2007年年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷
2007年年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷
(9月23日上午8:30~10：30)
一、选择题（每题6分，共36分）
1、若点P （x ，y ）在直线x+3y=3上移动，则函数f （x ，y ）=y
x
93+的最小值等于（ ）
（A ）51)427(5 （B ）71)927(7 （C ）71)916(7 （D ）31
)2
5(3
2、满足20073+++=
x x y 的正整数数对（x ，y ）
（ ） （A ）只有一对 （B ）恰有有两对 （C ）至少有三对 （D ）不存在
3、设集合M={-2，0，1}，N={1，2，3，4，5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有
)()(x xf x f x ++是奇数，则这样的映射f 的个数是（ ）
（A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）11
4、设方程1)
19cos()19sin(20072
20072=+
y x 所表示的曲线是（ ） （A ）双曲线 （B ）焦点在x 轴上的椭圆
（C ）焦点在y 轴上的椭圆 （D ）以上答案都不正确
5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。那么，所有的三位数中，奇和数有（ ）个。 （A ）100 （B ）120 （C ）160 （D ）200
6、设61=a ，)](24
345[2
1++∈-+
=N n a a a n n n ，其中[x]表示不超过x 的最大整数。则200721a a a +???++的个位数字为（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题（每小题9分，共54分）
1、已知三个正整数x ，y ，z 的最小公倍数是300，并且?
??=+-=-+0320
232
22z y x z y x ，则方程组的解（x ，y ，z ）= 。
2、已知关于x 的实系数方程0222=+-x x 和0122
=++mx x 的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是 。
3、设平面上的向量→→→→y x b a ,,,满足关系→→→→→→+=-=y x b y x a 2,，又设→a 与→
b 的模为1，且互相垂直，则→
x 与→
y 的夹角为 。
4、设函数|1)(|)(|,1)(|)(|,|)(12010-=-==x f x f x f x f x x f ，则函数)(2x f 的图象与x 轴
所围成图形中的封闭部分的面积是 。
5、已知单位正方体ABCD —EFGH 棱AD 与直线BC 上分别有动点Q 、P 。若△PQG 与△BDE 相截得到的线段MN 长度为y ，设AQ=x （0≤x ≤1），则y 的最小值写成关于x 的函数关系式是 。
6、设a 1，a 2，…，a 2007均为正实数，且2
1
212121200721=++???++++a a a ，则207
21a a a ???的最小值是 。
三、（20分）已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且满足abc=).1)(1)(1(2---c b a （1）是否存在边长均为整数的△ABC ？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由。 （2）若a ＞1，b ＞1，c ＞1，求出△ABC 周长的最小值。
四、（20分）已知⊙O 1与⊙O 2相交于两不同点A 、B ，点P 、E 在⊙O 1上，点Q 、F 在⊙O 2上，且满足：EF 为两圆的公切线，PQ ∥EF ，PE 与QF 相交于点R 。证明：∠PBR=∠QBR 。
五、已知椭圆122
22=+b
y a x 过定点A （1，0），且焦点在x 轴上，椭圆与曲线|y|=x 的交点为
B 、
C 。现有以A 为焦点，过点B 、C 且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标为M （m ，0）。当椭圆的离心率e 满足13
2
