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2019_2020学年高中数学第二章平面解析几何初步2.3.2圆的一般方程学案新人教B版必修2

2．3．2 圆的一般方程

1．了解二元二次方程表示圆的条件． 2．理解圆的一般方程与标准方程的关系． 3．掌握圆的一般方程的特点，能根据给定的条件求圆的一般方程．

1．方程x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．

(1)当D 2

＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点，该点的坐标为(－D 2，－E

2)．

(2)当D 2

＋E 2

－4F ＜0时，方程不表示任何图形．

(3)当D 2＋E 2

－4F ＞0时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为? ????－D 2

，－E

2，半径等于

D 2

＋E 2－4F ，上述方程称为圆的一般方程． (4)圆的一般方程的特征是： ①x 2

和y 2

项的系数相等且不为零； ②没有xy 这样的二次项．

2．只有当①A ＝C ≠0，②B ＝0，③? ????D A 2＋? ??

??E A 2

－4F A ＞0，即D 2＋E 2

－4AF ＞0时，二元二

次方程Ax 2

＋Bxy ＋Cy 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．( )

(2)二元二次方程x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定是某个圆的方程．( ) (3)方程x 2

＋y 2

－2x ＋Ey ＋1＝0表示圆，则E ≠0．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√

2．圆x 2

＋y 2－4x －1＝0的圆心坐标及半径分别为( ) A ．(2，0)，5 B ．(2，0)， 5 C ．(0，2)， 5 D ．(2，2)，5 答案：B

3．如果x 2

＋y 2

－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的取值范围是________．答案：?

????－∞，54

4．过O (0，0)，A (3，0)，B (0，4)三点的圆的一般方程为________．答案：x 2

＋y 2

－3x －4y ＝0

根据圆的一般方程求圆心和半径

求下列各圆的圆心坐标和半径． (1)x 2

＋y 2

－4y ＝0； (2)x 2

＋y 2

＋2ax ＝0(a ≠0)．

【解】法一：将方程分别化为标准方程： (1)x 2

＋(y －2)2

＝4，

圆心坐标为(0，2)，半径为2． (2)(x ＋a )2

＋y 2

＝a 2

，

圆心坐标为(－a ，0)，半径为|a |．法二：(1)因为－D 2＝0，－E

2＝2，

所以圆心坐标为(0，2)，

半径r ＝12 02＋(－4)2

－4×0＝2．

(2)因为－D 2＝－a ，－E

2＝0，

所以圆心坐标为(－a ，0)，

半径r ＝12

(2a )2＋02

－4×0＝|a |．

由圆的一般方程确定几何要素

(1)可将圆的一般方程先转化为标准方程后，再求圆心坐标和半径．

(2)由公式求半径和圆心坐标时，一定要注意圆的一般方程的形式，二次项系数相等且不为零．

下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径．

(1)x 2

＋y 2＋x ＋1＝0；

(2)x 2

＋y 2

＋2ax ＋a 2

＝0(a ≠0)； (3)2x 2

＋2y 2

＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)．解：(1)因为D ＝1，E ＝0，F ＝1，

D 2＋

E 2－4

F <0，

所以方程(1)不表示任何图形．

(2)因为D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2

，所以D 2

＋E 2

－4F ＝4a 2

－4a 2

＝0，所以方程(2)表示点(－a ，0)． (3)两边同除以2，得

x 2＋y 2＋ax －ay ＝0，

因为D ＝a ，E ＝－a ，F ＝0，所以D 2

＋E 2

－4F ＝2a 2

>0．

所以方程(3)表示圆，圆心为? ????

－a 2，a 2，

半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝12a 2＋a 2＝2

|a |．

求圆的一般方程

求经过点C (－1，1)和D (1，3)，且圆心在x 轴上的圆的方程．【解】法一：设圆方程为x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2

＋E 2

－4F >0)．因为圆心在x 轴上，所以－E

2＝0，即E ＝0，

①

又圆过点C (－1，1)和D (1，3)，

所以(－1)2

＋12

＋D ×(－1)＋E ×1＋F ＝0， 12

＋32

＋D ×1＋E ×3＋F ＝0，即E －D ＋F ＋2＝0， ② 3E ＋D ＋F ＋10＝0，

③

联立①②③，解得????

