杆单元的非线性有限元法
第五章
杆单元的几何非线性有限元法
（一）网格结构非线性分析的特征和产生的根源
1. 任何结构体系的受力形态都是非线性的,数学上体现在荷载和变形的关系是非线性的，即
2.非线性产生的根源：
（1）几何非线性－位移和应变关系非线性
（大位移）
（2）材料非线性－应力和应变关系非线性
（例如塑性变形）
一、总述
()K U U =P
一、总述
（二）网格结构非线性分析的目的
1. 稳定性分析
——至少考虑几何非线性。
2.结构的极限承载能力估计
——几何非线性和材料非线性可能需要同时考虑
1.节点为铰接，杆件只受轴力；
2.材料符合虎克定律，按弹性方法分析；
3.网架只作用有节点荷载
1.节点为铰接，杆件只受轴力；
2.材料符合虎克定律，按弹性方法分析；
3.网架只作用有节点荷载。不再引入小挠度假定！！！
二、几何非线性杆单元分析的基本假定
三、杆单元的非线性刚度矩阵
4. 切线刚度矩阵
4. 切线刚度矩阵T e e
d d =K U P 0T g d e
e
e
e
=++K K K K 由于几何非线性的影响，结构的刚度矩阵并不是常定的，随着结构变形而改变，因此切线刚度矩阵是对悬索结构某一特定状态下结构刚度的描述。从以上U.L.描述的切线刚度矩
阵表达式来看，其由线弹性刚度矩阵,几何刚度矩阵两
个部分构成。其中反映的是单元材料特性、截面特性和几何特性对结构刚度的贡献，其与空间桁架位移法中杆单元的刚度矩阵具有相同的表达形式。而反映的是当前构件内力对结构刚度的贡献，这也就是前面所谈到的悬索结构预应力提供
结构刚度的部分。同时也应该注意的是，在进行的计算时，
单元几何参数L, l, m, n 都必须在进行当前时刻t 构形基础上进行计算，其隐含了时刻t 以前的结构变形，因此说是节点位移的函数，即
0T
g e
e
e
=+K K K
T.L. U.L.
0e K g e K 0e K g e K 0e K 00()
e e e =K K U
浅淡钢筋混凝土结构的非线性有限元
价值工程 0引言 钢筋混凝土结构是目前使用最为广泛的一种结构形式。钢筋混凝土是由两种性质不同的材料组合而成的，材料性能非常复杂，特别是在其非线性阶段，混凝土和钢筋本身的各种非线性特性，都不 同程度地在这种组合材料中反映出来。 传统的分析和设计方法往往采用线弹性理论来分析其内力。随着有限元理论和计算机技术的进步，钢筋混凝土非线性有限元分析方法也得以迅速的发展并发挥出巨大的作用。 1钢筋混凝土有限元分析原理钢筋混凝土有限元分析，主要是研究钢筋混凝土结构的基本性能、设计方法和构造措施。结合钢筋混凝土的力学特性，采用有限元分析的一般原理，是有限元分析和钢筋混凝土力学特性两者的结合。 Ngo 和Scordelis 在早期进行的研究中， 把有限元方法用于钢筋混凝土结构分析，它包含了钢筋混凝土有限元分析的基本原理。可以具体阐述为如下几点： 1.1确定各单元的单元刚度矩阵， 它与一般的有限元方法基本相同，并组合成结构的整体刚度矩阵。随着荷载和作用的不断增加，可以得到钢筋混凝土结构自开始受荷到破坏的整个过程的位移、应变、应力、裂缝的形成和发展、钢筋和混凝土结合面的粘结滑移、钢筋的屈服和强化以及混凝土压碎破坏等大量有用的数据，为研究结构的性能和合理的设计方法提供可靠的依据。根据结构所受的荷载和约束，解出节点的未知位移，进而求出单元的应力。 1.2确定适用于各类单元的本构关系， 这种关系可以是线性的，也可以是非线性的。即应力应变关系，或结点力位移关系。 1.3通过设置联结单元， 模拟裂缝两侧的混凝土之间的咬合作用，以及钢筋和混凝土之间的粘结滑移关系。 1.4把钢筋混凝土结构分割成有限个小的结构单元。这些单元可以是钢筋和混凝土的组合单元或分离式单元。 2钢筋混凝土的非线性有限元分析 2.1混凝土的破坏准则混凝土的破坏准则就是描述混凝土破坏时其应力状态或应变状态满足的条件。 根据混凝土破坏准则的函数f （ξ，r ，θ，k 1，k 2，k 3，……，k n ）=0中包含参数的个数，破坏准则可以分为单参数破坏准则、两参数破坏准则等等。单参数破坏准则有最大拉应力准则、最大剪应力准则及八面体剪应力准则。两参数破坏准则有Mohr -Coulomb 准则和 Drucker-prager 准则。 单参数和双参数都是早期提出的破坏准则。单参数或双参数的破坏准则不能全面反映混凝土的破坏特性。多参数破坏准则是适用性更广泛的破坏准则。它克服了单参数和双参数的一些不足，一些多参数破坏准则已能较好地描述混凝土的破坏特性。其中比较有代表性的二维的破坏准则有Kupfer-Gerstle 准则、 Hsieh-Ting-Chen 准则、李～过准则等。三维破坏准则有：Ottosen 准 则、Willam-Warnke 准则、 过－王、江－周准则等。2.2混凝土的本构模型混凝土的本构关系就是指混凝土的应力状态和应变状态的关系。目前，混凝土的本构模型主要类型有：以弹性模型为基础的线弹性和非线弹性的本构关系；以经典塑性理论 为基础的理想弹塑性和弹塑性硬化本构模型；采用断裂理论和塑性 理论组合的塑性断裂理论,并考虑用应变空间建立的本构模型；以粘性材料本构关系发展起来的内时程理论描述的混凝土本构模型；用损伤理论和弹塑性损伤断裂混合建立的本构模型等。 线弹性模型是工程上一般材料所采用的关系模型，线弹性类本构模型也是最简单、最基本的材料本构模型。材料变形在加载和卸载时都沿同一直线变化，完全卸载后无残余变形。因而，应力和应变有确定的一一对应的关系。直线的斜率为材料的弹性模量。如果混 凝土在单向受拉、 单向受压或多轴应力作用下，其应力-应变之间关系为曲线而非直线时，从原则线弹性模性已不适用。但在一些特定的情况下仍可使用线弹性模型，这样作的好处就是给分析带来方便、 快捷。非线性本构模型是能够比较正确模拟混凝土材料性质的本构模型，主要有非线性弹性本构模型和弹塑性本构模型。