一维方势阱中粒子的能量本征值

一维方势阱中粒子的能量本征值

王雅楠

赤峰学院物理与电子信息工程学院，赤峰024000

摘要：量子力学教学中一个基本的问题是用薛定谔方程处理一维方势阱中运动的粒子， 关键词：

1 一维势场中粒子的能量本征态的一般性质

设质量为m 的粒子在一维势场()V x 中(考虑定态的情况下)的能量本征方程为

22

2

()()()2d Vx x E x m d x ψψ??-+=????

（1） 在上式中，()()V x V x *

=（实数值）；E 为能量本征；()x ψ为相应的能量本征态。

以下是该方程的解，即能量本征态的一般性质：

定理一：设()x ψ施能量本征方程（１）的一个解，对应的能量本征值为E ，则()x ψ*也是方程（１）的一个解，对应的能量也是E 。

定理二：对应于能量的某个本征值E ，总可以找到方程（１）的一组实解，凡是属于E 的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加。

定理三：设()V x 具有空间反射不变性，()()x V x V =-。如()x ψ是方程（１）的对应于能量本征值E 的解，则()x ψ-也是方程（１）的对应于能量E 的解。

定理四：设()()V x Vx -=，则对应于任何一个能量本征值E ，总可以找到方程（１）的一组解（每个解都有确定的宇称），而属于能量本征值E 的任何解，都可用它们来展开。

定理五：对于()21V V -有限的阶梯形方位势12,;

(),,

V x a V x V x a

>?能量本征函数()x ψ及其

导数()x ψ'必定是连续的（但如果21V V -→∞，则定理不成立）。

定理六：对于一维粒子，设()1

x ψ

与()2x ψ均为方程（１）的属于同一能量E

的解，

则()()12x x ψψ'－()()21x x ψψ'＝常数（与x 无关）。

定理七：设粒子在规则势场()V x 中运动（()V x 无奇点），如存在束缚态，则必定不简并。

2 方势

方势阱是指如图所示一种理想的势能位形，当电子处在这样的一个势能的阱中时，其能量将产生量子化，即只可取一些分立的值，相应于这样的一些能量值1E , 2

E , 3

E

，…的

波函数，，3()x ? ，…的形状也将不相同。

3理论推导并计算各种一维方势阱的能量本征值

3.1理论推导并计算一维无限深方势阱的能量本征值

所谓一维无限深方势阱，就是粒子在势阱中的势能为零，而在势阱外势能等于无限大

一种情况是一维非对称无限深方势阱，即

质量为m 的粒子只能在0x a <<的区域内自由运动，势能函数为：

()0

,0;

,0,.

x a V x x x a <

∞<>?

定态薛定谔方程为：

a

x

∞

∞

U U

()2

22

02d E x a m d x

ψ

ψ-=<< 当0x <和x a >时，

()0x ψ=；

当0x a <<时 ，

2

22

2d E m d x ψψ-= ()()()222

200d x m E x xa d x

ψψ+=<< 令

2

/k m E = 代入薛定谔方程得：

()()22

2

0d x k x d x

ψψ+= 此方程的通解为：

()

s i n c o s x A k xB k x ψ=+ 由于阱壁无限高，所以()00ψ= ()0a ψ=

()()()()s i n 0c o s 00(

1)s i n c o s 0

(2)A B A a B a +=+=　

由式（1）得B =0 波函数为：

()s i n x A

k x ψ= 由式（2）得：

s i n 0A k a =

于是

k a n

π= 即

()

21,2,3k m E n a n π

=== 由此得到粒子的能量本征值：

2222,1,2,32n E n n m a π??== ???

另一种情况是一维对称无限深方势阱

质量为m 的粒子只能在x a <的区域内自由运动，势能函数为:

()0,;2,.

2

a

x V x a

x ?<

??

=?

?∞≥??

