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关于高等代数学习的感想

数学是一门需要耐心与细心的学科，很多同学一提到数学就觉得头疼。的确，数学繁复的证明，难记的公式，复杂的计算让很多同学望而生畏，正因为如此，一旦经过自己的努力解出一道数学题，那种兴奋的感觉是难以形容的。我想，数学的魅力就在于此吧。

大一下学期，我们开设了高等代数这门课程。高等代数主要是对多项式、行列式、矩阵、线性空间、线性变换等进行学习。记得高等代数第一节课时，我就对高代复杂且枯燥的证明失去信心，看着密密麻麻的证明和叙述，我完全没有看下去的兴趣。高代老师段辉明看出了我们的困惑，她耐心地引导我们，尽量使ppt内容简洁易懂，活跃课堂气氛，使同学们在幽默轻松的环境下学习。渐渐地，高代的课堂上充满了欢乐，同学们对高代的兴趣也逐渐提升，大家的学习成绩自然也提高了不少。

经过对高代一学期的学习，我总结出以下的学习技巧：1、按部就班。数学是环环相扣的一门学科，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。所以，平时学习不应贪快，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题。2、强调理解。概念、定理、公式要在理解的基础上记忆。每新学一个定理，尝试先不看答案，做一次例题，看是否能正确运用新定理；若不行，则对照答案，加深对定理的理解。3、基本训练。学习数学是不能缺少训练的，平时多做一些难度适中的练习，但要避免陷入死钻难题的误区，要熟悉常考的题型，训练要做到有的放矢。4、标出重点。平常看题看课本的时候,

碰到有好的解题方法或重点内容,可以用鲜艳的彩笔划出来,以便以后复习时能一目了然。5、学会做笔记。做笔记是一种与动手相结合的学习行为，有助于对知识的理解和记忆，是一种必须掌握的技能。学习笔记主要有课堂笔记、读书笔记和复习笔记等，课堂笔记应注意结合教材进行记录，不能全抄全录老师的板书。读书笔记应注意做好圈点勾批，所谓"不动笔墨不读书"。复习笔记应注意做好知识的归纳整理，理清知识结构和联系。还需要指出的是，不论哪种笔记都要做好疑难问题的记录，便于集中处理。做好课堂笔记是学好高等代数必不可少的环节，它为下一步复习提供资料。做课堂笔记是有技巧的，要记那些书本里没有的东西、具有概括性的和一些技巧性的解题方法、常见的题型，这为你以后考试复习提供很好的资料。6、要学好高等代数最基本的就是要做好课前预习，做好课堂笔记及讲究解题的方法、做好课后的复习。这三个步骤是学好高等代数的重要环节。做好课前预习是学好高等代数的重要环节，它为做好后面两个步骤打下基础。我们应对各个章节有一个总的系统的认识，从结构上去把握它，在头脑中初步形成知识体系的框架，对它所包含的内容做一个总体及全面的了解，然后逐步细化、深化，由浅入深，由易到难，这样我们才能把握全局，运筹帷幄，分清主次，使学习有的放矢，对老师要讲的内容，都能知道知识点的意义，从而能使听课收到更好的效果。课后及时复习可以巩固你所学的内容，使你对所学内容进一步了解。7、做好及时复习。在你学完某节内容的当天就得回去看所学的内容，结合书本知识和课堂笔记对所学的内容进行深一步的研究，及时找出不能

理解的地方，反复看书慢慢理解它，这样你就能将你学过的知识慢慢地消化变成自己的东西。此后，再过一两个星期你就得回去乍你以前学过的内容，温习那些内容。俗话说：“温故而知新”。到考试时你就不会那么紧张，因为你已经胸有成竹了。

高等代数并不可怕，可怕的是你自己没有信心和勇气去学好它。其实，每一门学科都有其固有的规律和结构，以及与这些规律和结构相适应的思想方法，掌握好的学习方法，加上自己刻苦努力，相信你一定能在高等代数的海洋中自由徜徉。

(完整版)高等代数多项式习题解答.doc

第一章多项式习题解答1.用g( x)除f ( x)，求商q( x)与余式r ( x) . 1）f ( x) x3 3x2 x 1, g (x) 3x2 2x 1 3x 2 2x 1 x3 3x 2 x 1 1 x 7 x3 2 x2 1 x 3 9 3 3 7 x2 4 x 1 3 3 7 x2 14 x 7 3 9 9 26 x 2 9 9 1 x 7 , r ( x) 26 x 2 q( x) 9 9 . 3 9 2）f ( x) x4 2x 5, g(x) x2 x 2 x2 x 2 x 4 0x3 0 x2 2 x 5 x2 x 1 x4 x3 2x2 x3 2x2 2x x3 x2 2x x2 4x 5 x2 x 2 5x 7 q( x) x2 x 1, r ( x) 5x 7 . 2.m, p, q 适合什么条件时，有 1）x2 mx 1| x3 px q x 2 mx 1 x3 0 x2 px q x m x3 mx2 x mx2 ( p 1) x q m x2 m2 x m (m2 p 1) x ( q m) 当且仅当 m2 m 时x2 1| x3 px q .

