高等数学1-6章单元自测题

《高等数学》单元自测题

第一章 函数与极限

专业 班级 姓名 学号

一、 填空题：

1．设，则=_________________。 2. =+-∞→n

n n

n n 3232lim _________________。 3. =-∞→x x x 2)11(lim _________________。

4． ___________________。 5． 已知时与是等价无穷小，则__________。

6． 函数

的连续区间是_____ _____。

二、 选择题：

1．函数)12arcsin(41

2-+-=x x y 的定义域是（ ）。 （A ）)2,0[； （B ）)2,2(-； （C ）]4,0[； (D) ]4,2(-。

2．已知极限，则常数（ ）。 (A) ； (B) 0 ；(C) 1； (D) 2 。

3．若，则下面选项中不正确的是（ ）。 (A) ，其中为无穷小； (B)在点可以无意义；

(C) ； (D) 若，则在的某一去心邻域内。 ()x

x x f +-=11()[]x f f =++∞→x

x x x 1sin 2332lim 20→x ()11312-+ax

1cos -x =a ()???????>=<=0,1sin ,0, 0 ,0, e 1x x x x x x f x 0)2(lim 2=++∞→kn n

n n =k 1-()A x f x x =→0

lim α+=A x f )(α)(x f 0x )(0x f A =0>A 0x 0)(>x f

4． 当时，下列哪一个函数不是其他函数的等价无穷小（ ）。

(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 5．设函数在点处连续，则常数的值为（ ）。 (A) ； (B) ；

(C) ； (D) 。

6． 已知函数在上单调增加，则方程必有一个根

的区间是（ ）。

(A) )0,1(-； (B) )1,0(； (C) ； (D) 。 三、 计算下列各题：

1．求函数的反函数，并求反函数的定义域。

2．求极限。

0→x 2sin x 2cos 1x -()21ln x +()

1e -x x ???

????<-=>=0),1ln(10,

0,

sin )(x x x x b x x ax x f 0=x b a ,0,0==b a 1,1==b a 1,1-=-=b a 1,1-==b a 3)(3-+=x x x f ),(+∞-∞033=-+x x ()21，

()32，1

e e +=x x y ()

11lim --+∞→n n n n

3．求极限。

4．求极限。

5．设，求常数。

6．求极限。

??? ?

?++++++∞→n n n n n n 2222211lim ???

??---→1311lim 31x x x 82lim =??? ??

-+∞→x

x a x a x a ()212

0tan 31lim x x x +→

7．讨论函数的间断点及其类型。

四、 证明题：

设函数在上连续，且b b f a a f ><)(,)(。证明至少存在一点，使。

()()()1122--=

x x x x x f ()x f []b a ,()b a ,∈ξ()ξξ=f

《高等数学》单元自测题

第二章 导数与微分

专业 班级 姓名 学号

一、判断题：

1.

在点可导，则在点连续。（ ） 2.

在点连续，则在点可导。（ ） 3.

在点可导，则存在。（ ） 4.

存在，则在点可导。（ ） 5.

在点不可导，则在点不连续。（ ） 6. 在点不连续，则在点不可导。（ ）

二、选择题：

1. 设，则（ ）。 （A ）； （B ）；

（C ）； （D ）存在与否无法确定． 2. 设，且，则（ ）。 （A ）； （B ）；

（C ）； （D ）存在与否无法确定． 3. 设函数在点处可导，则（ ）。 （A ）； （B ）； （C ）； （D ）．

4. 设在点处连续，且，若，则在

点处（ ）

。 （A ）不连续； （B ）连续但不可导；

（C ）可导，且； （D ）可导，且．

)(x f 0x )(x f 0x )(x f 0x )(x f 0x )(x f 0x )(lim 0x f x x →)(lim 0x f x x →)(x f 0x )(x f 0x )(x f 0x )(x f 0x )(x f 0x 3)2()(lim 000-=+-→h

h x f x f h 2)(0='x f 3)(0-='x f 2

3)(0=

'x f )(0x f '0)0(=f 2)2(lim 0=→x x f x 1)0(='f 2)0(='f 2

1)0(='f )0(f '???≥+<=0

),ln(0,sin )(x x b x x a x f 0=x 1,0==b a 1,1==b a e b a ==,0e b a ==,1)(x ?0=x 0)0(=?)(||)(x x x f ?=)(x f 0=x )0()0(?'='f )0()0(?='f