如Kupfer-Gerstle 的各项同性的全量模型、Darwin 正交异性增量模型和Ottosen 模型等。非线性弹性本构的优点是能反映混凝土受力变形的主要特点；计算公式和参数值都来自试验数据的回归分析，在单调比例加载的情况下有很高的计算精度；模型的表达式简明、直 观，易于理解和应用。因而， 这种模型在工程中应用最广。但它也有的缺点：不能反映卸载和加载的区别，卸载后没有残余变形等，故不能应用于加、卸载循环和非比例加载等情况。 2.3钢筋与混凝土之间的关系模型钢筋混凝土中钢筋和混凝土之间存在粘结力、骨料咬合力和销栓作用等，如何正确模拟钢筋和混凝土之间的相互作用，关系到有限元分析结果能否正确反映结构真实受力状态的关键。 钢筋与混凝土界面的有限元分析模型，根据是否考虑钢筋与混凝土之间的粘结滑移及销栓作用，以及用什么方式模拟这种作用，有两种基本不同的联结模型，一种是钢筋和混凝土之间位移完全协调的联结模式，另一种是两者之间位移不协调的连接模型，即采用粘结单元的联结模型。位移完全协调的联结模式，又分为分离式、埋置式和组合式三种模型。这些模式都认为钢筋和混凝土之间即无相对滑移，也无相对错动，不需要粘结滑移及销栓作用的模拟。粘结单元的联结模采用在钢筋单元和混凝土单元之间，设置粘结单元模拟两者之间的粘结力及销栓作用。在混凝土与钢筋之间的粘结模拟方面，人们提出了各种不相同的粘结单元的模型，比如无厚度四节点或六节点粘结单元、双弹簧粘结单元、、斜弹簧单元粘和结斜杆单元等。而关于粘结～滑移关系方面，在分析初期采用的是线性关系，随后发展为非线性关系，提出多种τ～S 曲线的表达式。因为存在的影响因素比较多，而且问题相对复杂，所以目前尚且还没有相对完善的计算模式。 2.4裂缝的模拟混凝土受拉开裂后形成裂缝，在钢筋混凝土的有限单元法中，裂缝的模型很多，一般比较常用的是单元边界的的单独裂缝和单元内部的弥散裂缝以及断裂力学模型这三种模型。第一种方法把裂缝处理为单元边界，一旦出现新的裂缝就增加新的节点，重新划分单元，使裂缝总是处于单元和单元之间的边界。这种方法的缺点是计算工作繁琐，费机时。第二种方法使得在计算过程中裂缝自动形成和发展，即不必增加结点也不用重新划分单元，所以由计算机自动进行处理比较容易，因而得到了较为广泛的应用。 —————————————————————— —作者简介：范治华（1980-），男，河南永城人，助理工程师，研究方向为城建。 浅淡钢筋混凝土结构的非线性有限元分析 Nonlinear Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Structure 范治华Fan Zhihua ；史玉侠Shi Yuxia （神火集团有限公司，永城476600） （Shenhuo Group Company ，Yongcheng 476600，China ）摘要：随着有限元理论和计算机技术的进步，钢筋混凝土非线性有限元分析方法必定会在理论实践和工程实施中得到更大程度的发展，发 挥更加强大的作用。 Abstract:With the progress of finite element theory and computer technology,nonlinear finite element analysis of reinforced concrete must be implemented in the theory and engineering practice and get the greater degree of development,and play a more powerful role. 关键词：钢筋混凝土结构；有限元；分析Key words:reinforced concrete structures ；finite element ；analysis 中图分类号：TU37 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）05-0086-02 ·86·
非线性有限元分析
轨道结构的非线性有限元分析 姜建华 练松良 摘 要 实际轨道结构受载时的力学行为,属于典型的非线性力学问题。钢轨垫层刚度、钢轨抗扭刚度和扣件扣压力的大小是影响轨距扩大的主要因素。根据非线性有限元接触理论,建立了能准确反映扣件、钢轨与垫层的拧紧接触,以及受载车轮与钢轨侧向滑动接触的力学计算模型;并研究计算了不同扣件压力下,由于受载车轮与钢轨侧向滑动接触引起的轨距扩大问题。 关键词 轮轨关系,扣件压力,非线性弹性力学,有限元分析 1 引言 实际工程中常见的非线性问题一般可以归纳为三类:材料非线性、几何非线性以及边界条件非线性。材料非线性问题是由于材料的非线性本构关系所引起的,例如材料的弹塑性变形,材料的屈服和硬化等;几何非线性问题是由于结构的位移或变形相当大,以至必须按照变形后的几何位置来建立平衡方程;边界条件非线性问题是指边界条件随位移变化所引起的非线性问题。通常情况下,我们所遇到的非线性问题多数是上述三类非线性问题的组合[1,2]。 实际轨道结构受载时的力学行为,属于典型的非线性力学问题。比如基于轮轨接触的材料非线性、几何非线性及边界条件非线性问题,以及扣件、钢轨、垫层三者间相互作用时所表现的边界条件非线性行为等。所以,机车车辆在轨道结构上行驶时引起的力学现象是相当复杂的。以往在研究轨道各部分应力应变分布规律时,通常采用连续弹性基础梁理论或连续点支承,偶尔简单考虑扣件的作用和弹性垫层的使用。不管用哪一种支承方式建立模型,都由于这样那样的假设而带有一定程度的近似性。所以,如何利用现代力学理论的最新成果以及日益发展的计算机技术,根据轨道结构的具体情况,建立更为完整更为准确的轨道结构计算模型,为轨道设计部门提供更加可靠的设计依据或研究思路,已十分必要。 本文提出了用非线性有限元理论研究轮轨系统和轨道结构的思路。作为算例之一,本文将根据非线性有限元理论,建立能准确反映扣件、钢轨与垫层的拧紧接触,以及受载车轮与钢轨侧向滑动接触的力学计算模型。 2 轨道结构的有限元接触模型 对于非线性问题,不管是材料非线性、几何非线性,还是边界条件非线性,总是最终归结为求解一组非线性平衡方程及其控制方程。例如用位移作为未知数进行有限元分析时,最后可得到一组平衡方程及其控制方程为 : 图1 轮轨系统的对称性模型简图 [K(u)]{u}={R}(1) (u)= (u)(2)其中:{u}为节点位移列阵;{R}为节点载荷列阵; [K(u)]为总体刚度矩阵; (u)为边界条件。它们 36 姜建华:同济大学工程力学系,副教授、博士,上海200092
