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【精品】高中数学 选修1-1 曲线与方程 知识点讲解 讲义+巩固练习(含答案)提高

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曲线与方程

【学习目标】

1.了解曲线与方程的对应关系;

2.进一步体会数形结合的基本思想;

3.掌握求曲线方程的基本方法(直接法),了解求曲线方程的其他方法(待定系数法、定义法、转化法、参数法等)

【学习策略】

借助于实例去体会曲线的方程和方程的曲线的意义;

理解求曲线方程的实质,求曲线方程的关键在于把曲线上任一点所满足的几何条件(或其坐标满足的条件)转化为任一点坐标满足的等量关系,要注意方程中量x (或y )的取值范围.

【要点梳理】

要点一、曲线与方程概念的理解

一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程,0f x y =()的实数解建立了如下的关系:

(1)曲线C 上所有点的坐标都是方程,0f x y =(

)的解; (2)以方程,0f x y =(

)的解为坐标的点都在曲线C 上. 那么,方程,0f x y =(

)叫做曲线C 的方程;曲线C 叫做方程,0f x y =()的曲线. 要点诠释:

(1)如果曲线C 的方程为,0f x y =(),那么点00(,)P x y 在曲线C 上的充要条件为

00,0f x y =();

(2)曲线C 可看成是平面上满足一定条件的点的集合,而,0f x y =()正是这一定条件的解析表示.因此我们可以用集合的符号表示曲线C :{(,)|,0}C x y f x y ==(

). (3)曲线C 也称为满足条件,0f x y =()的点的轨迹.定义中的条件(1)叫轨迹纯粹性,即不满足方程,0f x y =(

)的解的点不在曲线C 上;条件(2)叫做轨迹的完备性,即符合条件的所有点都在曲线上.“纯粹性”和“完备性”是针对曲线C 是否为满足方程,0f x y =(

)的点的轨迹而言.

(4)区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念,轨迹是“形”,轨迹方程是“数”.

要点二、坐标法与解析几何

解析几何是在坐标系的基础上,用代数的方法研究几何问题的一门数学学科.

解析几何的两个基本问题:1.根据已知条件,求出表示平面曲线的方程;2.通过方程,研究平面曲线的性质.

根据曲线与方程的关系可知,曲线与方程是同一关系下的两种不同的表现形式.曲线的性质完全反映在它的方程上,而方程的的性质也完全反映在它的曲线上,这正好说明了几何问题与代数问题可以互相转化,这就是解析几何的基本思想方法,也就是数形结合,形与数达到了完美的统一.

我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法,又称解析法.

定义:

在直角坐标系中,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程(,)0

f x y=表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.

要点三、用直接法求曲线方程的步骤

坐标法求曲线方程的一般步骤:

①建立适当的直角坐标系,并设动点P(x,y).

②写出动点P满足的几何条件.

③把几何条件坐标化,得方程F(x, y)=0.

④化方程F(x, y)=0为最简形式,特殊情况,予以补充说明,删去增加的或者补上丢失的解。

⑤证明方程F(x, y)=0是曲线的方程。

判断点是否在曲线上的方法

把点的坐标代入曲线的方程:

点P(x 0,y 0)在曲线C :f(x ,y)=0上00(,)0f x y ?= 点P(x 0,y 0)不在曲线C :f(x ,y)=0上00(,)0f x y ?≠. 求两曲线f (x ,y )=0与g (x ,y )=0的交点坐标方法

联立f (x ,y )=0与g (x ,y )=0,方程组(,)0

(,)0f x y g x y =??=?的解即为两曲线的交点坐标,解

的个数为交点的个数

要点诠释:

①求曲线的方程时,首先应观察原题条件中有没有坐标系,没有坐标系时应先建立坐标系,否则曲线不能转化为方程.

②建系要适当,经常利用特殊点以及曲线的对称性,以尽可能方便写相关点坐标为基本原则,这样可使运算过程简单,所得的方程也较简单.

③根据曲线上的点适合的条件列出等式,是求方程的重要一环,在这里常用到一些基本公式.仔细审题,分析已知条件和曲线的特征,抓住与曲线上任意点M 有关的相等关系,结合基本公式列出等式,并进行化简.

④化简前后解集没变可省略证明。但别忘记删去增加的或者补上丢失的解 要点四、求轨迹方程的常用方法:

求动点的轨迹方程既是平面解析几何中的主要问题之一,又是高考中的一个热点问题.求动点轨迹方程的方法主要有以下几种

(1)直接法; (2)间接法; (3)参数法. 经典例题透析

类型一:曲线与方程的概念

例1. 已知坐标满足方程,0f x y =(

)的点都在曲线C 上,那么( ). (A )曲线C 上点的坐标都满足方程,0f x y =(

) (B )坐标不满足方程,0f x y =(

)的点都不在曲线C 上 (C )不在曲线C 上的点,其坐标必不满足方程,0f x y =()

(D )不在曲线C 上的点,其坐标有些满足方程,0f x y =(),有些不满足方程,0f x y =(). 【解析】由曲线与方程的定义,(A )、(B )不一定正确,(C )命题是原命题的逆否命题,它们是等价命题,故选(C ).

【总结升华】在判定曲线的方程和方程的曲线时,两个条件缺一不可,是不可分割的整体,解答本题时,应注意不要被问题的表面现象所迷惑,应根据“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念逐一辨别其选项的真假.

举一反三:

【高清课堂:曲线与方程 例1】 【变式】下列命题正确的是( ) A .到x 轴距离为5的点的轨迹方程是5x =

B .方程1x y =表示的曲线是直角坐标平面上第一、三 象限的角平分线

C .方程22()(1)0x y xy -+-=表示的曲线是一条直线和一条双曲线

D .曲线222320x y x m --+=过原点的充要条件是0m = 【答案】D

例2. 已知方程22()()36x a y b -+-=的曲线经过点O (0,0)和点A (0,-12),求a 、b 的值.