本题也可用待定系数法求解.当x2 mx 1| x3 px q 时，用 x2 mx 1 去除x3 px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为x q .于是有x3 px q ( x q)( x2 mx 1) x3 (m q)x2 (mq 1) x q . 因此有 m2 p 1 0, q m . 2）x2 mx 1| x4 px2 q 由带余除法可得 x4 px2 q ( x2 mx 1)( x2 mx p 1 m2 ) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 当且仅当 r ( x) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 0 时 x2 mx 1 | x4 px2 q .即 m(2 p m2 ) 0 ，即m 0, 或 p m2 2, q 1 p m2 0 q 1 p, q 1. 本题也可用待定系数法求解 .当x2 mx 1| x4 px2 q 时，用 x2 mx 1 去除x4 px2 q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为x2 ax q .于是有 x4 px2 q (x 2 ax q)( x2 mx 1) x4 (m a) x3 (ma q 1) x2 (a mq) x q. 比较系数可得 m a 0, ma q 1 p, a mq 0. 消去 a 可得 m 0, 或p m2 2, q 1 q 1. p, 3.求g( x)除f ( x)的商q( x)与余式r ( x) . 1）f ( x) 2x5 5x3 8x , g (x) x 3; 解：运用综合除法可得 3 2 0 5 0 8 0 6 18 39 11 7 327 2 6 1 3 39 109 327 商为 q(x) 2x4 6x3 13x2 39 x 109 ，余式为 r (x) 327.

高等代数北大版课程教案-第5章二次型

第五章 二次型 §1 二次型的矩阵表示 一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示 二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性 替换和矩阵的合同. 三 教学重点：矩阵表示二次型 四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程： 定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式 n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,( n n x x a x a 2222222 (2) n nn x a (3) 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型. 例如：2 3 322231212 13423x x x x x x x x x 就是有理数域上的一个3元二次型. 定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4) 称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0 ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的. 二次型的矩阵表示：

令 ji ij a a ，j i 由于 i j j i x x x x ,那么二次型(3)就可以写为 n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,( n n x x a x a x x a 2222221221 …+2 2211n nn n n n n x a x x a x x a n i n j j i ij x x a 11 (5) 把(5)的系数排成一个n n 矩阵 nn n n n n a a a a a a a a a A 21 22221 112 11 它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a ，n j i ,,2,1, ，所以 A A . 我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的. 令 n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来， n x x x AX X 2 1 nn n n n n a a a a a a a a a 21 22221 11211 n x x x 21 n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x 221 122221 21121211121 n i n j j i ij x x a 11. 故 AX X x x x f n ),,,(21 .

中小学英语教学衔接课题研究方案

创新发展,和谐衔接 ——中小学英语教学衔接课题研究方案分科切入教学充分发挥我校十二年一贯制办学优势，以整合各学段教育资源一体化为着眼点，以新理念课堂和良好的习惯培养为着力点，构建“双线合一、三段一体、无缝对接、整体发展”的教育教学新格局；立足于人的可持续发展、社会可持续发展的大教育观和整体性育人模式，加速推动学校从传统的育人观向新的育人观的转变，打造以培养可持续发展价值观为核心的教育教学理念，其目的是帮助教育者、受教育者，形成可持续发展所需要的科学知识、专业能力、学习能力、生活方式与价值观念，既能满足现今发展的需要，又能促进其身心更加和谐、均衡、持久的发展，从而具有全面、长久、强劲的发展潜力，更好地促进学校的可持续发展，为促进社会、国家的可持续发展培养、输送更多的栋梁之才。 ————李凤伟 一、课题提出的缘由 教育是一种思想，教育的创新首先是思想观念的更新。但是无论怎样改革，都必须遵守