非线性有限元方法及实例分析
非线性有限元方法及实例分析 梁军 河海大学水利水电工程学院，南京（210098） 摘 要：对在地下工程稳定性分析中常用的非线性方程组的求解方法进行研究，讨论了非线性计算的迭代收敛准则，并利用非线性有限元方法分析了一个钢棒单轴拉伸的实例。 关键词：非线性有限元，方程组求解，实例分析 1引 言 有限单元法已成为一种强有力的数值解法来解决工程中遇到的大量问题，其应用范围从固体到流体，从静力到动力，从力学问题到非力学问题。有限元的线性分析已经设计工具被广泛采用。但对于绝大多数水利工程中遇到的实际问题如地下洞室等，将其作为非线性问题加以考虑更符合实际情况。根据产生非线性的原因，非线性问题主要有3种类型[1]： 1．材料非线性问题（简称材料非线性或物理非线性） 2．几何非线性问题 3．接触非线性问题（简称接触非线性或边界非线性） 2 非线性方程组的求解 在非线性力学中，无论是哪一类非线性问题，经过有限元离散后，它们都归结为求解一个非线性代数方程组[2]： ()()()00 021212211=… …==n n n n δδδψδδδψδδδψΛΛΛ （1.1） 其中n δδδ,,,21Λ是未知量，n ψψψ,,,21Λ是n δδδ,,,21Λ的非线性函数，引用矢量记 号 []T n δδδδΛ21＝ （1.2） []T n ψψψψΛ21= （1.3） 上述方程组（1.1）可表示为 ()0=δψ （1.4） 可以将它改写为 ()()()0=?≡?≡R K R F δδδδψ （1.5） 其中()δK 是一个的矩阵，其元素 是矢量的函数，n n ×ij k R 为已知矢量。在位移有限 元中，δ代表未知的结点位移，()δF 是等效结点力，R 为等效结点荷载，方程()0=δψ表示结点平衡方程。 在线弹性有限元中，线性方程组
非线性有限元读书报告
非线性有限元读书报告 1 对张量分析及其在结构非线性力学和有限元中应用的认识。 张量分析将张量中的每一项的计算过程（这些计算过程可能是相似的）用张量之间的计算方法代替，并统一，提供了一种更加方便的计算方法。张量标记中，指标不出现，因此张量标记的表示是独立于坐标系统的，并且可以用于笛卡尔坐标系，柱坐标系，曲线坐标等。如同矩阵一般，或者说张量就是矩阵的更一般的形式，而矩阵是二维的张量。此外，在张量标记中的方程非常容易记忆。 2 对各种应变、应力张量和材料本构关系的认识。 本段回答除本课程讲义外大部分参考文献[1] 2.1 应变张量 为了使刚体运动时，特别是刚体转动时，应变度量为0，工程应变张量被抛弃了。根据采用连续介质力学中的欧拉（Eulerian ）方法或拉格朗日方法（Lagrangian ），得到的应变分别为阿尔曼西（Almansi ）应变（或称欧拉应变） 张量（E ij ε）与格林（Green ）应变（或称拉格朗日应变）张量（G ij ε），它们与工 程应变（或称柯西小应变张量）（此处记为ij ε）均不相同。 三者的几何方程表达式为： 阿尔曼西（Almansi ）应变（或欧拉应变）张量： ()11,,,,11 ()22E ij ij ki kj i j j i k i k j F F u u u u εδ--= -=+-； 格林（Green ）应变（或拉格朗日应变）张量： (),,,,11 ()22G ij ki kj ij i j j i k i k j F F u u u u εδ= -=++； 工程应变（柯西小应变）张量： ,,1()2 ij i j j i u u ε=+。 其中u 为位移，ij F 为变形梯度矩阵，即i ij j x F X ??? =????? 另外，阿尔曼西（Almansi ）应变（或欧拉应变）张量（E ij ε）和格林（Green ）应变（或拉格朗日应变）张量（G ij ε）之间的转换关系为：
非线性有限元课程报告
1 非线性问题的求解方法 无论是哪一类非线性问题，经过有限元离散后,它们都归结为求解一个非线性代数方程组： ()0......,211=n δδδψ ()0......,212=n δδδψ …… ()0......,21=n n δδδψ 其中：1δ,2δ……n δ是未知量，1ψ,2ψ……n ψ是1δ,2δ……n δ的非线性函数，现引用矢量记号 []T n δδδδ (21) []T n ψψψψ (21) 上述方程组可表示为： ()0=δψ 还可以将它改写为： ()()()0=-=-=R K R F δδδδψ ()δK 是一个n n ?的矩阵，其元素ij k 是矢量δ的函数，R 为已知矢量。在位移有限元中，δ代表未知的结点位移，()δF 是等效结点力，R 为等效结点荷载，方程()0=δψ表示结点的平衡方程。 在线弹性有限元中，线性代数方程组0=-R K δ可以毫无困难地求解，但对非线性方程组()0=δψ则 不行。一般来说，难以求得其精确解，通常采用数值解法，把非线性问题转化为一系列线性问题。为了使这一系列线性解收敛于非线性解，曾经有过许多方法，但这些解法都有一定的局限性。