00对矩阵的迹的性质研究

伴随矩阵的性质知识讲解

伴随矩阵的性质

编号2009011118 毕业论文（设计） （ 2013 届本科） 论文题目：伴随矩阵的性质 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级：09级本科1班 作者姓名：魏瑞继 指导教师：俱鹏岳职称：副教授 完成日期：2013年 4 月20日

目录 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (4) 摘要 (5) 关键词 (5) 0引言 (5) 1主要结论 (6) 1.1伴随矩阵的基本性质 (6) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (9) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (10) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (11) 2应用举例 (12) 例1 (12) 例2 (12) 结束语 (13) 参考文献 (13) 致谢 (14)

陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二〇一二年十二月二十日

伴随矩阵的性质 魏瑞继 （陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000） 摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵 0引言 伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即 ij A = (1)i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A *= 112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ???????L L M M O M M 称为矩阵A 的伴随矩阵.

第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)

第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质； 从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：n n ii i i 1 i 1 tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA)

性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质； 2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1 tr(P AP)tr(A)-=； 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1 i 1 tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]

幂等矩阵的性质及应用(定稿)

JIU JIANG UNIVERSITY 毕业论文（设计） 题目幂等矩阵的性质及应用 英文题目Properties and Application of Idempotent Matrix 院系理学院 专业数学与应用数学 姓名邱望华 年级A0411 指导教师王侃民 二零零八年五月

幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。 [关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合

The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices. [Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence, linear combination

矩阵与它伴随矩阵的关系1

矩阵与它伴随矩阵的关系 摘 要 通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一 些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的 关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等. 关键词 矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵 1伴随矩阵的定义 设() n n ij a A ?=,则它的伴随矩阵()n n ij b A ?=* ,其中ji ij A b = (),,,3,2,1,n j i =ij A 为A 中ij a 的代数余子式. 2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系 2.1 I A A A AA ==**. 2.2 若A 非奇异，则* 11A A A =-. 2.3 ()()T T A A ** =. 证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且T A 也可逆. 故 ()()1 * -=T T T A A A =() T A A 1- 另一方面， ()()T T A A A 1* -==() T A A 1- 由上两式推出 ()() T T A A ** =. 2.4 ()() 1 ** 1 --=A A . 证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且1-A 也可逆. 故 ()()A A A A A 1 1 11* 1= =---- 又由 E A A A A A A =??? ? ??=???? ??* *11 故 *A 也可逆，且()A A A 1 1 *= - 从而 ()() 1 ** 1 --=A A .

2.5 ()*1* A a aA n -= (a 为实数). 证 设()n n ij a A ?=，再设 ()()n n ij b aA ?=* ， 那么ij b 为行列式aA 中划去第j 行和第i 列的代数余子式1-n 阶行列式，其中每行提出公因子a 后，可得 ji n ij A a b 1-= ()n j i ,2,1,= 由此即证()*1* A a aA n -=. 2.6 1 *-=n A A ()2≥n . 证当A 可逆时，由于,1*-=A A A 两边取行列式 得 1 1* --==n n A A A A 当A 不可逆时，,0=A 这时秩1*≤A 所以.0*=A 从而也有 1 * -=n A A 所以对任意n 阶方阵,A 都有.1 *-=n A A 2.7 当秩n A =时，则秩n A =*.当秩1-=n A 时则秩1*=A .，当秩2-≤n A 则秩0*=A . 证 当秩,0≠?=A n A 那么由上面的（1）式有0*≠==n A I A AA 所以 ,0*≠A 即秩n A =* 当秩,01=?-=A n A 0*==I A AA 从而秩,1*≤A 又因秩,1-=n A 所以至少有一个代数余子式,0≠ij A 从而秩,1*≥A 于是秩,1*=A 当秩2-=n A ?0*=A 所以秩0*=A 同理秩2-

