直线与圆的位置关系及判断方法
1、直线与圆的位置关系
（1）直线与圆相交，有个公共点；
（2）直线与圆相切，有个公共点；
（3）直线与圆相离，有个公共点。
2、直线与圆的位置关系的判断方法
直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0）与圆（x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 的位置关系的判断方法：
（1）几何法
圆心（a,b)到直线Ax+By+C=0的距离为d,
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离；
(2)代数方法
Ax+By+C=0
有（x-a)2+(y-b)2=r2 消元，得到的一元二次方程的根的判别式为，则
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离；
北师大版初三数学下册直线与圆的位置关系第二课时
第三章圆 直线和圆的位置关系（第 1 课时）》 教学设计说明 佛山市南海石门实验中学吴坚 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：“直线和圆的位置关系”是学生在已经掌握“点和圆 的位置关系”后，学生在已获得一定的探究方法的基础上，进一步探究直线和圆的位置关系. 它是圆这一章中一种重要的位置关系. 学生的活动经验基础：学生在日常生活中已经有经验，对直线和圆的位置关系有一定的感性认识. 学生已经了解圆的相关概念，了解了圆中的一些数量与位置关系：如点和圆的位置关系不但可以直观呈现，也可以通过数量来刻画等. 二、教学任务分析 本节共分2个课时.这是第 1 课时，主要研究直线和圆的的三种位置关系， 探索圆的切线的性质. 具体地说，本节课的教学目标为： 知识与技能 1．经历探索直线和圆位置关系的过程． 2．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系． 3．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系． 过程与方法 1．本节课通过“观察——猜想——合作交流——概括、归纳”的途径，运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程及相关知识间的内在联系， 2．渗透了数形结合、分类、类比、化归等数学思想，有助于培养学生思维的严谨性和深刻性． 情感态度与价值观 体现数学学习的快乐，在快乐中体现知识源于实践，又运用于生活教学重点：理解
直线与圆的三种位置关系的定义，并能准确的判定. 教学难点：（1）利用d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系（2）运用切线的性质定理解决问题. 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：创设情景引入课题；直线与圆的位置关系量化揭密；探索切线的性质；例题讲解；练习；归纳小结，布置作业 第一环节创设情境引入课题 活动内容： 回顾旧知； 复习：我们已经学过了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有哪几种？ （1）d r,点在圆外（2）d二r,点在圆上（3）d ： r,点在圆内. 2?观察三幅太阳落山的照片，地平线与太阳的位置关系是怎样的？ 这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种 3 .作一个圆，把直尺边缘看成一条直线?固定圆,平移直尺 从直线与圆交点个数这一角度，如何对对直线与圆的位置关系进行分类？ （1）直线和圆有两个交点（2）直线和圆有一个交点（3）直线和圆没有交占 八、、? 当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切； 当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交； 当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离.
点、直线、圆与圆的位置关系
点、直线、圆与圆的位置关系 【要点梳理】 要点一、点和圆的位置关系 1．点和圆的三种位置关系： 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 2．三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 要点诠释： （1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆. 要点二、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理 1．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 3．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 5．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 6．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 名称确定方法图形性质
沪教版初三(上)数学第3讲：直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.掌握点、直线、圆与圆的位置关系； 2.掌握圆的切线有关概念、定理的应用. 1．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d (3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切 d ＝R ＋r ． (4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在 内部 内切d ＝R －r ． (5) 有两个公共点 相交 __________． 4.切线的判定、性质： (1)切线的判定： ①____________________________________________是圆的切线． ②到圆心的距离d 等于圆的半径的直线是圆的切线． (2)切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径． ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点． ③经过切点作切线的垂线经过圆心． (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，_______________________________长度叫做切线长． (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分 两条切线的夹角． 