三、计算下列各题：

1．设，求。

2．设，其中函数可导，求。

3．设，求。

4．设，求。

)12(tan 2

arcsin 3++=x x x y y ')(22x f y =)(x f y 'x

x y )1(2+=y '3225

+-=x x y y '

5．设，求。

6．设是由方程所确定的隐函数，（1）求；（2）求。

7．设，（1）求；（2）求。

8．求函数的微分。

x x x y 2sin ln 2

2+=y '')(x y y =x y e y

+=dx dy 22dx y d ?????=+=t te

y t t x 22dx dy 22dx y d 21ln x y +=dy

四、应用题：

1. 已知曲线过点，且，求曲线在点处的切线方 程。

2. 设水管壁的正截面是一个圆环，其外直径为，壁厚为，试求此圆环面积

的

近似值。

五、设，且函数具有二阶导数，证明：。

)(x f y =)0,1(1)21(lim 0=-→x

x f x )0,1(cm 20cm 4.0)(x e f y =)(x f )(2x x e f e y y ''='-''

《高等数学》单元自测题

第三章 微分中值定理与导数的应用

专业 班级 姓名 学号

一、填空题：

1．在上是否满足罗尔定理条件________,若满足,则_________.

2．在[上是否满足拉格朗日中值定理条件________,若满足,则______.

3． ,则在()内有实根__________个. 4．,则. 二、选择题：

1．罗尔定理的三个条件: 在[]上连续,在()内可导,是在

() 内至少存在一点使的( ).

（A ）必要条件； （B ）充分条件； （C ）充分必要条件； （D ）既非充分也非必要条件.

2．( ). （A ）1； （B ）-1 ； （C ） ； （D ）不存在.

3．在区间()内( ).

（A ）凸增； （B ）凸减； （C ）凹增； （D ）凹减.

4．曲线的拐点是( ).

（A ）（1,4）； （B ）(2,3)； （C ） (9,2)； （D ） (0,5).

5．下面结论正确的是( ).

（A ）驻点一定是极值点； （B ）可导函数的极值点一定是驻点；

（C ）函数的不可导点一定是极值点； （D ）函数的极大值一定大于极小值. 三、计算下列各题：

1．求.

x x x f -=3)(]3,0[=ξ4

)(x x f =]2,1=ξ)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 0)(='x f 4,182

lim 232=-++→x b ax x x ____________,==b a b a ,b a ,)()(b f a f =)(x f b a ,ξ0)(='ξf =+---+∞→x

x x

x x e e e e lim 01122

++=x x y +∞-,6314--=x y ∞→x lim )1(1-x

e x

2．求.

3．求.

四、应用题：

1．确定函数的单调区间.

2．求曲线的拐点及凹、凸区间.

]1)1ln(1[lim 0x

x x -+→210)(cos lim x x x →x e

x y -=22)1ln(2+=x y

3．求在[0,5]上的最大值和最小值.

4．当为何值时,点为曲线的拐点.

5．欲做一个容积为72的长方体带盖箱子，箱子底长与宽的比为，问长方体带盖箱子底长、宽及高各为多少时，才能使箱子用料最省？

5123

+-=x x y b a ,)5,2(23bx ax y +=3m x m y m 2:1x y h

五、证明题：

1．设b a <<0，证明：

221arctan arctan 1a

a b a b b a b +-<-<+-．

2．证明：当时，.

3．证明:方程0225=-+x x 只有一个正根.

0>x 22

1)1ln(x x x -

>+

《高等数学》单元自测题

第四章 不定积分

专业 班级 姓名 学号

一、填空题：

1. 若不定积分c dx x f x +=?22)(，则被积函数=)(x f ________________.

2. 已知21))((x dx x f +='?，则=')1(f __________.

3. 设 ?+=C x dx x f 2)(， 则?=-dx x xf )1(2 .

4. 不定积分2sec x tan x 1

dx +?= . 5. 不定积分31(1)dx x x +?= .

二、选择题：

1．若函数x 2为)(x f 的一个原函数，则函数=)(x f （ ）.

（A ） 12-x x ; （B ） 121

1++x x ; （C ） 2ln 2x ; （D ） 2ln 2x . 2．若函数)1ln(2+x 为)(x f 的一个原函数，则下列函数中（ ）为)(x f 的原函数.

（A ） )2ln(2+x ; （B ） )2ln(22+x ; （C ） )22ln(2+x ; （D ） )1ln(22+x .