国家的法律法规，都必须坚持依法办学，遵循教育教学规律、学生成长规律，始终对每个学生负责，用制度保障学生的合法权益。要重视基础教育，它是孩子们人生的奠基。要力求用最科学的教育教学方法，塑造学生健康向上的人生观、价值观；要力求用最先进的教育教学思想，现代的教育教学手段，规范的办学行为，科学的组织管理，办出一流特色、一流质量，全面推进素质教育，全力打造“学生满意、家长放心、社会认可”的品牌特色学校。社会生活的信息化和经济的全球化，使英语的重要性日益突出。我国英语学习的起始时间提前到了小学低年段，甚至还有一部分学前儿童也已经在接触英语。然而现行初中英语教材和小学英语教材内容有很多重复的地方，且学生升入初中后，中学老师对小学英语教学的具体情况并不完全了解，往往又从A、B、C开始作零起点的教学，结果部分学生开始产生厌倦心理，丧失学习兴趣。而中学老师又在这样的教学过程中，浪费了大量的时间和精力，同时面对提早出现的两极分化现象也感到无从着手。造成上述现象的原因是多方面的，但我们认为中小学英语教学上的缺乏衔接或衔接不当乃是此问题的瓶颈所在。为了避免重复劳动和资源浪费，使各个学习阶段顺畅自然的过渡，合理有效的衔接，我们开始了中小学英语衔接教学的初步探索和实践。我校决定将“创新发展,和谐衔接”中小学英语衔接发展创新教学课题作为研究课题，并以此推进中小学英语衔接发展创新教学和素质教育的实施。 二、课题的界定 本课题所界定的“中小学”是指小学3--6年级和初中七年级，所界定的“衔接”是指小学英语教学和初中英语教学的衔接。这里所说的“衔接”不仅包括中小学英语教师的教育思想、教学理念、教学内容、教学方法和手段等的衔接和发展，还包括中小学英语教学方法、教学情景、学习环境及其学生英语学习习惯和学习方法。 三、课题研究的内容 本课题分设“中小学英语教师专业素养和教学能力研究”、“中小学英语协作教学模式研究”和“中小学生英语学习策略研究”三部分。其中： 第一部分研究方向为如何创设英语学习和实践条件和机会，开设校本课程，切实提高我校中小学英语教师自身的英语听、说、读、写、译能力和课堂教学能力水平等；本课题的研究旨在因地制宜的开设外教英语口语课程，创设英语学习和实践条件和机会，有效提我校中小学英语教师的自身专业素养，特别是要克服英语口语表达中的“乡音”（即语言的适用性、正确性和流畅性等），切实提高我校中小学英语教师自身的英语听、说、读、写、译能力。在教师英语专业素养普遍递升的基础上，研究和发展教师的英语课堂实际教学能力水平，进一步提高中小学英语教师的教学基本功，在量的积累中形成高层次的教学能力，提高课堂教学的活力，提高我校中小学英语教学效率和质量。

高等代数多项式习题解答

第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9731929269 791437134373 132131232223232 ----+----+----+-x x x x x x x x x x x x x x 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 1 752 5 422225200222223232 342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 m x m q x p m m x m x m q x p mx x mx x q px x x mx x --++++--+++--++++-+) ()1()1(01 222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.

本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 )1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++ 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--0 10)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或???==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 )1)((2224++++=++mx x q ax x q px x .)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++= 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r . 1）;3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f 解：运用综合除法可得 327 1093913623271170 83918605023--------- 商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ，余式为.327)(-=x r

高等代数课程的基本内容与主要方法

2010年第2期 牡丹江教育学院学报 No 12,2010 (总第120期) JOU RN A L OF M U D AN JIA N G CO LL EG E OF EDU CA T IO N Serial N o 1120[收稿日期]2009-10-25 [作者简介]戴立辉(1963-),男,江西乐安人,闽江学院教授,研究方向为矩阵论;林大华(1959-),男,福建福州人,闽江学院副教授,研究方向为代数学;吴霖芳(1979-),女,福建永安人,闽江学院讲师,硕士,研究方向为微分方程;陈翔(1980-),男,福建连江人,闽江学院讲师,硕士,研究方向为代数环论。 [基金项目]/十一五0国家课题/我国高校应用型人才培养模式研究0数学类子课题项目(F IB070335-A2-03)。 高等代数课程的基本内容与主要方法 戴立辉 林大华 吴霖芳 陈 翔 (闽江学院,福建 福州 350108) [摘 要] 对高等代数的基本内容与主要方法进行归纳和总结,使其所涉及的知识点之间的相互关系清晰明了,同时体现高等代数课程要求学生掌握的知识体系。 [关键词] 高等代数;基本内容;主要方法[中图分类号]O 15 [文献标识码]A [文章编号]1009-2323(2010)02-0146-03 高等代数是高等学校数学专业的一门必修的专业基础课程,它是由多项式理论和线性代数两部分组成。多项式部分以一元多项式的因式分解理论为中心,线性代数部分主要包括行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、K -矩阵与若尔当标准形、欧几里得空间等。 通过高等代数课程的教学,要求学生掌握一元多项式及线性代数的基本知识和基础理论,熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法,理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系,提高抽象思维、逻辑推理及运算能力。根据我们多年的教学经验,本文拟对高等代数的基本内容与主要方法进行归纳和总结,使其所涉及的知识点之间的相互关系清晰明了,同时也体现出了高等代数课程要求学生掌握的知识体系。 一、多项式 一元多项式理论主要讨论了三个问题:整除性理论,因式分解理论和根的理论。其中整除性是基础,因式分解是核心。 (一)基本内容 1.整除性理论)))整除,最大公因式,互素。 2.因式分解理论)))不可约多项式,典型分解式,重因式。 3.根的理论)))多项式函数,根的个数,根与系数的关系。 (二)主要方法 1.多项式除多项式的带余除法。 2.用辗转相除法求两个多项式的最大公因式,最大公因式的判别法。 3.两多项式互素的判别法。 4.不可约多项式的判别法,多项式标准分解式求法,重因式的判别法。 5.多项式函数值的求法,x -c 除多项式f (x )的综合除法,多项式按x -x 0的方幂展开的方法。 6.多项式根的判别法,多项式重根的判别法。 7.整系数多项式有理根的求法,艾森斯坦判断法。二、行列式 行列式是线性方程组理论的一个重要组成部分,是一种重要的数学工具。 (一)基本内容 n 级排列及其性质,n 级行列式的概念,行列式的性质,行列式的计算,克拉默规则。 (二)主要方法 1.求一个排列的逆序数的方法。 2.行列式的计算方法:定义法,性质法,化为三角形行列式的方法,降级法(按一行或一列展开法、拉普拉斯展开法),化为范得蒙行列式的方法,递推法,加边法,数学归纳法,拆项法。 3.一些特殊行列式的计算方法)))三角形行列式,ab 型行列式,范得蒙行列式,爪型行列式,三对角行列式。 4.克莱姆规则。三、线性方程组 /线性方程组0这部分在理论上解决了线性方程组有解的判定、解的个数及求法、解的结构等。 (一)基本内容 1.向量的线性关系)))n 维向量,向量的线性运算,线性组合,线性表出,线性相关,线性无关,极大线性无关组,向量组等价,向量组的秩。 2.矩阵的秩)))矩阵的秩=矩阵行(列)向量组的秩,即矩阵的行(列)秩=矩阵不为零的子式的最大级数,初等变换不改变矩阵的秩,用初等变换计算矩阵的秩。 3.线性方程组的解的情形)))线性方程组有解的判定,线性方程组解的个数,齐次线性方程组解的情形。 4.线性方程组解的结构)))齐次线性方程组的基础解系,齐次线性方程组解的表示,非齐次线性方程组解的表示。