?D ＝－4E ＝0F ＝－6

，

所以圆的方程为x 2

＋y 2

－4x －6＝0．法二：设圆方程为(x －a )2

＋y 2

＝r 2

，

则?

????(－1－a )2

＋12

＝r

(1－a )2＋32＝r 2

，两式相减得(a －1)2－(a ＋1)2

＋8＝0，解得a ＝2，则r ＝10，所以圆的方程为(x －2)2

＋y 2

＝10．法三：因为圆过C 、D 两点，

所以圆心在C 、D 两点间线段的中垂线上．又k CD ＝3－11＋1＝1，CD 中点为(0，2)，

所以CD 的中垂线为y ＝－x ＋2．

令y ＝0，得x ＝2，

所以圆心为(2，0)，半径r ＝(2－1)2

＋32

＝10，所以圆的方程为(x －2)2

＋y 2

＝10．

利用待定系数法求圆的方程的解题策略

(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r ．

(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F ．

求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点(5，2)和(3，－2)的圆的一般方

程．

解：设所求圆的一般方程为x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，

则圆心为? ????－D 2

，－E

2．

因为圆心在直线2x －y －3＝0上，所以2×? ????－D 2－? ????

－E 2－3＝0．

①

又因为点(5，2)和(3，－2)在圆上，所以52

＋22

＋5D ＋2E ＋F ＝0． ②

＋(－2)2＋3D －2E ＋F ＝0．③

解①②③组成的方程组，得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5．所以所求圆的一般方程为x 2

＋y 2

－4x －2y －5＝0．

与圆有关的动点轨迹问题

已知Rt △ABC 中，A (－1，0)，B (3，0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．【解】 (1)法一：(直接法)设C (x ，y )，则k AC ＝

y x ＋1，k BC ＝y

x －3

．因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，即

y x －3·y

x ＋1

＝－1，化简得x 2

＋y 2

－2x －3＝0．由于A 、B 、C 不共线，所以y ≠0．

故顶点C 的轨迹方程为

x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．

法二：(定义法)设线段AB 的中点为D ，则D (1，0)．由题意知|CD |＝1

|AB |＝2．

所以点C 的轨迹是以D 为圆心，以2为半径的圆，其方程为(x －1)2

＋y 2

＝4．由于直角顶点C 不在直线AB 上，所以y ≠0．

故顶点C 的轨迹方程为x 2

＋y 2

－2x －3＝0(y ≠0)． (2)(代入法)设M (x ，y )，C (x 1，y 1)．由第一问知(x 1－1)2

＋y 21＝4(y 1≠0)． ①

又B (3，0)，

M 为BC 中点，由中点坐标公式，

知x ＝

x 1＋3

2，y ＝y 1

，知x 1＝2x －3，y 1＝2y ．代入①式，

得中点M 的轨迹方程为 (2x －4)2

＋(2y )2

＝4，即(x －2)2

＋y 2

＝1(y ≠0)．

已知线段AB 的端点B 的坐标是(5，3)，端点A 在圆(x －1)2

＋y 2

＝2上运

动，求线段AB 的中点M 的轨迹．

解：设点M 的坐标是(x ，y )，

点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点B 的坐标是(5，3)且M 是AB 的中点，所以x ＝

x 0＋5

，y ＝

y 0＋3

，

所以x 0＝2x －5，

y 0＝2y －3． ①

因为点A 在圆(x －1)2＋y 2

＝2上运动，所以点A 的坐标适合方程(x －1)2

＋y 2

＝2，即(x 0－1)2

＋y 2

0＝2． ②

把①代入②，

得(2x －5－1)2

＋(2y －3)2

＝2，整理得(x －3)2＋? ????y －322＝? ??