定态薛定谔方程为：

阱外： ()()22

222

-2d x E x m d x ψψ??+∞=???? 阱内： ()()2

21

12-2d

x E x m d x

ψψ= 当2

a

x ≥

时， ()0x ψ=；

当2

a

x <

时 ， 2

22

2d E m d x ψψ-= 令

2

/k m E = 代入薛定谔方程得：

()()22

2

0d x k x d x

ψψ+= 此方程的通解为：

()

s i n c o s x A k xB k x ψ=+ 由于阱壁无限高，所以02a ψ??

=

???

02a ψ??

-= ???

∞

∞

2

a -

2

a x

U

U

sin cos 0(1)

22sin cos 0(2)

22a a A B a a A B ????

+= ? ?????

????

+= ? ?????

-　

解得：

s i n 02c o s 02a A k a B k ??=

??

?

??=

???

A 和

B 不能同时为零，因此，得到两组解:

0c o s 02

0sin 02a A k a B k ?

?

==

??

?

?

?==

??

?

由此可解得：

,1,2,32

n

k a n π=

= 对于第一组解，n 为偶数；对于第二组解，n 为奇数。由此可得体系的能量为：

222

2,8n n E n m a

π=

= 整数.

3.2理论推导并计算一维有限深方势阱的能量本征值 3.3理论推导并计算一维不对称方势阱的能量本征值

3.4理论推导并计算半壁无限高势场的能量本征值

结论

参考文献：

结构化学第一章习题

《结构化学》第一章习题 1001 首先提出能量量子化假定的科学家是：---------------------------( ) (A) Einstein (B) Bohr (C) Schrodinger (D) Planck 1002 光波粒二象性的关系式为_______________________________________。 1003 德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。 1004 在电子衍射实验中，│ψ│2 对一个电子来说，代表___________________。 1005 求德布罗意波长为0.1 nm 的电子的动量和动能。 1006 波长λ=400 nm 的光照射到金属铯上，计算金属铯所放出的光电子的速率。已知铯的临阈波长为600 nm 。 1007 光电池阴极钾表面的功函数是2.26 eV 。当波长为350 nm 的光照到电池时，发射的电子最大速率是多 少？ (1 eV=1.602×10-19J ， 电子质量m e =9.109×10-31 kg) 1008 计算电子在10 kV 电压加速下运动的波长。 1009 任一自由的实物粒子，其波长为λ，今欲求其能量，须用下列哪个公式---------------( ) (A) λ c h E = (B) 2 2 2λm h E = (C) 2 ) 25.12 (λ e E = (D) A ，B ，C 都可以 1010 对一个运动速率v<

一维无限深势阱

6.ξ一维无限深势阱 考虑一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域内： 0,,x x a U x a ?

,sin cos 0 sin cos 0 sin 0 cos 0 x a A a B a x a a B a a B a αααααα=+==-+===时时，A 两式相减，得：A 两式相加，得： 因A,B 不能同时为0，否则，sin cos A x B x ψαα=+处也为0，这在物理上无意义。（物理问题对ψ的要求） 所以，得到两组解：⑴0,cos 0A a α== ⑵0,sin 0A a α==对第⑴组解，有,1,3,5.......2n a n απ==对第⑵组解有：,2,4,6 (2) n a n απ== 合并，即有：,1,2,3,4,5 (2) n a n απ==其中对⑴组，n 取奇数，对第⑵组n 取偶数，注意，n 不能取0，否则ψ=0，将2n a απ=代回12 22E μα??= ???，得体系的能量本征值为：222 2 ,8n n E n a πμ=为整数这说明，并非任何E 值所相应的波函数都能满足本问题所要求的边条件，而只能取上式给出的那些分立值n E ，此时的波函数在物理上才是可接受的。 这样，我们得到：体系的能量是量子化的，即能谱是分立的。n E 称为体系的能量本征值。相应的本征波函数为：P36 第一组n ψ为偶函数，即波函数具有偶宇称 第二组n ψ为奇函数，即波函数具有奇宇称 两式合并，得n ψ 的表达式，进行归一化，得'A = 子的定态波函数为：()()(),sin 2n n iE iE t t n n x n x t e x a e a a πψ--ψ==+（n ψ，与n E 对 应关系，粒子处于1ψ态时，E 有确定值2E ） 讨论：①粒子最低能级22 1208E a πμ=≠，这与经典粒子不同，是微观粒子波

三维势箱中粒子能量的表达式为当a=bc时,

1.27 当粒子处在三维立方势箱中(a=bc <22E E '=a c =2 2()2H T V V r m =+=- ?+2222222222222222 2111cot sin x y z r r r r r r θθθθφ?????????=++=++++????????