某一解法对某一类非线性问题有效，但对另一类问题可能不合适。因而，根据问题性质正确选用求解方法成为非线性有限元的一个极重要的问题。 1.1 直接迭代法 目前求解非线性方程组的方法一般为线性化方法。若对总荷载进行线性化处理，则称为迭代法。 对非线性方程组： ()0=-R K δδ 1-1 设其初始的近似解为0 δδ=，由此确定近似的K 矩阵()0 δ K K =，根据式1-1可得出改进的近似解 ()R K 1 01-=δ。重复这一过程，以第i 次近似解求出第1+i 次近似解的迭代公式为： ()i K K i δ= ()R K i i 1 1 -+=δ 1-2 直到Δi i i δδ δ-=+1 变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。在迭代过程中，得到的近似解一般不会满足式1-1，即()()0≠-=R K i i i δδδψ。()δψ作为对平衡偏离的一种度量，称为失衡力。 对于一个单变量问题的非线性方程，δ-F 为凸曲线时，直接迭代法的计算过程如图1-1所示，可以看出()δK 就是过曲线上点()()δδF ,与原点的割线斜率。对于单变量问题，这一迭代过程是收敛的，但对多自由度情况，由于未知量通过矩阵耦合，迭代过程可能不收敛。同样可以得出δ-F 为凹曲线时的情况。
第9章 非线性问题的有限单元法
第9章非线性问题的有限单元法 9.1 非线性问题概述 前面章节讨论的都是线性问题，但在很多实际问题中，线弹性力学中的基本方程已不能满足，需要用非线性有限单元法。非线性问题的基本特征是变化的结构刚度，它可以分为三大类：材料非线性、几何非线性、状态非线性。 1. 材料非线性(塑性, 超弹性, 蠕变) 材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。它又可分为非线性弹性问题和非线性弹塑性问题两大类。例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。 2. 几何非线性(大应变, 大挠度, 应力刚化) 几何非线性是有结构变形的大位移引起的。例如钓鱼杆，在轻微的垂向载荷作用下，会产生很大的变形。随着垂向载荷的增加，杆不断的弯曲，以至于动力臂明显减少，结构刚度增加。 3. 状态非线性(接触, 单元死活) 状态非线性是一种与状态相关的非线性行为。例如，只承受张力的电缆的松弛与张紧；轴承与轴承套的接触与脱开；冻土的冻结与融化。这些系统的刚度随着它们状态的变化而发生显著变化。 9.2 非线性有限元问题的求解方法 对于线性方程组，由于刚度方程是常数矩阵，可以直接求解，但对于非线性方程组，由于刚度方程是某个未知量的函数则不能直接求解。以下将简要介绍借助于重复求解线性方程组以得到非线性方程组解答的一些常用方法。 1.迭代法 迭代法与直接法不同，它不是求方程组的直接解，而是用某一近似值代人，逐步迭代，使近似值逐渐逼近，当达到允许的规定误差时，就取这些近似值为方程组的解。 与直接法相比，迭代法的计算程序较简单，但迭代法耗用的机时较直接法长。它不必存贮带宽以内的零元素，因此存贮量大大减少，且计算中舍入误差的积累也较小。以平面问题 为例，迭代法的存贮量一般只需直接法的14左右。在求解非线性方程组时，一般采用迭代 法。 2. 牛顿—拉斐逊方法 ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。然而，非线性结构的行为不能直接用这样一系列的线性方程表示。需要一系列的带校正的线性近似来求解非线性问题。 一种近似的非线性救求解是将载荷分成一系列的载荷增量，即逐步递增载荷和平衡迭代。它可以在几个载荷步内或者在一个载荷步的几个子步内施加载荷增量。在每一个增量的
求解温度场的非线性有限元方法
Ξ 求解温度场的非线性有限元方法 刘福来1, 杜瑞燕2 (1.东北大学信息科学与工程学院,辽宁沈阳 110004;2.河北青年干部管理学院教务处,河北石家庄 050031) 摘要:从G alerkin 有限元方法出发,对自由表面上的辐射换热的数学表达式不作线性化处理,而是把温 度场的求解问题转化为非线性代数方程组的求解问题,并且用Newton 迭代法计算了温度场. 关键词:温度场;有限元方法;Newton 迭代法 中图分类号:O 242.21 文献标识码:A 文章编号:100025854(2005)0120021204 由文献[1]知,求解二维待轧过程的温度场,就是要求下面微分方程和初值问题的解: 52T 5 x 2+52T 5y 2=1α5T 5t ;(1) -k 5T 5n =0,(x ,y )∈S 2; (2) -k 5T 5n =σεA (T 4-T 4 ∞),(x ,y )∈S 3; (3) T (x ,y ,0)=T 0(x ,y ). (4)其中:α=λ ρc 称为导温系数,λ,ρ和c 分别为热导系数、密度和比热;S 2为给出热流强度Q 的边界面; T ∞为环境温度;S 3为给出热损失的边界面.对轧制问题的温度场,常常考虑的几种边界面[1] 是:对称 面、自由表面和轧件与轧辊的接触面.在辐射面上,边界条件的数学表达式为σεA (T 4-T 4 ∞)(其中:σ为 Stefan 2Boltzmann 常数,ε为物体表面黑度,A 为辐射面积,T ∞为环境温度)是温度T 的4次幂,具有强 烈的非线性.以往在实际计算中有2种处理方法[2],一种是简化问题的物理模型,有时将表达式看成常 数,有时将边界条件转化成h r A (T -T ∞)(其中h r =σ ε(T 2+T 2∞)(T +T ∞)),在轧制问题中求解温度场时文献[1,3]都采用了这一方法;另一种是处理问题的数学方法,即用近似方法求解非线性的偏微分方程问题.