??222．所以M 的轨迹是以? ??

??3，32为圆心，22为半径的圆．

1．本节的重点是圆的一般方程与如何由圆的一般方程求圆的圆心坐标和半径长(配方法)．我们要理解关于二元二次方程表示圆的条件：

方程x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，通过配方可化为

? ????x ＋D 22＋? ??

??y ＋E 22

＝D 2＋E 2

－4F 4．

当D 2

＋E 2

－4F <0时，方程无轨迹；

当D 2

＋E 2

－4F ＝0时，它的轨迹是点? ????

－D 2

，－E 2；

当D 2

＋E 2

－4F >0时，它的轨迹是圆，可得圆心坐标为? ????－D 2

，－E 2，半径为D 2＋E 2－4F 2．

应注意不要死记硬背结果，而是要掌握通过配方求出圆心坐标和半径的方法． 2．用待定系数法求圆的方程时，要根据题目条件，灵活选用方程形式是解题的关键，选取不同的形式，计算的繁简程度会不同．

二元二次方程x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，只有当D 2

＋E 2

－4F >0时才表示圆，要防止忽略这个条件而出现错误．

1．方程x 2

＋y 2

＋2ax ＋2by ＋a 2

＋b 2

＝0表示的图形是( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b ) D ．点(－a ，－b )

解析：选D ．由配方法得(x ＋a )2

＋(y ＋b )2

＝0，所以方程表示点(－a ，－b )． 2．过圆x 2

＋y 2

＝4上任一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，则PQ 中点的轨迹方程为( )

A ．x 2＋4y 2

＝4 B ．4x 2

＋y 2

＝4 C ．x 2＋y 2

＝14

D ．x 2

＋y 2＝4

解析：选A ．设中点为(x ，y )，则P (x ，2y )，代入x 2

＋y 2

＝4，得x 2

＋4y 2

＝4． 3．已知圆x 2

－4x －4＋y 2

＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是________．解析：由x 2

－4x －4＋y 2

＝0得(x －2)2

＋y 2

＝8，即圆心为P (2，0)，故P 到直线x －y －1＝0的距离为|2－1|2

＝22．

答案：

4．若直线4ax －3by ＋6＝0(a ，b ∈R )始终平分圆x 2

＋y 2

＋6x －8y ＋1＝0的周长，则a ，

b 满足的条件是________．

答案：2a ＋2b －1＝0

[学生用书P123(单独成册)])

[A 基础达标]

1．若圆x 2

＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为2

，则a 的值为( ) A ．－2或2 B ．12或3

2 C ．2或0

D ．－2或0

解析：选C ．由圆心(1，2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝2

2，得a ＝0或a ＝2．故

选C ．

2．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )

A ．x 2

＋y 2

－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2

＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2

＋y 2

＋2x －4y ＝0

D ．x 2

＋y 2

－2x －4y ＝0

解析：选C ．直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，

由?

????－x －y ＋1＝0，

x ＋1＝0得C (－1，2)．所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2

＝5，即x 2

＋y 2

＋2x －4y ＝0．

3．已知方程x 2＋y 2

－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)

B ．(3，＋∞)

C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)

D ．? ??

??－32，＋∞ 解析：选A ．方程可化为：(x －1)2

＋y 2

＝－2k －2，只有－2k －2＞0，即k ＜－1时才能表示圆．

4．动点P 到点A (8，0)的距离是到点(2，0)的距离的2倍，那么点P 的轨迹方程为( ) A ．x 2

＋y 2

＝32 B ．x 2＋y 2

＝16 C ．(x －1)2

＋y 2

＝16

D ．x 2

＋(y －1)2

＝16

解析：选B ．设P (x ，y )，根据题意有2(x －2)2

＋y 2

＝(x －8)2

＋y 2

，整理得x 2

＋y 2

＝16．

5．若圆C ：x 2

＋y 2

－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2

－6m ＋4＝0过坐标原点，则实数m 的值为( )