一维无限势阱

一维无限深势阱 定义编辑 粒子在一种简单外力场中做一维运动，其势能函数为U(X)=0 （-a

电子在一维无限深势阱中运动，用经典力学描述和量子力学描述得到了完全不同的结果。 按照经典概念，当外界向它提供能量时，电子可获得此能量而自身能量发生连续变化。电子在阱内任何位置出现的概率也是相等的。然而，按照量子力学观点，它的行为却不是这样的。 (1) 定态薛定谔方程的解 电子所受的保守力，在边界处电子所受的力无限大，指向阱内，意味着电子不可能越出阱外，由波函数物理意义可知势阱外波函数。电子在势阱内势能为零，受力为零。势阱内定态薛定谔方程为 令 方程变为

其解为 根据波函数应满足的标准化条件，波函数应在边界x=0和x=a上连续 得 应用归一化条件 求得 于是定态波函数为 (2) 能量量子化 因，合并(23.3.3)式，即得到一维无限深势阱中的电子能量

一维方势阱

2.4 一维方势阱 本节我们要讨论一维方势阱问题。所谓一维方势阱指的是在一维空间中运动的微观粒子，其势能在一定的区间内，为一负值，而在此区间之外为零，即 00,0,(),0,0,,x U x U x a x a ≤?? =-≤≤??≥? （2.76） 其相应的势能曲线如图2.6所示 图2.6 一维方势阱 下面我们就E 大于与小于零的两种情形分别讨论如下： （1）E>0的情形。 此时，描述粒子运动状态的波函数()x φ所满足的定态薛定谔方程为 22220,l l d m E dx φφ== （2.77） 202 22()0,l m d m E U dx φφ=+= （2.78） 22220,r r d m E dx φφ== (2.79) 式中,l m φφ与r φ分别为粒子位于左方区间、势阱区间与右方区间中的波函数。 为方便起见，令 22 12022 22，()。m m k E k E U = =+ （2.80） 则上述三式可改写为 2212 0,l l d k dx φφ== (2.81) 22 22 0,m m d k dx φφ== (2.82) 2212 0,r r d k dx φφ== (2.83) 其解分别为 1 1 (),ik x ik x l x Ae A c φ-'=+ （2.84） 2 2 (),ik x ik x m x Be B c φ-'=+ （2.85）

1 1 (),ik x ik x r x Ce C c φ-'=+ （2.86） 显然，C 必须为零，利用φ及其导数的连续性条件即可求得、 A C '与A 关系为 2222 1222212122()sin ,()()ik a ik a i k k k a A A k k e k k e --'=--+ (2.87) 122122212124,()()ik a ik a ik a k k e C A k k e k k e --=--+ (2.88) 从而求得其反射系数R 与透射系数T 分别为 222 2122222222 12212()sin ,()sin 4k k k a R k k k a k k -=-+ （2.89） 22 12 222222 12212 4,()sin 4k k T k k k a k k -=-+ （2.90） 由此可见，对于方势阱而言，即使是在E>0的情形下，一般而论，其透射系数T 小于1，而反射系数R 则大于零，二者之和也是等于1。 显然，在2(1,2,)k a n n π== 的特定情形下，其透射系数T 等于1。这种透射亦叫共振透射。此时，有 22 022(),m E U a n π+= (2.91) 与之相应的能量为 222 02 ,2n E U ma π=- (2.92) E n 叫做共振能级。当阱深与阱宽一定时，透射系数T 与人射粒子能量E 的关系如图2.7所示。 图2.7 势阱的透射系数T 与入射能量的关系 当粒子能量E 与阱深一定时，有 0min 2 00 4() ,4()E E U T E E U U += ++ (2.93) 又当入射粒子能量与阱宽一定时，透射系数是阱深U 0的函数，且当满足 222 02 ()2n U n E ma π=- (2.94) 时，T =1。 （2）E<0的情形。 此时，粒子的波函数应满足的定态薛定谔方程为 22220,l l d m E dx φφ-= (2.95)

