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2007年年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷

2007年年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷

2007年年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷

(9月23日上午8:30~10:30)

一、选择题(每题6分,共36分)

1、若点P (x ,y )在直线x+3y=3上移动,则函数f (x ,y )=y

x

93+的最小值等于( )

(A )51)427(5 (B )71)927(7 (C )71)916(7 (D )31

)2

5(3

2、满足20073+++=

x x y 的正整数数对(x ,y )

( ) (A )只有一对 (B )恰有有两对 (C )至少有三对 (D )不存在

3、设集合M={-2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射f :M →N 使对任意的x ∈M ,都有

)()(x xf x f x ++是奇数,则这样的映射f 的个数是( )

(A )45 (B )27 (C )15 (D )11

4、设方程1)

19cos()19sin(20072

20072=+

y x 所表示的曲线是( ) (A )双曲线 (B )焦点在x 轴上的椭圆

(C )焦点在y 轴上的椭圆 (D )以上答案都不正确

5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒,将所得到的数与原数相加,若和中没有一个数字是偶数,则称这个数为“奇和数”。那么,所有的三位数中,奇和数有( )个。 (A )100 (B )120 (C )160 (D )200

6、设61=a ,)](24

345[2

1++∈-+

=N n a a a n n n ,其中[x]表示不超过x 的最大整数。则200721a a a +???++的个位数字为( )

(A )1 (B )2 (C )3 (D )4 二、填空题(每小题9分,共54分)

1、已知三个正整数x ,y ,z 的最小公倍数是300,并且?

??=+-=-+0320

232

22z y x z y x ,则方程组的解(x ,y ,z )= 。

2、已知关于x 的实系数方程0222=+-x x 和0122

=++mx x 的四个不同的根在复平面上对应的点共圆,则m 的取值范围是 。

3、设平面上的向量→→→→y x b a ,,,满足关系→→→→→→+=-=y x b y x a 2,,又设→a 与→

b 的模为1,且互相垂直,则→

x 与→

y 的夹角为 。

4、设函数|1)(|)(|,1)(|)(|,|)(12010-=-==x f x f x f x f x x f ,则函数)(2x f 的图象与x 轴

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所围成图形中的封闭部分的面积是 。

5、已知单位正方体ABCD —EFGH 棱AD 与直线BC 上分别有动点Q 、P 。若△PQG 与△BDE 相截得到的线段MN 长度为y ,设AQ=x (0≤x ≤1),则y 的最小值写成关于x 的函数关系式是 。

6、设a 1,a 2,…,a 2007均为正实数,且2

1

212121200721=++???++++a a a ,则207

21a a a ???的最小值是 。

三、(20分)已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,且满足abc=).1)(1)(1(2---c b a (1)是否存在边长均为整数的△ABC ?若存在,求出三边长;若不存在,说明理由。 (2)若a >1,b >1,c >1,求出△ABC 周长的最小值。

四、(20分)已知⊙O 1与⊙O 2相交于两不同点A 、B ,点P 、E 在⊙O 1上,点Q 、F 在⊙O 2上,且满足:EF 为两圆的公切线,PQ ∥EF ,PE 与QF 相交于点R 。证明:∠PBR=∠QBR 。

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五、已知椭圆122

22=+b

y a x 过定点A (1,0),且焦点在x 轴上,椭圆与曲线|y|=x 的交点为

B 、

C 。现有以A 为焦点,过点B 、C 且开口向左的抛物线,抛物线的顶点坐标为M (m ,0)。当椭圆的离心率e 满足13

2

2<

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2007年全国高中数学联系广西赛区试卷参考答案

一、选择题(每小题6分,共36分) 1.(A )

解:

532

132

132

132

132

132

13

22)

3

1(23

33

3332

132153333213213

33

39

393)(x x x x x x x x x x x x

x x

x

x

y x x f ---------???????≥+++?+?=+=+=+=+=

=5153)4

27(53415?=??,等号当且仅当x x

32

13321-=?,即)2l o g 1(533+=x 时成立,

故f (x ,y )的最小值是51

)4

27

(5?