例如,用数值分析的方法,文献[4]中利用了差分方法. 本文中,笔者从G alerkin 有限元法出发,对自由表面上辐射换热的数学表达式不作线性处理,而是直接对非线性代数方程组用Newton 迭代法计算温度场,以二维待轧过程温度场的有限元解析进行讨论.1 G alerkin 有限元方法简介 将待求解区域Ω剖分为E 个单元,每个单元4个节点.设N i 是形函数(i =1,2,3,4),用4节点线性等参单元,则单元内的温度为 T e =N 1T 1+N 2T 2+N 3T 3+N 4T 4={N }T {T}e , (5) 其中:{N }=(N 1,N 2,N 3,N 4)T ;{T}e =(T 1,T 2,T 3,T 4)T .设ω1,ω2,…,ωn 是一组基函数,用 G alerkin 方法求方程(1)～(4)的解,实际上是求c 1,c 2,…,c n ,使T n =c 1ω1+c 2ω2+…+c n ωn 满足 κ Ω ρc 5T n 5t -k 52T n 5x 2+ 52T n 5y 2 ωi d x d y =0,i =1,2,…,n. (6) 对式(6)应用Green 公式,有 Ξ收稿日期:2004 0105;修回日期:20040420 作者简介:刘福来(1975),男,河北省唐山市人,东北大学博士研究生. 第29卷第1期2005年 1月河北师范大学学报(自然科学版) Journal of Hebei Normal University (Natural Science Edition )Vol.29No.1Jan.2005
非线性有限元的有关著作和简要历史
非线性有限元的有关著作和简要历史 已经发表的一些成功的实验和专题文章，完全或者部分地对非线性有限元分析做出了贡献。仅论述非线性有限元的作者包括Oden（1972），Crisfield（1991），Kleiber（1998）和Zhong（1993）。特别值得注意的时Oden的书，因为它是固体和结构非线性有限元的先驱作者。最近的作者有Simo和Hughes（1998）、Bonet 和Wood（1997）。某些作者还部分的为非线性分析做出了贡献，他们是Belytschko 和Hunhes（1983），Zienkiewicz和Taylor（1991），Bathe（1996），以及Cook，Malkushe和Plesha（1989）。对于非线性有限元分析，他们的书提供了有益的入门指南。作为姐妹篇，线性有限元分析的论述也是有用的，内容最全面的是Hughes（1987）、Zienkiewicz和Taylor（1991）的著作。 非线性有限元方法有多种溯源。通过波音研究的工作和Turner，Clough，Martin和Yopp（1956）的著名文章，使线性有限元分析得以闻名，不久之后，在许多大学和研究所里，工程师们开始将方法扩展至非线性、小位移的静态问题。但是，它难以燃起早期有限元社会的激情和改变传统研究者们对于这些方法的鄙视。例如，因为考虑到没有科学的是实质，《Journal of Applied Mechanics》许多年都拒绝刊登关于有限元方法的文章。然而。对于许多必须涉及工程问题的工程师们，他们非常清楚有限元方法的前途，因为它提供了一种处理复杂形状真实问题的可能性。 在20世纪60年代，由于Ed Wilson发布了他的第一个程序，这种激情终于被点燃了。这些程序的第一代没有名字。在遍布世界的许多实验室里，通过改进和扩展这些早期在Berkeley开发的软件，工程师们扩展了新的用途，这些带来了对工程分析的巨大冲击和有限元软件的随之发展。在Berkeley开发的第二代线性程序称之为SAP（structural analysis program）。由Berkeley的工作发展起来的第一个非线性程序使NONSAP，它具有隐式积分进行平衡求解和瞬时问题求解的功能。 第一批非线性有限元方法文章的主要贡献者由Argyris（1965），Marcal 和King（1967）。不久，大批文章激增，而且软件随之诞生。当时在Brown大
第10章(非线性有限元) (1)分解
第10章 非线性动力有限元法 (1) 10.1 几何非线性问题的有限元法 (2) 10.1.1 几何非线性问题的牛顿迭代法 ........................................................................... 2 10.1.2 典型单元的切线刚度矩阵 ................................................................................. 4 10.2 材料非线性问题的有限元法 (8) 10.2.1 弹/粘塑性问题的基本表达式 .............................................................................. 8 10.2.2 粘塑性应变增量和应力增量 ............................................................................... 9 10.2.3 弹/粘塑性平衡方程 ............................................................................................ 10 10.3 材料非线性问题的动力有限元法 ................................................................................ 