一维方势阱中粒子的能量本征值

一维方势阱中粒子的能量本征值 王雅楠 赤峰学院物理与电子信息工程学院，赤峰024000 摘要：量子力学教学中一个基本的问题是用薛定谔方程处理一维方势阱中运动的粒子， 关键词： 1 一维势场中粒子的能量本征态的一般性质 设质量为m 的粒子在一维势场()V x 中(考虑定态的情况下)的能量本征方程为 22 2 ()()()2d Vx x E x m d x ψψ??-+=???? （1） 在上式中，()()V x V x * =（实数值）；E 为能量本征；()x ψ为相应的能量本征态。 以下是该方程的解，即能量本征态的一般性质： 定理一：设()x ψ施能量本征方程（１）的一个解，对应的能量本征值为E ，则()x ψ*也是方程（１）的一个解，对应的能量也是E 。 定理二：对应于能量的某个本征值E ，总可以找到方程（１）的一组实解，凡是属于E 的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加。 定理三：设()V x 具有空间反射不变性，()()x V x V =-。如()x ψ是方程（１）的对应于能量本征值E 的解，则()x ψ-也是方程（１）的对应于能量E 的解。 定理四：设()()V x Vx -=，则对应于任何一个能量本征值E ，总可以找到方程（１）的一组解（每个解都有确定的宇称），而属于能量本征值E 的任何解，都可用它们来展开。 定理五：对于()21V V -有限的阶梯形方位势12,; (),, V x a V x V x a ?能量本征函数()x ψ及其 导数()x ψ'必定是连续的（但如果21V V -→∞，则定理不成立）。 定理六：对于一维粒子，设()1 x ψ与()2x ψ均为方程（１）的属于同一能量E 的解， 则

结构化学 第一章练习题答案

现代结构化学 2010.9 第一章 量子力学基础知识 练习题 1.（北师大95）微观粒子体系的定态波函数所描述的状态是（ B ） A. 波函数不随时间变化的状态 B ．几率密度不随时间变化的状态 C. 自旋角动量不随时间变化的状态 D. 粒子势能为零的状态 2.（北大93）ψ是描述微观体系（运动状态）的波函数。 3.（北师大20000）若11i e αψψψ=+，其中α为实常数，且1ψ已归一化，求 ψ的归一化常数。 解：设11()i A e αψψψ=+是归一化的， 2*21 111()()(2)1i i i i d A e e d A e e ααααψψτψψψψτ*-=++=++=?? A = = 4.（东北师大99）已知一束自由电子的能量值为E,写出其德布罗意波长表达式，并说明可用何种实验来验证（10分） h h P mv λ=== E=1/2mv 2 (mv)2=2mE 电子衍射实验 5.（中山97）（北大98）反映实物粒子波粒二象性的关系式为（,h E hv P λ == ）

6．（中山97）一维势箱长度为l ，则基态时粒子在(2 l )处出现的几率密度最大。 （中山2001）一维势箱中的粒子，已 知n x l πψ=，则在( 3(21),,......., 222l l n l n n n -)处出现的几率密度最大。 解法1：ψ的极大和极小在ψ2中都为极大值，所以求ψ的极值（包括极大和极小）位置就是几率密度极大的位置。 n x l πψ=

'cos 0 (21) 0,1,2,3 (2) (21) 0,1,2,3... 2 0 (21)2n n x l l n x m m l m l x m n x l m n ππψππ==+==+==≤≤∴+≤ 解法2： n x l πψ= 几率密度函数 2 22sin n x P l l πψ== 求极值：(sin2α=2Sin α?cos α) 22'2s i n c o s 22sin 022sin 0 = 0,1,2,3,... 22= 0 20,212 1,3,5 (21) 2n x n x n P l l l l n n x l l n x n x m m l l ml x n x m x l m n l n m n m m ml x m n n ππππππππ====== ≤≤∴≤===∴==-为边界，不是极值点为极大值，为极小值... 极大值位置为 7.（北大93）边长为l 的立方势箱中粒子的零点能是(2 2 38h E ml =)