2< 2007年全国高中数学联系广西赛区试卷参考答案 一、选择题（每小题6分，共36分） 1．（A ） 解： 532 132 132 132 132 132 13 22) 3 1(23 33 3332 132153333213213 33 39 393)(x x x x x x x x x x x x x x x x y x x f ---------???????≥+++?+?=+=+=+=+= =5153)4 27(53415?=??，等号当且仅当x x 32 13321-=?，即)2l o g 1(533+=x 时成立， 故f （x ，y ）的最小值是51 )4 27 (5? 2、（B ） 解：设2007,322+=+=x b x a ，其中a ，b 均为自然数，则y=a+b ， 167322004))((222??==+-=-a b a b a b 。因为b+a 与b-a 有相同的奇偶性，且 b+a>b-a,所以?? ?=-=+21002a b a b 或???=-=+6334a b a b 解得???==502500b a 或???==170 164 b a 3、（A ） 解：当x=-2时，x+f （x ）+xf （x ）=-2-f （-2）为奇数，则f （-2）可取1，3，5，有三种取法；当x=0时，x+f （x ）+xf （x ）=f （0）为奇数，则f （0）可取1，3，5，有3种取法；当x=1时，x+f （x ）+xf （x ）=1+2f （1）为奇数，则f （1）可取1，2，3，4，5，有5种取法。由乘法原理知，共有3×3×5=45个映射。 4、（C ） 解：))(1360(19)1360(19)19(1919 1003100322007 +∈+=+?=?=N n n 于是， 19sin )1919360sin()19 sin(2007=+?=n ，同理 19cos )19cos(2007=。 因为019sin 19cos >> ，故应选（C ） 5、（A ） 解：设三位数是321a a a ，则321a a a +)()(10)(100312231123a a a a a a a a a +++++=。 若31a a +不进位，则和数的十位数必为偶数，不符合题意，所以31a a +=11，13，15，17。 因11=9+2=8+3=7+4=6+5，所以3,1a a 取值有2 24A 种可能； 因13=9+4=8+5=7+6，所以3,1a a 取值有2 23A 种可能； 因15=9+6=8+7，所以3,1a a 取值有222A 种可能； 因17=9+8，所以3,1a a 取值有22A 种可能； 由于22a a +不能进位，所以2a 只能取0，1，2，3，4。 因此，满足条件的数共有：5（224A +223A +222A +22A ）=100（个） 6、（B ） 解：由,,12511,1256122111???+?==+?==--a a 猜想： 1251+?=-n n a 。由已知递推关系式，易用数学归纳法给予证明（略） 于是，当n>1时,).10(mod 1≡n a 故)10(mod 220066200721≡+=+???++a a a 因此,应选(B) 二、填空题（每小题9分，共54分） 1．（20，60，100） 解：记方程组中的两个方程为（1），（2），消去x 得 03852 2=+-z yz y ，即0))(35(=--z y z y 所以035=-z y ， （3） 或 0=-z y ， （4） 由（1）、（3）得x z x y 5,3==，即x ：y ：z=1：3：5，于是，由已知条件，必有x=20，y=60，z=100； 由（1）（4），得x=-y=-z ，与已知条件矛盾。 2．{m|-1 解：易知方程0222 =+-x x 的两根为.1,121i x i x -=+= 当0442<-=?m ，即11<<-m 时，方程0122 =++mx x 有两个共轭的虚根4,3x x ， 且4,3x x 的实部为1≠-m ，这时4321,,,x x x x 在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形，它们共圆。 当0442>-=?m ，即1- =++mx x 有两个不等的实根 4,3x x ，则21,x x 对应的点在以4,3x x 对应的点为直径端点的圆上，该圆的方程为 0))((243=+--y x x x x ， 即0)(434322=++-+x x x x x y x ，将1,24343=-=+x x m x x 及21,x x 对应点的坐标（1，±1）代入方程，即得2 3 -=m 。 故m 的取值范围是{m|-1 10arccos( -π 解：由已知，得3 2,3a b b a -= +=，设→x 与→ y 的夹角为θ，则10 10 | |||cos - =??= → →→ →y x y x θ，所以θ=)1010arccos(-π 4、 7 解：函数)(2x f y =的图象如图的实线部分所示。所求的封闭部分的面积为 7122 1 2)62(21=??-?+= -?CDE ABCD S S 梯形 5、x y -- = 3626 解：当AQ=x 时，设GQ 与面BDE 交于 点N ，作NM ⊥BD 于点M ，联结QM 线BC 于点' P ，取点' P 为点P ，知此时 y=|MN|最小。 