A ．2或1

B ．－2或－1

C ．2

D ．1

解析：选C ．因为x 2

＋y 2

－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2

－6m ＋4＝0表示圆，所以[－2(m －1)]2

＋[2(m －1)]2

－4(2m 2

－6m ＋4)＞0，

所以m ＞1．又圆C 过原点，所以2m 2

－6m ＋4＝0，所以m ＝2或m ＝1(舍去)，所以m ＝2．

6．若方程x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________．

解析：由－D 2＝2，－E 2＝－4，12

D 2＋

E 2

－4F ＝4，解得F ＝4．

答案：4

7．过三点O (0，0)，A (4，0)，B (0，－2)的圆的一般方程为__________．

解析：线段OA 的垂直平分线方程为x ＝2，线段OB 的垂直平分线方程为y ＝－1．所以圆心坐标为C (2，－1)，半径r ＝|OC |＝5，所以圆的方程为(x －2)2

＋(y ＋1)2

＝5，即x 2

＋y 2

－4x ＋2y ＝0．

答案：x 2

＋y 2

－4x ＋2y ＝0

8．已知点P 是圆C ：x 2

＋y 2

＋4x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________．

解析：由题意知圆心? ?

???

－2，－a 2应在直线2x ＋y －1＝0上，代入解得a ＝－10，符合D

＋E 2

－4F >0的条件．

答案：－10

9．求经过A (4，2)，B (－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．

解：设所求圆的方程为x 2＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2

＋Dx ＋F ＝0．

所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ．令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0．

所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ．由题知x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，所以D ＋E ＝－2．

①

又A (4，2)，B (－1，3)在圆上，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0， ② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0．

③

由①②③解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12．故所求圆的方程为x 2

＋y 2

－2x －12＝0．

10．设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2

＋y 2

＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形

MONP ，求点P 的轨迹．

解：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为? ??

??x 2，y

2，线段MN 的中点坐标为 ?

??x 0－32，y 0＋42．由于平行四边形的对角线互相平分，

故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋4

，从而?

????x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.

又点N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2

＝4．当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285

．

因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2

＝4，除去点? ????－95，125和点? ??

??－215，285．

[B 能力提升]

11．若方程x 2

＋y 2

＋ax －2ay ＋2a 2

＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆圆心在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解析：选D ．因为方程表示的图形是圆，所以a 2＋(－2a )2－4(2a 2

＋3a )>0，即－4

－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A 、B 两点，且∠ACB ＝90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m 等于________．

解析：设A (0，y 1)，B (0，y 2)，在圆方程中令x ＝0，得y 2

＋2y ＋m ＝0，y 1，y 2即为该方

程的两根，由根与系数的关系及判别式得????

?Δ＝4－4m >0y 1＋y 2＝－2y 1y 2＝m ，而C (2，－1)，由∠ACB ＝90°知

AC ⊥BC ，即得k AC ·k BC ＝－1，即y 1＋1－2

×y 2＋1

－2

＝－1，即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝－4，代入上面

的结果得m －2＋1＝－4．

所以m ＝－3，符合m <1的条件．答案：－3

13．已知圆C ：x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．

解：圆心C ? ????

－D 2，－E 2，因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E

解：(1)已知方程可化为(x －t －3)2

所以当t ＝37∈? ????－17，1时，r max ＝4

7，此时圆的面积最大，

所对应的圆的方程是? ????x －2472＋? ??

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

高中数学说课稿：《圆的标准方程》.doc

高中数学说课稿：《圆的标准方程》 "说课"有利于提高教师理论素养和驾驭教材的能力，也有利于提高教师的语言表达能力，因而受到广大教师的重视，登上了教育研究的大雅之堂。下面是我为大家收集的关于高中数学说课稿：《圆的标准方程》，欢迎大家阅读借鉴! 高中数学说课稿：《圆的标准方程》【一】教学背景分析 1.教材结构分析《圆的方程》安排在高中数学第二册(上)第七章第六节.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用. 2.学情分析圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强. 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和