3．设)()(x f x F =''，则()d f x x =?（ ）.

（A ） C x F +)(；（B ）C x F +')(；（C ）C x F +'')(；（D ）C x f +')(.

三、计算下列不定积分：

1．?+dx e e x

x

12.

2．dx x x

x ?+-21arctan .

3．?-+211x dx

.

4．dx x ?+-1121

.

2

6．dx x x x

x ?+ln ln 122.

7．?--+dx x x x 27

2.

+x cos 1

四、应用题：

已知某产品产量的变化率是时间t 的函数b at t f +=)(（b a ,为常数），设此产品的产量为函数)(t P ，且0)0(=P ，求)(t P .

《高等数学》单元自测题

第五章 定积分及其应用

专业 班级 姓名 学号

一、填空题：

1．=?

-xdx x sin 4ππ 。 2．?2

0)(dx x f = 。其中)(x f =???-x

x 22 )21()10(≤<≤≤x x 。 3．利用定积分的几何意义计算定积分=-?-2

224dx x 。

4．正弦曲线x y sin =在],0[π上与x

轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积=V 。

5．?∞

+14x dx = 。

二、选择题： 1．下列说法中正确的是（ ）。

（A ）在上有界，则在上可积；

（B ）在上连续，则在上可积；

（C ）在上可积，则在上连续；

（D ）以上说法都不正确。

2．设，则?=Φx dt t f x 0)()(在上的表达式为（ ）。 （A ）?

??≤<+≤≤=Φ21,110,2)(2x x x x x ；（B ）；（C ）x 2；（D ）2x ． 3．设连续函数)(x f 满足：)(x f = ?+102

)(dx x f x x ，则)(x f =（ ）。 (A) 243x x +； (B)x +243x ； (C)22

3x x +； (D)x +223x . 4．设)(u f 连续，且

?≠200)(dx x xf ，若??=2010)()2(dx x xf dx x xf k ，则k =（ ）。 (A)

41； （B ）1； （C ）2； （D ）4.

)(x f ],[b a )(x f ],[b a )(x f ],[b a )(x f ],[b a )(x f ],[b a )(x f ],[b a ???

>≤=1

,21,2)(x x x x f ]2,0[???≤<≤≤=Φ21,10,2)(2x x x x x

5．下列反常积分中收敛的是（ ）。

（A ）?∞+11dx x ； （B ）?∞+132

1dx x ； （C ）?-102)1(1dx x ； (D)?-212x dx . 三、计算题：

1．。

2．dx x x ?-2

0234。

3．?+1

02)1ln(dx x 。

?-2

2

3cos π

πxdx

4．?20sin cos sin π

xdx x e x

。

5．。

四、应用题：

1．求由曲线与直线，

所围成平面图形的面积．

x x dt

e t x t x sin lim 30022

?-→?x y 1

=x y =2=x

2．求由曲线2x y =与直线所围成平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积．

3．求由曲线（）所围成平面图形的面积．

4．求曲线221x y =

上相应于从0到1的一段弧的长度．

x

y =x θcos 4=r 22πθπ≤≤-

x

高数1-6章单元自测题

《高等数学》单元自测题 第一章 函数与极限 专业 班级 姓名 学号 一、 填空题： 1．设()x x x f +-=11，则()[]x f f =_________________。 2. =+-∞→n n n n n 3232lim _________________。 3. =-∞→x x x 2)11(lim _________________。 4． =++∞→x x x x 1sin 2332lim 2___________________。 5． 已知0→x 时()11312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则=a __________。 6． 函数 ()???????>=<=0,1sin ,0, 0 ,0, e 1x x x x x x f x 的连续区间是_____ _____。 二、 选择题： 1．函数)12arcsin(41 2-+-=x x y 的定义域是（ ）。 （A ）)2,0[； （B ）)2,2(-； （C ）]4,0[； (D) ]4,2(-。 2．已知极限0)2(lim 2=++∞→kn n n n ，则常数=k （ ）。 (A) 1- ； (B) 0 ；(C) 1； (D) 2 。 3．若()A x f x x =→0 lim ，则下面选项中不正确的是（ ）。 (A) α+=A x f )(，其中α为无穷小； (B))(x f 在0x 点可以无意义； (C))(0x f A = ； (D) 若0>A ，则在0x 的某一去心邻域内0)(>x f 。

