当前位置：文档库 › 13.知识讲解_简单的幂函数_基础

13.知识讲解_简单的幂函数_基础

简单的幂函数

编稿：丁会敏审稿：王静伟

【学习目标】

1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况. 2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。 3.理解函数的奇偶性定义，会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 4.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.

【要点梳理】

要点一、幂函数概念

形如()y x R α

α=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 要点诠释：

幂函数必须是形如()y x R α

α=∈的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数.例如：

()2

423,1,2y x y x y x ==+=-等都不是幂函数.

要点二、幂函数的图象及性质 1.作出下列函数的图象：

(1)x y =；(2)2

1x y =；(3)2x y =；(4)1-=x y ；(5)3

x y =．

要点诠释：

幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；

(2)0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；

(3)0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．

2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象；

(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定

(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．

(3)如函数()a

f x k x =?是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()a

f x x =． 4.幂函数值大小的比较

(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．

(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．要点三、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念

偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释：

（1）奇偶性是整体性质；

（2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；

（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()

()()0,

1(()0)()

f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()

()()01(()0)()

f x f x f x f x f x -+-==-≠，

；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质

（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.

3.用定义判断函数奇偶性的步骤

（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；

（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；

（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性.

若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数；若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；

若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；

若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数

要点四、判断函数奇偶性的常用方法

（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.

（2）验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()

1()

f x f x -=±是否成立即可.

（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.

（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

（5）分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.

要点五、关于函数奇偶性的常见结论

奇函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相同的单调性，即已知()f x 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相反的单调性，即已知()f x 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是减函数（增函数）.

【典型例题】

类型一、求函数解析式

例1.已知(

)

2223m y m m x n -=+-?+-是幂函数，求m 、n 的值．

【答案】33,2

m n =-=

【解析】由幂函数的概念易得关于m 、n 的方程组．

由题意得22221,10,230,m m m n ?+-=?-≠??-=?

解得3,3.2m n =-??

?=??

3,2

m n ∴=-=即为所求．

【总结升华】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数α，且α为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．

举一反三：

【变式一】判断下列函数有哪些是幂函数？

（1）2y x =

；（2）23y x =；（3）3

y x x =-；（4）23

y x -

=；（5）21

y x

；（6）3y =．【答案】（4）、（5）是幂函数．类型二、幂函数的图象

例2.给定一组函数的解析式和相应的函数图象：(1)y x =；(2)2

y x =；(3)3

y x =；(4)1

y x -=；(5)12

y x =．请把解析式对应的图象序号按照解析式的顺序填在括号里（）．

【答案】⑤①②③④ 举一反三：

【变式1】函数13

y x =的图象是（）

【答案】B

【解析】已知函数解析式和图象，可以用取点验证的方法判断．取11,88x =

-，则11

,22

y =-，选项B ，D 符合；取1x =，则1y =，选项B 符合题意．

类型三、幂函数的性质

例3.比较下列各组数的大小. (1)52

3.14-

与52

π-

； (2)35

(2)-

-与35

(3)

【答案】（1）>；（2）<。【解析】(1)由于幂函数52

y x -

=(0x >)单调递减且3.14π<，∴552

3.14π

-->.

(2)由于35y x -=这个幂函数是奇函数. ∴f(-x)=-f(x)

因此，335

(2)

-=-，335

(3)

-=-，而35

y x

=(x>0)单调递减，且23<

，

∴ 3

3335

(2)(3)(2)(3)---->?-<-.即335

(2)(3)---<-.

【总结升华】(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.

(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.

举一反三：

【变式1】比较0.5

0.8，0.5

0.9

，0.5

0.9

-的大小.

【答案】0.5

0.50.50.8

0.90.9-<<

【解析】先利用幂函数0.5

y x =的增减性比较0.50.8与0.5

0.9

的大小，再根据幂函数的图象比较0.5

0.9

与

0.50.9-的大小.

0.5y x =在(0)+，∞上单调递增，且0.80.9<，

0.50.50.80.9∴<.

作出函数0.5

y x =与0.5

y x

-=在第一象限内的图象，

易知0.5

0.50.90.9-<.

故0.5

0.50.50.8

0.90.9-<<.

类型四、判断函数的奇偶性例4. 判断下列函数的奇偶性：

(1)()(f x x =+ (2)f(x)=x 2

-4|x|+3 ；

(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)()|2|-2

f x x =+；

(5)22-(0)

()(0)

x x x f x x x x ?+≥?=?+

【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.

【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．【解析】(1)∵f(x)的定义域为(]-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； (2)对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f(-x)=x 2

-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x 2

-4|x|+3为偶函数； (3)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(4)[)(]2-1x 1

1-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22≤≤?≥?∴∴∈??

?≠≠≠±??

且

()(2)-2f x x x

∴==

(-)--()f x f x x

∴===，∴f(x)为奇函数；

(5)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(6)

(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22

f x

g x g x g x g x f x ===，∴f(x)为奇函数.