心理特征，我制定如下教学目标： 3.教学目标 (1) 知识目标：①掌握圆的标准方程; ②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程; ③利用圆的标准方程解决简单的实际问题. (2) 能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力; ②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用; ③增强学生用数学的意识. (3) 情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识; ②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣. 根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重点和难点： 4. 教学重点与难点 (1)重点:圆的标准方程的求法及其应用. (2)难点：①会根据不同的已知条件求圆的标准方程; ②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题. 为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析：【二】教法学法分析 1.教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用"

高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题第一部分：椭圆 1．椭圆的概念在平面与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若ab>0) y2 a2＋ x2 b2＝1( a>b>0) 图形性质围－a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距|F1F2|＝2c 离心率e＝ c a ∈(0,1) a，b，c的关系c2＝a2－b2

典型例题例1.F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段例2. 已知ABC ?的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( ) (A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(125 1622≠=+y y x 例3. 若F (c ，0)是椭圆22 221x y a b +=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于 2 M m +的点的坐标是( ) (A)(c ，2b a ±) 2 ()(,)b B c a -± (C)(0，±b ) (D)不存在例4. 设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22x a +2 2y b =1(a >b >0)的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点, 若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( ) 例5 P 点在椭圆120 452 2=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，则P 点的坐标是 . 例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; . (2)焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2，1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的3 1 ; ____. (4)离心率为 2 3 ，经过点(2，0); . 例7 12F F 、是椭圆2 214 x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ?的最大值是．

高中数学平面解析几何的知识点梳理

平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点．（2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点．（3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直：（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=．线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ．

高中数学-必修二-圆与方程-经典例题

习题精选精讲圆标准方程已知圆心),(b a C 和半径r ,即得圆的标准方程222 )() (r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心 ),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题．一、求圆的方程例1 (06重庆卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为（ ) （A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(2 2=-++y x （C)9)1() 2(22 =++-y x （D)9)1()2(22=-++y x 解已知圆心为)1,2(-,且由题意知线心距等于圆半径，即2 243546+++= d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C). 点评：一般先求得圆心和半径,再代入圆的标准方程222 )()(r b y a x =-+-即得圆的方程. 二、位置关系问题例2 (06安徽卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点,则a 的取值范围是( ) (A))12,0(- (B ）)12,12( +- （C))12,12(+-- (D))12, 0(+ 解化为标准方程222 )(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =. ∵直线 1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-= 2 1，平方去分母得 2 2212a a a >+-，解得 1212-<<--a ,注意到0>a ，∴120-<r d 线圆相离；?=r d 线圆相切;?

高中平面解析几何知识点总结

高中平面解析几何知识点总结一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(21121 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1 =+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．

高中数学必修二《圆的标准方程》教案

教案说明圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。一、设计理念设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，共同提高。二、设计思路（1）突出重点抓住关键突破难点求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路。在例题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。（2）学生主体教师主导探究主线本节课的设计用问题做链，环环相扣，使学生的探究活动贯穿始终。从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引、我的指导下，由学生探究完成的。另外，我在例题2的教学，要求学生分组讨论，合作交流，为学生设立充分的探究空间，学生在交流成果的过程中，既体验了科学研究和真理发现的复杂与艰辛，又在我的适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成了探究活动并走向成功，他们体验到成功的快乐，感受到数学的魅力。在一个个问题的驱动下，高效的完成本节的学习任务。三、媒体设计本节采用powerpoint媒体，知识容量大，同时又有图形。为了在短时间内完成教学内容，故采用演示文稿的方式，增加信息量，节省时间。同时

动态演示图形，刺激学生的感官，引起更强的注意，提高课堂教学效率。

高一数学必修知识点：圆的方程

高一数学必修知识点：圆的方程精品学习高中频道为各位同学整理了高一数学必修知识点：圆的方程，供大家参考学习。更多各科知识点请关注新查字典数学网高中频道。圆的方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程圆心，半径为r; (2)一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点;当时，方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r;若利用一般方程，需

