机械优化设计课后习题答案word版本
第一章习题答案
1-1 某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确定设计变量；
根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ??
????=??????二级检验员一级检验员
21x x ；
（2）建立数学模型的目标函数；
取检验费用为目标函数，即：
f (X ) = 8*4*x 1+ 8*3*x 2 + 2（8*25*0.02x 1 +8*15*0.05x 2 ） =40x 1+ 36x 2
（3）本问题的最优化设计数学模型：
min f (X ) = 40x 1+ 36x 2 X ∈R 3·
s.t. g 1(X ) =1800-8*25x 1+8*15x 2≤0
g 2(X ) =x 1 -8≤0 g 3(X ) =x 2-10≤0
g 4(X ) = -x 1 ≤0 g 5(X ) = -x 2 ≤0
1-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。欲选择一组设计变量T T n D d
x x x ][][2
32
1
==X 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥，
簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。试建立该优化问题的数学模型。
注：弹簧的应力与变形计算公式如下
3
22234
881
,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比），
解： （1）确定设计变量；
根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ?????
?
????=??????????n D d x x x 2321； （2）建立数学模型的目标函数；
取弹簧重量为目标函数，即：
f (X ) =
322
12
4
x x rx π
（3）本问题的最优化设计数学模型：
min f (X ) =
322
12
4
x x rx π X ∈R 3·
s.t. g 1(X ) =0.5-x 1 ≤0
g 2(X ) =10-x 2 ≤0 g 3(X ) =x 2-50 ≤0 g 4(X ) =3-x 3 ≤0 g 5(X ) =[]τπ-+
31
2
218)21(x Fx x x ≤0 g 6(X ) =[]λ-4
1
3
3
28Gx x Fx ≤0
1-3 某厂生产一个容积为8000 cm 3
的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。
解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ???
???=?
?????h r x x
21高底面半径 , 表面积为目标函数，即：
m i n f (X ) = πx 12 + 2π x 1 x 2
考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为：
m i n f (X ) = πx 12 + 2π x 1 x 2
X =[x 1,x 2]T
∈R 2
s.t . g 1(X ) = -x 1 ≤0
g 2(X ) = -x 2 ≤0
h 1(X ) = 8000 - πx 12 x 2 = 0
1-4 要建造一个容积为1500 m 3
的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元和12元。基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。 解：（1）确定设计变量；
根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ????
?
?????=??
????????高宽长321x x x ； （2）建立数学模型的目标函数；
取总价格为目标函数，即：
f (X ) = 8(x 1 x 3 + x 2 x 3) + 6 x 1 x 2 + 12 x 1 x 2
（3）建立数学模型的约束函数；
1）仓库的容积为1500 m 3
。即：
1500-x 1 x 2 x 3 =0
2）仓库宽度为高度的两倍。即：
x 2 -2 x 3 = 0
3）各变量取值应大于0，即：
x 1 > 0, x 2 .> 0.，则 -x 1 ≤0，-x 2 ≤0
（4）本问题的最优化设计数学模型：
min f (X ) = 8(x 1 x 3 + x 2 x 3) + 18 x 1 x 2 X ∈R 3·
s.t. g 1(X ) = -x 1 ≤0
g 2(X ) = -x 2 ≤0 g 3(X ) = -x 3 ≤0 h 1(X ) = 1500-x 1 x 2 x 3 =0 h 2(X ) = x 2 -2 x 3 = 0
1-5 绘出约束条件：
82
22
1≤+x x ； 822
21≤+-x x ； 421≤x x 所确定的可行域 1-6 试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量： 1[13
2]T =X ; 2[234]T =X ; 3[414]T =X 。
第二章习题答案
2-1 请作示意图解释：(1)
()()()k k k k α+=+X
X S 的几何意义。
2-2 已知两向量12[1
220],[2021]T T P P =-=,求该两向量之间的夹角θ。
2-3 求四维空间内两点)2,1,3,1(-和)0,5,6,2(之间的距离。
2-4 计算二元函数321121()56f x x x x =-+-X 在(0)[11]T =X 处，沿方向[12]T
=-S 的方向导数(0)'()
s f X 和沿该点梯度方向的方向导数(0)'()f ?X 。 2-5 已知一约束优化设计问题的数学模型为
22
12121122123142min ()(3)(4)[,]()50() 2.50()0()0
T
f x x x x
g x x g x x g x g x =-+-==+-≤=--≤=-≤=-≤X X X X X X
求：
(1) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为()1234f =X 、
、、时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。 (2) 找出图上的无约束最优解1*
X 和对应的函数值1()f *X ，约束最优解2*
X 和2()f *X ；
(3) 若加入一个等式约束条件：
12()0h x x =-=X
求此时的最优解3*X ，3()f *X 。
解：下图为目标函数与约束函数（条件）设计平面X 1OX 2 。其中的同心圆是目标函数依次为f (X )=1、2、3、4时的四条等值线；阴影的所围的部分为可行域。
由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即：
X 1*＝[3，4]T
函数值 f (X 1*)= 0 。
而约束最优解应在由约束线g 1(X)=0，g 2(X)=0，g 3(X)=0，g 4(X)=0，组成的可行域（阴影线内侧）
内寻找，即约束曲线g 1(X)=0与某一等值线的一个切点X 2*，可以联立方程：???=+-=-+010
52121x x x x ，解得
X 2*=[2，3] 。
函数值 f (X 2*)= (2-3)2 + (3-4)2 = 2 。
加入等式约束条件，则X 3*为可行域上为h 1(X )=0上与某一条等值线的交点，可以联立方程：
??