【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是

函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉|2|x +的绝对值符号时就十分麻烦.

举一反三：

【变式1】判断下列函数的奇偶性：

(1)23()3

f x x =+；

(2)()|1||1|f x x x =++-；

(3)222()1

x x

f x x +=+；

(4)22x 2x 1(x 0)f (x)0

(x 0)x 2x 1(x 0)?+-

==??-++>?

. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．【解析】(1)()f x 的定义域是R ，又223()3()()()33

x x

f x f x x x --=

=-=--++，()f x ∴是奇函数．

（2）()f x 的定义域是R ，

又()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴是偶函数．（3）函数定义域为1x ≠-，定义域不关于原点对称，∴()f x 为非奇非偶函数．

（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2

+2(-x)-1=x 2

-2x-1=-(-x 2

+2x+1)=-f(x)

任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x 2-2x+1=-(x 2

+2x-1)=-f(x) x=0时，f(0)=-f(0) ∴x ∈R 时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】

【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.

证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则

F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数. 【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例2（2）】【变式3】设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）.

A ．()f x +|g(x)|是偶函数

B ．()f x -|g(x)|是奇函数

C ．|()f x | +g(x)是偶函数

D ．|()f x |- g(x)是奇函数

【答案】A

类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)

例5.已知f(x)=x 5+ax 3

-bx-8，且f(-2)=10，求f(2). 【答案】-26

【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3

a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10

∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23

a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数 ∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8 ∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.

【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x 5+ax 3

-bx 为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题(2)g 便能迎刃而解.

举一反三：

【变式1】已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3g x f x g =+-=，则(2)f 为（）．【答案】6

【解析】(2)(2)93,(2)6g f f -=-+=-=-则，又()f x 为奇函数，所以(2)(2)6f f =--=．例6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2

()31f x x x =+-，求()f x 的解析式．

【答案】2231,0,

()0,0,31,0.x x x f x x x x x ?+->?

==??-++

【解析】

()f x 是定义在R 上的奇函数，

()()f x f x ∴-=-，当0x <时，0x ->，

()()()3()1f x f x x x ??∴=--=--+--??

31x x -++

又奇函数()f x 在原点有定义，(0)0f ∴=．

2231,0,

()0,0,31,0.x x x f x x x x x ?+->?

∴==??-++

【总结升华】若奇函数()f x 在0x =处有意义，则必有(0)0f =，即它的图象必过原点（0，0）．举一反三：

【高清课堂：函数的奇偶性356732 例3】【变式1】（1）已知偶函数

()f x 的定义域是R ，当0x ≤时2()31f x x x =--，求()f x 的解析式.

（2）已知奇函数()g x 的定义域是R ，当0x >时，2()21g x x x =

+-，求()g x 的解析式.

【答案】（1）2

231(0)()31(0)

x x x f x x x x ?+->?

=?--≤??；（2）2221(0)()0021(0)x x x g x x x x x ?+->?==??-++

（）

例7.设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在[0，2]上是单调递增，当(1)()f a f a +<时，求a 的取值范围.

【答案】122

a -≤<-

【解析】∵f(a-1)

|1|||210

1-212 -31 22-22-22

a a a a a a a a +<+

∴≤+≤∴≤≤∴-≤<-????≤≤≤≤??

【总结升华】若一个函数()f x 是偶函数，则一定有()(||)f x f x =，这样就减少了讨论的麻烦．类型六、函数奇偶性的综合问题

例8．设a 为实数，函数f(x)=x 2

+|x-a|+1，x ∈R ，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 【思路点拨】对a 进行讨论，把绝对值去掉，然后把f(x)转化成二次函数求最值问题。

【答案】当a=0时，函数为偶函数；当a ≠0时，函数为非奇非偶函数. 当

min min 1313-()|-;()|;2424a f x a a f x a ≤=>=+时，时，当2min 11

-()|122

a f x a <≤=+时，.

【解析】当a=0时，f(x)=x 2

+|x|+1，此时函数为偶函数；

当a ≠0时，f(x)=x 2

+|x-a|+1，为非奇非偶函数. (1)当x a ≥时，2

13()()-2

f x x a =++

①[)1

13()(-)-,22

4a f x a f a ≤-+∞=

时，函数在，上的最小值为且1

f(-)f(a).2

≤ ②[)1

(),2

a f x a >-+∞时，函数在上单调递增，

[)(),f x a ∴+∞在上的最小值为f(a)=a 2+1.