高等代数教学大纲

课程编号：0701110310ADAL 《高等代数(1)》课程教学大纲 High Algebra 5学分 80学时 一、课程的性质、目的及任务 高等代数是数学一级学科下各专业必修的、重要的基础课程，该课程对学生的数学素质与数学思维能力的培养具有重要作用。通过该课程的教学，使学生掌握系统的线性代数理论，了解基本的代数知识与代数结构，掌握抽象的，严格的代数方法。高等代数（上）主要研究多项式理论、行列式理论、矩阵理论、线性方程组的解法和解的判定与结构理论、线性空间理论。 二、适用专业 数学与应用数学专业、信息与计算科学专业。 三、先修课程 初等数学 四、课程的基本要求 通过本课程的学习，学生应达到如下要求： 掌握多项式的整除、最大公因式及根的概念，熟练掌握求两个多项式的最大公因式的方法，掌握有理系数不可约式项式的方法.掌握行列式的定义与性质，能熟练应用行列式的定义及性质计算并证明行列式，掌握用行列式解线性方程组的方法. 掌握矩阵的概念与运算，掌握可逆矩阵的概念、性质及判别方法，会用初等矩阵求可逆矩阵，并会用分块矩阵的方法求某些可塑矩阵的逆矩阵. 掌握矩阵秩的概念及线性方程有解的判别方法，会用矩阵的初等变换解线性方程组. 掌握线性空间的概念和欧式空间的概念、向量的线性相关性及线性空间的基、维数与坐标的概念，会求齐次线性方程组的解空间. 五、课程的教学内容 （一）教学内容 1．一元多项式理论 一元多项式的概念与性质，环的定义，带余除法，最大公因式，不可约多项式，唯一因式分解定理，重因式，多项式的根多项式函数，代数基本定理，实系数多项式，有理系数多项式。多元多项式部分建议不讲 2．行列式理论 内容包括：矩阵的基本介绍，行列式的定义和性质，行列式的完全展开， Garmer 法则。 3．矩阵理论 内容包括：矩阵的运算，可逆矩阵，矩阵的分块，矩阵的初等变换与初等矩阵，矩阵与线性方程组。 4．线性空间及欧式空间