一维无限深势阱 (2)

论文题目：一维无限深势阱简述 制作人：刘子毅（应用物理（1）） 学号：09510113

一维无限深势阱 一、引言 Hu = Eu, ,2222Eu Vu dx u d m =+- (1) 在图中Ⅰ区，-a/2a/2, V=∞. 现在解Ⅰ区情况的方程，V=0，（1）式成为

.2,22 2 22 mE k u k u mE dx u d =-=-= 设ax e u =，那么u a u n 2 =，代入上式， u k u a 22-= ik a ±= 所以 ikx ikx Be Ae u -++= kx D kx C u sin cos += （2） （2）式是Ⅰ区的通解。 2、一维无限深阱电子的基态 2 2 22 22 282n md h n md E n == π n=1、2、3…… 无量纲处理：以波尔半径2 2 00m e a ε= 里德伯2024 2ε me R y =分别为长度和能量单位 能量可化为2 1 d E π 3、数值模拟 当n=1时，1E 和d 的一组数值用计算机编程模拟如下： 设d 从0.3 3.0 include ?stdio.h ? include ?math.h ?

main() { double e,d,c; int i; c=3.14,d=0.3; for(i=0;i ?10;i++) { e=c/(d*d); printf(“%lf ”，&e)； d=d+0.3;} } d 的取值利用画图软件描绘出横坐标为d ，纵坐标为E 的曲线 设d 从0.3 3.0，能量化简为：2 1d E π = 模拟如下：

量子力学 一维无限深势阱

５５ §2.6一维无限深势阱（Potential Well ）(理想模型) 重点：一维无限深势阱中粒子运动的求解 难点：对结果的理解 实际模型：金属中电子的运动，不计电子间的相互碰撞，也不考虑周期排列的金属离子对它们的作用。 一、写出本征问题 势场为：? ??≥∞<=a x ,a x ,0)x (U 区域I（阱内，a x <）方程为： )x (E )x (dx d 2I I 2 2 2ψ=ψμ?h (1) 区域II、III（阱外，a x ≥）方程为： )x (E )x ()U dx d 2()III (II )III (II 022 2ψ=ψ+μ?h (2) 其中∞=0U 。 波函数的边界条件是：)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I ?ψ=?ψ (3) 二、求解本征方程 我们令2E 2h μ=α， 20)E U (2'h ?μ=α (4) 则：)x (E )x (dx d 2I I 2 2 2ψ=ψμ?h 的解为: x i x i I Be Ae )x (αα?+=ψ a x < (5)

５６ )x (E )x ()U dx d 2()III (II )III (II 022 2ψ=ψ+μ?h 的解为: x 'x 'II e 'B e 'A )x (αα?+=ψ a x ≥ (6) x 'x 'III e ''B e ''A )x (αα?+=ψ a x ?≤ (7) 由(6)-(7)式和波函数的有限性知: 0'B ,0''A ==，即： x 'II e 'A )x (α?=ψ a x ≥ x 'III e ''B )x (α=ψ a x ?≤ 又由于∞=0U ，则：∞=?μ=α20) E U ( 2'h 于是：0)x ()x (III II =ψ=ψ (8) 而)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I ?ψ=?ψ；x i x i I Be Ae )x (αα?+=ψ 则：???=+=+α?ααα?0Be Ae 0 Be Ae a i a i a i a i (9) 于是A、B 不能全为零的充分必要条件为： 0e e e e a i a i a i a i =α?ααα?， 即：0)a 2sin(=α 解之得：a 2n π =α，,....2,1,0n ±±= (10) 将其代入到???=+=+α?ααα?0Be Ae 0Be Ae a i a i a i a i ，得：0Be Ae 2 /in 2/in =+ππ? 即:B )1(A 1n +?= 代入x i x i I Be Ae )x (αα?+=ψ中，得：