【思路点拨】若点在曲线上,则点的坐标满足曲线的方程.

【解析】∵点O 、A 都在方程22()()36x a y b -+-=表示的曲线上, ∴点O 、A 的坐标都是方程22()()36x a y b -+-=的解.

∴2222

(0)(0)36(0)(12)36a b a b ?-+-=?-+--=?,解得{

06a b ==- 即a=0,b=-6为所求.

【总结升华】方程与曲线的问题也就是解与点的关系,判断点是否在曲线上,只需将点的坐标代入方程,等号成立即在曲线上,否则就不在.

举一反三:

【变式1】曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ,则b = .

【答案】5

2

【变式2】已知02απ≤<,点(cos ,sin )P αα在曲线22(2)3x y -+=上,则α的值为( )

A .

3π B .53π C .3π或53π D .3π或6

π

【答案】C 例3. 求证:圆心为(,)P a b 、半径等于r 的圆的方程是222()()x a y b r -+-=. 【解析】

(1)设00(,)M x y 是圆上任意一点,则点M 到圆心的距离等于r ,

即r =,也就是22200()()x a y b r -+-=, 因此00(,)x y 是方程222()()x a y b r -+-=的解.

(2)设00(,)x y 是方程222()()x a y b r -+-=的解,则有22200()()x a y b r -+-=,

两边开方取算术平方根,得r =,

于是点00(,)M x y 到点(a ,b )的距离等于r ,点00(,)x y 是这个圆上的点. 由(1)(2)可知222()()x a y b r -+-=是圆心为(,)P a b ,半径为r 的圆的方程.

【总结升华】证明方程的曲线或曲线的方程需证明纯粹性和完备性两方面:①曲线上的点的坐标都是方程的解;②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.

举一反三:

【变式1】证明圆心在坐标原点,半径为5的圆的方程是x 2+y 2=25,并判断点

M 1(3,-4),2M 是否在这个圆上.

【解析】

(1)设M(x 0,y 0)是圆上任意一点, 因为点 M 到原点的距离为5,

所以,即220025x y +=, 所以(x 0,y 0)是方程x 2+y 2=25的解.

(2)设(x 0,y 0)是方程x 2+y 2=25的解,那么22

0025x y +=,

5=,也就是说,点M 到原点的距离为5,

所以点M 在这个圆上.

由(1)(2)知,x 2+y 2=25是圆心在坐标原点,半径为5的圆的方程. 把M 1(3,-4)代入x 2+y 2=25,等号成立,所以点M 1在圆上,

把2M 代入x 2+y 2=25,等号不成立,所以点M 2不在圆上.

【变式2】设A (2,0)、B (0,2),能否说线段AB 的方程是x+y -2=0?为什么? 【答案】不能.以A (2,0)、B (0,2)为端点的线段AB 上的点的坐标都是方程x+y -2=0的解,但以方程x+y -2=0的解为坐标的点并不都在线段AB 上,而是直线AB.

类型二:坐标法求曲线的方程 【高清课堂:曲线与方程 例2】

例4.已知点A 与B 为平面内两定点,若平面内动点P 到点A 与B 的距离之比||1

||2

PA PB =,求动点P 的轨迹.

【思路点拨】求动点P 的轨迹方程,即是求P 点的横、纵坐标所满足的关系式,因此应先建系设点P (x,y ).

【解析】以线段AB 所在直线为x 轴,以线段AB 的中垂线为y 轴,建立直角坐标系,如图

设||2,AB =则(1,0),(1,0)A B -,设P(x,y) 则由

||1

||2

PA PB =得

12

= 化简整理得22516()39

x y ++= 所以动点P 的轨迹是圆 【总结升华】

(1)求曲线的方程一般有下面几个步骤: ①建立适当的直角坐标系,并设动点P(x,y). ②写出动点P 满足的几何条件. ③把几何条件坐标化,得方程F(x, y)=0. ④化方程F(x, y)=0为最简形式.

⑤证明方程F(x, y)=0是曲线的方程.

(2)求曲线的方程时,首先应观察原题条件中有没有坐标系,没有坐标系时应先建立坐标系,否则曲线不能转化为方程.建坐标系应建得适当,这样可使运算过程简单,所得的方程也较简单.

(3)根据曲线上的点适合的条件列出等式,是求方程的重要一环,在这里常用到一些基本公式.仔细审题,分析已知条件和曲线的特征,抓住与曲线上任意点M 有关的相等关系,结合基本公式列出等式,并进行化简.

(4)证明可以省略不写. 举一反三:

【变式1】设A 、B 两点的坐标分别是(1,0)、(-1,0),若1MA MB k k ?=-,求动点M 的轨迹方程.

【答案】方程221(1)x y x +=≠±是点M 的轨迹方程.

【变式2】若点M 到两条互相垂直的直线的距离相等,求点M 的轨迹方程. 【答案】取已知两条互相垂直的直线为坐标轴,建立直角坐标系,如图所示.

设点M 的坐标为(x ,y ),

点M 的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合P={M||MR|=|MQ|}, 其中Q 、R 分别是点M 到x 轴、y 轴的垂线的垂足.

因为点M 到x 轴、y 轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值, 所以条件|MR|=|MQ|可写成|x|=|y|,即x±y=0. ① 下面证明①是所求轨迹的方程.

(1)由求方程的过程可知,曲线上的点的坐标都是方程①的解; (2)设点1M 的坐标11(,)x y 是方程①的解,那么110x y ±=, 即11||||x y =,而1||x 、1||y 正是点1M 到纵轴、横轴的距离,

因此点1M 到这两条直线的距离相等,点1M 是曲线上的点. 由(1)(2)可知,方程①是所求轨迹的方程,图形如上图所示.

【变式3】设两定点A 、B 间的距离是6,求到A 点距离是到B 点距离的2倍的动点P 的轨迹方程.