人教版-中小衔接英语三年级下册课文

中小衔接英语三年级下册课文 Unit 1 Welcome back to school! Welcome! Where are you from? I’m from the UK. Unit 2My family. Who’s that man? He’s my father. Who’s that woman? She’s my mother. Is she your mother? Yes, she is. Is he your father? No, he isn’t. He’s my teacher! Unit 3At the zoo. It’s so tall! Come here, children! Look at the elephant. It has a long nose. It has small eyes and big ears. Unit 4Where is my car? Let’s go home! Where is my pencil box? It’s in your desk. Silly me! Is it in your bag? No, it isn’t./ Yes, it is. Have a good time! Unit 5 Do you like pears? Honey, let’s buy some fruit. Do you like oranges? No, I don’t./ Yes, I do. Sorry, I don’t like grapes. Me, neither. Unit 6How many? How many kites do you see? The black one is a bird! How many crayons do you have? Open it and see! Recycle 1 1、Who’s that boy? He’s my friend, John. 2、Hi, John. This is my friend, Wang Tong. Nice to meet you, Wang Tong! Nice to meet you, too. Where are you from? I’m from the USA. 3、You’re tall! Yes, I like sports. Let’s play! OK! Recycle 2 1、Look! So much fruit! I can get the grapes. I’m big and tall. I can get the bananas. I’m short. I can get the strawberries. 2、13 bananas! 20 grapes… 3、We have grapes, strawberries, apples, and…eh? Where are the bananas? 4、Sorry! I like bananas. Hey! I like bananas, too. 1

《高等代数一》知识点

高等代数知识点 第一章 多项式 1． 数域的定义、常见数域 2． （系数在）数域P 上的多项式的定义 3． 多项式相等 4． 多项式的次数、零多项式和零次多项式 5． 一元多项式的运算（加减乘）、运算律、多项式环、次数定理 6． 整除的定义：()()g x f x ?()()()f x g x h x =（证明，不整除则用反证法）、因式和倍式 7． 整除的性质： （1） 一些特殊的整除性（0，常数，自身） （2） 整除的反身性 （3） 整除的传递性 （4） 整除的组合性 8． 带余除法()()()()f x q x g x r x =+、综合除法 9． 整除的判定法则：余式为零 10． 整除不受数域的影响 11． 公因式及最大公因式的定义、()()(),f x g x ，()0,()()g x g x =，()0,00= 12． 最大公因式的求法（辗转相除法）P44：5 13． 最大公因式可以表示为()(),f x g x 的一个组合()()()()()d x u x f x v x g x =+——Ｐ45：8 14． 互素的定义 15． 互素的相关定理（证明）P45：12、14 （1） ()()(),11()()()()f x g x u x f x v x g x =?=+ （2） ()()()()()()()(),1,f x g x f x g x h x f x h x =? （3） ()()()()()()() ()()()121212,,,1,f x g x f x g x f x f x f x f x g x =? 16． 不可约多项式的定义（次数大于等于1） 17． 平凡因式、不可约等价于只有平凡因式 18． 可约性与数域有关 19． 不可约多项式的性质： （1） ()p x 不可约，则()cp x 也不可约 （2） ()p x 不可约，()[],f x P x ?∈ ()()|(),(),()1p x f x or f x p x ?= （3） ()p x 不可约，()()()p x f x g x ()()()|(),p x f x or p x g x ? 20． 标准分解式1212()()()()s r r r s f x cp x p x p x =

(完整word版)高等代数教案北大版第六章.doc

授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点 教学方法与 手段 教 学 过 程 第六章线性空间第一讲集合映射 2授课类型讲授通过本节的学习, 掌握集合映射的有关定义、运算, 求和号与乘积号的定义 集合映射的有关定义 集合映射的有关定义 讲授法启发式 1.集合的运算 , 集合的映射 ( 像与原像、单射、满射、双射 ) 的概念 定义 : ( 集合的交、并、差 ) 设S是集合 , A与B的公共元素所组成的集合 成为 A 与 B 的交集,记作A B ；把 A 和B中的元素合并在一起组成的集合成 为 A 与 B 的并集,记做 A B ；从集合 A中去掉属于 B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为 A 与B的差集,记做A B . 定义 : ( 集合的映射 ) 设 A B 为集合 . 如果存在法则 f , 使得 A 中任意元素 、 a 在法则f下对应B中唯一确定的元素( 记做f (a) ), 则称f是A到B的一个映射 , 记为 f : A B, a f (a). 如果 f (a) b B , 则 b 称为a在 f 下的像,a称为 b 在 f 下的原像. A 的所有元素在 f 下的像构成的 B 的子集称为 A 在 f 下的像,记做 f ( A) ,即f ( A) f ( a) | a A . 若 a a' A, 都有 f (a) f (a'), 则称 f 为单射.若 b B, 都存在a A , 使得f (a) b ,则称 f 为满射 . 如果f既是单射又是满射, 则称f为双射 , 或称一一对应 . 2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义

为了把加法和乘法表达得更简练 , 我们引进求和号和乘积号 . 设给定某个数域 K 上 n 个数 a 1, a 2 , , a n , 我们使用如下记号 : n n a 1 a 2 a n a i , a 1a 2 a n a i . i 1 i 1 当然也可以写成 a 1 a 2 a n a i , a 1 a 2 a n a i . 1 i n 1 i n (2) 求和号的性质 容易证明 , n n n n n n m m n a i a i , (a i b i ) a i b i , a ij a ij . i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 j 1 j 1 i 1 事实上 , 最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状 : a 11 a 12 a 1 m a 21 a 22 a 2 m a n1 a n2 a nm 分别先按行和列求和 , 再求总和即可 . 讨论、练习与 作业 课后反思