正规矩阵

第二学期第八次课 设A 是n 维酉空间V 内的线性变换,如果V 内的线性变换A * 满足? α,β∈V,有 (A α,β)=(α,A * β) 则称A * 是A 的共轭变换. A * 为A 的共轭变换当且仅当它们在标准正交基下的矩阵互为共轭转置. 共轭变换的五条性质: 1)E *=E 2)(A * )*= A 3)(k A )* =k A * 4)(A +B )* =A * +B * 5)(AB )* =B * A * 如果A *= A,则称A 是一个厄米特变换. 设A 是n 阶复矩阵,如果A '=A,则称A 是一个厄米特矩阵. n 个复变量n 21x x x ，， ，?的二次齐次函数 ∑∑===n i n j j i ij x x a f 11 (ji ij a a =) 称为一个厄米特二次型.（对称变换、实对称矩阵、实二次型的推广）。 （酉变换和厄米特变换都是下面的正规变换的特殊情形.） 如果A *A = A A * ,则称A 为一个正规变换. （将酉变换的性质推广，有一般的结果：） 命题 酉空间V 上的线性变换A 的不变子空间M 的正交补⊥ M 是共轭变换A * 的不变子空间. 证明 ? α∈M, β∈⊥M ,有 (α,A * β)=(A α,β)=0 这表明A * β∈⊥ M .

命题酉空间上的正规变换A的属于特征值λ的特征向量ξ的是共轭变换A*的属于特征值λ的特征向量. 证明按假设,有Aξ=λξ则 (A*ξ-λξ,A*ξ-λξ)=((A-λE)*ξ, A*ξ-λξ) =(ξ,(A-λE)(A-λE)*ξ) =(ξ,(A-λE)*(A-λE)ξ) =(ξ,0)=0 从而A*ξ=λξ. 命题酉空间上的正规变换的属于不同特征值的特征向量互相正交. 证明设Aξ=λξ,Aη=μη则 λ(ξ,η)=(Aξ,η)=(ξ,A*η)=(ξ,μη)=μ(ξ,η) 必有(ξ,η)=0. 定理n维酉空间上的正规变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵. 证明对维数n做数学归纳法. 推论n维酉空间上的酉变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵. 命题厄米特变换的特征值都是实数. 证明若Aξ=λξ,则λξ=A*ξ=Aξ=λξ?λ=λ?λ是实数.

伴随矩阵的性质及应用

一．伴随矩阵的定义及符号 伴随矩阵是在求非奇异矩阵的逆矩阵时提出来的， 1.代数余子式的定义 为了定义伴随矩阵，需要先定义一个矩阵某一元素的代数余子式： 在行列式 11111..................j n i ij in ni nj nn a a a a a a a a a 中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列，剩下的2(1)n -个元素按原来的排法构成一个n-1级的行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij ij A M +=-为元素ij a 的代数余子式。 2.伴随矩阵的定义 设ij A 是矩阵 11111..................j n i ij in ni nj nn a a a A a a a a a a ?????? ??=?????????? 中元素ij a 的代数余子式，矩阵 112111222 2*12.........n n n n nn A A A A A A A A A A ???? ??=?????? 称为A 的伴随矩阵。 二．伴随矩阵的性质

1.伴随矩阵的基本公式：**AA A A A E == 由行列式按一行（列）展开的公式立即得出： **000000d d AA A A A E d ??????===?????? 其中d A =。 这是伴随矩阵的一个基本公式，我们可以从该等式出发推导出一些有关方阵的伴随矩阵的性质，使我们对伴随矩阵有一个更加全面的认识和理解。 2.在公式**AA A A A E ==基础上推导出的其他性质 （1）A 可逆当且仅当* A 可逆。 证明：若A 可逆，则A ≠0.由**AA A A A E ==知 * A A E A ?= 故*1A A A -= 两边取行列式得*1A A A -= 即*11n A A A ??= ? ??? 故*A 0≠，从而*A 可逆 （2）1*n A A -=，其中A 是n ?n 矩阵 证明：由**AA A A A E ==,知*n A A A = ①.当时，有及，故

第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)

第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质； 从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：n n ii i i 1i 1tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA) 性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质； 2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1tr(P AP)tr(A)-=；

5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B) 这里等号成立的充要条件是A=cB,c 为一常数。特别当A 和B 为实对称阵或Hermit 矩阵时 0≤|t r(AB)|≤ 定理：设A 和B 为两个n 阶Hermite 阵,且A≥0，