要求出D，E，F; 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断： (1)设直线，圆，圆心到l的距离为，则有 (2)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程： ①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(课本命题). ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广). 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。设圆

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。当时两圆外离，此时有公切线四条; 当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条; 当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线; 当 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。

高中数学-圆的标准方程练习题

高中数学-圆的标准方程练习题 5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.圆心是O(-3,4),半径长为5的圆的方程为( ) A.(x-3)2+(y+4)2=5 B.(x-3)2+(y+4)2 =25 C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2 =25 解析：以(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 . 答案：D 2.以点A(-5，4)为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为( ) A.(x+5)2+(y-4)2=16 B.(x-5)2+(y+4)2 =16 C.(x+5)2+(y-4)2=25 D.(x-5)2+(y+4)2 =25 解析：∵圆与x 轴相切，∴r=|b|=4.∴圆的方程为(x+5)2+(y-4)2 =16. 答案：A 3.圆心在直线y=x 上且与x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为____________. 解析：设其圆心为P(a,a)，而切点为A(1，0)，则P A⊥x 轴，∴由PA 所在直线x=1与y=x 联立，得a=1.故方程为(x-1)2+(y-1)2 =1.也可通过数形结合解决，若圆与x 轴相切于点(1，0),圆心在y=x 上,可推知与y 轴切于(0，1). 答案：(x-1)2+(y-1)2 =1 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.设实数x 、y 满足(x-2)2 +y 2 =3，那么 x y 的最大值是( ) A. 2 1 B.33 C.23 D.3 解析：令 x y =k,即y=kx ，直线y=kx 与圆相切时恰好k 取最值. 答案：D 2.过点A(1,-1)、B(-1,1)，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2 =4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2 =4 解：由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(2 1 1, 211+--),即(0,0)，直线AB 的斜率为k AB =11)1(1----=-1,则过点C 且垂直于AB 的直线方程为y-0=1 1--(x-0),即y=x.所以圆心坐标 (x,y)满足?? ?=-+=. 02, y x x y 得y=x=1. ∴圆的半径为])1(1[)11(2 2 --+-=2.因此，所求圆的方程为(x-1)2 +(y-1)2 =4. 答案：C 3.设点P(2,-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9上各点距离为d,则d 的最大值为_____________. 解析：由平面几何性质，所求最大值为P(2，-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9的圆心距离加上圆的半径，即d max =2 2 )53()42(--+++3=13.

人教版高中数学必修二圆的标准方程教学设计

4.1.1圆的标准方程教学目标： (1)掌握圆的标准方程，会由标准方程得出圆心与半径，能根据圆心、半径写出圆的标准方程． (2)会用待定系数法与数形结合法求圆的标准方程． (3)培养学生用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想， (4)在探索圆的知识与特点时感受数学中的对称美与和谐美．教学重点：圆的标准方程的得出与应用．教学难点：根据不同的已知条件，求圆的标准方程教学方法: 启发、引导、讨论．教学过程：一、新课引入 1.引入语：通过上一章的学习，我们知道直线这一平面图形可以由一个代数中的二元一次方程来表示，称此方程为直线的方程。从而，通过方程利用代数的方法研究了直线的性质与特点。事实上，这种方法是解析几何解决问题的基本方法，我们还可以采用它研究其他的一些平面图形，比如：圆。在直角坐标系中，两点确定一条直线，或者一点和倾斜角也能确定一条直线。圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？（圆心，半径。圆心决定位置，半径决定大小）那么我们能否在圆心与半径确定的条件下，找到一个方程与圆对应呢？这就是我们这节课的主要任务。（书写标题）回顾直线方程得出的过程：在直线l 上任取一点P(x,y),找到该点的横纵坐标满足的一个关系式，通过验证，称此方程为直线的方程。类似的，我们用得出直线方程方法来探求圆的方程。二、讲授新课确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为(,)A a b ，半径为r （其中a 、b 、r 都是常数，0r ）．设(,)M x y 为这个圆上任意一点，