4． 当0→x 时，下列哪一个函数不是其他函数的等价无穷小（ ）。 (A) 2sin x ； (B) 2cos 1x -； (C) ()21ln x +； (D) () 1e -x x 。 5．设函数??? ????<-=>=0),1ln(10, 0, sin )(x x x x b x x ax x f 在点0=x 处连续，则常数b a ,的值为（ ）。 (A) 0,0==b a ； (B) 1,1==b a ； (C) 1,1-=-=b a ； (D) 1,1-==b a 。 6． 已知函数3)(3-+=x x x f 在),(+∞-∞上单调增加，则方程033 =-+x x 必有一个根的区间是（ ）。 (A) )0,1(-； (B) )1,0(； (C) ()21， ； (D) ()32，。 三、 计算下列各题： 1．求函数1 e e +=x x y 的反函数，并求反函数的定义域。 2．求极限() 11lim --+∞→n n n n 。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .

高等数学练习题(附答案)

《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du .

5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 52 2 1, 1 . 三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成，计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分） 1. 证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x .

高等数学第一章测试卷

高等数学第一章测试卷(B ) 一、选择题。(每题4分，共20分) 1?假设对任意的 x R ，都有(x) f(x) g(x)，且]im[g(x) (x)] 0，则 lim f (x)() A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C. 一定不存在 D.不一定存在 1 x 2. 设函数f(x) lim 2n ，讨论函数f (x)的间断点，其结论为( ) n 1 x A.不存在间断点 B.存在间断点x 1 C.存在间断点x 0 D.存在间断点x 1 x 2 X 1 3. 函数f (x) 一2 . 1 —2的无穷间断点的个数为( ) X 1 \ x 7.[x]表示取小于等于x 的最大整数，则lim x - x 0 x f(x) asinx A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数f (x)在( )内单调有界, ｛X n ｝为数列，下列命题正确的是( A.若｛x n ｝收敛，则｛ f (x n ) ｝收敛 B.若｛&｝单调，则｛ f (x n ) ｝收敛 0若｛ f (X n ) ｝收敛，则仏｝收敛 D.若｛ f (X n ) ｝单调，则 ｛X n ｝收敛 5.设｛a n ｝, ｛b n ｝, ｛C n ｝均为非负数列，且 lim n a n 0,lim b n 1,limc n n n ，则() A. a n b n 对任意n 成立 B. b n C n 对任意n 成立 C.极限lim a n C n 不存在 n D. 极限lim b n C n 不存在 n 二、填空题(每题 4分，共 20分) 6.设 X, f (X) 2f (1 X) 2 x 2x , 则 f (X) 8.若 lim]1 X X ( 丄 X a)e x ] 1, 则实数a 9.极限lim X (X 2 X a)(x b) 10.设 f (X)在 x 0处可导, f (0) 0,且f (0) b ，若函数 F(x) 在x 0处连续, 则常数 A

高等数学自测题

高等数学自测题 （第十章） 一、填空题（共20分） 1．C 为由x 2+y 2=R 2，y =x 及y =0在第一象限所围区域的边界，则?+C y x ds e 22 ＝ . 2．∑为z =2-x 2- y 2 （1≤ z ≤ 2）外侧，则 ??∑ -+-+-dxdy z x dzdx y z dydz x y )()()(222= . 3．L ：| x |+| y |=4的正向，则?+-L y x ydx xdy 2 2= . 4．L 是以点)0,1(为中心，R 为半径的圆周，R >1，取逆时针方向，则 ?+-L y x ydx xdy 224= . 5. L 为2x =πy 2从点)0,0(O 到点)1,2(π B 的一段弧，则 =+-+-?L dy y x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2223 . 二、计算题（共60分） 1．∑为)(2 122y x z +=介于z =0，z =2之间部分的上侧，计算??∑-+zdxdy dydz x z )(2. 2．L 为x 2+y 2=ax 从点)0,(a A 经点)2/,2/(a a M 到点)0,0(O 的上半圆周，计算?-+-L x x dy m y e dx my y e )cos ()sin (. 3．L 为平面 x +y+z =2与柱面 | x |+| y |=1的交线，从z 轴正向看去L 为逆时针方向，计算?-+-+-L dz y x dy x z dx z y )3()2()(222222. 4．设曲线积分 ?+L dy x yf dx xy )(2与路径无关，其中f 具有连续导数，且 f (0)=0，计算?+=)2,2()0,0(2)(dy x yf dx xy I 的值. 5．设L 是不过点)0,2(的分段光滑简单闭曲线，计算?+--+=L y x dy x ydx I 22)2()2(. 6．L 为顺时针方向椭圆14 22 =+y x ，周长为1，计算?++L ds y x xy )4(22。 7. 设S 为上半球面222y x a z --=的上侧，计算 ??+-++-++-S dxdy z x z z z dxd y z y y dydz x y x x )2()2()2(222. 8. L 为球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线，计算?L dS x 2. 9. S 是2222a z y x =++外侧，cos α，cos β，cos γ 是外法线方向余弦，计算 dS z y x z y x S ??++++23)(cos cos cos 222γβα.