高等代数多项式习题解答(供参考)

第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1. 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--010)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或? ??==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p

高等代数知识点归纳.doc

A , i j , a i 1 A j1 a i 2 A j 2 L a in A jn 0, i j . A O A A O O B = B A B O B O A = A B O ( 1)mn A B B O a 1n O a 1n a 2n 1 a 2 n 1 ( 1 n ( n 1) 2 N N ) a n1 O a n1 O a 1n a 2 n K a n1 范德蒙德行列式： 1 1 L 1 x 1 x 2 L x n x 12 x 22 L x n 2 x i x j M M 1 j i n M x n 1 x n 1 L x n 1 1 2 n 代数余子式和余子式的关系： M ij ( 1)i j A ij A ij ( 1)i j M ij A 11 B 11 A 11 B 11 n A n 分块对角阵相乘： A , B AB , A 11 A 22 A n B 22 A 22 B 22 22 A B T A T C T 分块矩阵的转置矩阵： C D B T D T A 11 A 21 L A n1 A * A ij T A 12 A 22 L A n2 ， A ij 为 A 中各个元素的代数余子式 . M M M A 1n A 2n L A nn AA * A * A A E , A * n 1 A 1 1 A , A . A * BA * 分块对角阵的伴随矩阵：

矩阵转置的性质：( A T )T A 矩阵可逆的性质：( A 1) 1 A ( A ) n 2 伴随矩阵的性质： A A n 若 r ( A) n r ( A )1 若 r ( A) n 1 0 若 r ( A) n 1 1 B 1 a1 A B A 1 ( AB)T B T A T A T A ( A 1 )T ( A T ) 1 ( A T ) ( A )T ( AB) 1 B 1 A 1 A 1 1 ( A 1 )k ( A k ) 1 A k A ( AB) B A A n 1 ( A 1 ) ( A ) 1 A ( A k ) ( A ) k A A AB A B A k A k AA A A A E （无条件恒成立） 1 1 1 1 a1 a1 a3 a2 1 a2 1 a2 a 2 a3 1 a3 1 a3 a1 矩阵的秩的性质： ① A O r ( A) ≥1; A O r ( A) 0 ;0≤ r ( A m n ) ≤ min( m, n) ④若A m n , B n s ,若r ( AB) 0 r ( A) r ( B) n 的列向量全部是 Ax 的解 B 0 ⑤r ( AB) ≤min r ( A), r (B) ⑥若 P 、Q可逆，则 r ( A) r (PA) r ( AQ) r ( PAQ) ；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩 . Ax 只有零解 ⑦若 r ( A m n ) n r ( AB) r ( B) ；在矩阵乘法中有左消去律AB O B O A A B A C B C 若 r ( B n s ) n r ( AB) r ( B) 在矩阵乘法中有右消去律 . B 若 ( ) 与唯一的E r O 等价，称E r O 等价标准型 . ⑧为矩阵的 r A r A O O O O A ⑨r ( A B) ≤ r ( A) r (B) , max r ( A), r ( B) ≤r ( A, B)≤r ( A) r (B) ⑩ A O O A ( ) ( ) , A C ( ) ( ) r B B O r A r B r B r A r B O O

高等代数教学大纲

中国海洋大学本科生课程大纲 课程属性：学科基础 课程性质：必修 一、课程介绍 1.课程描述： 高等代数是数学科学学院各专业的重要专业必修基础课，是学习其它数学课程的主要先修课之一。高等代数的内容主要包含两个模块：第一模块，方程和方程组的求解问题，主要内容有：多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型；第二模块，线性空间相关理论，主要内容有：线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间。高等代数内容包含理工科所开设的线性代数的主要内容。 2.设计思路： 开设高等代数课程的目的是：一方面，使数学院本科生在中学所学初等代数的基础上继续学习更加高深的代数学知识，使其掌握系统的经典代数内容，为学习其它数学课程（如数值代数、近世代数、计算方法等等）提供坚实的代数基础知识；另一方面，通过本课程的学习，逐步培养学生的数值计算能力、逻辑分析能力和抽象思维能力，提高学生在数学思想、数学方法方面的修养。 19世纪以前的代数研究内容主要是解方程和方程组以及由此产生的相关理论，称为经典代数；19世纪以后的代数主要研究一些抽象代数结构，如群、环、域、模等，称为抽象代数或近世代数。高等代数课程的内容主要是经典代数内容，涵盖学习其它数学课程所要求的基本的代数基础知识。 - 2 -