11 10.4 应用举例 (14) 10.4.1 粘弹粘塑性动力有限元分析举例 ................................................................... 14 习题.. (15) 第10章 非线性动力有限元法 当机械结构受到较大的外载荷，或受到持续时间较短的冲击载荷作用时，结构会产生过大的变形, 以至于必须考虑结构几何大变形对结构整体刚度及固有频率的影响，即所谓的几何非线性影响。另外, 对于多数非线性动力学问题，还需要考虑材料非线性、接触非线性等方面的影响。 非线性动力学分析求解的基本方程有如下形式 0=-+P I u M (4.141) 式中，Ku u C I += 为粘性效应项，考虑阻尼、粘塑、粘弹等效应。P 为外部激励。 对于考虑各种非线性效应的动力学问题求解，需要对动力学方程进行直接时间积分。即非线性动力有限元分析具有如下特点：（1）问题分析过程需要考虑时间积分效应，不必做模态分析，不必提取固有频率；（2）采用直接积分方法求解非线性动力学方程，需要对时间作积分计算，因此计算量远远大于线性模态动力学方法；（3）非线性动力学分析中可以施加不同类型的载荷，包括结点力、非零位移、单元载荷；（4）在每个时间步上，进行质量、阻尼、及刚度的集成，采用完整矩阵，不涉及质量矩阵的近似；（5）可以同时考虑几何、材料和接触等多种非线性效应。 非线性动力有限元分析程序常采用隐式Hilber-Hughes-Taylor 法进行时间积分运算。这种方法适于模拟非线性结构的动态问题，对于冲击、地震等激发的结构动态响应以及一些由于塑性或粘性阻尼造成的能量耗散，隐式算法特别有效。隐式积分方法需要对刚度矩阵求逆计算，并通过多次迭代求解增量步平衡方程。隐式Hilber-Hughes-Taylor 时间积分算法为无条件稳定，对时间步长没有特别的限制。 采用子空间法也可以对动力学平衡方程作时间积分运算。子空间法是提取模态分析得到的各阶特征模态，并采用与线性模态动力学分析方法相近的分析方式进行求解。对于带有微小非线性效应的问题，如材料小范围进行入屈服、结点转角不大的情况，子空间法效率比进接积分法要高。
第八章几何非线性问题的有限元法
第八章 几何非线性问题的有限元法 引言 前面各章所讨论的问题都是在小变形假设的前提下进行的，即假定物体所发生的位移远小于物体自身的几何尺寸，应变远小于1。在此前提下，建立物体或微元体的平衡条件时可以不考虑物体的位置和形状（简称位形）的变化，因此在分析中不必区别变形前后位形的差别，且应变可用一阶无穷小的线性应变表达。 实际上，上述假设有时是不成立的。即使实际应变可能是小的，且不超过材料的弹性极限，但如果需要精确地确定位移，就必须考虑几何非线性，即平衡方程应该相对于变形后的位置得出，而几何关系应该计及二次项。例如平板大挠度理论中，由于考虑了中面内的薄膜应力，求得的挠度比小挠度理论的结果有显著的减低。再如在结构稳定性问题中，当载荷达到一定数值后，挠度比线性解答予示的结果更剧烈地增加，并且确实存在承载能力随继续变形而减低的现象。在冷却塔、薄壁结构及其它比较细长的结构中，几何非线性分析都显得十分重要。 几何非线性问题可以分为以下几种类型： （1）大位移小应变问题。一般工程结构所遇到的几何非线性问题大多属于这一类。例如高层建筑或高耸构筑物以及大跨度网壳等结构的分析常需要考虑到结构大位移的影响。 （2）大位移大应变问题，如金属压力加工中所遇到的问题就属于这一类型。 （3）结构的变形引起外载荷大小、方向或边界支承条件的变化等。 结构的平衡实际上是在结构发生变形之后达到的，对于几何非线性问题来说，平衡方程必须建立在结构变形之后的状态上。为了描述结构的变形需要设置一定的参考系统。一种做法是让单元的局部坐标系始终固定在结构发生变形之前的位置，以结构变形前的原始位形作为基本的参考位形，这种分析方法称作总体的拉格朗日（Ｌagrange ）列式法；另一种做法是让单元的局部坐标系跟随结构一起发生变位，分析过程中参考位形是不断被更新的，这种分析方法称作更新的拉格朗日列式法。 本章首先对几何非线性问题作一般性讨论，从中导出经典的线性屈曲问题的公式；然后建立平板大挠度问题和壳体的大位移（及大转动）分析的有限方法公式；接着还给出了大应变及大位移的一般公式，最后还详细讨论了杆系结构几何非线性问题的有关公式。在讨论中我们采用总体的拉格朗日列式法，但对杆系结构，为应用方便我们给出了两种列式法的公式。 & 一般性讨论 理论基础 无论是对于何种几何非线性问题，虚功原理总是成立的。由虚功原理，单元的虚功方程可以写成如下的形式 {}{}{}{}0=-???**v e eT e eT F dv δσε （） 其中{}F 为单元节点力向量，{}e *ε为单元的虚应变，{}e *δ为节点虚位移向量。 增量形式的应变一位移关系可表示为 {}[] {}e e d B d δε= （）
非线性有限元分析
非线性有限元分析 1 概述 在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。这类问题的解决通常有两种途径。一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。 已经发展的数值分析方法可以分为两大类。一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。 另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。 1960年，发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。有限单元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个，且按一定方式相互联接在一起的单元的组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。