正投影及其性质

29.1 投影 第2课时正投影 【学习目标】 （一）知识技能： 1.进一步了解投影的有关概念。 2.能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。 （二）数学思考：在探究物体与其投影关系的活动中，体会立体图形与平面图形的相互转化关系，发展学生的空间观念。 （三）解决问题：通过对物体投影的学习，使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。 （四）情感态度：通过学习，培养学生积极主动参与数学活动的意识，增强学好数学的信心。 【学习重点】 能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。 【学习难点】 归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影。 【学习准备】手电筒、三角尺、作图工具等。 【学习过程】 【知识回顾】 正投影的概念：投影线于投影面产生的投影叫正投影。 【自主探究】 活动1 出示探究1 如图29.1—7中，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置： （1）铁丝平行于投影面； （2）铁丝倾斜于投影面： （3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有公共点）。 三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？ （1）当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1,线段与它的投影的大小关系为AB A1B1； （2）当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2,线段与它的投影的大小关系为AB A2B2； （3）当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是。 设计意图：用细铁丝表示一条线段，通过实验观察，分析它的正投影简单直观，易于发现结论。 活动2 如图，把一块正方形硬纸板P（记为正方形ABCD）放在三个不同位置： (1)纸板平行于投影面； (2)纸板倾斜于投影面； (3)纸板垂直于投影面。 三种情形下纸板的正投影各是什么形状？

关于矩阵的Kronecker积的一些性质

关于矩阵的Kronecker积的一些性质 作者：王秀清， 陈兆英， 于朝霞 作者单位：济南大学理学院,250022,济南 刊名： 山东师范大学学报（自然科学版） 英文刊名：JOURNAL OF SHANDONG NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE) 年，卷(期)：2010,25(4) 参考文献(10条) 1.徐仲;张凯院;陆全矩阵论简明教程 2007 2.陈邦考矩阵Kronecker积的推广[期刊论文]-大学数学 2004(04) 3.杜鹃;范啸涛;杨健康自伴矩阵与Hermite二次型[期刊论文]-成都理工大学学报(自然科学版) 2007(04) 4.Li J S·Kronecker products of positive semidefinite Matrices 1997(03) 5.陈公宁矩阵理论与应用(第二版) 2007 6.Britz T;Olesky D D;Van Den Driessche P The Moore-Penrose inverse of matrices with an acyclic bipartite graph[外文期刊] 2004(0) 7.Berr Israel A;Greville T N E Generalized Inverse:Theory and Applications 2003 8.George V A quantitative version of the Bservation that the Hadam and product is a principal submatrix of the kronecker product 2000 9.James V B Schur majorization inequalities for symmetrized sums with applications to tensor products[外文期刊] 2003(0) 10.樊树平;段五朵亚正定矩阵的Kronecker积[期刊论文]-大学数学 2006(02) 本文读者也读过(10条) 1.王伟贤.王志伟.WANG Wei-xian.WANG Zhi-wei一类逆M矩阵的判定[期刊论文]-曲阜师范大学学报(自然科学版) 2009,35(2) 2.王宏羽.张湘茹.孙燕.李龙芸.李丽庆.宋恕平.周立中.刘基巍盐酸托烷司琼防治NP方案治疗非小细胞肺癌引起恶心呕吐的临床试验研究[期刊论文]-中国肿瘤临床与康复2004,11(4) 3.周金森.ZHOU Jin-sen关于代数张量积的性质研究[期刊论文]-龙岩学院学报2007,25(6) 4.王礼萍.Wang Liping核运算的矩阵构造[期刊论文]-哈尔滨师范大学自然科学学报2000,16(5) 5.杨载朴复亚正定矩阵的一些性质[期刊论文]-数学研究与评论2000,20(1) 6.黄允发.HUANG Yun-fa二阶K-可换矩阵Kronecker积的性质[期刊论文]-高师理科学刊2010,30(2) 7.胥德平.何淦瞳.XU De-ping.HE Gan-tong矩阵块Kronecker积的性质及一些不等式[期刊论文]-贵州大学学报（自然科学版）2004,21(4) 8.杨胜良.YANG Sheng-liang两类下三角形Pascal矩阵的相似性[期刊论文]-数学杂志2011,31(1) 9.贺爱玲.马玉明.刘慧.陈业红.HE Ai-ling.MA Yu-ming.LUI Hui.CHEN Ye-hong关于矩阵相似的一个注记[期刊论文]-山东轻工业学院学报（自然科学版）2005,19(3) 10.周相泉.刘利英.ZHOU Xiang-quan.LIU Li-ying模糊数矩阵及其运算[期刊论文]-山东理工大学学报（自然科学版）2005,19(3) 本文链接：https://www.wendangku.net/doc/f59813478.html,/Periodical_sdsdxb-zrkx201004043.aspx