?=-=-+0
52121x x x x ， 解得X 3*=[5/2，5/2] 。 函数值 f (X 3*)= (5/2-3)2 + (5/2-4)2 = 2.5 。
2-6 试证明在(1,1)点处函数522)(12
22
122
14
1+-++-=x x x x x x f X 具有极小值。 证明：求驻点：
2244)(121311-+-=??x x x x x X f ，
22
12
22)(x x x X f +-=?? 0)
(0)(2
1=??=??x X f x X f ，由
，4)(]11[**==x f x T ，极值得：驻点 2)(4)()(2412)(222112221222
12
12=??-=???=???+-=??x X f x x x X f x x X f x x x X f ，， ???
???--=24410)(X H 海赛矩阵
02
4
41001022
21
1211
11>--=
>=a a a a
a ，各阶主子式：
H (X )是正定的， 所以驻点必定是极小点。故在(1,1)点处函数)(X f 具有极小值。
2-7 求函数22
1212()32210f x x x x =+--+X 的极值点，并判断其极值的性质。
解：
26)(11-=??x x X f ，14)
(22
-=??x x X f 0)(0)(2
1=??=??x X f x X f ，由
，24/229)(]4/13/1[**==x f x T ，极值得：极值点 4)
(0)()(6)(2221222122
12=??=???=???=??x X f x x X f x x X f x X f ，， ???
???=4006)(X H 海赛矩阵 04
0060622
21
1211
11>=>=a a a a
a ，各阶主子式：
H (X )是正定的，所以，)(X f 为凸函数。
24/229)(]4/13/1[**==x f T ，极值得：极值点X
2-8 试判断函数22
12121()221f x x x x x =+-++X 的凸性。
解：
124)(211+-=??x x x X f ，122
22)
(x x x X f -=?? 2)(2)(2)(5)(2221222122
12=??-=???-=???=??x X f x x X f x x X f x X f ，，， ???
???--=2225)(X H 海赛矩阵
02
2
250522
211211
11>--=
>=a a a a
a ，各阶主子式：
H (X )是正定的， 所以，)(X f 为凸函数。
2-9 试用向量及矩阵形式表示22
1212()10460f x x x x =+--+X 并证明它在12{,,1,2}i x x x i =-∞<<∞=D 上
是一个凸函数。 解：
211210)
(x x x X f -+-=??，
122
24)(x x x X f -+-=?? 2)(1)(2)(2222122
12=??-=???=??x X f x x X f x X f ，， ?
??
???--=2112)(X H 海赛矩阵 02
1
120222
211211
11>--=
>=a a a a
a ，各阶主子式：
H (X )是正定的， 所以，)(X f 为凸函数。
2-10 现已获得优化问题
2122211222212122
2
3124152min ()412..()250
()1010340()(3)(1)0()0()0
f x x s t
g x x g x x x x g x x g x g x =--=+-≤=+--+≤=----≤=-≤=-≤X X X X X X
的一个数值解[1.000,4.900]T
=X ,试判定该解是否上述问题的最优解。
第三章习题答案
3-1 函数983)(3
+-=x x f X ，当初始点分别为00=x 及8.10=x 时，用进退法确定其一维优化的搜索区间，取初
始步长1.00=T 。 解：当00=x 时
（1）取1.0,0,1.0210=====T A A T T 9)()()
0(11===X f A F F
S A X
X 2)
0(+==0.1
203.8)()(2)
0(22=+==S X A f A F F
比较21F F 、，因21F F > ，所以应作前进搜索。
⑵步长加倍：3.021,2.0222=+=+===T A A T T 203.821==F F S A X
X 2)
0(+==0.3
681.6)()(2)
0(22=+==S X A f A F F
再比较21F F 、，因21F F >，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的1A 点。所以：
1.02.03.021=-=-=T A A 。
(3) 步长加倍：7.04.03.0,4.0222=+=+===T A A T T
681.621==F F S A X X 2)0(+==0.7
429.4)()(2)
0(22=+==S X
A f A F F .
比较21F F 、，因21F F >，所以还应再向前搜索, 3.04.07.021=-=-=T A A 。 (4) 步长加倍：5.1,8.0222=+===T A A T T
429.421==F F S A X X 2)0(+==1.5
125.7)()(2)
0(22=+==S X
A f A F F .