2、(B )

解:设2007,322+=+=x b x a ,其中a ,b 均为自然数,则y=a+b ,

167322004))((222??==+-=-a b a b a b 。因为b+a 与b-a 有相同的奇偶性,且

b+a>b-a,所以??

?=-=+21002a b a b 或???=-=+6334a b a b 解得???==502500b a 或???==170

164

b a

3、(A )

解:当x=-2时,x+f (x )+xf (x )=-2-f (-2)为奇数,则f (-2)可取1,3,5,有三种取法;当x=0时,x+f (x )+xf (x )=f (0)为奇数,则f (0)可取1,3,5,有3种取法;当x=1时,x+f (x )+xf (x )=1+2f (1)为奇数,则f (1)可取1,2,3,4,5,有5种取法。由乘法原理知,共有3×3×5=45个映射。 4、(C ) 解:))(1360(19)1360(19)19(1919

1003100322007

+∈+=+?=?=N n n

于是,

19sin )1919360sin()19

sin(2007=+?=n ,同理 19cos )19cos(2007=。

因为019sin 19cos >>

,故应选(C ) 5、(A )

解:设三位数是321a a a ,则321a a a +)()(10)(100312231123a a a a a a a a a +++++=。 若31a a +不进位,则和数的十位数必为偶数,不符合题意,所以31a a +=11,13,15,17。 因11=9+2=8+3=7+4=6+5,所以3,1a a 取值有2

24A 种可能;

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因13=9+4=8+5=7+6,所以3,1a a 取值有2

23A 种可能; 因15=9+6=8+7,所以3,1a a 取值有222A 种可能; 因17=9+8,所以3,1a a 取值有22A 种可能;

由于22a a +不能进位,所以2a 只能取0,1,2,3,4。

因此,满足条件的数共有:5(224A +223A +222A +22A )=100(个)

6、(B )

解:由,,12511,1256122111???+?==+?==--a a 猜想:

1251+?=-n n a 。由已知递推关系式,易用数学归纳法给予证明(略) 于是,当n>1时,).10(mod 1≡n a

故)10(mod 220066200721≡+=+???++a a a 因此,应选(B)

二、填空题(每小题9分,共54分) 1.(20,60,100)

解:记方程组中的两个方程为(1),(2),消去x 得 03852

2=+-z yz y ,即0))(35(=--z y z y 所以035=-z y , (3) 或 0=-z y , (4)

由(1)、(3)得x z x y 5,3==,即x :y :z=1:3:5,于是,由已知条件,必有x=20,y=60,z=100; 由(1)(4),得x=-y=-z ,与已知条件矛盾。 2.{m|-1

解:易知方程0222

=+-x x 的两根为.1,121i x i x -=+=

当0442<-=?m ,即11<<-m 时,方程0122

=++mx x 有两个共轭的虚根4,3x x ,

且4,3x x 的实部为1≠-m ,这时4321,,,x x x x 在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形,它们共圆。

当0442>-=?m ,即1-m 时,方程0122

=++mx x 有两个不等的实根

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4,3x x ,则21,x x 对应的点在以4,3x x 对应的点为直径端点的圆上,该圆的方程为

0))((243=+--y x x x x ,

即0)(434322=++-+x x x x x y x ,将1,24343=-=+x x m x x 及21,x x 对应点的坐标(1,±1)代入方程,即得2

3

-=m 。 故m 的取值范围是{m|-1

10arccos(

-π 解:由已知,得3

2,3a

b b a -=

+=,设→x 与→

y 的夹角为θ,则10

10

|

|||cos -

=??=

→→

→y x y

x θ,所以θ=)1010arccos(-π

4、 7

解:函数)(2x f y =的图象如图的实线部分所示。所求的封闭部分的面积为

7122

1

2)62(21=??-?+=

-?CDE ABCD S S 梯形 5、x

y --

=

3626 解:当AQ=x 时,设GQ 与面BDE 交于

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点N ,作NM ⊥BD 于点M ,联结QM 线BC 于点'

P ,取点'