关于伴随矩阵性质的探讨

关于伴随矩阵性质的探讨 1引言 矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具．伴随矩阵作为矩阵中较特 殊的一类，其理论和应用有自身的特点．设n 阶矩阵??? ?? ??=n n n a a a a A 1111，()n j i 2,1,= 是A 中元素ij a 的代数余子式，称矩阵? ???? ??=nn n n A A A A A 1 111* 为A 的伴随矩阵[]1(176)P ．在大学本科的学 习中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的，并没有进行深入的研究．本文分类研究了伴随矩阵的性质，并给出了证明过程，得到一系列有意义的结果．从而使高等代数中的重要概念——伴随矩阵比较完整地呈现在我们面前． 2伴随矩阵的性质 2.1伴随矩阵的基本性质 性质1[] 2(5253) P P - E A AA A A ==* * 性质2 若0=A ,则0* =AA . 性质3 1 * -=n A A . 证明 由性质E A AA =* 得E A AA =*， 从而 n A A A =* ，两边同时左乘1 -A 得 1 *-=n A A ，即为所证． 2.2可逆性质 性质4 若A 可逆，则1 * -=A A A （或*1 1 A A A --=）. 证明 由性质1，E A AA =* 两边同时左乘1 -A 得 E A A AA A 1*1--=， 即 *1 1 1 * A A A A A A ---==． 性质5 若A 可逆，则* A 可逆且() A A A 1 1 *--=.

证明 若A 可逆，即0,01 * ≠=≠-n A A A ，从而*A 可逆又有性质4得 () () A A A A A 1 1 1 1 *----==． 性质6[3] (124) P 若A 可逆，则() A A A n 2 * *-=. 证明 由性质1得() E A A A ** ** =，A 可逆，*A 也可逆，两边同时左乘() 1 *-A 得 () () A A A A A A A A n n 2 1 1 1 * ** *----===． 性质7[4] (181183) P P - 若A 可逆，则() () * 11 * --=A A . 证明 由性质5得 () A A A 1 1 *--=, 由性质1得()E A A A 1* 11---=. 两边同时左乘A 得 () () 1 * 1* 1---==A A A A ． 2.3运算性质 性质8 若A 可逆，k 为非零常数，则()* 1* A k kA n -=． 证明 由性质1得 ()()E kA kA kA =*, 两边同时左乘()1 -kA 得 ()()()*111111*A k A A k A k A k kA kA kA n n n ------====． 性质9 若,A B 均为n 阶可逆方阵，则()* ** A B AB =． 证明 由已知条件可得 0≠A ，0≠B ． 从而可得0≠AB 也就是AB 可逆得 ()()()*1 1 *1 1AB B A AB AB AB ----= = ， 又因为 ()*1 *1 111A A B B A B AB -----= =， 由以上可得()* * * .AB B A = 推论 若1321,,,,-t t A A A A A 均为同阶可逆矩阵,则()* 1*2*3*1** 1321A A A A A A A A A A t t t t --=． 2.4特殊矩阵的伴随矩阵的性质

M矩阵的性质、定理及证明

M 矩阵的性质、定理及证明 一、M 矩阵的概念 定义1 设n n ij a A ?=)(，且0≤ij a ，j i ≠，01≥-A ，称A 为M 矩阵。 定义2 设n n ij a A ?=)(，且0≥ij a ，若1-A 为M 矩阵，则称A 为逆M 矩阵。 引理1 如果n n ij a A ?=)(，且0≤ij a ，j i ≠，A 为M 矩阵的充要条件是A 可做三角分解，R L A ?=,其中L 为下三角阵，R 为上三角阵，L 和R 的主对角元都是正值。 二、M 矩阵的判定定理与证明 定理1 若n n ij a A ?=)(为M 矩阵，则R L A ?=，其中下三角阵L 和上三角阵R 的主对角线元素为正，且其余元素为非正值。 证明 若A 为M 阵，则当j i ≠，0≤ij a ；j i =，0>ij a 。由引理1，A 可做三角分解R L A ?=。设 ????????????=nn n n l l l l l l L 21222111000 ， ? ???? ? ??????=nn n n r r r r r r R 00 022211211 则?????? ??????+++++=nn nn n n n n n n n r l r l r l r l r l l r l r l r l r l r l r l r l A 1122 21211112212122221221112111112111111， 故0,,1111211≤n r l r l 。 因011>l ，故0,,112≤n r r ；因,0,0,,111111121>≤r r l r l n 故0,,121≤n r r ；因 022321231≤+r l r l ，故02221≤r l ，从而021≤l ；因023221321≤+r l r l ，故023≤r 。类