【答案】如图以直线AB 为x 轴,以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,

则A (-3,0),B (3,0),设动点P(x,y). 依题意有 |PA|=2|PB|............... * ∴22)3(y x ++=222)3(y x +-, 两边平方(x+3)2+y 2=4[(x-3)2+y 2] 整理得x 2+y 2-10x+9=0

【变式4】设两定点F 1(-4,0), F 2(4,0),求到F 1和F 2的距离的平方和是50的动点轨迹方程. 【答案】x 2+y 2=9. 类型三:由方程画曲线

例5.作出曲线y=|x―2|―2的图象,并求它与x 轴所围成的三角形的面积. 【思路点拨】

已知方程研究曲线,首先要对所给的方程进行同解变形,化为我们所熟悉的方程,进一步研究曲线的特点和性质,进而作出图形.

【解析】

(1)当x -2≥0时,原方程可化为y=x -4. (2)当x -2<0时,原方程可化为y=-x , 故原方程表示两条共端点的射线.

易得其端点为B (2,-2),

与x 轴交于点O (0,0,)、A (4,0), 它与x 轴围成的三角形的面积为

1

||||42

AOB B S OA y ?=

?=. 【总结升华】已知方程研究曲线,首先要对所给的方程进行同解变形,化为我们所熟悉的方程,进一步研究曲线的特点和性质,进而作出图形.

举一反三:

【变式1】画出方程1111log log 2log log y y y y x x x x +-+-+=?的曲线: 【答案】

①当-10且x ≠1时,

将方程各对数式换为以x 为底的对数式,整理为2log (1)2x y -= ②当x=1时,在?

??≠<<-01

1y y 中,方程1111log log 2log log y y y y x x x x

+-+-+=?恒成立.

曲线如下图:

【变式2】方程(2222(4)(4)0x y -+-=表示的图形是( ) A .两个点 B .四个点 C .两条直线 D .四条直线 类型四:两曲线的交点

例6. 已知曲线22(1)4x y +-=与直线(2)4y k x =-+有两个不同的交点,求k 的取值范围. 【思路点拨】

A

B

O x

y

2 4

-2

两曲线f (x ,y )=0与g (x ,y )=0的交点的个数,即是方程组(,)0

(,)0f x y g x y =??=?的解的个数。

【解析】由22

(2)4,

(1)4,

y k x x y =-+??

+-=?

得222(1)2(32)(32)40k x k k x k ++-+--= 由0?>得512

k > 即5

12

k >

时曲线22(1)4x y +-=与直线(2)4y k x =-+有两个不同的交点 【总结升华】曲线的交点个数问题通常转化为方程根的个数问题,对于区间根的问题要利用方程根的分布理论求解..

举一反三:

【变式1】曲线x 2-xy -y 2-3x +4y -4=0与x 轴的交点坐标是________. 答案:(4,0)和(-1,0)

【变式2】已知曲线2:1C y x mx =-+-,点A(3,0),B(0,3),求C 与线段AB 有两个不同交点时m 的取值范围.

【答案】10{|3}3

m m <≤

【巩固练习】 一、选择题

1.下列各组方程表示相同曲线的是( ).

①y =x 与y

②y =2与y =|x |

③(x -1)2+(y +2)2=0与(x -1)(y +2)=0

④y =1

x

与xy =1

A .①

B .②

C .③

D .④

2.已知A (2,5)、B (3,-1),则线段AB 的方程是( ) A .6x+y -17=0 B .6x+y -17=0(x≥3)

C.6x+y-17=0(x≤3)D.6x+y-17=0(2≤x≤3)3.到两定点A(0,0),B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是( ) A.圆B.AB所在直线

C.线段AB D.无轨迹

4.曲线

2

2

1

(1)

:1

4

x

C y

+

+=与曲线2

2

:1(1)

C y x

=-+的公共点的个数是()

A.0 B.1C.2D.3

5.方程||1

x-=所表示的曲线是() A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆

6.方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示的图形是()

A.圆B.四个点C.两个点D.两条直线

7.如图所示,已知两点A(-2,0)、B(1,0),动点P不在x轴上,

且满足∠APO=∠BPO,其中O为坐标原点,则点P的轨迹方程是

()

A.(x+2)2+y2=4(y≠0)

B.(x+1)2+y2=1(y≠0)

C.(x-2)2+y2=4(y≠0)

D.(x-1)2+y2=1(y≠0)

二、解答题

8.两条直线ax+y+1=0和x-ay-1=0(a≠±1)的交点的轨迹方程是________.

9.已知0≤α<2π,点P(cosα,sinα)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值是________.10.曲线x2-xy-y2-3x+4y-4=0与x轴的交点坐标是________.

11.“点M在曲线y2=8x上”是“点M的坐标满足方程y=-

的________条件.

三、解答题

12. (1)判断点A(-4,3)、B(-,-4)、C是否在方程x2+y2=25(x≤0)所表示的曲线上;

(2)方程x 2(x 2-1)=y 2(y 2-1)所表示的曲线是C ,若点M (m

)

与点)2

N n 在曲线C 上,求m 、n 的值.

13.求到点A(5,0),B(-5,0)连线斜率之积为定值25

9

-

的动点轨迹方程. 14.已知△ABC 的两个顶点分别为B(-2,0),C(3,0),第三个顶点A 在直线l:2x+3y-12=0上滑动,求△ABC 重心的轨迹方程.

15.已知点P (x 0,y 0)在曲线f (x ,y )=0上,P 也在曲线g (x ,y )=0上,求证:P 在曲线f (x ,y )+λg (x ,y )=0上(λ∈R ).

【答案与解析】 1. 答案:D

解析:①y 取值不同;②中x 的取值不同;③中前者x =1且y =-2,后者x =1或y =-2.