1.判断点在圆上 【例1】已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 2.直线与圆的位置关系 【例2】已知半径为3的⊙O 上一点P 和圆外一点Q ，如果OQ ＝5，PQ ＝4，则PQ 和圆的位置关系 是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 位置不定 3.圆与圆的位置关系 【例3】⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3cm 和4cm ，若O 1O 2=10cm ，则这两圆的位置关系是 . A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 4.位置关系的综合问题 【例4】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，O 为AB 上一点，AO ＝m ，⊙O 的半径2 1 r ，问m 在什么范围内取值时，AC 与圆： （1）相离；（2）相切；（3）相交。 《直线与圆的位置关系》的教学设计 一、教学课题：人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书A版数学②第四章第二节“直 线与圆的位置关系”第一课时。 二、设计要点：学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，在前面几节课学习了直线与圆的方程，因此，本节课主要以问题为载体，通过教师几个环节的设问，让学生利用已有的知识，自己去探究用坐标法研究直线与圆的位置关系的方法。用过学生的参与和一个个问题的解决，让学生体验有关的数学思想，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生“用数学”及合作学习的意识。 三、教学目标： 1．知识目标：能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，并解决相关的问题；2．能力目标：通过理论联系实际培养学生建模能力，培养学生数形结合思想与方程的思想；3．情感目标：通过学生的自主探究，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。 四、教学重点、难点、关键： （1）重点：用坐标法判断直线与圆的位置关系 （2）难点：学生对用方程组的解来判断直线与圆的位置关系方法的理解 （3）关键：展现数与形的关系，启发学生思考、探索。 五、教学方法与手段： 1．教学方法：探究式教学法 2。教学手段：多媒体、实物投影仪 六、教学过程： 1．创设情境，提出问题 教师利用多媒体展示如下问题： 问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西50km 处，受到影响的范围是半径长为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北50km处，如果 这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 教师提出：利用初中所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下。 设计意图：让学生从数学角度看日常生活中的问题，体验数学与生活的密切联系，激发学生的探索热情。 2．切入主题，提出课题 （1）由学生将问题数学建模，展示平面几何解决方法，得出结论。教师带领学生一起回顾初中所学直线与圆的三种位置关系及判断方法。 义务教育基础课程初中教学资料 24.2．2 直线和圆的位置关系 第一课时 教学内容 1．直线和圆相交、割线；直线和圆相切、圆的切线、切点； 直线和圆没有公共点、直线和圆相离等概念． 2．设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d ???直线L和⊙O相交d （老师口答，学生口答，老师并在黑板上板书）同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP=d ， (a) (b) (c) 则有：点P 在圆外d>r ，如图（a ）所示； ? 点P 在圆上d=r ，如图（b ）所示； ? 点P 在圆内d 一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 1、设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表： 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 二、切线的性质及判定 1． 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理： ⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． ①切线的判定定理 设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线． _A _ l _ l _A _ l 上 ②切线的性质定理及其推论 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 三、三角形内切圆 1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 3．直角三角形的内切圆半径与三边关系 （1） （2） 图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ?中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=?，则()1 2 r a b c =+- 四、典例分析：切线的性质及判定 _ O _F _E _ D _ C _ B _ A _ C _ B _ A _ C _ B _ A _c _ b _a _c _ b _a _T _A 直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.理解并掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系； 2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练 掌握以上内容解决一些实际问题； 3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位 置关系与d、r1、r2之间的等价条件并灵活应用它们解题． 【要点梳理】 要点一、点和圆的位置关系 1．点和圆的三种位置关系： 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 2．