P 为点P ,知此时

y=|MN|最小。

建立如图

1的空间直角坐标系,则Q (0,x ,1)且△BDE 所在平面上的点(x ,y ,z )满足x+y=z ,故可令),,(0000y x y x N +。

由点N 在QG 上,知在(0,1)内存在λ使QN=λQG 。 代入消去λ得.)1(,120000x y x x y x =-=+

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从而,x x

y x x x -+=--=

31,3100 于是,).32

,31,31(

x

x x x x N --+--= 而点M 在BD 上,故可令).1,1,(11x x M - 由0=?BD MN ,知).31(231x

x x --=

x

y z

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于是,.36

26)31(26||x

x x MN y --=--== 6、20074012

解:设i i a x +=22

,则i i i x x a -?=12,且12007

1

=∑=i i x ,所以

)

()()(1

22006212007312007322007

212007200721x x x x x x x x x x x x a a a +???++???+???++?+???++?????

=???20062006

21200620073120062007322007

2120072006200620061

2x x x x x x x x x x x x ?????????????????????

≥=200720072007

401220062

=?

三、满分20分 解:(1)不妨设整数a ≥b ≥c ,显然c ≥2。 若c ≥5,这时

.5

1

111≤≤≤c b a 由)1)(1)(1(2---=c b a abc ,可得

3)5

4

()11)(11)(11(21≥---=c b a 。 矛盾。

故c 只可能取2,3,4。

当c=2时,)1)(1(--=b a ab ,有.1=+b a 又a ≥b ≥2,故无解。

当c=3时,)1-)(1(43b a ab -=,即12)4)(4(=--b a

又a ≥b ≥3,故

??

?=-=-14124b a 或???=-=-2464b a 或???=-=-3

44

4b a 解得??

?==516b a 或???==610b a 或???==7

8

b a

能构成三角形的只有a=8,b=7,c=3。

当c=4时,同理解得a=9,b=4或a=6,b=5。 能构成三角形的只有a=6,b=5,c=4。

故存在三边长均为整数的△ABC ,其三边长分别为4,5,6或3,7,8

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(2)由)1)(1)(1(2---=c b a abc ,可得

3]3

)

11()11()11([)11)(11)(11(21c b a c b a -+-+-≤---= 所以,

32

2

3111-≤++c b a 又

9)1

11)(≥++++c

b a

c b a (,则有 122

32

23911193

33-=-≥++≥++c b a c b a 故△ABC 的周长最小值为1

22

33

3-,当且仅当1

22

3

3

-=

==c b a 时,取得此最小值。

四、满分20分

证明:如图2,设⊙O 1的半径为 r 1,Y FQ BH X EP BG Z EQ BR === ,,,

2211,N FO PQ N EO PQ == , 2211,M FO BH M EO BG == , .,2121b FN EN a FM EM ====

易知b r EP a r EG 112,2==

a r b

a EP

b a EX 12?==

。 故

b

a

EG

EX

= 由△EGX ∽△BPX ,知

b

a

BP BX EG EX =

= 同理,

b

a

BQ BY

=。故BQ BY BP BX =,即BY BX BQ BP = 由PQ ∥XY ,知BQ

BP BY BX ZQ PZ ==,所以∠PBR=∠QBR 五、满分20分

R

E

F

H

G

P

A Q

Z

B M 1 X Y M 2

N 1

N 2

O 1

O 2

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解:椭圆过定点A (1,0),则a=1,c=221,1b e b -=- ∵

1322<

3

0<

解方程组??

?

??=+≥=1)

0(222b y x x x y ,得21b b y x +==

∵)3

3

,

0(∈b ,∴210<

设抛物线方程为:1,0),(22>>--=m p m x p y 又∵

12

-=m p

,∴1),)(1(42>--=m m x m y )2

1

,0(,∈=x x y 得0)1(4)1(42=---+m m x m x

令)2

10,1(),1(4)1(4)(2

<

<>---+=x m m m x m x x f ∵)2

1,0()(在x f 内有根且单调递增。

∴???

??>---+=<--=0)1(4)1(241

)2

1(0)1(4)0(m m m f m m f ∴???

??+<<-<>4234

2301m m m 或

故4

2

31+<