18_08_势阱中的粒子 势垒 谐振子

18_08 势阱中的粒子 势垒 谐振子 1 一维无限深势阱中的粒子 势阱模型 —— 微观粒子的运动限制在一维无限深势阱中，如图XCH005_023所示 —— 金属中的电子逸出金属表面需要一定能量，电子的运动被限制在以金属块表面为边界的无限深势阱中 —— 质子在原子核中的势能也是势阱 粒子沿X 轴作一维运动，势能函数 ()00()0,U x x a U x x x a =<

—— 量子数为n 的定态波函数 ()sin n n n x A x a πψ= 由归一化条件 2 22 ()sin 1n n x dx A xdx a πψ+∞ +∞ -∞ -∞ = =?? —— 2 n A a = 粒子波函数：0 0,()2sin 0n x x a x n x x a a a ψπ ≤≥?? =?<

第17讲 一维无限深方势阱中的粒子

近代物理第五周学习内容第17讲一维无限深方势阱中的粒子第18讲一维方势垒势垒贯穿 第19讲简谐振子 第20讲氢原子 第21讲电子自旋

)()()()(r E r r U r m ψψψ=+?-22 2定态薛定谔方程 2 2 22 22 2 z y x ??+??+??=?

定态薛定谔方程的应用 定态条件：U = U (x ，y ，z )不随时间变化。 (1) 一维自由运动微观粒子 U = 0 (2) 一维无限深势阱中粒子 (3) 谐振子 2 22 22x m kx x U ω==)((4) 氢原子 r e r U 02 π4ε- =)(?? ?≥≤∞<<=a x x a x x U 0 0 0，)(

结论 一维无限深方势阱中粒子 氢原子 (1) 能量量子化 谐振子 )( 2 1 0 21，，，=??? ??+=n h n E n ν)()( 3 2 1 eV 6 .132 ，，，=-=n n E n )( 3 2 1 2π2 2 22，，，==n n ma E n

一维无限深方势阱中粒子 谐振子 氢原子 E a x E 1 n = 1 4E 1 n = 2 9E 1 n = 3 0 E n (eV ) r -13.6 -3.4 -1.5 E 0 E 4 E 3 E 1 E 2 ω E 2 ω (2) 能级分布图

(3)一维无限深方势阱中的粒子的定态物质波相当 于两端固定的弦中的驻波，因而势阱宽度a 必须等于德布罗意波的半波长的整数倍。 λ n n= a 2 (4)能级跃迁 从基态跃迁到激发态时，所需能量称为激发能。

一维非对称方势阱中的粒子

一维非对称方势阱中的粒子 一、实验任务 求解实物粒子在一维非对称方势阱中的分布。 二、实验目的 1、加强对一维势阱理论知识的掌握。 2、掌握薛定谔方程及能量本征方程的求解。 3、理解微分方程数值解求解的思路。 三、理论基础 1、薛定谔方程 薛定谔方程描述了实物粒子在的波函数() ,r t ψ随着时间、空间变化的规律，是量子力学的基本假设之一。其形式如下： 其中，m 是粒子质量， 是拉普拉斯算符，() V r 描述空间中的势场分布。 显然，薛定谔方程为偏微分方程。 量子力学中，粒子的波函数(),,r x y z =没有任何物理意义，但是() 2 ,r t ψ表 示在空间点(),,r x y z =找到该粒子的概率。 2、能量本征方程 不含时薛定谔方程与时间无关，它预言波函数可以形成驻波，称为定态（在原子物理学里，又称为轨道，例如，原子轨道或分子轨道），假若能够计算出这些定态，分析出其量子行为，则解析含时薛定谔方程会变得更为简易。不含时薛定谔方程为描述定态的方程。 3、一维方势阱 一维方势阱是量子力学中最为简单的势场分布，研究粒子在其中的分布规律，有助于对基本原理的理解，同时又是其它复杂问题的基础。一般地，一维方势阱V(x)可以表示为：