2.答案D ;

解析:题目中是线段AB ,所以方程中x 的范围为23x ≤≤,答案选D. 3.答案C ;

解析:数形结合易知动点的轨迹是线段AB :4

,3

y x =其中0 3.x ≤≤ 4.答案D ;

解析:由22

22

(1)440

(1)10

x y x y ?++-=??++-=??

解得111,221,33,44x x x y y y ??=-+=--??=-??????=???=-=-

????

或或

故两曲线有3个公共点,即选D 5. 答案:D

解析:22

2||10

||11(1)0

(||1)1(1)x x y x y =≥??

-=?--≥???-=--?

22||10(||1)1(1)x x y -≥??-=--?22

||10

(||1)1(1)

x x y -≥???-=--? 2222

111(1)(1)1(||1)(1)1x x x x y x y ≥≥≤-??????-+-=-+-=??或或221

(1)(1)1x x y ≤-??++-=?

则方程||1x -=. 6. 答案:B

解析:由2

24040x y ?-=??-=??得22x y =??=?

若2

2x y =??=-?,

或22x y =-??=?或2

2x y =-??=-?。故方程(x 2-4)2+(y 2-4)2=0表示的图形是四个点(±2,±2). 7. 答案:C

解析:由∠APO =∠BPO ,设P 点坐标为(x ,y ), 则|P A |∶|PB |=|AO |∶|BO |=2,即|P A |=2|PB |,

=(x -2)2+y 2=4,且y ≠0.

8. 答案:22111

()()222

x y -++=,且xy ≠0

解析:由

10 10 ax y x ay ++=??

--=?①

①×y +②×x 得 y 2+y +x 2-x =0,即22111

()()222

x y -++=且xy ≠0.

9. 答案:

3

π

或53π

解析:将P 点坐标代入方程求解, (cos α-2)2+sin 2α=3,∴1

cos 2

α=

.

∵0≤α≤2π,∴3

π

α=

53

π. 10. 答案:(4,0)和(-1,0)

解析:在方程x 2-xy -y 2-3x +4y -4=0中令y =0,得x 2-3x -4=0,解得x =4或x =-1.

11. 答案:必要不充分

解析:由y 2=8x 得y =±.

12. 解析:(1)把点A (-4,3)的坐标代入方程x 2+y 2=25,满足方程,且A 点的横坐标满足x ≤0,则点A 在方程x 2+y 2=25(x ≤0)所表示的曲线上.

把点B (-4)的坐标代入x 2+y 2=25,

∵(-2+(-4)2=34≠25, ∴点B 不在方程所表示的曲线上.

∵C 0的条件, ∴点C 不在曲线x 2+y 2=25(x ≤0)上.

(2)∵M (m )、N (

2

,n )在曲线C 上, ∴它们的坐标都是方程的解.

∴m 2(m 2-1)=2×1,2231(1)44n n ??

?-=- ???.

∴m =,1

2

n =±或n =.

13. 解析:设M(x ,y),则

y y 9(x 5)x 5x 525

?=-≠±-+ 化简得9x 2+25y 2=225(去掉(±5,0)) 14. 解析:设A(x 0,y 0),G(x ,y)

则???=-=y

3y 1

x 3x 00 ∵2x 0+3y 0-12=0,∴2(3x-1)+9y-12=0

化简得)0,3

7

(014y 9x 6去掉=-+

15. 证明:∵P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,

∴f(x0,y0)=0.

又∵P(x0,y0)也在曲线g(x,y)=0上,

∴g(x0,y0)=0.

∴对λ∈R,有f(x0,y0)+λg(x0,y0)=0+λ·0=0,即P(x0,y0)适合方程f(x,y)+λ·g(x,y)=0.

∴点P在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0上.(λ∈R)

高中数学必修和选修知识点归纳总结

高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容: 必修课程由5个模块组成: 必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。必修3:算法初步、统计、概率。 必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 必修5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列: 系列1:由2个模块组成。 选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2:由3个模块组成。 选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系 的扩充与复数选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列, 统计案例。 系列3:由6个专题组成。 选修3—1:数学史选讲。 选修3—2:信息安全与密码。 选修3—3:球面上的几何。 选修3—4:对称与群。 选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6:三等分角与数域扩充。 系列4:由10个专题组成。 选修4—1:几何证明选讲。 选修4—2:矩阵与变换。 选修4—3:数列与差分。 选修4—4:坐标系与参数方程。 选修4—5:不等式选讲。 选修4—6:初等数论初步。 选修4—7:优选法与试验设计初步。 选修4—8:统筹法与图论初步。 选修4—9:风险与决策。 选修4—10:开关电路与布尔代数。 2.重难点及考点: 重点:函数,数列,三角函数,平面向量,圆锥曲线,立体几何,导数 难点:函数、圆锥曲线 高考相关考点: ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用

江苏省宿迁市高中数学第二章圆锥曲线与方程第14课时曲线与方程1导学案无答案苏教版选修

第14课时曲线与方程 【学习目标】 1?了解曲线方程的概念 2 ?能根据曲线方程的概念解决一些简单问题 【问题情境】 前面我们用f(x,y)=O或y=f(x)来表示一条曲线,例如直线的方程,圆的方程以及圆锥曲线 的方程,那么什么是曲线的方程? 1、曲线的方程,方程的曲线 在直角坐标系中,如果某曲线 C (看作点的集合或适合某种条件的点轨迹)上的点与一 个二元方程f (x, y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线C上的点的坐标都是___________________ ? (2) ________________________________________________ 以方程f( x, y)=0的解(x,y)为坐标的点都在_______________________________________________ ,那么,方程f (x, y)=0叫做曲 线C的方程,曲线C叫做方程f(x, y)=0的曲线. 1.点与曲线 如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P(x o, y o)在曲线C上的充要条件是f (x o, y o)=0 ? 【合作探究】 问题1:观察下表中的方程与曲线,说明它们有怎样的关系?