三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 要点诠释： （1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆. 要点二、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 直线与圆的位置关系 班级：____________ 姓名：__________________ 一、选择题(每小题5分，共40分) 1.如果a2+b2=c2，那么直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 2.设直线过点(a，0)，其斜率为-1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为() A.± B.±2 C.±2 D.±4 3.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为() A.1 B.2 C.4 D.4 4.过点P(-2，4)作圆O：(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与直线l平行，则直线l与m间的距离为() A.4 B.2 C. D. 5.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是() A.y=x B.y=-x C.y=x D.y=-x 6.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a 等于() A. B.2- C.-1 D.+1 7.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为() A.1 B.2 C. D.3 8.过点P(-，-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是() A.0°<α<30° B.0°<α≤60° C.0°≤α≤30° D.0°≤α≤60° 二、填空题(每小题5分，共10分) 9.过点A(1，)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k=________. ( 数学教案 ) 学校：_________________________ 年级：_________________________ 教师：_________________________ 教案设计 / 精品文档 / 文字可改 九年级数学：《直线与圆的位置 关系》(教学方案) Mathematics is a tool subject, it is the basis for learning other subjects, and it is also a subject that improves people's judgment, analysis, and comprehension abilities. 九年级数学：《直线与圆的位置关系》(教 学方案) 教材：华东师大版实验教材九年级上册 一、教材分析： 1、教材的地位和作用 圆的有关性质，被广泛地应用于工农业生产、交通运输等方面，所涉及的数学知识较为广泛；学好本章内容，能提高解题的综合能力。而本节的内容紧接点与圆的位置关系，它体现了运动的观点，是研究有关性质的基础，也为后面学习圆与圆的位置关系及高中继续学习几何知识作铺垫。 2、教学目标 知识目标：使学生从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种 位置关系并能概括其定义，会用定义来判断直线与圆的位置关系，通过类比点与圆的位置关系及观察、实验等活动探究直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。 过程与方法：通过观察、实验、讨论、合作研究等数学活动使学生了解探索问题的一般方法；由观察得到“圆心与直线的距离和圆半径大小的数量关系对应等价于直线和圆的位置关系”从而实现位置关系与数量关系的转化，渗透运动与转化的数学思想。 情感态度与价值观：创设问题情景，激发学生好奇心；体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验；通过“转化”数学思想的运用，让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的辨证唯物主义思想。 3、教学重、难点 重点：理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系； 难点：学生能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系，揭示直线与圆的位置关系；直线与圆的三种位置关系判定方法的运用。 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． d (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0). [ 常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条． (2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(×) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×) (4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(×) (5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√) (6)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(√) 【课题】4.2.1直线与圆的位置关系 【教材】人民教育出版社（A版）高中数学必修2第126页至128页【课时安排】 1个课时 【教学对象】高中一年级 【授课教师】 【教学重点】掌握直线和圆的几种位置关系，学会判定直线与圆的位置关系的两种方法： （1）直线到圆心距离与圆半径的大小关系，写出判定直线与圆的位置关系。 （2）通过解直线与圆方程组成的方程，根据解的个数，写出判定直线与圆的位置关系。 【教学难点】由位置关系得出大小关系式从而判断解的个数 【教学目标】 知识与技能 掌握直线和圆的几种位置关系，熟练掌握判断位置关系的两种方法。判断直线到圆心距离与圆半径的大小关系法和求解个数法 过程与方法 1、理解直线和圆的三种位置关系，感受直线和圆的位置与它们的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系； 2、体验通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小判断直线与圆的位置关系； 3、领会数形结合的数学思想方法，提高发现问题、分析问题、 解决问题的能力。 