()()1 02 ,2 ,22,2a V x a a V x V x x a V x ? ≤-?? ? =-<

物理化学第八章课后题答案

第八章 量子力学基础 8.1 同光子一样，实物粒子也具有波动性。与实物粒子相关联的波的波长，即德 布罗意波长给出。试计算下列波长。（1 eV=1.6021771910-? J ，电子质量9.1093110-?kg ，中子质量1.6742710-?kg ） (1) 具有动能1eV ，100 eV 的电子； (2) 具有动能1eV 的中子； (3) 速度为640m/s 、质量为15g 的弹头。 解：德布罗意波长可以表示为：p h m v h == λ，那么将上述的实物粒子的质量和动能带入公式即可得： （1）动能1eV 的电子的波长为 m m mE h p h k 9193134 10266.110602177.1110109.9210626.62----?=??????===λ 动能100eV 的电子 m m mE h p h k 10193134 10266.110602177.110010109.9210626.62----?=??????===λ （2）动能1eV 的中子的波长为 m m mE h p h k 11192734 10861.210602177.1110674.1210626.62----?=??????===λ （3）速度为640m/s 、质量为15g 的弹头的波长为 m m mv h 353 34 10902.6640 101510626.6---?=???==λ 8.2 在一维势箱问题求解中，假定在箱内()0V x C =≠（C 为常数），是否对其解 产生影响？怎样影响？ 解：当()0V x C =≠时，一维势箱粒子的Schr?dinger 方程为 ()()() ()()()()()2 22 2 2 2222d 2d d d '2d 2d x C x E x m x x x E C x E x m x m x ψψψψψψψ-+=∴-=-?-= 边界条件不变，因此Schr?dinger 方程的解为

结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案

量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案） 1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。 1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值 _______________。 1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1， ψ2， ψ3，…。正交性的数学表达式为 ， 归一性的表达式为 。 1106、│ψ (x 1， y 1， z 1， x 2， y 2， z 2)│2代表______________________。 1107、物理量xp y - yp x 的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________， 最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时， 粒子出现在0 ─ l /2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l 、宽为2l 的长方形势箱中运动， 则其本征函数集为____________，本征值谱为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为2 247m a h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E =2 2 43m a h 的简并度是_____，E '=2 2827m a h 的简并度是______________。

(完整版)结构化学课后答案第一章

01.量子力学基础知识 【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm ，这是Li 原子由电子组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以k J ·mol -1 为单位的能量。 解：81 141 2.99810m s 4.46910s 670.8m c νλ--??===? 41 7 11 1.49110cm 670.810cm νλ--===??% 34141 23-1 -16.62610J s 4.46910 6.602310mol 178.4kJ mol A E h N s ν--==??????=? 【1.2】 实验测定金属钠的光电效应数据如下： 波长λ/nm 312.5 365.0 404.7 546.1 光电子最大动能E k /10-19J 3.41 2.56 1.95 0.75 作“动能-频率”，从图的斜率和截距计算出Plank 常数(h)值、钠的脱出功(W)和临阈频率(ν0)。 解：将各照射光波长换算成频率v ,并将各频率与对应的光电子的最大动能E k 列于下表： λ/nm 312.5 365.0 404.7 546.1 v /1014s －1 9.59 8.21 7.41 5.49 E k /10－ 19J 3.41 2.56 1.95 0.75 由表中数据作图，示于图1.2中 E k /10-19 J ν/1014g -1 图1.2 金属的 k E ν -图 由式 0k hv hv E =+ 推知 0k k E E h v v v ?= =-? 即Planck 常数等于k E v -图的斜率。选取两合适点，将k E 和v 值带入上式，即可求出h 。 例如： ()()1934 141 2.70 1.0510 6.60108.5060010J h J s s ---?==?-?g

无限深方势阱和有限深方势阱能量本征方程

Infinite Square Well Potential x -a a 0 U(x) ∞ ∞ 0, (), x a U x x a ?

