初中变量之间的关系

中考变量之间的关系

第一节用表格表示变量之间的关系

知识点一变量、自变量、因变量、常量的定义

一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量成为变量. 如果有两个变量，当其中一个变量在一定范围内取一个数值时，两一个变量也有唯一的一个数值与其对应，那么，通常前一个变量叫自变量，后一个变量叫做因变量. 在变化过程中数值始终不变的的那个量叫做常量.

注意：

（1）常亮与变量往往是相对的，相当于某个变化过程.

（2）在某一变化过程中，可能有一个或几个常量，不可能没有变量，也不可能只有一个变量，一般有两个变量.

知识点二自变量与因变量的区别与联系

自变量与因变量共同存在于一个变化过程中，它们既有区别又有联系.

因变量随自变量的变化情况：

知识点三从表格中获取信息对变化趋势进行初步预测

借助表格可以表示两个变量之间的关系.

表示两个变量之间关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示因变量，从表格中发现因变量随自变量变化存在一定的规律——或者增加或者减少或者呈规律性的起伏变化，从而利用变化趋势对结果作出预测.

用列表法表示两个变量之间的关系时，表格只能提供自变量与因变量对应的部分数据，不能全面反映两个变量之间的关系，想要知道表格中没有出现的自变量与因变量的对应数据，需要对表格中的数据进行分析，从已知部分数据中观察变量的变化规律并依此估计未在表格中出现的数据.

例题1. 某人要在规定时间内加工100个零件，则工作效率y与时间t之间的关系中，下列说法正确的是（）A.y，t和100都是变量 B.100和y都是常量

C.y和t是变量

D.100和t都是常量

练习1. 下表是某报纸公布的世界人口数情况：

上表中的变量是（）

A.仅有一个，是年份

B.仅有一个，是人口数

C.有两个变量，一个是人口数，另一个是年份

D.一个变量也没有

在这三个量中，__________是常量，__________是自变量，__________是因变量.

练习4. 在利用太阳能热水器给水加热的过程中，热水器里水的温度随所晒太阳光时间的长短而变化，这个问题中因变量是（）

A.太阳光的强弱

B.热水器里水的温度

C.所晒太阳光的时间

D.热水器

练习5. 一个圆柱的高h为10 cm，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中（）

A．r是因变量，V是自变量B．r是自变量，V是因变量

C．r是自变量，h是因变量D．h是自变量，V是因变量

练习6. 明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（）。

A ： 明明

B ： 爷爷

C ： 时间

D ： 电话费

练习7. 2012年1—12月某地大米的平均价格如下表所示，其中自变量是_________，因变量是_________；当自变量等于_________时，因变量的值最小为_________.

上表中___________是自变量， __________是因变量.照此规律可以发现，当气温x 为__________℃时，声速y 达到346 m/s.

练习1. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm ）与所挂的物体的重量x （kg ）间有下面的关系：

下列说法不正确的是（

）

A.x 与y 都是变量，且x 是自变量，y 是因变量

B.物体质量每增加1 kg ，弹簧长度y 增加0.5 cm

C.y 与x 的关系表达式是x y 5.0

D.所挂物体质量为7 kg 时，弹簧长度为13.5 cm

设鸡的质量为 x 千克，烤制时间为 t 分，则当 x ＝ 3.2 千克时， t ＝（ ）

A.140分

B.138 分

C.148 分

D.160 分

练习3. 赵先生手中有一张记录他从出生到24周岁期间的身高情况表（如下）：

下列说法中错误的是（）

A.赵先生的身高增长速度总体上先快后慢

B.赵先生的身高在21岁以后基本不长了

C.赵先生的身高从0岁到12岁平均每年增高12.5 cm

D.赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高5.1 cm

练习4. 小明和他爸爸做了一个实验，小明由一幢245米高的楼顶随手放下一只苹果，由他爸爸测量有关数据，得到苹果下落的路程和下落的时间之间有下面的关系：

下列说法错误的是（）

A.苹果每秒下落的路程不变

B.苹果每秒下落的路程越来越长

C.苹果下落的速度越来越快

D.可以推测，苹果下落7秒后到达地面

练习5. 如图，圆柱的高是3 cm，当圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之发生了变化. （1）在这个变化中，自变量是__________，因变量是__________；

（2）当底面半径由1 cm变化到10 cm时，圆柱的体积增加了__________cm3.

练习6. 父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了下面的表格.

根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答.

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?

（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的?

（3）你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗?