浅谈幂等矩阵的性质

万方数据

万方数据

浅谈幂等矩阵的性质 作者：侯君芳， 黄丽莉 作者单位：郑州旅游职业学院,河南郑州,450009 刊名： 科技风 英文刊名：TECHNOLOGY TREND 年，卷(期)：2009，""(13) 被引用次数：0次 相似文献(6条) 1.期刊论文高灵芝幂等矩阵秩试题求解及其结论的推广-中国科教创新导刊2008,""(31) 本文从高等代数课本中的一道习题入手,从不同的角度给出这道习题的不同解法,并把其结论进行了推广. 2.期刊论文邹本强.ZOU Ben-qiang特殊矩阵的特征值性质-重庆职业技术学院学报2006,15(5) 在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具,在讨论矩阵的性质时给出了矩阵特征值的定义,但对矩阵特征值的性质研究很少,对特殊矩阵的特征值性质的研究更少,而特殊矩阵的特征值对研究特殊矩阵有很重要的意义.我们在研究矩阵及学习有关数学知识时,经常要讨论一些特殊矩阵的性质.为此,本文围绕幂等矩阵、反幂等矩阵、对合矩阵、反对合矩阵、幂零矩阵、正交矩阵、对角矩阵、可逆矩阵等特殊矩阵给出了其主要性质并加以证明,为广大读者学习矩阵时提供参考. 3.期刊论文孙莉.陈传良.王品超分块矩阵的理论应用-曲阜师范大学学报(自然科学版)2002,28(1) 分块矩阵的理论在高等代数中有着广泛的应用,用这一理论解决问题简明而清晰,该文是本理论的具体应用. 4.期刊论文杨忠鹏.陈梅香.林国钦.Yang Zhongpeng.Chen Meixiang.Lin Guoqin关于三幂等矩阵的秩特征的研究-数学研究2008,41(3) 本文对已有的关于三幂等矩阵秩的等式作了进一步研究,指出其中有些可以作为判定三幂等矩阵的充要条件,即三幂等矩阵的秩特征等式.本文还证明了有无穷多种三幂等矩阵的秩特征等式形式. 5.期刊论文杨忠鹏.陈梅香.YANG Zhong-peng.CHEN Mei-xiang关于矩阵秩等式研究的注记-莆田学院学报2008,15(5) 最近一些文献应用自反广义逆和广义Schur补得到了一些重要的矩阵秩的恒等式.对这些结果,给出了只用分块初等变换的简单证法;作为应用对 k(k=2,3,4)幂等矩阵的秩等式作进一步讨论,还给出了打洞技巧在求秩上应用的例子. 6.期刊论文林志兴.杨忠鹏.LIN Zhi-xing.YANG Zhong-peng与给定矩阵A的可交换子环C(A)的一些探讨-莆田学院学报2010,17(2) 收集整理现在常用的高等代数与线性代数材料中与给定矩阵A可交换的矩阵所构成的全矩阵空间pn×n的子空间C(A)的习题.指出C(A)的交换性及用 A的多项式表示问题同C(A)的维数与n有密切关系,得到n(n≥3)阶幂等矩阵A或对合矩阵A的C(A)都是不可交换的结论. 本文链接：https://www.wendangku.net/doc/f59813478.html,/Periodical_kjf200913005.aspx 授权使用：洛阳工学院（河南科技大学）(wflskd)，授权号：d7e0c32f-0155-4388-9ee0-9dde00edfb00 下载时间：2010年8月26日