一维无限深势阱

一维无限深势阱 2. 判断题 题号：60821001 分值：2分 难度系数等级：1级 在一维无限深势阱中粒子运动的能量不能连续地取任意值，只能取分立值，即能量是量子化的。 答案：对 题号：60821002 分值：2分 难度系数等级：1级 在一维无限深势阱中粒子运动的能量的量子化是强行引入的。 答案：错 题号：60822003 分值：2分 难度系数等级：2级 在一维无限深势阱中粒子运动的能量的最小值为零。 答案：错 题号：60821004 分值：2分 难度系数等级：1级 在一维无限深势阱中微观粒子在各处出现的概率不均匀。

答案：对 题号：60822005 分值：2分 难度系数等级：2级 微观粒子在一维无限深势阱中各能级的阱壁处出现的概率为零 答案：对 3．填空题 题号：60834001 分值：2分 难度系数等级：4级 一维无限深势阱中粒子的定态波函数为a x n a x n πψsin 2)(=。则粒子处在基态时，在x ＝0 到3 a x = 之间被找到的概率 。( C x x x x +-= ?2sin )4/1(2 1 d sin 2 ) 答案：π 43 31- （或0.19） 题号：60834002 分值：2分 难度系数等级：4级 一维无限深势阱中粒子的定态波函数为a x n a x n πψsin 2)(=。则粒子处于第一激发态时，在x ＝0到3 a x =之间被找到的概率 。( C x x x x +-= ?2sin )4/1(2 1 d sin 2 )

答案：π 83 31+ （或0.40） 题号：60833003 分值：2分 难度系数等级：3级 一维无限深势阱中粒子的定态波函数为a x n a x n πψsin 2)(=。则粒子处于第一激发态时，在4 a x =处粒子的概率密度 。 答案：a 2 题号：60832004 分值：2分 难度系数等级：2级 一维无限深势阱中粒子的定态波函数为a x n a x n πψsin 2)(=。则粒子处于基态时各处的概率密度 。 答案：a x a π2sin 2 题号：60832005 分值：2分 难度系数等级：2级 一维无限深势阱中粒子的定态波函数为a x n a x n πψsin 2)(= 。则粒子处于基态时，在4a x = 处粒子的概率密度 。 答案： a 1

结构化学答案及题库

1001 首先提出能量量子化假定的科学家是：Planck 1002 光波粒二象性的关系式为E =h ν p =h /λ 1003 德布罗意关系式为,mv h p h ==λ；宏观物体的λ值比微观物体的λ值 小 。 1004 在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表 电子概率密度 。 1009 任一自由的实物粒子，其波长为λ，今欲求其能量，须用下列哪个公式 22 2λ m h E = 1010 对一个运动速率v<

物理化学第八章课后答案完整版

第八章 量子力学基础 8.1 在一维势箱问题求解中，假定在箱内()0V x C =≠（C 为常数），是否对其解产生影响？怎样影响？ 解：当()0V x C =≠时，一维势箱粒子的Schr?dinger 方程为 ()()()()()()()()2 22222222d 2d d d '2d 2d x C x E x m x x x E C x E x m x m x ψψψψψψψ-+=∴-=-?-= 边界条件不变，因此Schr?dinger 方程的解为 ()22'21282πsin n n n E ma n x x a a ψ?=????????= ? ??????? 即()0V x C =≠不影响波函数，能级整体改变C : 222'E E C n ma C =+=+ 8.2 一质量为m ，在一维势箱0x a <<中运动的粒子，其量子态为 ()12 2π3π0.5sin 0.866sin x x x a a a ψ????????=+?? ? ? ????????? （1） （1） 该量子态是否为能量算符?H 的本征态？ （2） （2） 对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？ （3） （3） 处于该量子态粒子能量的平均值为多少？ 解：对波函数的分析可知 ()()() ()()()()132221133220.50.8663??H , H 88x x x h h x x x x ma ma ψψψψψψψ=+== （1） （1） 由于 ()()()(){}(){}()13 222 1322???H 0.5H 0.866H 0.530.50.86688x x x h h x x E x ma ma ψψψψψψ=+=?+?≠ 因此，()x ψ不是能量算符?H 的本征态。