比较21F F 、，因21F F <。已找到具有“高－低－高”特征的区间 即：3.011==A α时，681.6)(1=αF 7.022=-=T A α时，429.4)(2=αF 5.123==A α时，125.7)(3=αF 。 所以，)()()(321αααF F F <>，单峰区间为： 5.1,3.02311======A B A A αα。 当8.10=x 时
同理可得：3.0,5.12311-===-===A B A A αα
3-2 用黄金分割法求函数ααα2)(2
+=F 在区间[35]-中的极小点，要求计算到最大未确定区间长度小于0.05。 解：（1）在初始区间[a,b]＝[-3，5]中取计算点并计算函数值
667
.7)(;944.1)(618.0115136.0)(;056.0)(618.0)
2(2)
2()1(1)1(===-+====--=α
α
ααf f a b a f f a b b
（2）比较函数值，缩短搜索区间
因有f 1≤f 2，则115136.0)(;944.1)2(2)
2(====αα
f f b
98759.0)(;11139.1)(618.0)1(1)1(-==-=--=ααf f a b b
（3）判断迭代终止条件
b －a ＞ε 不满足迭代终止条件，比较函数值f 1、f 2继续缩短区间。
将各次缩短区间的有关计算数据列于下表。
表 黄金分割法的搜索过程
3-3 用二次插值法求函数3728)(2
3+--=ααααF 的最优解。已知搜区间为[02]，选代精度01.0=ε。
解：采用Matlab 编程计算得：0.6207α=
3-4 函数212
2212142)(x x x x x x f -++-=X ，取初始点为(0)
[2
2]T =X ，规定沿)
0(X 点的负梯度方向进行一次
一维优化搜索，选代精度:6510,10--==f x εε。
(1)用进退法确定一维优化搜索区间；
(2)用黄金分割法求最优化步长及一维优化最优值； (3)用二次插值法求最优化步长及一维优化最优值；
(4)上述两种一维优化方法在求解本题时，哪一个种方法收取更快，原因是什么？ 解：最优点T ]20
[*
=X ,最优值4)(*-=X f
二次插值法更快
3-5 求2
)2)(1()(-+=αααF 的极小点，选代精度1.0,1.0==f x εε。要求： (1)从0=α出发，1.00=T 为步长确定搜索区间； (2)用黄金分割法求极值点；
(3)用二次插值法求极值点。
解：
(1) ①由已知条件可得，1110,()4F F ααα====
2102222220.1
()(1)(2)(0.11)(0.12) 3.971T F F ααααα=+===+-=+-=
因为21F F <，应作前进搜索。
②步长加倍，01220.2, 3.971T T F F ====，
222222220.10.20.3
()(1)(2)(0.31)(0.32) 3.757T F F ααααα=+=+===+-=+-=
因为21F F <，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的1α点。所以：120.3αα== ③步长加倍，1220.4, 3.757T T F F ====，
222222220.30.40.7
()(1)(2)(0.71)(0.72) 2.873T F F ααααα=+=+===+-=+-=
因为21F F <，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的1α点。所以：120.7αα== ④步长加倍，1220.8, 2.873T T F F ====，
222222220.70.8 1.5
()(1)(2)(1.51)(1.52)0.625T F F ααααα=+=+===+-=+-=
因为21F F <，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的1α点。所以：12 1.5αα== ⑤步长加倍，122 1.6,0.625T T F F ====，
222222221.5 1.6 3.1
()(1)(2)(3.11)(3.12) 4.961T F F ααααα=+=+===+-=+-=
因为21F F >，所以已找到具有“高—低—高”特征的区间 即10.7α=时，1() 2.873F α=；
2 1.5α=时，2()0.625F α=；
3 3.1α=时，3() 4.961F α=。
（2）由（1）确定的搜索区间[0.7,3.1]，利用Matlab 进行黄金分割法一维优化搜索得:
**242.0082,()(2.00821)(2.00822) 2.02310f αα-==+?-=?
（3）由（1）确定的搜索区间[0.7,3.1]，利用Matlab 进行二次插值法一维优化搜索得:
**231.9504,()(1.95041)(1.95042)7.25810f αα-==+?-=?
《机械优化设计》习题与答案
机械优化设计习题及参考答案 1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。 答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12T n x x x x =L 使 ()min f x → 且满足约束条件 ()0 (1,2,)k h x k l ==L ()0 (1,2,)j g x j m ≤=L 2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？ 答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的 形式：?? ??????????????=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f ρ 令xo T x f x f x f x f x f ?? ????????=????=?21]2 1[)0(， 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。 （1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。 （2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ?方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ?方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。 2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最 大的方向和数值。
解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p 表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ?。求f （x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下： ()??? ???-=????? ?+-=???? ??????????=?120122214210x x x x f x f x f 2 221)0(?? ? ????+??? ????=?x f x f x f =5 ????? ???????-=??????-=??=5152512)0()0(x f x f p ? 2-3.试求目标函数()2 221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下 降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。 解：求目标函数的偏导数 212 21124,46x x x f x x x f +-=??-=?? 则函数在X 0=[1,0]T 处的最速下降方向是 ??????-=??????-+-=?????? ??????????-=-?=====462446)(0 121210 1210 2121x x x x x x x x x f x f X f P 这个方向上的单位向量是： 13]2,3[4 )6(]4,6[T 22T -=+--==P P e 新点是
机械优化设计试卷期末考试及答案(补充版)
4、最优点、最优值和最优解 答：选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作: x * = [x1* , x2* , x3* , . . . , x n *]T 使该设计点的目标函数F (x*)为最小，点x*称为最优点(极小点)。相应的目标函数值F (x*) 称为最优值(极小值)。一个优化问题的最优解包着最优点(极小点)和最优值(极小值) 。把最优点和最优值的总和通称为最优解。 或： 优化设计就是求解n个设计变量在满足约束条件下使目标函数达到最小值，即 min f(x)=f(x*) x €R n s.t. g u (x)w 0,u= 1,2,... ,m； h v (x) = 0,v= 1,2,... ,p 机械优化设计习题及参考答案 1-1、简述优化设计问题数学模型的表达形式。 答:优化问题的数学模型就是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后,优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12 T n x x x x =使 ()min f x → 且满足约束条件 ()0 (1,2,)k h x k l == ()0(1,2,)j g x j m ≤= 2-1、何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？ 答:二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式:?? ??????????????=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f 令xo T x f x f x f x f x f ?? ????????=????=?21]21[)0(, 则称它为函数f(x 1,x 2)在x 0点处的梯度。 (1)梯度方向就是函数值变化最快方向,梯度模就是函数变化率的最大值。 (2)梯度与切线方向d 垂直,从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ?方向为函数变化率最大方向,也就就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ?方向为函数变化率最小方向,即最速下降方向。 2-2、求二元函数f(x 1,x 2)=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最 大的方向与数值。 解:由于函数变化率最大的方向就就是梯度的方向,这里用单位向量p 表 示,函数变化率最大与数值时梯度的模)0(x f ?。求f(x1,x2)在x0点处的梯度方向与数值,计算如下: ()??????-=??????+-=???? ??????????=?120122214210x x x x f x f x f 2221)0(?? ? ????+??? ????=?x f x f x f =5 ????? ???????-=??????-=??=5152512)0()0(x f x f p 2-3、试求目标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降 方向,并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。 解:求目标函数的偏导数 212 21124,46x x x f x x x f +-=??-=?? 则函数在X 0=[1,0]T 处的最速下降方向就是 ??????-=??????-+-=????????????????-=-?=====462446)(0121210 121021 21x x x x x x x x x f x f X f P 这个方向上的单位向量就是: 13]2,3[4 )6(]4,6[T 22T -=+--==P P e 新点就是 ????? ???????-=+=132133101e X X 新点的目标函数值 百度文库 《机械优化设计》复习题及答案 一、填空题 、用最速下降法求 2 2 2 2 的最优解时，设X （0）T ，第一步迭代 1 1 ＝[,] 1 f(X)=100(x - x ) +(1- x ) 的搜索方向为 [-47;-50] 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子。 3、当优化问题是 __凸规划 ______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和 终点，它们的函数值形成高-低-高趋势。 5、包含 n 个设计变量的优化问题，称为n 维优化问题。 、函数 1 X T HX B T X C 的梯度为HX+B 。 6 2 7、设 G 为 n×n 对称正定矩阵，若 n 维空间中有两个非零向量0，d1，满足 (d0 T1 ，d ) Gd =0 则 d0、d1之间存在 _共轭_____关系。 8、设计变量、约束条件、目标函数是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数 f (x1 , x2 ) ，若在 x 0 ( x10 , x20 ) 点处取得极小值，其必要条件是梯 度为零，充分条件是海塞矩阵正定。 