练习7. 在烧水时，水温达到100 ℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”试验时记录的数据：

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?

（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的?

（3）时间每推移2 min，水的温度如何变化?

（4）时间为8 min时，水的温度为多少?你能得出时间为9 min时水的温度吗?

（5）根据表格，你认为时间为16 min和18 min时水的温度分别为多少?

（6）为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水?

练习8. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：min）之间有如下关系（其中0≤x≤20）：

（注：接受能力值越大，说明学生的接受能力越强）

（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?

（2）当提出概念所用时间是10 min时，学生的接受能力是多少?

（3）根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为多少时，学生的接受能力最强?

（4）从表格中可知，当提出概念所用时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强?当提出概念所用时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低?

练习9. 在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定、在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值．

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

（2）当所挂物体重量为3千克时，弹簧多长？不挂重物时呢？

（3）若所挂重物为7千克时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗？

练习10. 金融危机虽然给世界各国带来不小的冲击，但某公司励精图治，决定投资开发新项目，通过考察确定有6个项目可供选择，各项目所需资金及预计年利润如下表：

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?

（2）如果投资一个4亿元的项目，那么其年利润预计有多少?

（3）如果要预计获得0.9千万元的年利润，投资一个项目需要多少资金?

（4）如果该公司可以拿出10亿元进行多个项目的投资，可以有几种投资方案?哪种方案年利润最大?最大是多少?

第二节 用表达式表示变量之间的关系

知识点一 用表达式表示两个变量之间的关系

用来表示自变量与因变量之间的关系的数学式子称为表达式，表达式是表示变量之间关系的另一种方法. 例如，若正方形的边长为x ，面积为y ，则2

x y =. 2

x y =这个表达式就是表示两个变量之间的对应关系，其中x 是自变量，y 是因变量.

提示：

（1）表示两个变量之间关系的表达式的特征：①表达式是等式；①表达式的左边是因变量，右边是关于自变量的代数式；①表达式中只含有自变量和因变量两个变量，其他是常量.

（2）写变化过程中的两个变量的表达式，实际上是根据题意中的等量关系列出方程，然后两方程变形为表达式的形式.

（3）用表格和表达式表示两个变量之间的关系有各自的优缺点：①用表格表示变量之间的关系能直接的得到变量之间某些具体的对应值，但不能反映变量的整体情况；①用表达式表示变量之间的关系简洁明了，便于分析计算，但需要通过计算才能得到所需结果.

知识点二 根据表达式求值

根据表达式求值实际上就是求代数式的值，比如2

3x y =，y 的值就是2

3x 的值. 因此我们可以利用代数式的值的方法来求值，即当2=x 时，12432332

2

=?=?==x y .

例题1. 有一本书，每20页厚1cm ，从第一页到第x 页的厚度为y cm ，则（ ）

汽油后汽车行驶的路程为x （km ），邮箱中剩油量为y （L ），则y 与x 之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（

）

A.x y 12.0=，0＞x

B.x y 12.060-=，0＞x

C.x y 12.0=，5000≤≤x

D.x y 12.060-=，5000≤≤x

练习2. 已知圆柱的高为3 cm ，当圆柱的底面半径r （cm ）由小变大时，圆柱的体积V （cm 3）随之变化，则V 与r 的关系式是（ ）

A ．V=πr 2

B ．V=3πr 2

C ．V=

3

1πr 2

D ．V=9πr 2

下列用数量x 表示售价y 的表达式中，正确的是（

）

A.y=8x+0.3

B.y=（8+0.3）x

C.y=8+0.3x

D.y=8+0.3+x

例题2. A.-2

B.-1

C.1

D.3

练习1. 在关系式43+=x y 中，当自变量7=x 时，因变量y 的值是（ ） A.1

B.7

C.25

D.31

练习2. 某地海拔高度h 与温度T 的关系可用T=21-6h 来表示（其中温度单位为℃，海拔高度单位为km ），则该地区某海拔高度为2 000 m 的山顶上的温度为（ ）