问题2…若曲线C的方程为k x2+2x+(1+k) y+3=0,(k € R),则曲线C过定点_____________ 问题3.方程x2+xy-x=0表示的曲线是 ________________ . 问题4?至俩个坐标轴距离相等的点所满足的方程是_____________________ .

例1?判断下列结论的对错,并说明理由: (1)过点A ( 3,0 )且垂直于x轴的直线的方程为x=3; (2)到x轴距离为2的点轨迹方程为y=2; (3)到两坐标轴距离乘积等于k的点的轨迹方程为xy=k. 例2. (1)判断点(2,2迈),(3,1)是否在圆x2y216上; (2)已知方程为x2y225的圆过点C ( *''7 , m ,求m的值. 例3.设圆C: (x 1)2y2 1,过原点0作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹 方程. 变式:过P( 2,4 )作两条相互垂直的直线「J,若l i交x轴于A点,交y轴于B点, 求线段AB的中点M的轨迹方程. 例4?已知一座圆拱桥的跨度是36m圆拱高为6m,以圆拱所对的弦AB所在直线为x轴,AB的垂直 y 平分线为y轴,建立直角坐标系x O y (如图),求圆拱的方程.*

高级中学数学公式定理汇总

高中数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个;真子集有个;非空子集有个;非空的真子集有 个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时,设为此式 (3)零点式;当已知抛物线与轴的交点坐标为时,设为此式 4切线式:。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时,设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。 8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得,具体如下:

(1)当a>0时,若,则; ,,. (2)当a<0时,若,则, 若,则,. 9.一元二次方程=0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或; 2方程在区间内有根的充要条件为 或或; 3方程在区间内有根的充要条件为或 . 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如,,不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是 。

(3) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是 。 (4) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是 。 对于参数及函数.若恒成立,则;若恒成立,则;若有解,则 ;若 有解,则 ;若 有解,则 . 若函数无最大值或最小值的情况,可以仿此推出相应结论 11.真值表 12.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有个 小于 不小于 至多有个 至少有 个 对所有,成立 存在某,不成立 或 且 对任何,不成立 存在某,成立 且 或 p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假

高中数学选修4-4知识点清单

高中数学选修4-4 坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 (1)数轴:规定了原点,正方向和单位长度的直线叫数轴.数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系. (2)平面直角坐标系: ①定义:在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系; ②数轴的正方向:两条数轴分别置于水平位置与竖直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向; ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴,竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴,x轴或y 轴统称为坐标轴; ④坐标原点:它们的公共原点称为直角坐标系的原点; ⑤对应关系:平面直角坐标系上的点与有序实数对(x,y)之间可以建立一一对应关系. (3)距离公式与中点坐标公式:设平面直角坐标系中,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点为P 2.

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ 点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.二极坐标系 (1)定义:在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标系的四个要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位及它的方向. (3)图示 2.极坐标 (1)极坐标的定义:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M(ρ,θ). (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系:在极坐标系中,极点O的极坐标是(0,θ),(θ∈R),若点M的极坐标是M(ρ,θ),则点M的极坐标也可写成M(ρ,θ+2kπ),(k∈Z). 若规定ρ>0,0≤θ<2π,则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ,θ)之间才是一一对应关系. 3.极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示,把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,且长度单位相同,设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x,y),(ρ,θ). (1)极坐标化直角坐标 =ρcosθ, =ρsinθW. (2)直角坐标化极坐标 2=x2+y2, θ=y x(x≠0). 三简单曲线的极坐标方程 1.曲线的极坐标方程 一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程f(ρ,θ)=0的点都在曲线C上,那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C的极坐标方程. 2.圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表:

最新初高中数学公式大全

初中数学公式表

1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称

高考数学百大经典例题 曲线和方程(新课标)

典型例题一 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ,的点都在曲线C 上”不正确,那么以下正确的命题是 (A )曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ,. (B )坐标满足方程()0=y x f ,的点有些在C 上,有些不在C 上. (C )坐标满足方程()0=y x f ,的点都不在曲线C 上. (D )一定有不在曲线C 上的点,其坐标满足方程()0=y x f ,. 分析:原命题是错误的,即坐标满足方程()0=y x f ,的点不一定都在曲线C 上,易知答案为D . 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系. 分析:“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件,二者缺一不可.其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”,即纯粹性;“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”,即完备性.这是我们判断方程是不是指定曲线的方程,曲线是不是所给方程的曲线的准则. 解:如下图所示,过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ,因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ,所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上.但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上,因此方程1=y 不是直线l 的方程,直线l 只是方程 1=y 所表示曲线的一部分. 说明:本题中曲线上的每一点都满足方程,即满足纯粹性,但以方程的解为坐标的点不都在曲线上,即不满足完备性. 典型例题三

例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系. 分析:该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析. 解:方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等.但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =,例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3,但它不满足方程x y =.因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程,到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹. 说明:本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”,即满足完备性,而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”,即不满足纯粹性.只有两者全符合,方程才能叫曲线的方程,曲线才能叫方程的曲线. 典型例题四 例 4 曲线4)1(2 2 =-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点,求k 的取值范围.有一个交点呢?无交点呢? 分析:直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点,就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解,也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式?分别满足0>?、0=?、0?即0)52)(12(<--k k ,即 25 21<--k k ,即21k 时,直线与曲线没有公共点. 说明:在判断直线与曲线的交点个数时,由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数 与由两方程联立所整理出的关于x (或y )的一元方程解的个数相同,所以如果上述一元方程是二次的,便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数,但如果是两个二次曲线相遇,两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同,所以遇到此类问题时,不要盲目套用上例方法,一定要做到具体问题具体分析. 典型例题五

高中数学选修-5知识点(最全版)