(2)当x a <时，2

3()-1()2

f x x x a x a =++=-++ ①(]1

()-,2a f x a ≤

∞时，函数在上单调递减，(]()-f x a ∴∞在，上的最小值为2()1f a a =+ ②(]1()-2a f x a >∞时，在，上的最小值为131

()()().242

f a f f a =+≤，且

综上：min min 1313

-()|-;()|;2424

a f x a a f x a ≤=>=+时，时，

2min 11

()|122

a f x a <≤=+时，. 举一反三：

【变式1】判断()||||()f x x a x a a R =+--∈的奇偶性．【答案】当0a =时，函数()f x 既是奇函数，又是偶函数；当0a ≠时，函数()f x 是奇函数．【解析】对a 进行分类讨论．若0a =，则()||||0f x x x =-=．

x R ∈，∴定义域R 关于原点对称，∴函数()f x 既是奇函数，又是偶函数．

当0a ≠时，

()||||||||()f x x a x a x a x a f x -=-+---=--+=-，∴()f x 是奇函数．

综上，当0a =时，函数()f x 既是奇函数，又是偶函数；当0a ≠时，函数()f x 是奇函数．

例9. 已知()y f x =是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数2

(1)f x -的单调递增区间．【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。

【答案】[0，1]和（―∞，―1]

【解析】 ∵()f x 是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，∴()f x 在（－∞，0]上是增函数．设u=1―x 2，则函数2

(1)f x -是函数()f u 与函数u=1―x 2的复合函数．

∵当0≤x ≤1时，u 是减函数，且u ≥0，而u ≥0时，()f u 是减函数，根据复合函数的性质，可得2

(1)f x -是增函数．

∵当x ≤－1时，u 是增函数，且u ≤0，而u ≤0时，()f u 是增函数，根据复合函数的性质，可得2(1)f x -是增函数．

同理可得当－1≤x ≤0或x ≥1时，2

(1)f x -是减函数．

∴所求的递增区间为[0，1]和（―∞，―1]．【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．

（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错．确定x 的取值范围时，必须考虑相应的u 的取值范围．本例中，x ≥1时，u 仍是减函数，但此时u ≤0，不属于()f u 的减区间，所以不能取x ≥1，这

是应当特别注意的．

专题13幂函数知识点归纳

3 幂函数知识点归纳一、幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数定义说明： 1、定义具有严格性，x α 系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况二、幂函数的图像幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜时图像是横卧的抛物线.例如()1 2 x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如 ()-1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像练习：做出下列函数的图像： 1、1α> ①3 y x =或53y x = ②2y x =或43y x = ③32y x =或74 y x = 2、01α<< ①13y x = ②23y x = ③12 y x = 3、0α< ①2 y x -= ②1 y x -= ③32 y x - = ④43 y x =— 三、幂函数的性质 y=x

3 幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、定义域、值域与α有关，通常化分数指数幂为根式求解 2、奇偶性要结合定义域来讨论 3、单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两点；α≤0时，过（1,1） 5、由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限四、幂函数类型题归纳（一）定义应用： 1、下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21 (1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = 2、若幂函数()y f x = 的图像过点2????? ，则函数()y f x =的解析式为______. 3、已知函数()() 22 1 44m m f x m m x --=--是幂函数，且经过原点，则实数m 的值为__________. 4、已知函数()()2 2 k k f x x k Z -++=∈满足()()23f f <，则k 的值为________ ,函数()f x 的解析式为__________ 5、设1112,1,,,,1,2,3232a ? ? ∈--- ???? ，已知幂函数()f x x α=是偶函数，且在区间()0,+∞上是减函数，则满足要求的α值的个数是__________. 6、设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数，集合()(){} |M x f x g x ==，则集合M 中元素的个数是（）（Ａ）1或2或0 (Ｂ) 1或2或3（Ｃ）1或2或3或4 (Ｄ)0或1或2或3 （二）图像及性质应用 1、右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则 ,,,a b c d 的大小关系是（） ()A a b c d >>> ()B b a d c >>> d y=x ()C a b d c >>> ()D a d c b >>> 2、如图：幂函数n m y x =（m 、n N ∈，且m 、n 互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有（） ()A m 、n 为奇数且 1m n < ()B m 为偶数，n 为奇数，且1m n > ()C m 为偶数，n 为奇数，且1m n < b c

知识讲解-函数的单调性-基础

函数的单调性【学习目标】 1.理解函数的单调性定义； 2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性； 3．学会运用单调性的定义求函数的最大（小）值。【要点梳理】要点一、函数的单调性 1．增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ?：如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是减函数. 要点诠释： (1)属于定义域A 内某个区间上； (2)任意两个自变量12,x x 且12x x <； (3)都有1212()()(()())f x f x f x f x <>或；

(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的. 2．单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间D 上具有单调性，D 称为函数f(x)的单调区间. 函数的单调性是函数在某个区间上的性质. 要点诠释： ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间； ④有的函数不具有单调性. (2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？ 3.证明函数单调性的步骤 (1)取值.设12x x ，是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x ； (2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系； (4)得出结论. 4.函数单调性的判断方法

指数函数对数函数和幂函数知识点归纳

一、幂函数 1、幂的有关概念正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图：由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质:

a y x =有下列性质：（1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数．（2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近．（3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；（4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点．二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-．