情感态度与价值观 让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，感受“方程思想”、“坐标法”等数学思想的内涵，养成良好的思维习惯。 【教学方法】教师启发讲授、学生探究学习 【教学手段】PowerPoint，动画演示 【教学过程设计】 1、回顾旧知(3分钟) 平面几何中，直线与圆有哪几种位置关 系？在初中，我们怎样判断直线与圆的位 置关系？ 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预 报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径 教师 运用 边提 问边 回答 的形 式引 导学 生回 忆知 识点 老师 引导 学生 思考 学生 回忆 并回 答问 题 学生 观察 动画 并思 考如 何解 决 回顾知识点 的益处在于 不仅复习了 以前学习的 知识，又为 今后的学习 作铺垫 与学生进行 互动交流， 学生更积极 思考，并可 活跃课堂氛 围 24．2.2直线和圆的位置关系(3课时) 第1课时直线和圆的三种位置关系 (1)了解直线和圆的位置关系的有关概念． (2)理解设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有： 直线l和⊙O相交?d 直线与圆的位置关系 教学目标 1、知识与能力目标 A．知道直线和圆相交，相切，相离的定义并会根据定义来判断直线和圆的位置关系； B．能根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系来揭示直线和圆的位置关系；也能根据联立方程组的解的个数来判断直线与圆的位置关系。 C．掌握直线和圆的位置关系的应用，能解决弦长、切线以及最值问题。 2、过程与方法目标 让学生通过观察，看图，分析，能找出圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系，揭示直线和圆的位置关系。此外，通过直线和圆的相对运动，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点，通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和把几何形成的结论转化为代数方程的形式的思想。培养学生借助直观解决抽象问题的能力，也就是由数到形，有形到数；有直观到抽象、由抽象到直观的转化能力（数形结合的思想）。 3、情感态度与价值观目标 通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，培养锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。 教学重点与难点 教学重点：直线和圆位置关系的判断和应用 教学难点：通过解方程组来研究直线和圆的位置关系。 教学准备 制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。 教学过程： 一、复习 1.直线方程的形式 2.圆的方程形式 3.点与圆的位置关系 4直线与圆的位置关系: (1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点； 二、新课讲解 1．问题情境 问题1．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为50km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北70km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 师生活动：让学生进行讨论、交流，启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课． 师：你怎么判断轮船受不受影响？ 生：台风所在的圆与轮船航线所在直线是否相交． 师：（板书标题）这个问题，其实可以归结为直线与圆的位置关系． 学生解决方法一：设O为台风中心，A为轮船开始位置，B为 文通中学九年级数学教案 淮安市文通中学姜海勇 课题：直线与圆的位置关系(1） 一、教学重点： 理解直线与圆的三种位置关系；直线与圆的位置关系的性质与判定 . 二、教学难点： 经历探索直线与圆的位置关系的过程，总结出直线与圆的三种位置关系． 三、教学过程： 【预习检查】 1.每位同学在自己的练习本上画一个圆，再用笔在圆所在的平面上任意的点上若干个点，观察、探索点和圆在相互位置上有着什么样的关系？（用投影展示点和圆的位置关系，以此作为铺垫，从而引入直线与圆的位置关系） 2.在圆所在的平面上，将直尺的一个边缘当作一条直线，移动直尺，观察直线和圆在位置上有哪些不同的情况？（（提示：主要从它们交点个数的不同去分类，可分为三种情况） 3.（引导学生联系自己的日常生活，看有没有和上述情景类似的现象）欣赏《海上日出》图片，感受生活中反映直线与圆的位置关系的现象,请指出直线与圆的交点个数． (1)___________ (2)___________ (3)___________ 【目标展示】 1.经历探索直线与圆的位置关系的过程，体会分类、归纳的数学思想和方法； 2.通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置 关系”，从而实现位置关系与数量关系的相互转化． 3.通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性． 4.理解直线与圆的三种位置关系．直线与圆的位置关系的性质与判定 . 经历探索直线与圆的位置关系的过程，总结出直线与圆的三种位置关系． 【新知研习】 研习1： 本节课我将与同学一起学习直线和圆的位置关系，下面来探索直线与圆的三种位置关系. 结论：（1）根据直线与圆交点个数的不同，可将它们分为三种位置关系；（老师在此介绍直线与圆相交、相切、相离的概念） （2）直线与圆的公共点的个数有变化. 试一试：看图判断直线l与⊙O的位置关系 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点(切点）； 3、直线与圆相交?d r B A C D O ∴ 当时，⊙A 与BC 相切；当 时，⊙A 与BC 相交； 当 时，⊙A 与BC 相离。 例2．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=?∠A ． （1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由． （2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径． 