围; (2)已知45<
x ,求函数5
4124-+-=x x y 的最大值. 18. 等差数列}{n a 中,113221=+a a ,42623-+=a a a ,其前n 项和为n S . (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)设数列}{n b 满足1
11-=
+n n S b ,其前n 项和为为n T ,求证:)(4
3
*N n T n ∈<
. 19. 四棱锥ABCD S -中,BC AD //,CD BC ⊥,060=∠=∠SDC SDA ,
DC AD =SD BC 2
1
21==
,E 为SD 的中点.
(1)求证:平面⊥AEC 平面ABCD ; (2)求BC 与平面CDE 所成角的余弦值.
20. ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,其中c b ≠,且C c B b cos cos =,延长线段
BC 到点D ,使得44==CD BC ,030=∠CAD .
(1)求证:BAC ∠是直角; (2)求D ∠tan 的值.
21. 椭圆E 经过点)3,2(A ,对称轴为坐标轴,焦点21,F F 在x 轴上,离心率2
1
=e . (1)求椭圆E 的方程;
(2)求21AF F ∠的角平分线所在直线的方程.
22.已知抛物线)0(2:2
>=p px y C 的焦点为F 抛物线C 上存在一点),2(t E 到焦点F 的距离等于3.
(1)求抛物线C 的方程;
(2)过点)0,1(-K 的直线l 与抛物线C 相交于B A ,两点(B A ,两点在x 轴上方),点A 关于x 轴的对称点为D ,且FB FA ⊥,求ABD ?的外接圆的方程.
试卷答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的)
1—5CBBCC 6—10DBDAA 11—12CD
1.C
y'=.
【解析】根据求导法则易知0
2.B
【解析】由等比数列的性质有,
.
3.B 【解析】由题意得,(3,3,3),(1,1,1)AB CD =--=-u u u r u u u r ,所以3AB CD =-u u u r u u u r ,所以AB CD u u u r u u u r
∥.
4.C 【
解
析
】
,,当且仅当时取等号.故
“”是
“”的充分不必要条件.
5.C
【解析】双曲线22
13y x -=的焦点(20),到渐近线距离为214
x y =的焦点(10),到渐近
线距离为.(可由抛物线的焦点F (1,0)直接求距离)
6.D 【解析】函数()f x 的定义域为R 才成立,故选项A 错误;因为是在三角形中,所以“A B <”是“sin sin A B <”成立的充要条件,故选项B 错误;若命题p q ∧为假命题,则p ,q 至少有一个为假命题,故选项C 错误;故选D . 7.B
【解析】令1n =,得111233
S a =+,11a =,当2n ≥时,1112
33n n S a --=+,所以
111133
n n n n n S S a a a ---=-=,所以112n n a a -=-,所以数列{}n a 是以1为首项,1
2-为公比
的等比数列,所以1
1()2
n n a -=-.
8.D
【解析】作出可行域如图,当直线过点C时,z最大,由得
,所以z的最大值为6.
9.A
【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =?=?=,选A . 10.A
【解析】,又由题意知
,
.
11.C
【解析】补成四棱柱1111ABCD A B C D -,则所求角为11,BC D BC ∠=Q
BD =11C D AB ==,
因此
1cos 5BC D ∠==,故选C .
12.D
【解析】依题意,=解得2r =,因为直线:(12)(1)30l m x m y m '++--=,故(11)P ,;设MN 的中点为(,)Q x y ,则222OM OQ MQ =+22OQ PQ =+,即
22224(1)(1)x y x y =++-+-,化简可得22113
()()222
x y -+-=,所以点Q 的轨迹是以
11
(,)22为圆心,2 PQ 的取值范围为??
,所以MN
的取值范围为. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.3
14.102
e <<
15 16.
4
9 13.【解析】由题意3()42(1)(3)f x x a x a '=--+-是奇函数303a a ?-=?=. 14.【解析
】
,,即
,即,解得
,又
,102
e ∴<<
. 15.【解析】取BC 中点E ,DC 中点F ,由题意,AE BC BF CD ⊥⊥,△ABE 中,
1
cos 4
BE ABC AB ∠=
=,
1cos 4
DBC ∴∠=-
,又
21cos 12sin ,sin 44DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=,
cos sin BDC DBF ∴∠=∠=.
16.【解析】圆心为(2,1)-,则代入直线得:222a b +=,即1a b +=,观察所求式子形式;
不妨令2,1m a n b =+=+,则
411121444m n m n n m a b m n m n +++=+=+++++59
44≥=.(当且仅当,4n m m n =即m=2n 时,亦即2a b =时,取“=”;此时2133
a b ==,.) 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(1)解:设()2f x x ax a =--.则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集
()3f x ?≤-在R 上能成立()min 3f x ?≤-,即()2
min 434
a a f x +=-≤-解得 6a ≤-或2a ≥.
(或由230x ax a --+≤的解集非空得0?≥亦可得) (2)解:511,540,4254323144554x x y x x x x Q ??<
∴->∴=-+=--++≤-+= ?--??