10、库恩-塔克条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作 用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11 、用黄金分割法求一元函数 f ( x) x2 10 x 36的极小点，初始搜索区间 [ a,b] [ 10,10] ，经第一次区间消去后得到的新区间为[,] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、约束条件目标函数、 13、牛顿法的搜索方向 d k= ，其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。 14、将函数f(X)=x 2 2 表示成 1 X T HX T X C 的形 1 +x2 -x1x2-10x1-4x2+60 2 B 式。 15、存在矩阵 H，向量 d ，向量 d ，当满足(d1)TGd2=0 ，向量 d 和向量 d 1 2 1 2 是关于 H 共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因 子 r 数列，具有由小到大趋于无穷特点。 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即 第一、填空题 1.组成优化设计的数学模型的三要素是 设计变量 、目标函数 和 约束条件 。 2.可靠性定量要求的制定，即对定量描述产品可靠性的 参数的选择 及其 指标的确定 。 3.多数产品的故障率随时间的变化规律，都要经过浴盆曲线的 早期故障阶段 、 偶然故障阶段 和 耗损故障阶段 。 4.各种产品的可靠度函数曲线随时间的增加都呈 下降趋势 。 5.建立优化设计数学模型的基本原则是在准确反映 工程实际问题 的基础上力求简洁 。 6.系统的可靠性模型主要包括 串联模型 、 并联模型 、 混联模型 、 储备模型 、 复杂系统模型 等可靠性模型。 7. 函数f(x 1,x 2)=2x 12 +3x 22-4x 1x 2+7在X 0=[2 3]T 点处的梯度为 ，Hession 矩阵为 。 （2.）函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ????，海赛矩阵为2442-???? -?? 8.传统机械设计是 确定设计 ；机械可靠性设计则为 概率设计 。 9.串联系统的可靠度将因其组成单元数的增加而 降低 ，且其值要比可靠 度 最低 的那个单元的可靠度还低。 10.与电子产品相比，机械产品的失效主要是 耗损型失效 。 11. 机械可靠性设计 揭示了概率设计的本质。 12. 二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定。 13.对数正态分布常用于零件的 寿命疲劳强度 等情况。 14.加工尺寸、各种误差、材料的强度、磨损寿命都近似服从 正态分布 。 15.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 模型求解 两方面的内容。 17.无约束优化问题的关键是 确定搜索方向 。 18.多目标优化问题只有当求得的解是 非劣解 时才有意义，而绝对最优解存在的可能性很小。 19.可靠性设计中的设计变量应具有统计特征，因而认为设计手册中给出的数据 《机械优化设计》复习题及答案 一、填空题 1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为[-47;-50] 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向 二是计算最佳步长因子 。 3、当优化问题是__凸规划______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高-低-高 趋势。 5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。 6、函数 C X B HX X T T ++2 1的梯度为 HX+B 。 7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在_共轭_____关系。 8、 设计变量 、 约束条件 、 目标函数 是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是 梯度为零 ，充分条件是 海塞矩阵正定 。 10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间 ]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36,2.36] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量 、约束条件 目标函数 、 13、牛顿法的搜索方向d k = ，其计算量 大 ，且要求初始点在极小点 逼近 位 置。 14、将函数 f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60 表示成 C X B HX X T T ++2 1的形式 。 15、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满足 (d1)TGd2=0 ，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有 由小到大趋于无穷 特点。 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求 。 第一、填空题 1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。 2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ? ??? ，海赛矩阵 为2442-?? ? ? -?? 3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。 4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。 5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步 长按一定的比例 递增的方法。 7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收 敛速度较 慢 。 8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定 9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。 10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩 11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。 13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。 14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。 16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。 二、名词解释 第一章习题答案 1-1 某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ?? ????=? ??? ??二级检验员一级检验员 21x x ； （2）建立数学模型的目标函数； 取检验费用为目标函数，即： f (X ) = 8*4*x 1+ 8*3*x 2 + 2（8*25*0.02x 1 +8*15*0.05x 2 ） =40x 1+ 36x 2 （3）本问题的最优化设计数学模型： min f (X ) = 40x 1+ 36x 2 X ∈R 3· s.t. g 1(X ) =1800-8*25x 1+8*15x 2≤0 g 2(X ) =x 1 -8≤0 g 3(X ) =x 2-10≤0 g 4(X ) = -x 1 ≤0 g 5(X ) = -x 2 ≤0 1-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。欲选择一组设计变量T T n D d x x x ][][2 32 1 ==X 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥， 簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。