解题思路：（1）要说明CD 是否是⊙O 的切线，只要说明OC 是否垂直于CD ，垂足为C ，?因为C 点已在圆上． 由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10 解：（1）CD 与⊙O 相切 理由：①C 点在⊙O 上（已知） ②∵AB 是直径 ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90° 综上：CD 是⊙O 的切线． （2）在Rt △OCD 中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10 答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10． 三、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠ （证明） 四、圆幂定理 （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， P O D C B A B O 24．2.2 直线和圆的位置关系(3) 1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题． 2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆． 重点：切线长定理及其运用． 难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题． 一、自学指导．(10分钟) 自学：阅读教材P 99～100. 归纳： 1．经过圆外一点作圆的切线，这点和__切点__之间的__线段长__叫做切线长． 2．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分__两条切线的夹角，这就是切线长定理． 3．与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆． 4．三角形内切圆的圆心是三角形__三条角平分线的交点，叫做三角形的__内心__，它到三边的距离__相等__． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟) 1．如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点，直线OP 交⊙O 于点D ，E ，交AB 于点C ，图中互相垂直的直线共有__3__对． ,第1题图) ,第2题图) 2．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，点E 是⊙O 上一点，且∠AEB ＝60°，则∠P ＝__60__度． 3．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ， 切点C 在︵AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是__4__． ,第3题图) ,第4题图) 4．⊙O 为△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为切点，∠DOB ＝73°，∠DOF ＝120°，则∠DOE ＝__146°，∠C ＝__60°__，∠A ＝__86°__． 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟) 1．如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，以AB 为直径的半圆切另一腰CD 于P ，若AB ＝12 cm ， 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 整体设计 教学分析 学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系,并知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d 与半径r 的关系判断直线与圆的位置关系,但是,在初中学习时,利用圆心与直线的距离d 与半径r 的关系判断直线与圆的位置关系的方法却以结论性的形式呈现.在高一学习了解析几何以后,要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法.解决问题的方法主要是几何法和代数法.其中几何法应该是在初中学习的基础上,结合高中所学的点到直线的距离公式求出圆心与直线的距离d 后,比较与半径r 的关系从而作出判断.适可而止地引进用联立方程组转化为二次方程判别根的“纯代数判别法”,并与“几何法”欣赏比较,以决优劣,从而也深化了基本的“几何法”.含参数的问题、简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提高或综合应用,也适度地引入课堂教学中,但以深化“判定直线与圆的位置关系”为目的,要控制难度.虽然学生学习解析几何了,但把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法,学生仍是似懂非懂,因此应不断强化,逐渐内化为学生的习惯和基本素质. 三维目标 1.理解直线与圆的位置关系,明确直线与圆的三种位置关系的判定方法,培养学生数形结合的数学思想. 2.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系及会利用直线与圆的位置关系解决相关的问题，让学生通过观察图形,明确数与形的统一性和联系性. 重点难点 教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 教学难点:用坐标法判断直线与圆的位置关系. 课时安排 2课时 教学过程 第1课时 导入新课 思路1.平面解析几何是高考的重点和热点内容,每年的高考试题中有选择题、填空题和解答题,考查的知识点有直线方程和圆的方程的建立、直线与圆的位置关系等,本节主要学习直线与圆的关系. 思路2.(复习导入) (1)直线方程Ax+By+C=0(A,B 不同时为零). (2)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2,圆心为(a,b),半径为r. (3)圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(其中D 2+E 2-4F ＞0)，圆心为(-2D ,-2 E ),半径为21 F E D 422-+. 推进新课 新知探究 提出问题 ①初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类？ ②在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？ 《直线和圆的位置关系》教学设计及反思 商州区沙河子 一、教学目标 ㈠知识与能力 ⒈使学生理解直线和圆的位置关系。 ⒉初步掌握直线和圆的位置关系的数量关系定理及其运用。 ㈡过程与方法 通过对直线和圆的三种位置关系的直观演示，培养学生能从直观演示中归纳出几何性质的能力。 ⑴点P在⊙O上OP＝r ⑵点P在⊙O内OP＜r ⑶点P在⊙O外OP＞r ㈢情感、态度、价值观 在用运动的观点揭示直线和圆的位置关系的过程中向学生渗透，世界上的一切事物都是变化着的，并且在变化的过程中在一定的条件下是可以相互转化的。 二、教学重点、难点 ⒈重点：使学生正确理解直线和圆的位置关系，特别是直线和圆相切的关系，是以后学习中经常用到的一种关系。 ⒉难点：直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离和圆的关径大小关系的对应，它既可做为各种位置关系的判定，又可作为性质，学生不太容易理解。 三、教学过程 1.演示：在黑板上画一个圆，用细长直铁丝，用相对运动的观点先后从圆外逐渐向圆靠近，给学生形成直线和圆的位置关系的印象； 2.“大漠孤烟直，长河落日圆”，用多媒体课件演示太阳落山的照片，让学生观察地平线与太阳的位置关系是怎样的？ 像这样平面上给定一个圆和一条运动着的直线或给定一条定直线和一个运动着的圆，它们之间虽然存在着若干种不同的位置关系，如果从数学角度，它的若干位置关系能分为几大类？请同学们打开练习本，画一画互相研究一下。 3.活动：学生动手画，老师巡视。当所有学生都把三种位置关系画出来时，用幻灯机给同学们作演示，并引导由现象到本质的观察，最终老师指导学生从直线和圆的公共点的个数来完成直线和圆的位置关系的定义。 ⒋直线和圆的位置关系的定义。 ①直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，直线叫做圆的割线。 ②直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，直线叫圆的切线，唯一的公共点叫做切点。 ③直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 5.提问：除从直线和圆的公共点的个数来判断直线和圆的位置关系外，是否还有其它的判定方法呢？ 6.教师引导学生回忆：怎样判定点和圆的位置关系？学生回答后，提出我们能否在这里套用？ 7.学生小组讨论后，汇总成果。引导学生从点和圆的位置关系去考察，特别是从点到圆心的距离与圆的半径的关系去考察。若该直线ι到圆心O的距离为d，⊙O半径为r，利用z＋z的超级画板的变量动画展示，很容易得到所需的结果。 《直线和圆的的位置关系》教学设计方案 一、概述 1．《直线和圆的位置关系》是人教版九年级上册第二十四章2.2节的内容； 2．本节课所需课时为一课时，45分钟； 3．直线和圆的之间的位置关系是属于与圆有关的位置关系的一种，它主要是研究平面上的直线与圆之间各种位置关系，它是本单元的基础，也是高中解析几何中研究“直线和圆的位置关系”的基础． 二、教学目标分析 1．能理解直线和圆的三种位置关系； 2．了解相交、相切和相离的概念； 3．能正确理解割线、切线和切点的概念； 4．可以根据直线和圆的三种位置关系判断直线到圆心的距离和直径的大小关系； 5.通过对直线和圆的三种位置关系的认识，能将文字语言转化为图形语言和符号语言，能准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题； 6．在学习平面中直线与圆的位置关系时，逐步提高辩证唯物主义观点和公理化思想、想象力和思维能力． 三、教学重难点 教学重点：直线和圆的位置关系的判定方法和性质． 教学难点：直线和圆的三种位置关系的研究及运用． 四、学习者特征分析 1．直线与圆的三种位置关系在现实中也可以发现，学生对他们已有一定的感性认识，因此可以较轻松的学习本节的内容。 2．学生善于形象思维，思维活跃，能积极参与讨论； 3．学生的求知欲比较强，表现欲强． 五、教学教法与设计 1．以海上日出为实例，使学生在直观感知的基础上，认识平面上直线与圆的位置关系； 2．通过“直观感知——操作确认——思维辩证”的认知过程展开，得到直线与圆相交、相切和相离的三种位置关系． 六、教学资源与工具设计 1．本节课多媒体课件； 2．人教版九年级上册教科书 3．一套三角尺作图工具、圆规． 七、教学过程 （一）创设情境，归纳概念，练习巩固 1．提出问题：思考“如图，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线，那么直线与圆有什么位置关系？” 利用课件展示生活中实例，从图片中抽象出中圆移动的过程，让学生观察图形 27.2.2 直线与圆的位置关系 各位领导好，各位老师好，我是7号参赛选手。 唐朝著名诗人张若虚有两句反映游子思乡的诗句非常有名，同学们，你知道是那两句吗？好举手的那位同学，请回答，非常不错，这就是“海上生明月，天涯共此时”，这两句诗意境深远，朴实自然。它给我们描绘了这样一幅画面：苍茫大海，水天一线，一轮圆月，冉冉升起，悬挂空中，普照大地。这美好的意境，给我们勾勒出了直线（海平线）与圆（明月）的位置关系，这就是今天我们学习的内容。 （板书课题：直线与圆的位置关系）。 同学们，你们知道直线与圆有怎样的位置关系？如何判断他们的位置关系吗？请同学们带着这些问题自学教材48页—49页，在自学的时候，要求同学们边自学，边画出自己认为重点的地方，标出自己的疑难点，自学完毕的学生举起左手示意。 （板书：一、位置关系） 好，大部分同学已经举起左手，说明已经自学完毕，通过刚才的学习，相信同学们对直线和圆的位置关系已有了初步的认识，下面我们对自学的效果进行检测。 第1个问题：直线和圆有哪几种位置关系？ (请1号同学起立回答，好，1号同学回答的非常好)， （直线和圆位置关系有3种，即相离、相切、相交。板书) 第2个问题：教材上是如何定义三种位置关系的？ (6号同学回答，好，6号同学回答的非常棒，非常完整。那就是) 如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离； 如果一条直线与一个圆有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切，这条直线叫圆的 切线，这个公共点叫切点； 如果一条直线与一个圆有两公共点，那么就说直线与这个圆相交，这条直线叫圆的割线； 注：板书 0个?相离； 1个?相切； 2个?相交；直线与圆的位置关系(教案)
人教版九年级数学上册《直线和圆的位置关系》参考教案
讲义_直线与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系―知识讲解(提高)
直线与圆的位置关系(解析版)
九年级数学：《直线与圆的位置关系》(教学方案)
直线与圆的位置关系
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《直线和圆的位置关系》教学设计
圆与直线之间的位置关系
直线与圆的位置关系 讲解稿
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