, 当且仅当15454x x -=
-,解得x =1或32x =而35
124
x x =>∴= 即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =. 18.解:(1)因为121112323()5311a a a a d a d +=++=+=,
32624a a a =+-,即1112(2)54a d a d a d +=+++-,得2d =,11a =, 所以1(1)1(1)221n a a n d n n =+-=+-?=-.
(2)2111
(1)1(1)222
n S na n n d n n n n =+-=?+-?=,
22
11111111
()1(1)12(2)22n n b S n n n n n n n +=====--+-+++, 11111111111(...)2132435112n T n n n n =-+-+-++-+--++
111113()212124
n n =+--<++*()n N ∈. 19.解:(1)E Q 为SD 的中点,01
,602
AD DC SD SDA SDC ==∠=∠=
.ED EC AD DC EA ∴====
设O 为AC 的中点,连接,EO DO ,则EO AC ⊥, //,AD BC BC CD ⊥Q .AD BC ∴⊥ OD OA OC ∴==,
EOC EOD ∴???从而EO OD ⊥,
AD BC BC
CD ⊥Q ?=DO AC AB AC ,,Θ面ABCD ,AC DO O =I , EO ∴⊥面ABCD EO ?Q 面AEC , ∴面AEC ⊥面ABCD
(2)设F 为CD 的中点,连接OF EF 、,则OF 平行且等于
1
2
AD AD Q ∥BC OF ∴∥BC
不难得出CD ⊥面OEF (EO CD ⊥Q FO CD ⊥) ∴面ECD ⊥面OEF
OF 在面ECD 射影为EF ,EFO ∠的大小为BC 与面ECD 所成角的大小.
设AD a =,则2
a
OF =,3EF =,3cos OF EFO EF ∠==
即BC 与ECD 改成角的余弦值为
33
.(亦可以建系完成) 20.解:(1)因为cos cos b B c C =
由正弦定理,得sin cos sin cos B B C C =, 所以sin 2sin 2B C =,又b c ≠ 所以22B C π=- 所以2
B C π
+=
,所以090A ∠=,即BAC ∠为直角。
(2)设,1ADC CD α∠==,则4BC =
在△ABC 中,因为090A ∠=,030ACB α∠=+
所以0cos(30)AC
BC α+=,
所以0
4cos(30)AC α=+
在ADC ?中,sin sin AC CD CAD α=∠,即1
21
sin 2
AC α==,
所以2sin AC α=,
所以0
4cos(30)2sin αα+=,
即31
2cos sin )sin 2
ααα-=(
,整理得3cos 2sin αα= 所以3
tan 2α=.
21.(1)设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b
+=>>.
由12e =,得22221
,32c b a c c a ==-=
所以2222143x y c c +=,将(2,3)A 代入,有2213
1c c
+=,解得2c =
所以椭圆E 的方程为22
11612
x y +=.
(2)由(1)知F 1(-2,0),F 2(2,0),所以直线AF 1的方程为3
(2)4
y x =+
即3460x y -+=
直线AF 2的方程为2x =.
由椭圆E 的图形知,12F AF ∠的角平分线所在直线的斜率为正数.
设P (x ,y )为12F AF ∠的角平分线所在直线上任一点,则有346
25
x y x -+=-
若346510x y x -+=-,得280x y +-= 其斜率为负,不合题意,舍去.
于是346510x y x -+=-+,即210x y --=.
所以12F AF ∠的角平分线所在直线的方程为210x y --= 22.解:(1)抛物线的准线方程为2
p
x =-, 所以点E ()2t ,到焦点的距离为232
p
+=. 解得2p =.
所以抛物线C 的方程为2
4y x =.
(2)解法1:设直线l 的方程为()10x my m =->. 将1x my =-代入2
4y x =并整理得2
440y my -+=, 由()2
4160m ?=->,解得1m >. 设()11,A x y ,()22,B x y ,()11,D x y -, 则4y y m +=,4y y =,
即8
所以直线l 的方程为10x -+=.设AB 的中点为()00,x y ,
,0013x my =-=,
所以直线AB 的中垂线方程为)3y x -=-. 因为AD 的中垂线方程为0y =,
所以△ABD 的外接圆圆心坐标为()5,0.因为圆心()5,0到直线l 的距离为
且AB =
所以△ABD 的外接圆的方程为2524x y -+=. 解法2:依题意可设直线()():10l y k x k =+>.
将直线l 与抛物线C 联立整理得0)42(2
2
2
2
=+-+k x k x k . 由04)42(4
2
2
>--=?k k ,解得10< 则1,4 221221=+ -=+x x k x x . 所以4)1(21212 21=+++=x x x x k y y , 因为12121224()18FA FB x x x x y y k ?=-+++=-u u u r u u u r , 因为FA FB ⊥,所以0FA FB =u u u r u u u r g . 所以2 4 80k -=,又0k >,解得22=k .