高数2-期末试题及答案

北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分）

(完整版)高等数学自测题第13章自测题1答案

第13章自测题1答案 一、选择题（每小题4分） 1、 答：(A). 2、 答：(B). 3、设C为分段光滑的任意闭曲线，?(x)及ψ(y)为连续函数，则的值 (A)与C有关(B)等于0 (C)与?(x)、ψ(x)形式有关(D)2π 答( ) 答：（B）

4、曲线积分的值 (A)与曲线L及起点、终点均有关(B)仅与曲线L的起点、终点有关 (C)与起点、终点无关(D)等于零 答( ) 答：（B） 二、填空题（每小题4分） 1、 L是xoy平面上具有质量的光滑曲线，其线密度为ρ(x,y)，则L关于ox轴的转 动惯量用曲线积分表示为___________. (ρ(x,y)为连续函数)。 答： 2、 设L是单连通域上任意简单闭曲线，a,b为常数，则 _______. 答： 0 3、力构成力场，(y>0)若已知质点在此力场内运动时场力所做的功与路径无关，则m=________. 答：1 4、设是某二元函数的全微分，则m=______. 答：2 三、解答题（每小题6分） 1、 求曲线ρ=a(1+cosθ)的长度(0≤θ≤2π, a>0).

2、 设曲线L 为摆线x =a (t －sin t ), y =a (1－cos t ) (0≤t ≤2π)的一拱，其线密度为1，求L 的形心坐标( ). 3、 求质点M (x ,y )受作用力 沿路径L 所作的功W L 是从A (2，3) 沿直线到B (1，1)的直线段. 解：L 的直线方程：12-=x y 从2=x 到1=x ? ?=L s F w d ??

?-++= AB y x y x x y d )2(d )3 ( ? -=1 2 d )115(x x 223- = 4、 质线L 为 其上任意点(x ,y )处的密度为 ，求此质线 对于原点处的单位质点的引力 . 5、 设质线L 的方程为 L 上任意点(x ,y )处的线密度为 求质线L 的质量M 及质心坐标(ξ,η). 解：L 的极坐标方程为 )cos 1(θ-=a r 0≤θ≤2π θ θθd 2 sin 2d 'd 22a r r s =+= θ θ θμπ ? ? ? -=+= = 20 22d 2 sin )cos 1(2d 1d a s y x a s M L L

(完整版)高等数学第一章测试题10选择(带答案和解析)

高等数学第一章测试题 一、单项选择题 1.0 . (),()x x x x x x βα→→当时，都是无穷小，则当时（,）不一定是无穷小 ()()()x A x αβ+ () 22()()x B x αβ+ ()ln[1()()]x C x αβ+? ()2 ()() x x D αβ 答案：D 2 0() (),()1,. () lim x x x x x x x ααββ→===解析：当时 2 1 2.( )0,,,1 lim x x ax b x a b a b →∞ +--=+则常数的值所组成的数组（）为（）设 10011111A B C D -（）（，）（）（，）（）（，）（）（，） 答案：D 解析： 0)1 1(2 lim =--++∞ →b ax x x x 1 ) 1)((1)11( 2 2 lim lim +++-+=--++∞ →∞ →x x b ax x b ax x x x x 01 1)()1(2 lim =+-++--=∞ →x b x b a x a x 10,0,a a b -=+=则分子的二次项和一次项系数为零: 即1,1-==b a 22 1)32 3(x f x x x -=-+、已知函数， 下列说法正确的是（ ）。