并且可以利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。 现已证明，有限单元法是基于变分原理的里兹法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用于有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法。利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，而且事先不要求满足任何边界条件，因此可以用来处理很复杂的连续介质问题。 在短短四十余年的时间里，有限单元的分析方法已经迅速地发展为适合于使用各种类型计算机解决复杂工程问题的一种相当普及的方法。如今，有限元广泛地应用于各个学科门类，已经成为工程师和科研人员用于解决实际工程问题，进行科学研究不可或缺的有力工具。有限单元法的应用范围已由弹性力学平面问题扩展到空间问题，板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题，动力问题和波动问题。分析的对象从弹性材料扩展到塑性，粘弹性，粘塑性和复合材料等，从固体力学扩展到流体力学，传热学等连续介质力学领域。在工程分析中的作用已从分析和校核扩展
钢筋混凝土梁非线性有限元分析方法
第28卷第1期 V ol.28 No.1 工 程 力 学 2011年 1 月 Jan. 2011 ENGINEERING MECHANICS 82 ——————————————— 收稿日期：2009-06-19；修改日期：2010-03-11 基金项目：国家科技支撑计划项目(2006BA904B03) 作者简介：*周凌远(1968―)，男，四川成都人，副教授，工学博士，从事桥梁结构行为分析研究(E-mail: zhoulingyuan@https://www.wendangku.net/doc/f110566221.html,)； 李 乔(1954―)，男，黑龙江铁力人，教授，工学博士，博导，西南交通大学土木工程学院院长，从事桥梁结构行为分析研究 文章编号：1000-4750(2011)01-0082-05 钢筋混凝土梁非线性有限元分析方法 * 周凌远，李 乔 (西南交通大学土木工程学院，成都 610031) 摘 要：针对钢筋混凝土结构有限元分析中，材料进入非线性阶段后，难以通过梁理论准确描述混凝土截面和钢筋应力状态的问题，提出了基于柔度法和分布式塑性理论的钢筋混凝土梁单元材料非线性方法——网格截面法。这种方法采用平面等参单元将梁单元网格化，由单元轴向积分点位置截面网格积分点的混凝土应力描述单元截面应力分布，同时考虑钢筋对刚度的贡献，并通过对截面网格材料的积分计算积分点位置的截面刚度矩阵，再利用力插值函数和能量原理得到梁单元的柔度矩阵，进而对柔度矩阵求逆计算单元刚度矩阵。通过算例验证该方法在钢筋混凝土承载力分析时的准确性。 关键词：有限元；钢筋混凝土梁；柔度法；网格截面；极限承载力 中图分类号：TU375.1; O241.82 文献标识码：A AN APPROACH OF NONLINEAR FINITE ELEMENT ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE BEAM * ZHOU Ling-yuan , LI Qiao (School of Civil Eng, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China) Abstract: A beam element with a meshed section based on distributed plasticity and flexibility theory is presented for the material nonlinear finite element analysis of a reinforced-concrete framed structure, the sections of a concrete beam element are discretized into the plane isotropic components in this formulation, the stress distribution on the sections is described with the stresses at quadrature points in the mesh, the stiffness matrices of the sections are calculated by integration of the stress-strain relations of the material on the meshes and the contribution of the stiffness by reinforcing steel is also counted, the flexibility matrix of the element is formed by integration of section flexibility matrices with force-interpolation functions, and then it is inverted to obtain the element stiffness matrix. Finally, a numerical example of the ultimate load capacity