高中数学选修4-5知识点 1.不等式的基本性质 1.实数大小的比较 (1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系. (2)设a 、b 是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A 、B .当点A 在点B 的左边时,a b . (3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义) ???a >b ?a -b >0 a = b ?a -b =0a ,<,≥,≤共5个. (2)相等关系和不等关系 任意给定两个实数,它们之间要么相等,要么不相等.现实生活中的两个量从严格意义上说相等是特殊的、相对的,不等是普遍的、绝对的,因此绝大多数的量都是以不等关系存在的. (3)不等式的定义:用不等号连接起来的式子叫做不等式. (4)不等关系的表示:用不等式或不等式组表示不等关系. 3.不等式的基本性质 (1)对称性:a >b ?b b ,b >c ?a >c ; (3)可加性:a >b ,c ∈R ?a +c >b +c ; (4)加法法则:a >b ,c >d ?a +c >b +d ; (5)可乘性:a >b ,c >0?ac >bc ;a >b ,c <0?ac b >0,c >d >0?ac >bd ; (7)乘方法则:a >b >0,n ∈N 且n ≥2?a n >b n ; (8)开方法则:a >b >0,n ∈N 且n ≥2?n a >n b . (9)倒数法则,即a >b >0?1a <1b . 2.基本不等式 1.重要不等式 定理1:如果a ,b ∈R ,那么a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时,等号成立. 2.基本不等式 (1)定理2:如果a ,b >0,那么a b +≥ a +b 2≥ab),当且仅当a =b 时,等号成立. (2)定理2的应用:对两个正实数x ,y , ①如果它们的和S 是定值,则当且仅当x =y 时,它们的积P 取得最大值,

高考数学专题复习曲线与方程

第8讲 曲线与方程 一、选择题 1.若点P 到直线x =-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P 的轨迹为( ). A .圆 B .椭圆 C .双曲线 D .抛物线 解析 依题意,点P 到直线x =-2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点P 的轨迹是抛物线. 答案 D 2. 动点P (x ,y )满足5x -1 2 y -2 2 =|3x +4y -11|,则点P 的轨迹 是 ( ). A .椭圆 B .双曲线 C .抛物线 D .直线 解析 设定点F (1,2),定直线l :3x +4y -11=0,则|PF |= x -1 2 y -2 2 ,点P 到直线l 的距离d =|3x +4y -11| 5 . 由已知得|PF | d =1,但注意到点F (1,2)恰在直线l 上,所以点P 的轨迹是直 线.选D. 答案 D 3.设圆(x +1)2+y 2=25的圆心为C ,A (1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点.线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ,则M 的轨迹方程为 ( ). A.4x 221-4y 2 25=1 B.4x 221+4y 2 25=1 C.4x 225-4y 2 21 =1 D.4x 225+4y 2 21 =1 解析 M 为AQ 垂直平分线上一点,则|AM |=|MQ |,∴|MC |+|MA |=|MC |+|MQ |=|CQ |=5,故M 的轨迹为椭圆,∴

a =52,c =1,则 b 2=a 2- c 2=214 , ∴椭圆的标准方程为4x 225+4y 2 21=1. 答案 D 4.在△ABC 中,A 为动点,B ,C 为定点,B ? ? ???- a 2,0,C ? ????a 2,0且满足条件 sin C -sin B =1 2sin A ,则动点A 的轨迹方程是( ) A.16x 2 a 2-16y 2 15a 2=1(y ≠0) B.16y 2a 2-16x 2 3a 2=1(x ≠0) C.16x 2a 2-16y 2 15a 2=1(y ≠0)的左支 D.16x 2a 2-16y 2 3a 2=1(y ≠0)的右支 解析:sin C -sin B =12sin A ,由正弦定理得|AB |-|AC |=12|BC |=12a (定值). ∴A 点的轨迹是以B ,C 为焦点的双曲线的右支,其中实半轴长为a 4,焦距为 |BC |=a . ∴虚半轴长为? ????a 22-? ?? ??a 42 =34a ,由双曲线标准方程得动点A 的轨迹方程 为16x 2 a 2-16y 2 3a 2=1(y ≠0)的右支. 答案:D 5.正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,AE =BF =3 7 .动点 P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为( ). A .16 B .14 C .12 D .10 解析 当E 、F 分别为AB 、BC 中点时,显然碰撞的结果为4,当E 、F 分别为

高中数学 2.1.1曲线与方程(1)导学案 人教A版选修2-1

2.1.1 曲线与方程(1) 【学习目标】 1.理解曲线的方程、方程的曲线; 2.求曲线的方程. 【重点难点】 重点:曲线的方程、方程的曲线 难点:求曲线的方程. 【学习过程】 一、自主预习 (预习教材理P 34~ P 36,找出疑惑之处) 复习1:画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象. 复习2:画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线,并写出其方程. 二、合作探究 归纳展示 探究任务一:到两坐标轴距离相等的点的集合是什么?写出它的方程. 问题:能否写成y x =,为什么? 三、讨论交流 点拨提升 曲线与方程的关系:一般地,在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之

间, 如果具有以下两个关系: 1.曲线C 上的点的坐标,都是 的解; 2.以方程(,)0F x y =的解为坐标的点,都是 的点, 那么,方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程;曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线. 注意:1? 如果……,那么……; 2? “点”与“解”的两个关系,缺一不可; 3? 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念,相对不同角度的两种说法; 4? 曲线与方程的这种对应关系,是通过坐标平面建立的. 试试: 1.点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上,则a =___ . 2.曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ,则b = . 四、学能展示 课堂闯关 ※ 典型例题 例1. 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±. 变式:到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗? 例2.设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--,(3,7),求线段AB 的垂直平分线的方程.