高等代数的内容基本按照经典代数的发展编排的，主要有两条主线：第一，方程和方程组求解问题，第二，线性空间相关理论。第一条主线的主要内容有：多项式理论——对应高次方程，其求解需要降次，需研究多项式的因式分解；行列式理论——求解线性方程组的主要工具之一；线性方程组理论——解的判定与求法；矩阵理论——解线性方程组时用到的矩阵运算与性质；二次型理论——二次齐次方程的化简与对称矩阵。第二条主线的主要内容多是解析几何中内容的推广，主要有：线性空间——几何空间的推广与抽象；线性变换——线性空间中点的运动的描述；λ-矩阵——证明线性变换的矩阵与其标准形相似；欧几里得空间——带有长度、夹角与距离等度量性质的线性空间，是几何空间的推广。 3.课程与其他课程的关系： 先修课程：无； 并行课程：数学分析、空间解析几何； 后置课程：近世代数。高等代数与近世代数内容恰好实现对接，完整体现了代数学的基本内容，联系密切。 二、课程目标 本课程目标是：一方面使学生系统地掌握经典代数的内容，包括多项式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间等，为学习其它数学课程打下坚实的代数知识基础；另一方面，通过本课程的学习，培养学生的数值计算能力、逻辑分析能力和抽象思维能力，提高学生运用数学思想、数学方法分析问题、解决问题的能力。 到课程结束时，学生应达到以下几方面要求： （1）知识掌握良好。会判断多项式的可约性，能计算两多项式的最大公因式；会计算行列式；会判定线性方程组是否可解，掌握线性方程组解的结构；熟练掌握矩阵的各种运算；可将二次型化为标准形；掌握线性空间基底理论以及子空间的运算；会写线性变换的矩阵，会判定矩阵是否对角化、准对角化，并能求出其相应对角形与准 - 2 -

关于高等代数的一些解题方法总结

高等代数论文 题目：有关二次型的总结 学院：理学院 专业：信息与计算科学 姓名：王颀 学号：１１２７１０１４ 2011年12月30日

学习高等代数,最好的方法是多进行总结分类,将知识系统化。下面那二次型这章来进行操作。 二次型的问题来源于解析几何： 平面解析 一次曲线：Ax + By + C = 0 (直线)； 二次曲线：Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey = F → 经平移 变换化，旋转变换化成为Ax 2+ By 2 = d (二次齐次多项式) → 可根据二次项系数确定曲线类型（椭圆、抛物线、双曲线等）； 空间解析 一次曲面： Ax + By + Cz + D = 0 (平面)； 二次曲面： （平移后不含一次项）→ Ax + By + Cz + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz = G (18-19世纪上半期表示方法) → 通过方程变形，选定主轴方向为坐标轴，可化简为 a/x/2 + b/y/2 + c/z/2 = d/ → 据二次项系数符号确定二次曲面的分类 更一般的问题： 数域P 上含n 个变量x 1,x 2,…,x n 的二次齐次多项式如何化成平方和形式，即标准型问题，是18世纪中期提出的一个课题 了解了二次型的相关背景，我们进行对课本上二次型的内容进行总结。 二次型这章内容如下 5.1 二次型及其矩阵表示 5.2 二次型的标准形 5.3 惯性定理和规范形 5.4 实二次型的正定性 在这章的学习中，我们需要学会二次型的矩阵表示，求解矩阵的秩，通过线性替换将二次型化为标准型，了解矩阵合同，规范型，掌握正定二次型的判定方法。 例１.二次型??? ? ?????? ??=21 21213201),(),(x x x x x x f 的矩阵为（ 3 ）。 (1)、102 3?? ??? (2)、1 22 3?? ??? (3)、1113?? ??? (4)、1 113-?? ?-?? 注意对于任意一个二次型，都唯一确定这一个对称矩阵，这个对称矩阵才叫做二次型的矩阵。二次型的秩就是矩阵的秩。 例２.将二次型2212311213233(,,)246f x x x x x x x x x x x =+-++化为标准形，并写出所用的非退化线性替换。 解：用配方法： 2 2 2 2 12311232323233 (,,)[2(2)(2)](2)6f x x x x x x x x x x x x x x =+-+---++ 2221232233(2)103x x x x x x x =+--+- 2 2 2 2 12322333 (2)(1025)22x x x x x x x x =+---++