建立如图 1的空间直角坐标系，则Q （0，x ，1）且△BDE 所在平面上的点（x ，y ，z ）满足x+y=z ，故可令),,(0000y x y x N +。 由点N 在QG 上，知在（0，1）内存在λ使QN=λQG 。 代入消去λ得.)1(,120000x y x x y x =-=+ 从而，x x y x x x -+=--= 31,3100 于是，).32 ,31,31( x x x x x N --+--= 而点M 在BD 上，故可令).1,1,(11x x M - 由0=?BD MN ，知).31(231x x x --= x y z 于是，.36 26)31(26||x x x MN y --=--== 6、20074012 解：设i i a x +=22 ，则i i i x x a -?=12，且12007 1 =∑=i i x ，所以 ) ()()(1 22006212007312007322007 212007200721x x x x x x x x x x x x a a a +???++???+???++?+???++????? =???20062006 21200620073120062007322007 2120072006200620061 2x x x x x x x x x x x x ????????????????????? ≥=200720072007 401220062 =? 三、满分20分 解：（1）不妨设整数a ≥b ≥c ，显然c ≥2。 若c ≥5，这时 .5 1 111≤≤≤c b a 由)1)(1)(1(2---=c b a abc ，可得 3)5 4 ()11)(11)(11(21≥---=c b a 。 矛盾。 故c 只可能取2，3，4。 当c=2时，)1)(1(--=b a ab ，有.1=+b a 又a ≥b ≥2，故无解。 当c=3时，）1-)(1(43b a ab -=，即12)4)(4(=--b a 又a ≥b ≥3，故 ?? ?=-=-14124b a 或???=-=-2464b a 或???=-=-3 44 4b a 解得?? ?==516b a 或???==610b a 或???==7 8 b a 能构成三角形的只有a=8，b=7，c=3。 当c=4时，同理解得a=9，b=4或a=6，b=5。 能构成三角形的只有a=6，b=5，c=4。 故存在三边长均为整数的△ABC ，其三边长分别为4，5，6或3，7，8 （2）由)1)(1)(1(2---=c b a abc ，可得 3]3 ) 11()11()11([)11)(11)(11(21c b a c b a -+-+-≤---= 所以， 32 2 3111-≤++c b a 又 9)1 11)(≥++++c b a c b a （，则有 122 32 23911193 33-=-≥++≥++c b a c b a 故△ABC 的周长最小值为1 22 33 3-，当且仅当1 22 3 3 -= ==c b a 时，取得此最小值。 四、满分20分 证明：如图2，设⊙O 1的半径为 r 1，Y FQ BH X EP BG Z EQ BR === ,,， 2211,N FO PQ N EO PQ == ， 2211,M FO BH M EO BG == ， .,2121b FN EN a FM EM ==== 易知b r EP a r EG 112,2== a r b a EP b a EX 12?== 。 故 b a EG EX = 由△EGX ∽△BPX ，知 b a BP BX EG EX = = 同理， b a BQ BY =。故BQ BY BP BX =，即BY BX BQ BP = 由PQ ∥XY ，知BQ BP BY BX ZQ PZ ==，所以∠PBR=∠QBR 五、满分20分 R E F H G P A Q Z B M 1 X Y M 2 N 1 N 2 O 1 O 2 解：椭圆过定点A （1，0），则a=1，c=221,1b e b -=- ∵ 1322< 3 0< 解方程组?? ? ??=+≥=1) 0(222b y x x x y ，得21b b y x +== ∵)3 3 , 0(∈b ，∴210< 设抛物线方程为：1,0),(22>>--=m p m x p y 又∵ 12 -=m p ，∴1),)(1(42>--=m m x m y )2 1 ,0(,∈=x x y 得0)1(4)1(42=---+m m x m x 令)2 10,1(),1(4)1(4)(2 < <>---+=x m m m x m x x f ∵)2 1,0()(在x f 内有根且单调递增。 ∴??? ??>---+=<--=0)1(4)1(241 )2 1(0)1(4)0(m m m f m m f ∴??? ??+<<-<>4234 2301m m m 或 故4 2 31+<