初中高中数学定理公式大全(超全)

》 初中高中数学定理公式大全(超全) 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 ~ 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12 两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 ? 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 @ 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

高二数学02-03曲线和方程练习

高二数学曲线和方程练习 【同步达纲练习】 A 级 一、选择题 1.曲线f(x,y)=0关于直线x-y-2=0时称曲线的方程为( ) A.f(y+2,x)=0 B.f(x-2,y)=0 C.f(y+2,x-2)=0 D.f(y-2,x+2)=0 2.若点M 到x 轴的距离和它到直线y=8的距离相等,则点M 的轨迹方程是( ) A.x=-4 B.x=4 C.y=-4 D.y=4 3.动点P 到x 轴,y 轴的距离之比等于非零常数k ,则动点P 的轨迹方程是( ) A.y= k x (x ≠0) B.y=kx(x ≠0) C.y=-k x (x ≠0) D.y=±kx(x ≠0) 4.方程4x 2-y 2+4x+2y=0表示的曲线是( ) A.一个点 B.两条互相平行的直线 C.两条互相垂直的直线 D.两条相交但不垂直的直线 5.已知点A(0,-1),点B 是抛物线y=2x 2+1上的一个动点,则线段AB 的中点的轨迹是 ( ) A.抛物线y=2x 2 B.抛物线y=4x 2 C.抛物线y=6x 2 D.抛物线y=8x 2 二、填空题 6.已知A(-1,0),B(2,4),且△ABC 的面积是10,则点C 的轨迹方程是 . 7.Rt △ABC 的斜边AB 的长度等于定值C ,顶点A 、B 在x 轴,y 轴上滑动,则斜边AB 的中点M 的轨迹方程为 8.到两平行线3x+2y-1=0和6x+4y-3=0的距离相等的点的轨迹方程为 . 三、解答题 9.已知直线l:4x + 3 y =1,M 是直线l 上的一个动点,过点M 作x 轴,y 轴的垂线,垂足分别为A 、B 求把有向线段AB 分成的比λ=2的动点P 的轨迹方程. 10.经过点P(3,2)的一条动直线分别交x 轴、y 轴于点A 、B ,M 是线段AB 的中点,连结OM 并延长至点N ,使|ON |=2|OM |,求点N 的轨迹方程. AA 级 一、选择题 1.下列各点中,在曲线x 2-xy+2y+1=0上的点是( ) A.(2,-2) B.(4,-3) C.(3,10) D.(-2,5) 2.已知坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C 上,则( ) A.曲线C 上的点的坐标都适合方程f(x,y)=0

高中数学选修4系列1-4-5知识点总结(全套)

1.课程内容: 必修课程由5个模块组成: 必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3:算法初步、统计、概率。 必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 必修5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列: 系列1:由2个模块组成。 选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2:由3个模块组成。 选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。 选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列,统计案例。 系列3:由6个专题组成。 选修3—1:数学史选讲。 选修3—2:信息安全与密码。 选修3—3:球面上的几何。 选修3—4:对称与群。 选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6:三等分角与数域扩充。 系列4:由10个专题组成。 选修4—1:几何证明选讲。 选修4—2:矩阵与变换。 选修4—3:数列与差分。 选修4—4:坐标系与参数方程。 选修4—5:不等式选讲。 选修4—6:初等数论初步。 选修4—7:优选法与试验设计初步。 选修4—8:统筹法与图论初步。 选修4—9:风险与决策。 选修4—10:开关电路与布尔代数。

初中数学学与高中数学的区别

一.初中你可以刷题,运气好你可以刷到和中考很像的题,过程方法老师都帮你总结好了一套模板你就用吧,错不到哪去 高中你还想刷到高考的题?基本上没什么可能,固定过程模板套路是没有的,每道题都有区别,方法你得自己总结,它也是因人而异的。必须跳出自己的思维定势你才能在高中活下去 二、知识的差异初中数学知识少、浅、难度容易。高中数学知识广,难度大,是对初中的数学知识推广和引伸,也是对初中数学知识的完善——例如函数,将会陆续学到指数函数、对数函数、幂函数、三角函数,甚至抽象函数等;例如几何,将由初中的平面几何推广到立体几何。 1.抽象与具体的差异——高中知识抽象程度完爆初中!高中学生普遍感到数学公式枯燥难记忆、数学符号抽象难想象、数学习题晦涩难理解,以函数的概念为例,初中的“变量说”是以生活中的事例为依托通过文字的叙述给出的,抽象程度较低,而高中教材采用了抽象程度更高的“函数映射说”通过引进函数符号f(x),使得函数的众多性质可以通过形式化加以定义和证明。初高中课本的函数定义的对比:初中的定义:高中的定义:你觉得这样的定义抽象么?而且数学研究对象的抽象性还有逐层递进的特点,如果不能理解抽象程度较低的知识,学习抽象程度较高的知识就会有困难。有一个问题没听懂,后面不懂的就越来越多,致使学生丧失学习的激情,失去学习的兴趣,从而形成数学学习的恶性循环。 2.动态与静态的差异——变才是唯一不变的!在初中阶段往往习惯于“静态”思维,而高中数学无论从思维的广度和深度上都有很大的提高.所以,为了更好地感知高初中数学的区别,我们先复习圆的以下五个定理.从运动的观点看P点,如果我们允许P点可以在一条弦上自由运动,当P点运动到使圆中两弦垂直,且其中一条为直径时,其线段间的关系为定理(1),若P点运动到圆外,则两弦变成割线,即为定理(3),若其中一条割线变成切线的位置,即为定理(4) ,若另一条割线也变成切线,则成定理(5)了.尽管它们表述的容不一,但都有△APC∽△DPB这一统一关系式.辩证唯物论告诉我们,一切事物都是运动的.在解高中的有关问题时,要学会运用运动思想,善于处理动与静之间的关系. 三、知识学习过程的差异新教材高中数学体现了“螺旋式上升过程”的理念,将同一模块的知识分成片,每一片知识安排在的不同的学时或学年,例如函数,在必修1、必修4、选修2-2,分别是在高一和高二学年学习。这样的学习,要求学生循序渐进的掌握知识,提升能力。但在学习的过程中,在讲授某一知识的进阶容时,学生经常忘记之前的学习的容,这就要求在学习知识的过程中,尤其是第一次的学习时,一定要及时解决问题,不遗留问题,要不断的进行巩固。知识网络较初中知识更加复杂,需要注重知识结构的在联系。 四、学习方式的差异 1.学习时间上的差异:初中课堂教学量小、知识简单,通过教师课堂教慢的速度,争取同学全面理解知识点和解题方法,课后老师布置作业,然后通过大量的课堂、外练习、课外指导达到对知识的反反复复理解,直到学生掌握。而高中数学的学习随着课程开设多(有九门课学生同时学习),每天至少上六门课,这样分配到各科学习时间将大大减少,而教师布置课外题量相对初中减少,这样集中数学学习的时间相对比初中少,而高中数学难度广度又上了一个台阶。时间就像海绵里的水,挤一挤总是会有的——能多挤出时间学习数学,你就可以比他人获得更高的成绩。 2.解题方式的区别:初中学生更多是模仿式的做题,他们模仿老师思维推理或者甚至是机械的记忆,而到了高中,随着知识的难度大和知识面广泛,学生不能全部模仿,即就是学生全部模仿训练做题,也不能开拓学生自我思维能力,学生的数学成绩也只能是一般程度。现在高考数学考察(尤其是全国卷),旨在考察学生能力,避免学生高分低能,避免定势思维,提倡创新思维和培养学生的创造能力培养。初中学生大量地模仿和机械的训练使学生带来了不利的思维定势,对高中学生带来了保守的、僵化的思想,封闭了学生的丰富反对创造精神。高中的试题,往往涉及到的知识点较初中更多,要求对高中数学知识网络之间有着整体的把握,要求对基础知识掌握的牢固,才能产生知识点与知识点之间的连节点。 3.学生自学能力的差异:①可以自学么?初中的容比较简单直观,看书一般就能够理解,基本上可以自学。但高中的数学知识,过于抽象,难度提升,需要老师的必要的讲解与指导。②是否需要自学?大部分初中考试中所用的解题方法和数学思想,老师会不断的进行整理归纳,学生也进行反复大量的训练,学生基本上不需自学,甚至一部分学生已经养成了饭来口的习惯,只要掌握好老师归纳总结的,基本成绩都不会太差。但高中的知识面广,要全部要训练完高考中的习题类型是不可能的,只有通过较少的、较典型的一两道例题讲解去融会贯通这一类型习题,课后还需要通过自学归纳对课堂上的容进行整理。高中生学习数学时差异程度大,还要根据自身实际情况进行适度练习。学好数学,很大程度上要靠学生本身的自觉学习。 五、对思维习惯提出更高的要求初中学生由于学习数学知识的围小,知识层次低,知识面窄,对实际问题的思维受到了局限。举几何的例子来说,我们都接触的是现实生活中三维空间,但初中只学了平面几何,那么就不能对三维空间进行严格