2(A)f(x)有个无穷间断点 ())1(1B f x 有个可去间断点，个无穷间断点 ()2()C f x 有个第一类间断点 ()111()f D x 有个可去间断点，个无穷间断点,个跳跃间断 答案：B 221(1)(1)1 ()32(2)(1)2 x x x x f x x x x x x --++=== -+---解析： 212320,1,2x x x x -+===令得 2.1x x ==是可去间断点，是无穷间断点 4、 是 。 A.奇函数 B.周期函数 C.有界函数 D.单调函数 答案：A ()()f x f x -=-解析： 1()11115. f x x = + +、函数的定义域为＿＿＿＿ A. 0,≠∈x R x 但 1 ,10 .x R B x ∈+≠ 1,0,1,.2x x C R ∈≠-- 0.,,1x R x D ∈≠- x ∈R,但x ≠0,?1 答案：C 解析：略. 6、 答案：C |sin | ()cos x f x x xe -=()x -∞<<+∞的值为 ， 极限)00()1(lim 0≠≠+→b a a x x b x 答（ ） ． ．　a be D e C a b B A a b ) ()(ln )(1)(

高等数学练习题及答案

一、单项选择题1.0 lim ()x x f x A →=，则必有（ ）.（A ）()f x 在0x 点的某个去心邻域内有界. (B) ()f x 在0x 点的任一去心邻域内有界. (C) ()f x 在0x 点的某个去心邻域内无界. (D) ()f x 在0x 点的任一去心邻域内无界. 2.函数???≥+<=0 )(x x a x e x f x ，要使()f x 在0x =处连续,则a =( ).(A) 2. (B) 1. (C) 0. (D) -1. 3.若()()F x f x '= ,则()dF x =?（ ）.（A ）()f x . (B) ()F x . (C) ()f x C +. (D) ()F x C + 4.方程 4 10x x --=至少有一根的区间是（ ）.（A ） 10,2?? ???. （B ）1,12?? ??? . （C ）(2,3). （D ）(1,2). 二、填空题1. 设 ()f x 在0x x =处可导,则0 lim x x y →?= ． 2． 某需求曲线为1002000Q P =-+，则当10P =时的弹性为 ． 3． 曲线3267y x x =+-在0x =处的法线方程为 ．4． 2 sin 2x t d e dt dx ?＝ . 三、求下列极限（1）2211lim 21x x x x →---.（2）1lim(1)2x x x →∞-.(3) 0sin 2lim ln(1)x x x →+. 四、求下列导数和微分（1）已知3cos x y x =， 求dy . (2)求由方程l n2xy y e =+所确定的函数()y f x =的导数dy dx . 五、求下列积分（1） 2 21(sec )1x dx x ++? .（2 ）20 ? . （3） sin ?. 六、求函数()x f x xe -=的单调区间和极值. 七、 求由直线2y x =和抛物线2y x =所围成的平面图形的面积． 八、证明：当0x >时，(1)l n (1)x x x ++>. 九、某种商品的成本函数2 3()200030.010.0002c x x x x =+++（单位：元） ，求生产100件产品时的平均成本和边际成本. 一、 A ． B ． D ． D ． 二、（1）0． （2）-1． （3）0x =． （4）] 2 sin cos x e x ?． 三、求极限（1）解：原式=11(1)(1)12lim lim (21)(1)213 x x x x x x x x →→-++==+-+ （2）解：原式= 111 222220011lim[(1)][lim(1)]22x x x x e x x -----→→-=-= （3）解：这是未定型，由洛必达法则原式=00cos 22 lim lim2(1)cos 221 1 x x x x x x →→?=+=+ 四、求导数和微分（1）解：2 3l n3c os 3sin (c os )x x x x y x +'= ,2 3ln3cos 3sin (cos ) x x x x dy dx x += （2）解：方程两边对x 求导,()xy y e y xy ''=+, 1xy xy ye y xe '= - 五、积分1．原式=2 21sec xdx dx +??=tan arctan x x c ++ 2.原式 =2 20118(4)x --=-=?

高等数学第一章练习题答案

第一章 练习题 一、 设()0112>++=?? ? ??x x x x f ，求)(x f 。 二、 求极限： 思路与方法： 1、利用极限的运算法则求极限； 2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质； 3、利用两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e x x x =??? ??+∞→11lim ； 4、利用极限存在准则； 5、用等价无穷小替换。注意：用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差，必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。 6、利用函数的连续性求极限，在求极限时如出现∞-∞∞ ∞,,00等类型的未定式时，总是先对函数进行各种恒等变形，消去不定因素后再求极限。 7、利用洛比达法则求极限。 1、()()()35321lim n n n n n +++∞ → 2、???? ? ?---→311311lim x x x 3、122lim +∞ →x x x 4、x x x arctan lim ∞ →