矩阵基本性质

矩阵的基本性质 矩阵的第?第列的元素为。我们?或（）表?的单位矩阵。 1.矩阵的加减法 （1）,对应元素相加减 （2）矩阵加减法满足的运算法则 a.交换律： b.结合律： c. d. 2.矩阵的数乘 （1），各元素均乘以常数 （2）矩阵数乘满足的运算法则 a.数对矩阵的分配律： b.矩阵对数的分配律： c.结合律： d. 3.矩阵的乘法 （1），左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则 a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有 b.分配律： c.结合律： d.数乘结合律： 4.矩阵的转置, （1）矩阵的幂：,,…,

（2）矩阵乘法满足的运算法则 a. b. c. d. 5.对称矩阵：即；反对称矩阵：即 （1）设为（反）对称矩阵，则仍是（反）对称矩阵。 （2）设为对称矩阵，则或仍是对称矩阵的充要条件=。 （3）设为（反）对称矩阵，则，也是（反）对称矩阵。 （4）对任意矩阵，则分别是对称矩阵和反对称矩阵且. （5） 6. Hermite矩阵：即；反Hermite矩阵，即 a. b. c. d. e. f.（当矩阵可逆时） 7.正交矩阵：若,则是正交矩阵 （1） （2）

8.酉矩阵：若,则是酉矩阵 （1） （2） （3）, （4） 9.正规矩阵：若,则是正规矩阵；若,则是实正规矩阵 10.矩阵的迹和行列式 （1）为矩阵的迹；或为行列式 （2）；注：矩阵乘法不满足交换律 （3） （4）,为酉矩阵，则 （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12）,，则其中为奇异分解值的特征值 11.矩阵的伴随矩阵 （1）设由行列式的代数余子式所构成的矩阵

浅谈伴随矩阵的性质及其应用【开题报告】

开题报告 数学与应用数学 浅谈伴随矩阵的性质及其应用 一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的根据和意义 矩阵是代数学的一个主要研究对象, 是数学中最重要的基本概念之一, 也是数学研究及应用的一个重要工具. 矩阵这一概念自19世纪英国数学家凯利首先提出以后, 就形成了矩阵代数这一系统理论, 而且还广泛应用于实际生活. 把现实世界中的实际问题抽象成数学模型, 求出模型的解, 验证模型的合理性后, 用它的解来解释现实问题, 这其中要用到许多的数学知识, 而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具, 在数学模型中具有重要的作用, 如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等. 矩阵可以分为很多类, 有初等矩阵、分块矩阵、幂等矩阵、伴随矩阵等, 在不同的矩阵类型中近几年来分别取得了不同的成果与进展. 而伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类, 其理论与应用有自身的特点, 它是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念, 是许多数学分支研究的重要工具. 在线性代数的解题方面, 灵活地运用这些伴随矩阵的性质有效地解决了线性代数中的问题, 且它有助于拓宽解决线性代数问题的思路. 比如, 矩阵间一些关系的证明, 求矩阵的逆, 一些复合矩阵的行列式等. 运用伴随矩阵的性质还可以用来解决一些复杂的问题. 比如, 用伴随矩阵的性质: I A A A AA ==**可以解决《美国数学月刊》上的E3227号问题(注: 若A 和B 为n 阶矩阵, 存在非零向量x 和向量y , 使得0=Ax , Bx Ay =. 设i A 为A 中第i 列被B 中的第i 列替换后所得到的矩阵,证明01=∑=n i i A ). 现今不仅专业研究伴随矩阵 的数学工作者愈加众多, 而且量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具. 如蔡建乐提出了用特征矩阵的伴随矩阵求惯量主轴的代数方法, 这有利于刚体力学的发展, 体现伴随矩阵的物理意义. 正因为它有如此重要的作用, 古今中外对其研究颇多, 并且得到了许多重要的成果. 如杨闻起探讨了伴随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质; 王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上, 探讨了伴随矩阵的运算性质, 特别研究了