高中数学选修1 2知识点总结

知识点总结 1-2知识点总结选修统计案例第一章

.线性回归方程1 ①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ②制作散点图,判断线性相关关系?③线性回归方程:(最小二乘法) ay?bx?n??ynxxy??ii?1?i?b?其中,n2??2nxx?i?1?i? bx?a?y??. 注意:线性回归直线经过定点)y(x,n?)?yx)(y(x?ii.相关系数(判定两个变量线性相关性):21i??r nn??22)y?x)?y((x ii1?i1i?负相关; <0时,变量注: ⑴>0时,变量正相关;y,xyx,rr接近,两个变量的线性相关性越强;② ⑵①越接近于1||r||r时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系。0于条件概率3.ABAB发生的概对于任何两个事件和发生的条件下,,在已知BAAAPBPB)|, ) 其公式为|(. 率称为发生时发生的条件概率记为(ABP)(=AP)( 4相互独立事件 AB PABPAPB) ,则,如果_((())(1)一般地,对于两个事件=,AB 相互独立.、称 AAAnPAAA PAPA)(…(2)如果_,),…,=相互独立,则有)(…(n2111 22PA). (n----BBAABAAB也相互独立.(3)如果与,与相互独立,则,与,

:5.独立性检验(分类变量关系)列联表(1)2×2为两个变量,每一个变量设BA,变变量都可以取两个值,;?A,A:AA112量;?BB:B,B112通过观察得到右表所示数据: 列联表.×2并将形如此表的表格称为2 (2)独立性检验B,×2列联表中的数据判断两个变量A根据2 列联表的独立性检验.是否独立的问题叫2×2 的计算公式统计量χ 2(3)2bc n ad)-(2=χ

初中数学公式大全(绝对经典)

初中数学公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2

高中初中数学公式大全

数学公式,是表征自然界不同事物之数量之间的或等或不等的联系,它确切的反映了事物内部和外部的关系,是我们从一种事物到达另一种事物的依据,使我们更好的理解事物的本质和内涵。 如一些基本公式 抛物线:y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a(x+h)* + k 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆:体积=4/3(pi)(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式:S=πab 椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T,但这两个公式都是通过椭圆周率T 推导演变而来。常数为体,公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数: 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

高中数学知识点总结选修

第一章计数原理 1.1分类加法计数与分步乘法计数 分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。分类要做到“不重不漏”。 分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤。做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。分步要做到“步骤完整”。 n元集合A={a1,a2?,a n}的不同子集有2n 个。 1.2排列与组合 1.2.1排列 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)

个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列(arrangement)。 从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号表示。 排列数公式: n 个元素的全排列数 规定:0!=1 1.2.2 组合 一般地,从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组,叫做从n 个不同元素中取

出m个元素的一个组合(combination)。 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素 中取出m个元素的组合数,用符号或 表示。 组合数公式: ∴ 规定: 组合数的性质: (“构建组合意义”——“殊途同归”) (杨辉三角) *

1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理(binomial theorem) *注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。 (n∈N *) 其中各项的系数 (k ∈{0,1,2,? ,n})叫做二项式系数(binomial coefficient); 式中的叫做二项展开式的通项,用T k+1 表示通项展开式的第k+1项:

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