5、x x x x sin 2cos 1lim 0-→ 6、x x x x 30 sin sin tan lim -→ 7、()x x 3cos 2ln lim 9 π → 8、11232lim +∞→??? ??++x x x x 三、 已知(),0112lim =??? ?????+-++∞→b ax x x x 求常数b a ,。 四、 讨论()nx nx n e e x x x f ++=∞→12lim 的连续性。 五、 设()12212lim +++=-∞→n n n x bx ax x x f 为连续函数，试确定a 和b 的值。 六、 求()x x e x f --=111 的连续区间、间断点并判别其类型。 七、 设函数()x f 在闭区间[]a 2,0上连续，且()()a f f 20=，则在[]a ,0上 至少有一点，使()()a x f x f +=。 八、 设()x f 在[]b a ,上连续，b d c a <<<，试证明：对任意正数p 和q ， 至少有一点[]b a ,∈ξ，使 ()()()()ξf q p d qf c pf +=+

上期高等数学单元测试答案

湖南科技学院二○一五年 上 学期单元测试 计算机科学与技术专业 2014年级 高等数学（二）试题 考试类型：闭卷 试卷类型：A 卷 考试时量： 120分钟 1 ? ? -= y dx y x f dy 30 3 1 ),(dy y x f dx x ? ? -31 2 ),( 2 设L 为圆周t a x cos =，t a y sin =)20,0(π≤≤>x a ，则? =L ds a π2 3 设L 为球面12 22=++z y x 与平面0=++z y x 相交的圆周，则? =L xds 0 4 若曲线L 是1)1(22=+-y x ，方向为逆时针，则 =++? dy e x dx xe y y L y 222)(π- 5 设曲线L ：)0(2 2 2 >=+a a y x ，方向逆时针，则 =+?dx y x L )(22 6 设S 是由柱面12 2=+y x 和平面0=z 及4=z 所围成的闭曲面，方向取外侧，则 ??=+S zdxdy dydz x 2 π4 7 =+-∑∞ =1 )15)(45(1 n n n 15 8 幂级数1 1 n n x n +∞ =∑收敛区间为 [1,1)- 9 曲面22 z x y =+与平面9z =所围成的空间立体的体积用二重积分可表示为 9:,)9(2 222≤+--= ??y x D dxdy y x V D 二、选择题（每小题3分，共24分） 1 用格林公式表示闭曲线L 所围成的区域D 的面积=S （ B ） （A ） ?-L ydx xdy （B ）?L xdy （C ）? L ydx （D ）?+L ydx xdy 2 有分片光滑的闭曲面S 所围成的立体的体积是 （ C ）

大学高等数学高数期末考试试卷及答案

大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1、设函数3()1f x x =-，则()f x -=（） 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A ．3x < B ．3x ≤ C ．4x < D ．4x ≤ 3、（）中的两个函数相同． A ．()f x x =，()g t =．2()lg f x x =，()2lg g x x = C ．21()1x f x x -=+，()1g x x =- D ．sin 2()cos x f x x =，()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A ．3sin()4x x - B ．1010x x -+ C ．2cos x x - D ． sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=（） A ．1 B ．2e C ．1e - D ．∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是（） 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?，则在0=x 处，)(x f （） A ．连续 B ．左、右极限不存在 C ．极限存在但不连续 D ．左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=，则0()f x '=（） A ．2 B ．3 C ． 23D ．23 - 9、设()x f x e =，则[(sin )]f x '=（）。 A ．x e B ．sin x e C ．sin cos x x e D ．sin sin x x e

高等数学(上下册)自测题及参考答案

高等数学标准化作业参考答案（内部使用）山东交通学院土木工程学院，山东济南 SHANDONG JIAOTONG UNIVERSITY

第一章 自测题 一、填空题（每小题3分，共18分） 1. () 3lim sin tan ln 12x x x x →=-+ . 2. 2 1 lim 2 x x x →=+- . 3.已知212lim 31 x x ax b x →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1 ,0,0ax x x f x x a x ?+-≠? =??=? 在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线21 ()43 x f x x x -= -+的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 . 6. 曲线() 121e x y x =-的斜渐近线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的 . A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 2. 设()2,0 2,0x x g x x x -≤?=?+>?，()2,0 , x x f x x x ?<=? -≥?则()g f x =???? . A. 22,02,0x x x x ?+