浅谈幂等矩阵的性质

2009年7月(上 ) ［摘要］幂等矩阵的种常规的正定性，虽然在几何学，物理学以及概率论等学科中都得到了重要的应用，但随着数学本身以及应用矩阵的 其他学科的发展，越来越不能满足人们的需要，现代经济数学等众多学科中的重要作用，使矩阵的次正定性研究不仅在理论上，而且在应用上都是有意义的。［关键词］幂等矩阵；高等代数；线性变换浅谈幂等矩阵的性质 侯君芳 黄丽莉 （郑州旅游职业学院，河南郑州 450009） 在高等代数的研究中，矩阵占有重要的地位，线性变换中的许多问题都是通过矩阵来解决的。幂等矩阵是一类特殊的矩阵，本篇文章探讨的就是幂等矩阵的性质，研究过程中运用的特殊符号说明如下：A T 矩阵A 的转置，A H 矩阵A 的共轭转置R （A ）矩阵A 的值域，N （A ）矩阵A 的核空间。 幂等矩阵 定义[1]设A ∈C n ×n ，若A 2=A 则称A 是幂等矩阵。定理1若P 是幂等矩阵，则 1）P T ，P H ，E-P T ，E-P H 是幂等矩阵。2）P （E-P)=（E-P ）P=03）Px=x 的充要条件是x ∈R （P ） 证明：1）P 2=P =>（P T ）2=（P 2）T =P T =>P T 为幂等矩阵P 2=P =>（P H ）2=（P 2）H =P H =>P H 为幂等矩阵 （E-P ）2=（E-P ）（E-P ）=E 2-EP-PE+P 2=E-2P+P 2=E-P 故E-P 为幂等矩阵 （E-P T ）2=（E-P T ）（ E-P T ）=E 2-EP T -P T E+（P T ）2 =E-P T 故E-P T 为幂等矩阵 （E-P H ）2=（E-P H ）（ E-P H ）=E 2-EP H -P H E+（P H ）2=E-P H 故E-P H 为幂等矩阵 2）P （E-P ）=PE-P 2=P-P 2=0（E-P ）P=EP-P 2=P-P 2=0故P （E-P ）=（E-P ）P=0 3）设x 满足Px=x ，则x ∈R （P ）。反之，若x ∈R （P ），则必存在y ∈C n ，使得Py=x ，于是，Px=P （Py ）=Py 结论的几何意义是P 的特征值为1的特征子空间就是P 的值域。定理2秩为r 的n 阶。矩阵P 是幂等矩阵的充要条件是存在C ∈C n ×n 使得 C -1PC= Er 0（1） 证明：必要性：设J 是P 的Jordan 标准形，C ∈C n ×n ，且 C -1PC=J=J 1J 2··J i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i s ，J i = λi 1λi 1··λi i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i n i ×n i J i 是Jordan 块。由于P 2=P ，则J 2i =J i （i=1，2，3…s ）。欲使J i 2=J i ，必须n i =1。因此J 是对角阵。又由P 2=P 。知λi =0或1，故r=rankJ=trP 。 充分性：由 Er 02 =Er 0知P 2 =P 。推论[1]rankP=trP 证明：由上题的（1）知幂等矩阵的特征值非1即0。且r=rankP 又有式（1）知 trP=λ1+λ2+…+λN =r 其中λ1，λ2…λN 是P 的n 个特 征值 矩阵的性质通常从以下几方面来研究：矩阵的秩，矩阵的相似对角化，矩阵的特征值对于幂等矩阵我们也从这几方面入手，讨论其具有的性质。 性质1若A 为n ×n 矩阵且A 2=A ，则A 相似于一对角阵 Er 证明：取一线性空间V （n 维）及一组基ε1，ε2…εn 定义一线性变换A ：V →V ，A α=A α则A （ε1，ε2，…εn ）=(ε1，ε2…εn )A 。由A 2=A ，则A 2=A 。A α∈A ∩A -1（0），设α=A β，β∈V ，A α=A 2β=β=α。又A α=0，则α=0，则AV+A -1（0）为直和。所以V=A +A -1（0）。在子空间AV 中取基η1η2…ηr ，在子空间A -1(0)取基ηr+1ηr+2…ηn ，则向量组η1，η2…ηr ηr+1…ηn 就是V 的一组基。又A η1=η1，A η2=η2…A ηr =ηr 且A ηr+1=0，A ηr+2=0…A ηn =0，A （η1，η2…ηn ）=（η1，η2…ηn ）Er 所以А相似于Er 性质2若А为n ×n 幂等矩阵，且R （ A 2 ）=R （A ）则有以下结论成立 1）Ax=0与A 2x=0同解 2）对于任意自然数P ，均有R （A p ）=R （A ） 证明：设R （A ）=r 显然Ax=0的解均为A 2x=0的解；设有一基础解系η1，η2…ηn-r 则此基础解系也为A 2x=0的解，并且线性无关，而 R （A 2 ） =r ，所以η1，η2…ηn-r 也为A 2x=0的基础解系，那么Ax=0与A 2x=0同解 若α为A 2x=0的解，则A 2α=0= >A 3α=0，则α为A 3E=0的解，反之，若α为A 3x=0的解，则A 3α=0即A 2A α=0，说明向量A α=0为方程组A 2x=0的解，由（1）则A α为Ax=0的解，则有A 2α=0，即α也为A 2x=0的解，所以A 2x=0与A 3x=0同解。因此，照 此方法类推，则必有R （ A p ）)=R （A ）。性质3若A 为n 阶方程，且R （A ）+（E-A ）=n ，则A 2=A 证明：设V 为n 维线性空间，其基ε1，ε2...εn 定义下述线性变换A ：V →V ，A （ε1，ε2...εn ）=（ε1，ε2...εn ）A （E-A ）（ε1，ε2...εn ）=（ε1，ε2...εn ）（E-A ），dim （AV ）=R （A ），dim [（E-A ）]=R （E-A ）由题设，则dimAV+dim （E-A ）=n (1) A α∈V ，α=A α+（α-A α）∈AV+（E-A ）V ，则V=AV+ （E-A ）V 则V=AV +（E-A ）V 。下证A 2=A ，其实A α∈V ，有A 2α-A α=A （A-E ）α∈AV ∩（E-A ）α={0}。因此A 2α=A ，则 A 2=A ，从而A 2=A 。 下面通过三个例题说明幂等矩阵的性质与应用 例1设A 为n ×n 矩阵，且R （A ）=r ，证明：A 2=A 当且仅当A=CB ，其中C 为n ×r 矩阵，秩为r ，B 为r ×n 矩阵，秩也为r ，且有BC=E r 。 证明：必要性：由于A 2=A ，由性质（1）则A 必（下转第13页）6