试建立该优化问题的数学模型。 注：弹簧的应力与变形计算公式如下 3 22234 881 ,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比）， 解： （1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ????? ? ????=??????????n D d x x x 2321； （2）建立数学模型的目标函数； 取弹簧重量为目标函数，即： f (X ) = 322 12 4 x x rx π （3）本问题的最优化设计数学模型： 1－1．简述优化设计问题数学模型的表达形式。 答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后,优化设计问题就可以表示成一般数学形式。 求设计变量向量[] 1 2 T n x x x x = 使 ()min f x →且满足约束条件 ()0 (1,2, )k h x k l == ()0 (1,2, )j g x j m ≤= 利用可行域概念,可将数学模型的表达进一步简练。设同时满足 ()0 (1,2, ) j g x j m ≤=和 ()0 (1,2, )k h x k l ==的设计点集合为R ,即Ｒ为优化问题的可行域，则优化问题的数学模型可简练地写成 求x 使 min ()x R f x ∈ 符号“∈”表示“从属于”。 在实际优化问题中,对目标函数一般有两种要求形式：目标函数极小化 ()min f x →或目标函数极大化 ()max f x →。由于求()f x 的极大化与求()f x -的极小化等价，所以今后优化问题的数学表达一律采用目标函数极小 化形式。 １-２.简述优化设计问题的基本解法。（不要抄书,要归纳) 答：求解优化问题可以用解析解法，也可以用数值的近似解法。 解析解法就是把所研究的对象用数学方程（数学模型)描述出来，然后再用数学解析方法（如微分、变分方法等）求出有化解。 但是，在很多情况下,优化设计的数学描述比较复杂,因而不便于甚至不可能用解析方法求解；另外，有时对象本身的机理无法用数学方程描述，而只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近似函数式,再来求其优化解,并通过试验来验证;或直接以数学原理为指导，从任取一点出发通过少量试验(探索性的计算),并根据试验计算结果的比较,逐步改进而求得优化解。这种方法是属于近似的、迭代性质的数值解法。 数值解法不仅可用于求复杂函数的优化解，也可以用于处理没有数学解析表达式的优化问题。因此,它是实际问题中常用的方法,很受重视。其中具体方法较多,并且目前还在发展。但是,应当指出,对于复杂问题,由于不能把所有参数都完全考虑并表达出来,只能是一个近似的最后的数学描述。由于它本来就是一种近似,那么，采用近似性质的数值方法对它们进行解算，也就谈不到对问题的精确性有什么影响了。 不管是解析解法，还是数值解法，都分别具有针对无约束条件和有约束条件的具体方法。 可以按照对函数倒数计算的要求，把数值方法分为需要计算函数的二阶导数、一阶导数和零阶导数(即只要计算函数值而不需计算其导数)的方法。 2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义? 答:二元函数f(x １,x2)在x0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式 ?? ??????????????=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f 令xo T x f x f x f x f x f ?? ????????= ????=?21]2 1[)0(并称它为函数f （x1，x2）在x0点处的梯度。 假设?? ????=2cos 1cos θθd 为D 方向上的单位向量,则有d T x f xo d f )0(?=?? 即函数f （x1,x2）在x ０点处沿某一方向d 的方向导数 xo d f ??等于函数在该点处的梯度)0(x f ?与d 方向单位向量的内积。 梯度方向是函数值变化最快的方向,而梯度的模就是函数变化率的最大值。 梯度与切线方向d 垂直,从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ?方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ?方向为函数变化率最小方向,即最速下降方向。 2－2.求二元函数 212 2212122),(x x x x x x f +-+=在T x ] 0,0[0=处函数变化率最大的方向和数值。 解;由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向,这里用单位向量p 表示,函数变化率最大和数值时梯度的模) 0(x f ?。 求f （ｘ1，x ２）在ｘ0点处的梯度方向和数值,计算如下： ()??? ???-=??????+-=???? ??????????=?120122214210x x x x f x f x f 《机械优化设计》复习题及答案 、填空题 1、用最速下降法求f(X)=100(x2- X12) 2+(1- x i) 2的最优解时，设X (°)=[-0.5,0.5]T，第一 步迭代的搜索方向为[-47;-50]_________________ 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因 子 ________ 。 3、当优化问题是—凸规划______ 的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和 终点，它们的函数值形成高-低-高___________ 趋势。 5、包含n个设计变量的优化问题，称为__n _______ 维优化问题。 1 6、函数—X T HX B T X C的梯度为HX+B 。 2 7、设G为n>n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d0，d1，满足(d°)T Gd—=0, 则d0、d1之间存在—共轭 ______ ■关系。 8、设计变量、约束条件______________ 、目标函数________________ 是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数f(X1,X2)，若在X°(X10,X20)点处取得极小值，其必要条件是_梯度为 零，充分条件是海塞矩阵正定 ______________ 。 10、 ________________ 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作 用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数f (x) x2 10x 36的极小点，初始搜索区间 [a,b] [ 10,10]，经第一次区间消去后得到的新区间为[-2.36236] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设_________ 、 13、牛顿法的搜索方向d k= ______ ，其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。 14、将函数f(X)=x 12+X22-X1X2-10x1-4x2+60 表示成-X T HX B T X C 的形 2 式 ________________________ 。 15、存在矩阵H，向量d1，向量d2,当满足(d1)TGd2=0 ，向量d1和向量d2是关于H共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因 子r数列，具有____________ 由小到大趋于无穷 ________________ 特点。 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即 求 _____________ 。 机械优化设计复习题 一、单项选择题 1.机械优化设计中，凡是可以根据设计要求事先给定的独立参数，称为（ ） （P19-21） A ． 设计变量 B ．目标函数 C ．设计常量 D ．约束条件 2.下列哪个不是优化设计问题数学模型的基本要素（ ）（P19-21） A ．设计变量 B .约束条件 C .目标函数 D .最佳步长 3.凡在可行域内的任一设计点都代表了一允许采用的方案，这样的设计点为（ ） （P19-21） A .边界设计点 B .极限设计点 C .外点 D .可行点 4.当设计变量的数量n 在下列哪个范围时，该设计问题称为中型优化问题 （P19-21） A .n<10 B .n=10~50 C .n<50 D .n>50 5. 