A ．15 ℃

B ．9 ℃

C ．3 ℃

D ．7 ℃

练习3. 一个长方体的体积为12 cm 3，当底面积不变，高增大时，长方体的体积发生变化，若底面积不变，高变为原来的3倍，则体积变为（）

A.12 cm3

B.24 cm3

C.36 cm3

D.48 cm3

2

7919

练习5. 如图，若输入x的值为-5，则输出的结果为（）

A.-6

B.-5

C.5

D.6

练习6. 一段导线，在0℃时的电阻为2欧，温度每增加1℃，电阻增加0.008欧，那么电阻R（欧）与温度t（℃）的关系式是（）

A.R=0.008t

B.R=2+0.008t

C.R=2.008t

D.R=2t+0.008

练习7. 汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式及自变量的取值范围是（）

A.s＝120－30t（0≤t≤4）

B.s＝30t（0≤t≤4）

C.s＝120－30t（t＞0）

D.s＝30t（t＝4）

练习8. 已知△ABC的底边BC上的高为8 cm，当它的底边BC从16 cm变化到5 cm时，△ABC的面积（）

A.从20 cm2变化到64 cm2

B.从64 cm2变化到20 cm2

C.从128 cm2变化到40 cm2

D.从40 cm2变化到128 cm2

练习9. 如图，梯形的上底长是5 cm ，下底长是11 cm.当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化.

（1）在这个变化过程中，自变量是____________，因变量是____________； （2）梯形的面积y （cm 2）与高x （cm ）之间的关系式为____________；

（3）当梯形的高由10 cm 变化到1 cm 时，梯形的面积由____________变化到____________.

练习10. 圆柱的高是10cm ，圆柱底面圆的半径为rcm ，圆柱的侧面展开图的面积为Scm 2. 圆柱侧面展开图的面积S 与圆柱底面圆的半径r 之间的表达式是____________________.

练习11. 夏天高山上的气温从山脚起每升高100 m 降低0.7①，已知山脚下的气温是23①，则气温y （①）与上升的高度x （m ）之间的关系式为__________；当x ＝500时，y ＝__________；当y ＝16时，x ＝__________. 练习12. 某市的出租车收费按里程计算，3 km 内（含3 km ）收费5元，超过3 km ，每增加1 km 加收1元，则路程3 x 时，车费y （元）与x （km ）之间的关系式是____________________．

练习13. 有一种粗细均匀的电线，为了确定其长度，从一捆上剪下1 m ，称得它的质量是0.06 kg. （1）写出这种电线长度与质量之间的表达式；

（2）如果一捆电线剪下1 m 后的质量为b kg ，请写出这捆电线的总长度.

练习14. 某市出租车车费标准如下：3 km 以内（含3 km ）收费8元；超过3 km 的部分每千米收费1.6元. （1）写出应收费y （元）与出租车行驶路程x （km ）之间的关系式（其中x≥3）. （2）小亮乘出租车行驶4 km ，应付多少元？

（3）小波付车费16元，那么出租车行驶了多少千米？

练习15. 如图，在三角形ABC中，底边BC=4 cm，高AD=3 cm，E为AD上一动点，当点E从点D向点A 运动时，△BEC的面积发生了变化.

（1）在这个变化过程中，哪些量是变量，哪些量是常量？

（2）如果设DE的长为x （cm），△BEC的面积为y（cm2），怎样用含x的式子表示y？

练习16. 自行车每节链条的长度为2.5 cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8 cm.

（1）观察图形，填写下表：

（2）如果x节链条的长度为y（cm），那么y与x之间的关系式是什么?

（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（安装后）总长度是多少?

练习17. 某超市为方便顾客购买，将瓜子放入包装袋内出售，其质量x（kg）与售价y（元）之间的关系如

（1）观察表格，写出y与x之间的关系式.

（2）买8 kg这种瓜子需花费多少元?

（3）用100元去买这种瓜子，最多能买多少千克?

练习18. 大陆相关部门于2008年8月1日起对原产台湾地区的15种水果实施进口零关税措施，扩大了台湾水果在大陆的销售．某经销商销售了台湾水果凤梨，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：

设当单价从38元/千克下调了x元时，销售量为y千克；

（1）写出y与x间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；

（2）如果凤梨的进价是20元/千克，某天的销售价定为30元/千克，问这天的销售利润是多少？

练习19. 如图，将长为50 cm，宽为10 cm的长方形白纸粘合起来，黏合部分宽为2 cm.

（1）求5张白纸黏合后的长度；

（2）设x张白纸黏合后的长度为y cm，写出y与x的关系式，并求出当x＝10时，y的值.