矩阵分析

I. QUESTION I Summarize the known constructions of orthogonal matrices and unitary matrices. Give some numerical examples for each construction. 1》正交矩阵：是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这 里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵可以看做是一种特殊的酉矩阵，但存在一种复正交矩阵，复正交矩阵不是酉矩阵。 正交矩阵有以下几种等价定义及其判定 (满足的结构性质) 定义1.1 A 为n 阶实矩阵,若E AA =',则称A 为正交矩阵. 定义1.2 A 为n 阶实矩阵,若E A A =',则称A 为正交矩阵. 定义1.3 A 为n 阶实矩阵,若1-=A A ,则称A 为正交矩阵. 定义1.4 A 为n 阶实矩阵,若A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向量,则称A 为正交矩阵. 实例： ??? ???-θθθθ c o s s i n s i n c o s ?? ????1001 2》酉矩阵：n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基， 则U 是酉矩阵。酉矩阵是正交矩阵往复数域上的推广。 酉矩阵的相关性质： 设有矩阵 ，则 （1）若是酉矩阵，则的逆矩阵也是酉矩阵； （2）若是酉矩阵，则也是酉矩阵； （3）是酉矩阵的充分必要条件是，它的个列向量是两两正交的单位向量。

一个简单的充分必要判别准则是： 酉矩阵的共轭转置和它的逆矩阵相等 酉矩阵基本性质:(A 是酉矩阵) 1.A 的行列式的模等于1 2.H A A =-1,11)()(--=H H A A 3.1-A 也是酉矩阵，两个n 阶酉矩阵的乘积也是酉矩阵 4.A 的每个(列)行向量(看作酉空间n C 的向量)是单位向量；不同的两个(列)行向量是酉矩阵正交的。 实例： ?? ? ? ??++ββαα s i n c o s 00s i n c o s i i （βα,为任意角度） II. QUESTION II A Hadamard matrix of order n is an n n ?matrix with elements in {}1,1+- such that T n n HH nE ?=where T H is the transpose of H and n E is the identity matrix of order n .This class of matrices are useful in many practical applications. Q1 Does Hadamard matrix exist for any order? Please list a Hadarmard matrix of order n with 20n ≤ if such a matrix exists. Q2 Design two Hadamard matrices []12 ;;; n H h h h =and 12; ; [; ]n G g g g = of order 2m n = (where m is odd) such that: 12/2; ;{}; n h h h is orthogonal to 12/2 ; ;{}; n g g g ;and