高中数学解题后反思,思什么？专题辅导

高中数学解题后反思，思什么？

从近几年的高考试卷来看，对应试者的“能力要求逐年提高”。题海战术的功效明显下降，大量较少思考的重复训练，只能熟练、不能提高，对能力的发展帮助不大。著名数学教育家波利亚说过：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾”。所谓的回顾，即我们现在说的反思。对解题思路、解题过程的反思，可以帮助我们快速找出错误，以便及时改正。对各类题型的反思，可从帮助我们总结、归纳和辨别、澄清与此题相关的问题，达到做一道题，会一类题的效果。那么应该反思些什么呢？可以从以下几个角度去考虑。

一思：解题过程合理吗？

解完一道题后，应作进一步的思考：题目中所有的条件都用过了吗？用足了吗？（含括号内的条件），题目所要求的问题解决了吗？解题中所引用的知识是否是书中已证过的结论？还有没有需要增加说明和剔除的部分等。

例1. 已知7

1tan 21)tan(-==

-ββα，，且)0(πβα，、∈，求βα-2的值。 错解：)

(tan 1)tan(2)(2tan 2βαβαβα---=- 34)21(12122

=-?= ])(2tan[)2tan(ββαβα+-=-

17

13417134tan )(2tan 1tan )(2tan =?+-

=--+-=ββαββα 由)0(πβα，、∈，则)2(2ππβα，-∈- 所以434432πππβα，，-=- 反思：这是一类典型的错误，主要原因是忽视了范围条件的挖掘与使用。事实上，由

3

371tan ->-

=β，知πβπ<<65；3331])tan[(tan <=+-=ββαα，知60πα<<，故)2(2ππβα--∈-，，应取432πβα-=-。

二思：解题思路严谨吗？

解题中会受到题目中某些信息的主导和干扰，不能够周密地考虑问题，使解题过程偏离方向，造成误解。对解题思路的反思，能及时修正错误。

例2. 过点P （1，－2）作圆1y x 2

2=+的切线，求切线方程。

错解：设过点P （1，－2）的切线方程为)1x (k 2y -=+

则圆心（0，0）到切线02k y kx =+++-的距离等于半径1，

即

11

k |

2k |2=++，解之得43k -= 则所求的切线方程为05y 4x 3=++ 反思：从结果上看，圆只有一条切线，但点P 在圆外，应该有两条切线，上述解答不正确。究其原因，是还有一条斜率不存在的直线被弄丢了，这条直线不适合用点斜式方程。所以对直线方程的使用要分清类别，不能漏解。易知x ＝1为圆的另一条切线方程。

三思：解题方法优化吗？

很多数学问题有多种解法，解题后要多角度思考，看是否还有其他解法，通过寻找新的方法，可以开拓思路，防止思维定势，及时总结出各类解题技巧，并养成“从优、从快”的解题方式。

例3. 已知函数2x 1)x (f +=，若b a ≠，求证|b a ||)b (f )a (f |-<-。 分析一：原不等式即|b a ||b 1a 1|22-<+-+

要证此不等式成立，平方后即证 ab 2b a b 1a 12b 1a 1222222-+<+?+-+++ 即22b 1a 1ab 1+?+<+

当0ab 1<+时，不等式恒成立

当0ab 1≥+时，即要证)b 1)(a 1(ab 2b a 12222++<++

即22b a ab 2+<

由b a ≠，知此式成立，而上述各步都可逆，命题得证。 分析二：原不等式即|b a |b 1a 1|

b a |2222-<+++-

又b a ≠，即只要证22b 1a 1|b a |+++<+ 由于22b 1a 1|b ||a ||b a |+++<+≤+成立，知命题得证。 分析三：设2x 1y +=，则)0y (1x y 22≥=-是顶点为（0，1）的双曲线的上支。 由于双曲线的两条渐近线为x y ±=，其斜率为1±，则双曲线上支上的两点A （a ，f(a)），B （b ，f(b)）的连线斜率1|b

a )

b (f )a (f ||k |AB <--=，即有|b a ||)b (f )a (f |-<-成立。 分析四：由于2a 1+表示点O （0，0）与A （1，a ）之间距离|OA|，2b 1+表示点O （0，0）与B （1，b ）之间的距离|OB|，而|AB|＝|a －b|，由于b a ≠，即A 、B 不重合，故必有|AB |||OB ||OA ||<-，即|b a ||)b (f )a (f |-<-成立。

四思：哪些题形异，质相同？

数学问题是形式多样的，有些题的形式虽然不一样，但可归结到一种题型上去，通过这一道题的解决，达到会解一类题，所以解题后要反思题目实质，并进行归类，总结通解通法。

例4. 已知关于x 的方程0a 2x cos a x sin 2

=-+有实数解，求实数a 的取值范围。 分析：原题等价于“求函数x

cos 2x sin a 2-=的值域”，易知

3

244]x cos 23x cos 2[x

cos 23

x cos 2x

cos 23x cos 4x cos 2x cos 1a 22-≤+-+

--=--+=---=--= 又]31

[x cos 2，∈-，故324a 0-≤≤ 再如以下三题：

①若方程01a 2ax x 2

=-+-在]11[x ，-∈上有实数解，求a 的取值范围； ②求函数)1|x (|x

2x 1y 2

≤--=的值域； ③实数a 为何值时，圆1y )2x (22=++与抛物线ax y 2-=有交点？（设θcos 2x =+，θsin y =） 上述三题都围绕着求x

cos 2sin 2-α的值域这一核心题进行变化和延伸的，核心问题解决了，各个问题也就不攻自破了。

五、哪些题相似，但质不同？

有些数学问题具有一定的迷惑性，如果概念不清，见识不广，就容易混淆，错误地将不同问题混为一谈了。所以通过反思形相似，但质不同的题目，能够提高辨别能力，避免错解的发生，这是一种总结性的反思。

例5. 对不等式0a x )1a (x <+++，分别求满足下列条件的实数a 的取值范围；

（1）不等式的解集为)30[，；

（2）不等式在)30[，上有解；

（3）不等式在)30[，上恒成立；

（4）不等式的解集是)30[，的子集。 分析：由0a x 0)a x )(1x (0a x )1a (x <+?<++?<+++

当0a ≥时，0a x <+无解，原不等式解集为空集；当0a <时，原不等式解集为（0，2a ）

则（1）必须且只须0a <时，3a ]a 0[)30[22=?=，，且0a <，故3a -=；

（2）必须且只须?≠)a 0()30[2，， ，则0a <时均适合，即)0(a ，-∞∈；

（3）必须且只须)a 0[)30[2，，?，且3a 0a 2≥?<且0a <，则3a -≤，即]3(a --∞∈，；

（4）应有0a <时，)30[)a 0[2，，?，此时)03[a ，-∈或为空集（0a ≥时），故)3[a ∞+-∈，

注：上述四个小题常容易混淆，通过反思各种解决方法的不同，弄清了四个不同的概念及相应的解题方案。

总之，解题后注重反思能培养良好的思维品质，既可促进“双基”的掌握，又能加强知识的有效迁移，是提高解题能力的重要途径。