练习20. 已知：功率×做功时间=力×位移。设功率为P（瓦），做功时间为t（秒）。一辆拖车用9000牛的力把一辆陷在水沟里的汽车拖出6米，所用时间为t秒。

（1）求P关于t的函数关系式；

（2）如果这辆拖车只用6秒，就把这辆陷在水沟里的汽车拖出6米，问拖车的功率是多少千瓦？

（3）如果改用功率为 1.44千瓦的拖车用同样的力把这辆陷在水沟里的汽车拖出6米，则需要多少时间

第三节用图像表示变量之间的关系

知识点一用图像表示变量之间的关系

1. 用图像表示变量之间的关系的方法叫图象法，它是表示变量之间关系的第三种方法.

2. 用图像表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.

3. 要从图像中获取信息，我们必须结合具体情境理解图像上的点所表示的意义. 理解图像上的某一点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示那个变量；二要看该点所在的水平方向、竖直方向的位置，这样才能得到该点的准确意义. 通常过图像上的一点向横轴做垂线，其垂足表示的数据就是自变量的一个区直，然后过该点再向纵轴做垂线，其垂足表示的数据就是与自变量的值对应的因变量的值.

4. 读图像时，应注意横、纵坐标的对应值和图像变化中的两个变量存在的对应关系，善于观察变化的趋势.

5. 图像法的特点是形象、只管，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质，其不足是由图像法难以得到准确的对应值.

6. 描述变量之间关系的方法：表格、表达式、图象. 它们的特点如下：

知识点二速度与时间图像解读

横轴表示时间，纵轴表示速度. 如图所示，

①从左向右上升的线代表物体从速度0开始加速运动.

①与横轴平行的线代表物体匀速运动.

①从左向右下降且与t轴相交的线代表物体减速运动到停止.

提示：在速度与时间的图像中反映的是速度与随时间变化的情况，不能误认为真实的行驶轨迹.

知识点三路程与时间图像解读

横轴表示时间，纵轴表示路程. 如图所示，

①自左向右上升的线代表物体匀速运动.

①与横轴平行的线代表物体停止运动.

①自左向右下降且与横轴相交的线代表物体反向运动直至回到原地.

曲线型图象表示的变量间关系

例题1. 用固定的速度往如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是（）

A. B. C. D.

练习1. 如图是某市2012年某天的气温随时间变化的图象，那么这天（）

A.最高气温是10℃，最低气温是2℃

B.最高气温是10℃，最低气温是-2℃

C.最高气温是6℃，最低气温是-2℃

D.最高气温是6℃，最低气温是2℃

练习2. 如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（）

A.凌晨4时气温最低为﹣3℃

B.14时气温最高为8℃

C.从0时至14时，气温随时间增长而上升

D.从14时至24时，气温随时间增长而下降

练习3. 已知某函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：

（1）确定自变量的取值范围；

（2）求当x=-4，-2，4时，y的值是多少？

（3）求当y=0时，x的值是多少？

（4）当x取何值是，y的值最大？当x取何值时，y的值最小？

（5）当x的值在什么范围时，y随x的增大而增大？当x的值在什么范围时，y随x的减小而减小？

练习4. 用一水管向某容器内持续注水，设单位时间内注入的水量保持不变；在注水过程中，表示容器内水深h与注水时间t的关系有如图所示的A，B，C，D四个图象，它们分别与E，F，G，H四种容器中的其中一种相对应，请你把相对应容器的字母填在下面的横线上.

A→____________；B→____________；C→____________；D→____________.

练习5. 下图是某地在一天中气温随时间变化的图象，根据图象回答问题：

（1）最高气温与最低气温分别是多少?

（2）什么时间气温最高?什么时间气温最低?

（3）什么时间内气温是上升的?

（4）什么时间内气温是下降的?

折线形图象表示的变量间的关系

例题2. 小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间x（分钟）之间关系的大致图象是（）

A. B. C. D.

练习1. 星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60 min后回到家。图中的折线段OA—AB—BC是她出发后所在位置离家的距离y（km）与行走时间t（min）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（）

练习2. 折线图描述了某地某日的气温变化情况。根据图中信息，说法错误的是（）

A.4：00气温最低

B.6：00气温为24℃

C.14：00气温最高

D.气温是30℃的时刻为16：00

练习3. 如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知：日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润. 下列结论错误的是（）

A.第24天的销售量为200件

B.第10天销售一件产品的利润是15元

C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等

D.第30天的日销售利润是750元

练习4. 如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（）

A.乙前4秒行驶的路程为48米

B.在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒

C.两车到第3秒时行驶的路程相等

D.在4至8秒内甲车的速度都大于乙车的速度

练习5. 如图，正方形ABCD的边长为2 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止。设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）