机械最优化设计问题多属于什么类型优化问题（ ）（P19-24） A .约束线性 B .无约束线性 C .约束非线性 D .无约束非线性 6. 工程优化设计问题大多是下列哪一类规划问题（ ）（P22-24） A .多变量无约束的非线性 B .多变量无约束的线性 C .多变量有约束的非线性 D .多变量有约束的线性 7. n 元函数在()k x 点附近沿着梯度的正向或反向按给定步长改变设计变量时，目 标函数值（ ）（P25-28） A .变化最大 B .变化最小 C .近似恒定 D .变化不确定 8.()f x ?方向是指函数()f x 具有下列哪个特性的方向（ ）（P25-28） A . 最小变化率 B .最速下降 C . 最速上升 D .极值 9. 梯度方向是函数具有（ ）的方向 （P25-28） A ．最速下降 B ．最速上升 C ．最小变化 D ．最大变化率 10. 函数()f x 在某点的梯度方向为函数在该点的（）（P25-28） A .最速上升方向 B .上升方向 C .最速下降方向 D .下降方向 11. n 元函数()f x 在点x 处梯度的模为（ ）（P25-28） A .f ?= B .12...n f f f f x x x ????=++??? C .22212()()...()n f f f f x x x ????=++??? D .f ?=12.更适合表达优化问题的数值迭代搜索求解过程的是（ ） （P25-31） A ．曲面或曲线 B ．曲线或等值面 C ．曲面或等值线 D ．等值线或等值面 13.一个多元函数()f x 在*x 点附近偏导数连续，则该点为极小值点的充要条件 （ ）（P29-31） A.*()0f x ?= B. *()0G x = C. 海赛矩阵*()G x 正定 D. **()0G()f x x ?=，负定 机械优化设计复习题 一.单项选择题 1．一个多元函数()F X 在X * 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ） A ．() *0F X ?= B. ()* 0F X ?=,() *H X 为正定 C ．() *0H X = D. ()* 0F X ?=,() *H X 为负定 2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（ ） A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 2 1+5x 22，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2-6=0,则目 标函数的极小值为（ ） A ．1 B ． 19.05 C ．0.25 D ．0.1 4.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解 时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k) )为( )。 A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递增正数序列 B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递减正数序列 C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递增正数序列hn D. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递减正数序列 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 5.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ）。 A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.816 6.F(X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。 A.x 1 B.x 3 C.x 2 D.x 4 7.已知二元二次型函数F(X)= AX X 21T ，其中A=?? ????4221，则该二次型是( )的。 A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为（ ）。 A.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列 9.多元函数F(X)在点X * 附近的偏导数连续，?F(X * )=0且H(X * )正定，则该点为F(X)的 （ ）。 A.极小值点 B.极大值点 C.鞍点 D.不连续点 10.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（ ）。 、绪论 1. 思考题 1.何为约束优化设计问题 ?什么是无约束优化设计问题 ?试各举一例说明。机械优化设计问题多属哪一类？ 2.一般优化问题的数学模型包括哪些部分?写出一般形式的数学模型。 3.机械优化设计的过程是怎样的 ?它与常规的机械设计有什么不同 ? 4.怎样判断所求得的最优解是不是全局最优解？ 5.试简述优化算法的迭代过程。 6.何为可行域？为什么说当存在等式约束则可行域将大为缩小?当优化问题中有—个等式约束时 可行域是什么 ?当优化问题中有两个等式约束时可行域是什么?当 n 维优化问题中有 n 个等式约束时可 行域是什么？ 7.什么是内点、什么是外点 ?在优化设计中内点和外点都可以作为设计方案吗?为什么 ? 8.试写出第一节中第三个问题的数学模型。 9.目标函数及其等值线（等值面）的意义和特性是什么？ 2.习题 1.设计一容积为 V 的平底、无盖圆柱形容器，要求消耗原材料最少，试建立其优化设计的数学模型，并指出属于哪一类优化问题。 2.当一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S 时，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优 化问题的数学模型，并回答： ①属于几维的优化问题？ ②是线性规划还是非线性规划？ 3.欲造容积为 V 的长方形无盖水箱，问应如何选定其长、宽、高尺寸，才能使用料消耗最少？试写出其数学模型。 4.试求直径为 D 的圆内所有内接三角形面积中的最大值。 5?在曲面f l（X l,X2,X3）=0上找一点P l,在曲面f2（X l,X2,X3）=0上找一点卩2,使得P l与卩2的距离为最短，试建立优化问题的数学模型。 6?有一薄铁皮，宽b=14cm，长L=24cm，制成如图2-9所示的梯形槽，求边长 X和倾斜角a为多大时，槽的容积最大？试写出此问题的优化设计模型并指出该问题属于哪一类的优化设计问题。 7?欲制一批如图 2-12所示的包装纸箱，其顶和底由四边延伸的折纸板组成。要求纸箱的容积为 2m3,问如何确定a、b和c的尺寸，使所用的纸板最省。试写出该优化问题的数学模型。 8?—根长I的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形。问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大,试写出这一优化问题的数学模型。 9?某厂生产A、B两种产品：A每桶需用煤90kN、电4度、劳动日3个，获利润700元；B每桶需用煤40kN、电5度、劳动日10个，获利润1200元。但计划规定可用煤 3600kN、电200度、劳动 日 300 个,试问 A、 B 各生产多少桶时利润最大？列出其教学模型,并说明属于何种数学规划问题? 10.某厂生产两种机器，两种产品生产每台所 ~机械优化设计复习试 题与答案 https://www.wendangku.net/doc/f910013725.html,work Information Technology Company.2020YEAR 机械优化设计复习题 一.单项选择题 1．一个多元函数()F X 在X * 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ） A ．()*0F X ?= B. ()*0F X ?=,()*H X 为正定 C ．()*0H X = D. ()*0F X ?=,()*H X 为负定 2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（ ） A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 21+5x 2 2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2- 6=0,则目标函数的极小值为（ ） A ．1 B ． 19.05 C ．0.25 D ．