那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）{}P M MA r ==,由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r =① 引导学生自己证明r =为圆的方程，得出结论． 1.若点),(00y x M 在圆上，由上述讨论可知，点M 的坐标适用方程①． 2.若),(00y x 是方程①的一组解，则以这组解为坐标的点),(00y x M 到圆心A 的距离为r ，即点M 在圆心为A 的圆上．故方程r =为圆的一个方程。方程①可等价变为：222()()x a y b r -+-= ② 方程②形式较①式更为和谐美观。方程②也是圆心为(,)A a b ,半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．特别地,若圆心为O （0，0），则圆的标准方程为：222r y x =+ 练习1 (口答) 、求圆的圆心及半径 (1)、422=+y x (2)、1)1(22=+-y x 练习2、写出下列圆的方程（1）、圆心在原点，半径为3； 922=+y x （2）、圆心在(-3、4),半径为5 5)4()3(22=+++y x 三、例题解析例1 已知两点A(4,9)、B(6,3)，求以AB 为直径的圆的方程分析：可以从计算圆心与半径．解：解:圆心C （5，6）半径r=10 所求的圆的标准方程是10)6()5(22=-+-y x 把点)7,8(1M 的坐标代入方程10)6()5(22=-+-y x ，左右两边相等，点1M 的坐标适合圆的方程，所以点1M 在这个圆上；把点)5,3(2M 的坐标代入方程10)6()5(22=-+-y x ，左右两边不相等，点2M 的坐标不适合圆的方程，所以点2M 不在这个圆上．是否在这个圆上？并判断点 )5,3(),7,8(21M M

高中数学讲义第八章直线和圆的方程(超级详细)

高中数学复习讲义第八章直线和圆的方程

【方法点拨】 1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题． 2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题. 3．熟练运用待定系数法求圆的方程． 4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质．5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想． 6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识．第1课直线的方程【考点导读】理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程．高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考.

【基础练习】 1. 直线x cos α＋ 3y ＋2＝0 的倾斜角范围是50,,66πππ????????????? 2. 过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 10320-+=-=或x y x y 3.直线l 经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为42=-=-+或y x y x 4.无论k 取任何实数，直线()()()14232140k x k y k +--+-=必经过一定点P ，则P 的坐标为（2，2）【范例导析】例1.已知两点A （－1，2）、B （m ，3）（1）求直线AB 的斜率k ；（2）求直线AB 的方程；（3）已知实数m 1? ?∈???? ，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况. 解:（1）当m =－1时，直线AB 的斜率不存在．当m ≠－1时，1 1 k m = +，（2）当m =－1时，AB ：x =－1，当m ≠1时，AB ：()1 211 y x m -= ++. （3）①当m =－1时，2 π α=； ②当m ≠－1时， ∵( 1,1k m ?=∈-∞?+∞??+??

高一数学必修二《圆与方程》知识点整理

《圆与方程》知识点整理一、标准方程()() 222 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材 119 P例2 ②利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理二、一般方程 () 2222 040 x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 22 22 00 00 40 40 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠ ? ? ?? =?= ?? ??+-> ? ???? ?+-?> ? ? ????? ? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法： 3.2240 D E F +->常可用来求有关参数的范围三、圆系方程：四、参数方程：五、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值：（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值 m i n P A A N r A C ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）

六、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离）（1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切（1）知识要点 ①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．． i ）点在圆外如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22 200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=- 第二步：通过d r =k ?，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！如：过点()1,1P 作圆22 46120x y x y +--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y -+=和1x = ii ）点在圆上 1）若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r += 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目. 2）若点()00x y ，在圆()()22 2x a y b r -+-=上，则切线方程为 ()()()()200x a x a y b y b r --+--= 碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果. 由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数. ③求切线长：利用基本图形，222AP CP r AP =-?= 3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题垂径定理．．．．及勾股定理——常用

