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初中数学竞赛精品标准教程及练习66:辅助圆

初 中数学竞赛精品标准教程及练习(66)

辅助圆

一、内容提要

1.经过两个点可以画无数个圆;经过三个点作圆,必须是不在同一直线上的三个点,可以作一个圆,并且只能作一个圆.

2.经过四点作圆(即四点共圆)有如下的判定定理:

①到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上(圆的定义).②一组对角互补的四边形顶点在同一圆上.③一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆.④同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆.

推论:同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径).3.画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有:

①同弧所对的圆周角相等.

②圆内接四边形对角互补,外角等于内对角.③圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距的等量关系.

④圆中成比例线段定理:相交弦定理

初中数学竞赛精品标准教程及练习66:辅助圆

4.证明 型如ab+cd=m 2常用切割线定理二、例题

例1.已知:点O 是△ABC 的外心,BE ,CD 是高.

求证:AO ⊥

DE

证明:延长AO 交△ABC 的外接圆于F ,连接BF.∵O 是△ABC 的外心∴AF 是△ABC 外接圆的直径,∠ABF=Rt ∠.

∵BE ,CD 是高,∠BDC=∠CEB=Rt ∠.

∴B ,C ,E ,D 四点共圆(∴∠ADE=∠ECB=∠F.∴∠AGD=∠ABF=Rt ∠,即AO ⊥DE.

例2.正方形ABCD 的中心为O ,面积为1989cm 2,P 为正方形内的一点,且∠OPB=45

PA ∶PB=5∶14,则PB=____cm. 解:∵∠OPB=∠OAB=45

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∴ABOP 四点共圆(同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆)∴∠APB=∠AOB=Rt ∠.

在Rt △APB 中,设PA 为5x ,则PB 是14x.∴(5x)2+(14x)2=1989.解得x=3, 14x.=42.∴PB=42 (cm).

例3.已知:平行四边形ABCD 中,CE ⊥AB 于E ,AF ⊥BC 于F.

求证:AB ×AE+CB ×CF=AC 2.