analysis of a reinforced concrete beam illustrates the accuracy of the formulation. Key words: finite element; reinforced concrete beam; flexibility method; meshed section; load capacity 钢筋混凝土结构的整体承载力问题一直为工程界所关注，材料非线性有限元方法是研究这类问题的有效手段，其分析模型主要包括集中塑性铰 法[1]和纤维模型法，1977年，Kang 提出了基于纤维模型的二维梁单元[2]，并运用于预应力混凝土框 架的分析，1993年Izzuddin B A 等提出了三次多项式插值的分布式塑性方法分析空间梁单元[3 ―4] ，通 过对沿梁轴方向两个积分点位置的截面划分监控区域，并假定每个监控区域内的法向应力均匀，得到单元的刚度矩阵和节点力，这样在同一个单元内
非线性有限元作业_老骆整理
1. 轴对称问题的弹塑性分析 流程图 ： 节点号，单刚等各项参数 EN1 存储单元节点号， 局部坐标系转 换为全局坐标 N 打印错误 调用子函数 DEMATR 求[D] 调用子函数 BMATR 求 [B] 切线刚度阵 [EK]=[S][Q1]= · JD ·RN ·H(I1)H(J1) 返回各值 Y 读入单元号， B 矩阵位数，单刚位数，单元 开始 JD<0 [C]=[De ] [B] R=1 N [C]=[Dep][B]
解析解。厚壁筒受内压，采用Mises 屈服准则 经计算知，当t=（）时，材料处于弹塑性交界面。 弹性区为: 塑性区： 交界处有：， 最后解得残余应力为： (7a) 有限元网格信息图：(7b) (8a) (8b) (1) (2) (3) (4) (5) (6)
图1 有限元网格 输入数据文件内容（详细信息见附件）: DATA(1) NNODE MELEM IFU IFW IPF IPR NPP NRM HAC MSF NULOAD EXP NM(1-MELEM) NN NN(1-NNODE) R Z NFU(1-IFU) FU NFW(1-IFW) FW MPQ(1-IPF) NPQ*PQ NPRNRZ(1-IPR) PRNRZ E EMU SSS HH UNLOAD 对理想塑性材料厚壁筒，从初始状态开始，历经加载后完全卸载。这一过程中，厚壁筒内会产生残余应力。沿径向R的残余应力如图2-3 所示。
图 2 径向残余应力 -半径曲线 图 2-3 中分别给出了径向残余应力和切向残余应力随半径的变化， 比较。 从图中可以看出， 程序解和解析解在数值上能够很好的吻合， 大的地方 有少许偏差， 这验证了程序计算结果的正确性。 最大误差发生在径向残余应力达到 10 并且和解析解进行了 只是在径向残余应力最 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.4 -1.6 12 14 16 Radius R 18 20 -5 -10 -15 图 3 切向残余应力 -半径曲线
第10章(非线性有限元)分解
公式号、图号等 第十章 非线性动力有限元法 当机械结构受到较大的外载荷，或受到持续时间较短的冲击载荷作用时，结构会产生过大的变形, 以至于必须考虑结构几何大变形对结构整体刚度及固有频率的影响，即所谓的几何非线性影响。另外, 对于多数非线性动力学问题，还需要考虑材料非线性、接触非线性等方面的影响。 非线性动力学分析求解的基本方程有如下形式 0=-+P I u M (4.141) 式中，Ku u C I += 为粘性效应项，考虑阻尼、粘塑、粘弹等效应。P 为外部激励。 对于考虑各种非线性效应的动力学问题求解，需要对动力学方程进行直接时间积分。即非线性动力有限元分析具有如下特点：（1）问题分析过程需要考虑时间积分效应，不必做模态分析，不必提取固有频率；（2）采用直接积分方法求解非线性动力学方程，需要对时间作积分计算，因此计算量远远大于线性模态动力学方法；（3）非线性动力学分析中可以施加不同类型的载荷，包括结点力、非零位移、单元载荷；（4）在每个时间步上，进行质量、阻尼、及刚度的集成，采用完整矩阵，不涉及质量矩阵的近似；（5）可以同时考虑几何、材料和接触等多种非线性效应。 非线性动力有限元分析程序常采用隐式Hilber-Hughes-Taylor 法进行时间积分运算。这种方法适于模拟非线性结构的动态问题，对于冲击、地震等激发的结构动态响应以及一些由于塑性或粘性阻尼造成的能量耗散，隐式算法特别有效。隐式积分方法需要对刚度矩阵求逆计算，并通过多次迭代求解增量步平衡方程。隐式Hilber-Hughes-Taylor 时间积分算法为无条件稳定，对时间步长没有特别的限制。 采用子空间法也可以对动力学平衡方程作时间积分运算。子空间法是提取模态分析得到的各阶特征模态，并采用与线性模态动力学分析方法相近的分析方式进行求解。对于带有微小非线性效应的问题，如材料小范围进行入屈服、结点转角不大的情况，子空间法效率比进接积分法要高。 此外，非线性动力有限元分析还可以采用显式动态算法，如中心差分法。显式时间积分算法为有条件稳定，其临界稳定时间步长限制了时间步长的大小，与有限元模型最小单元尺寸、材料应力波速等有关。显式时间积分法适于模拟高速冲击、接触等问题。 上述方法的选择需要综合考虑计算量、分析问题的规模、单元限制等多方面因素，需要丰富的有限元模拟的理论、经验和实践知识。以下以几何非线性问题和材料非线性问题为例介绍非线性有限元法，其中粘弹粘塑性非线性材料问题的分析是典型的非线性动力有限元的求解思想。 9.1 几何非线性问题的有限元法 几何非线性问题一般是指物体经历大的刚体位移和转动，但固连于物体坐标系中的应变分量仍假设为小量, 即大位移小应变情况。