高等代数知识结构

高等代数知识结构

二、高等代数知识结构内容 (一)线性代数 工具:线性方程组 1 1 列时, a 性质1 性质2、一行得公因子可以提出来(或以一数乘行列式得一行就相当于用这个数乘此行列式。 性质3、如果某一行就是两组数得与,那么这个行列式就等于两个行列式得与,而这两个行列式除这一行以外与原行列式得对应行一样。 性质4、如果行列式中两行相同,那么行列式为零。(两行相同就就是说两行对应元素都相同) 性质5、如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。 性质6、把一行得倍数加到另一行,行列式不变。 性质7、对换行列式中两行得位置,行列式反号。 2、矩阵: a、矩阵得秩:矩阵A中非零行得个数叫做矩阵得秩。 b、矩阵得运算 定义同型矩阵:指两个矩阵对应得行数相等、对应得列数相等得矩阵. 矩阵相等:设,, 若 , 称、 线性运算:, 加法: 数乘: 负矩阵: 减法: 矩阵得乘法定义:设 , 其中元素 得列数 = 得行数。 得行数 = 得行数; 得列数 = 得列数. 与得先后次序不能改变. (5)矩阵得初等变换 矩阵得等价变换形式主要有如下几种: 1)矩阵得i行(列)与j行(列)得位置互换; 2)用一个非零常数k乘矩阵得第i行(列)得每个元; 3)将矩阵得第j行(列)得所有元得k倍加到第i行(列)得对应元上去。 3、线性方程组 一般线性方程组、这里所指得一般线性方程组形式为

111122112 11222221122,,.n n n n s s s n n s ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b +++=??+++=??? ?+++=? L L L L L L ()i ()i 式中(1,2,,)i xi n =K 代表未知量,(1,2,,;1,2,,)i j a i s j n ==L L 称为方程组得系数,( 1,2,,)j b j n =L 称为常数项、 线性方程组)(i 称为齐次线性方程组,如果常数项全为零,即120s bb b ====L 、 令 111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ????? ?=??????L L M M M M L ,12n x x X x ??????=??????M , 12s b b B b ?? ????=???? ?? M , 则()i 可用矩阵乘法表示为 A X B =,,,.m n n m A C X C B C ?∈∈∈ a 、线性方程组得解法 1)消元法 在初等代数里,我们已经学过用代入消元法与加减消元法解简单得二元、三元线性方程组、实际上,这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性、但对于那些高元得线性方程组来说,消元法就是比较繁琐得,不易使用、 2)应用克莱姆法则 对于未知个数与方程个数相等得情形,我们有 定理1 如果含有n 个方程得n 元线性方程组 11112211 21122222 1122,,.n n n n n n n n n n ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b +++=??+++=?? ? ?+++=? L L L L L L ()i i 得系数矩阵

高等代数 知识点

第一章 定义1 数域 定义2 数域P上的一元多项式 定义3 多项式相等 定义4 一元多项式环 带余除法 定义5 整除 定理1 r（x）=0 定义 6 最大公因式 定理 2 d（x）=u（x）f（x）+v（x）g(x); (f(x),g(x))= u（x）f（x）+v（x）g(x) 定义7 互素(f(x),g(x))=1 定理 3 u（x）f（x）+v（x）g(x)=1 定理4 f ，g互素且f|gh，则f|h 推论f1|g，f2|g，且f1，f2互素，则f1f2|g， 定义8 不可约多项式 定理5 一个不可约多项式p，能够表达成P|fg， 则p|f或者p|g 因式分解及其唯一性定理数域P上的一个多项式f，都可以唯一的分解成数域P上的一些不可约多项式的乘积。

第四章 1 转轴----坐标系（x1，y1，z1）到（x2，y2，z2）的坐标变换矩阵是A，如果令X1=（x1，y1，z1）的转置，X2=（x2，y2，z2）的转置，则X1=AX2。 2单位矩阵E=数量矩阵为kE= 如：AE=A，EA=A 3矩阵的加法，乘法，减法，结合律，交换律，零矩阵 4 秩（A+B）秩A+秩B 5 如：A=则矩阵的数量乘积 kA= 6 矩阵的转置记作A的转置为A’。例如A= 则A’= 注意：转置的性质(A’)’=A (A+B)’=A’+B’( AB)’=B’A’ (kA)’=kA’ 定理1 假设A B是数域P上的两个n n矩阵，那么|AB|=|A||B| 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积 推论1 |A1A2An|=|A 1||A 2||An|

定义6数域P上的一个n n矩阵A，如果|A|0，称为非退化的，否则称为退化的 推论2 假设A B是数域P上的两个n n矩阵，矩阵AB为退化的充要条件是A，B中至少有一个是退化的 定理2 假设A是数域P上的n m矩阵，B是数域P上的m s 矩阵，于是秩（AB）min[秩A，秩B]。即乘积的秩不 超过个因子的秩 推论3 如果A=A1A2An，那么秩A min（秩Ai） 定义7 如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，则n级方阵A称为是可逆的 定义8 如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，那么B就称为A的逆矩阵，记作A-1 定义9 假设A ij是矩阵A=中a ij的代数余子式，矩阵A*=称为A的伴随矩阵。 A*A=AA*=dE 其中d=|A| 定理3 矩阵A 可逆的充分必要条件是A是非退化的， 而A-1=A* 推论如果A，B可逆，那么AB与Ａ＇也可逆， 且(A’)-1=(A-1)’,(AB)-1=B-1A-1