新人教版必修二高中数学《圆的标准方程》教学设计

高中数学《圆的标准方程》教学设计新人教版必修二2 知识与技能：1、掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径； 2、会用两种方法求圆的标准方程：(1)待定系数法；(2)利用几何性质教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法和几何性质求圆的标准方程。教学过程：情境设置：问题：①圆的定义？学生回忆所学知识：①圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，确定圆的要素是圆心和半径。问题：②如果把直线放在直角坐标系下，那么其对应的方程是二元一次方程，那么如果把一个圆放在坐标系下，其方程有什么特征？如何写出这个圆的所在的方程？二、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出） P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得：222()()x a y b r -+-= ② 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。总结出点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（１）2200()()x a y b -+-=2r ?点在圆上（２）2200()()x a y b -+-<2r ?点在圆内（３）2200()()x a y b -+->2r ?点在圆外三、知识应用与解题研究（一）练习１、指出下列方程表示的圆心坐标和半径：（１） 222=+y x ；（２） 5)1()3(22=-+-y x ；（３）222)1()2(a y x =+++（0≠a ）。

圆的方程_基础知识讲解

圆的方程编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】 1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程. 2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【要点梳理】【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】要点一：圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径. 要点诠释： (1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是2 2 2 x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时： ||||a b r ==；过原点：222a b r += (2)圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-=?圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 要点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为2 2 2 ()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有 (1)若点()00M x y ，在圆上()()2 2 200||CM r x a y b r ?=?-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()2 2 200||CM r x a y b r ?>?-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()2 2 200||CM r x a y b r ?时，方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ?? - - ?? ?为圆心，为半径. 要点诠释：由方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=得22 224224D E D E F x y +-? ???+++= ? ?? ??? (1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =- =-.它表示一个点(,)22 D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

高中数学-圆的标准方程教案

第四章圆与方程 4.1.1 圆的标准方程三维目标：知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。教学过程： 1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探索研究： 2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得：222 ()()x a y b r -+-= ② 引导学生自己证明2 2 2 ()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 3、知识应用与解题研究

例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。探究：点00(,)M x y 与圆222 ()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）22 00()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）22 00()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2 r ，点在圆内例（2）： ABC V 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和 (2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。（教师板书解题过程。）总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC V 外接圆的标准方程的两种求法： ①、根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程. 根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 提炼小结： 1、圆的标准方程。 2、点与圆的位置关系的判断方法。 3、根据已知条件求圆的标准方程的方法。

平面解析几何知识点归纳

平面解析几何知识点归纳 ◆知识点归纳直线与方程 1.直线的倾斜角规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率：)2 (tan π α≠ =a k ，R k ∈ 斜率公式：经过两点),(111y x P ，),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为1 21 22 1x x y y k P P --= 3.直线方程的几种形式

能力提升斜率应用例1.已知函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ，则c c f b b f a a f ) (, )(,)(的大小关系例2.已知实数y x ,满足)11(222 ≤≤-+-=x x x y ，试求 2 3 ++x y 的最大值和最小值两直线位置关系两条直线的位置关系设两直线的方程分别为： 222111:b x k y l +=或0 :22221111=++C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组?? ?+=+=2211b x k y b x k y 或???=++=++00 222 111C y B x A C y B x A

直线间的夹角： ①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ； ②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ； ③当0121=+k k 或02121=+B B A A 时，o 90=θ；直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：) 2 (π θθα≤ =或 )2 (π θθπα>-=；距离问题 1.平面上两点间的距离公式),(),,(222111y x P y x P 则 )()(121221y y x x P P -+-= 2.点到直线距离公式点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2 2 00B A C By Ax d +++= 3.两平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ， 2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2 2 21B A C C d +-= 4.直线系方程:若两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A 有交点，则过1l 与2l 交点的直线系方程为)(111C y B x A ++＋0)(222=++C y B x A λ或 )(222C y B x A +++0)(111=++C y B x A λ (λ为常数) 对称问题 1.中点坐标公式：已知点),(),,(2 211y x B y x A ，则B A ,中点),(y x H 的坐标公式为??? ???? +=+=222121y y y x x x 点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(00y b x a Q --，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问