0.1 4.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k) )为( )。 A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)为递增正数序列 B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)为递减正数序列 C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)为递增正数序列hn D. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)为递减正数序列 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 5.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ）。 A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.816 6.F(X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。 A.x 1 B.x 3 C.x 2 D.x 4 7.已知二元二次型函数F(X)=AX X 21T ，其中A=?? ????4221，则该二次型是( )的。 A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为（ ）。 A.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列 《机械优化设计》复习题 一、填空 1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为[-47;-50] 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向 二是计算最佳步长因子 。 3、当优化问题是__凸规划______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高-低-高 趋势。 5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。 6、函数 C X B HX X T T ++2 1的梯度为 HX+B 。 7、设G 为n ×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在_共轭_____关系。 8、 设计变量 、 约束条件 、 目标函数 是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是 梯 度为零 ，充分条件是 海塞矩阵正定 。 10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间 ]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36,2.36] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量 、约束条件 目标函数 、 13、牛顿法的搜索方向d k = ，其计算量 大 ，且要求初始点在极小点 逼近 位置。 14、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成 C X B HX X T T ++2 1的形式 。 15、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满足 (d1)TGd2=0 ，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有 由小到大趋于无穷 特点。 一、绪论 1.思考题 1.何为约束优化设计问题什么是无约束优化设计问题试各举一例说明。机械优化设计问题多属哪一类 2.一般优化问题的数学模型包括哪些部分写出一般形式的数学模型。 3.机械优化设计的过程是怎样的它与常规的机械设计有什么不同 4.怎样判断所求得的最优解是不是全局最优解 5.试简述优化算法的迭代过程。 6.何为可行域为什么说当存在等式约束则可行域将大为缩小当优化问题中有—个等式约束时可行域是什么当优化问题中有两个等式约束时可行域是什么当n维优化问题中有n个等式约束时可行域是什么 7.什么是内点、什么是外点在优化设计中内点和外点都可以作为设计方案吗为什么 8.试写出第一节中第三个问题的数学模型。 9.目标函数及其等值线（等值面）的意义和特性是什么 2.习题 1.设计一容积为V的平底、无盖圆柱形容器，要求消耗原材料最少，试建立其优化设计的数学模型，并指出属于哪一类优化问题。 2.当一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S时，怎样设计可使油箱的容量最大试列出这个优化问题的数学模型，并回答： ①属于几维的优化问题 ②是线性规划还是非线性规划 3.欲造容积为V的长方形无盖水箱，问应如何选定其长、宽、高尺寸，才能使用料消耗最少试写出其数学模型。 4.试求直径为D的圆内所有内接三角形面积中的最大值。 5.在曲面f1(x1,x2,x3)=0上找一点P1，在曲面f2(x1,x2,x3)=0上找一点P2，使得P1与P2的距离为最短，试建立优化问题的数学模型。 6.有一薄铁皮，宽b=14cm，长L=24cm，制成如图2-9所示的梯形槽，求边长x和倾斜角α为多大时，槽的容积最大试写出此问题的优化设计模型并指出该问题属于哪一类的优化设计问题。 7.欲制—批如图2-12所示的包装纸箱，其顶和底由四边延伸的折纸板组成。要求纸箱的容积为2m3，问如何确定a、b和c的尺寸，使所用的纸板最省。试写出该优化问题的数学模型。 8.一根长l的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形。问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大，试写出这一优化问题的数学模型。 9.某厂生产A、B两种产品：A每桶需用煤90kN、电4度、劳动日3个，获利润700元；B每桶需用煤40kN、电5度、劳动日10个，获利润1200元。但计划规定可用煤3600kN、电200度、劳动日300个，试问A、B各生产多少桶时利润最大列出其教学模型，并说明属于何种数学规划问题 10.某厂生产两种机器，两种产品生产每台所需钢材分别为2吨和3吨，所需工时数分别为4千小时和8千小时，而产值分别为4万元和6万元。如果每月工厂能获得的原材料为100吨，总工时数为120千小时。现应如何安排两种机器的月产台数，才能使月产值最高。试写出这一优化问题的数学 机械优化设计习题及参考答案 1-1. 简述优化设计问题数学模型的表达形式。 答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。 在明确设计变量、约束条件、目标函数之后， 优化设计问题就可以表示成一般数学 形式。求设计变量向量 x x 1 x 2 L x n T 使 f ( x) min 且满足约束条件 h k ( x) 0 (k 1,2,L l ) g j (x) 0 ( j 1,2,L m) 2-1. 何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？ 答：二元函数 f( x 1,x 2) 在 x 0 点处的方向导数的表达式可以改写成下面 的形式： f f cos 1 f cos 2 f f cos 1 d xo x1 xo x2 xo x1 x2 xo cos 2 f f f T ， 令 f ( x0) [ x1 ] f x1 x2 xo x2 则称它为函数 f （ x 1，x 2）在 x 0 点处的梯度。 （1）梯度方向是函数值变化最快方向， 梯度模是函数变化率的最大值。（2）梯度与切线方向 d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度 f (x0) 方向为函数变化率最大方向， 也就是最速上升方向。 负梯度 - f ( x0) 方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。 2 2 -2x x [0,0]T 处函数变化率最 1 2 1 2 1 2 0 2-2. 求二元函数 f （x ，x ）=2x +x +x 在 大的方向和数值。 解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量 p 表示，函数变化率最大和数值时梯度的模 f (x0) 。求 f （x1， x2）在《机械优化设计》习题及答案
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