高等数学第一章练习题

第一章函数、极限、连续 一、单项选择题 1.区间[a,+∞)，表示不等式（） 2.若 3.函数是（）。 （A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数 4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。 5.函数 6.函数 7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（） （A）必不存在 （B）至多只有有限多个 （C）必定有无穷多个 （D）可以有有限个，也可以有无限多个 8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数） （A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于 a （B）数列{ x n }极限存在且一定等于 a （C）数列{ x n }的极限不一定存在 （D）数列{ x n }一定不存在极限

9.数列 （A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限 10.极限定义中ε与δ的关系是（） （A）先给定ε后唯一确定δ （B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一 （C）先确定δ后给定ε　 （D）ε与δ无关 11.任意给定 12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（） （A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值 （B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C） f（x）在x0的函数值可以不存在 （D）如果f（x0）存在则必等于极限值 13.如果 14.无穷小量是（） （A）比0稍大一点的一个数 （B）一个很小很小的数 （C）以0为极限的一个变量 （D）0数 15.无穷大量与有界量的关系是（） （A）无穷大量可能是有界量

大学高数期末考试题及答案

第一学期高等数学期末考试试卷答案 一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分）， 1．求极限()x x x x x 30 sin 2cos 1lim -+→． 解： ()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim x x x x x x x x x x x x x x -??? ??+=????????-??? ??+=-+→→→ 20302cos 1ln 0 3 2cos 1ln 0 2cos 1ln lim 2cos 1ln lim 2 cos 1ln 1lim 1 lim x x x x x x x e x e x x x x x x x x +=+?+-=-=→→?? ? ??+→?? ? ??+→ ()4 1 2cos 1sin lim 0-=+-=→x x x x ． 2．设0→x 时，()x f 与2 2 x 是等价无穷小， ()?3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，求常数k 与A ． 解： 由于当0→x 时， ()? 3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，所以()1lim 3 =?→k x x Ax dt t f ．而 ()() () 1013 2 3201 3232 3 230132 3 00061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3 -→--→-→-→→=?=??????? ? ? ???=??=?k x k x k x k x k x x Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f 所以，161lim 10=-→k x Akx ．因此，6 1 ,1==A k ． 3．如果不定积分 ()() ?++++dx x x b ax x 2 2 211中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足的条件． 解：

高数第一章综合测试题复习过程

第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断 （C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界 （C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ?????? 收敛 ，则{}n y 必为无穷小 5、当0x x →时，()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小，()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π． 3．设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=，则= )1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则=∞ →n n u lim 0 ． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处 收敛于 2 1π+． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 20 32z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z += 所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分)

《高等数学》单元自测题

《高等数学》单元自测题 第一章 极限与函数的连续性 专业 班级 姓名 学号 一、 填空题： 1．设()x x x f +-=11，则()[]x f f =_____________。 2． =<<+-∞→)0(lim b a b a b a n n n n n ________ __。 3． ()x x x 3021lim -→=_______ ___。 4． =++∞→x x x x 1sin 2332lim 2___ _______。 5． 已知0→x 时()11312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则=a __________。 6． 函数 ()???????>=<=0,1sin ,0, 0 ,0, e 1x x x x x x f x 的连续区间是_____ _____。 二、 选择题： 1．设函数()x f 的定义域是[]1,0，2 10< A ，则在0x 的某一去心邻域内0)(>x f 。

高等数学单元测试题1

高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案） 一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 当0x →+时，（A ）无穷小量。 A 1sin x x B 1 x e C ln x D 1 sin x x 2、点1x =是函数31 1()1131x x f x x x x -? 的（C ）。 A 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件 4、已知极限22 lim()0x x ax x →∞++=，则常数a 等于（A ）。 A -1 B 0 C 1 D 2 5、极限2 01 lim cos 1 x x e x →--等于（D ）。 A ∞ B 2 C 0 D -2 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、21lim(1)x x x →∞ -=2 e - 2、 当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常 数A=3 3、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数2 1()2x f x -=， 则函数值(0)f =0 4、 111 lim[ ]1223 (1) n n n →∞++ + ??+=1

5、 若lim ()x f x π →存在，且sin ()2lim ()x x f x f x x ππ →= +-，则lim ()x f x π→=1 二、解答题 1、（7分）计算极限 222111 lim(1)(1)(1)23n n →∞- -- 解：原式=132411111 lim()()( )lim 223322 n n n n n n n n →∞→∞-++???=?= 2、（7分）计算极限 3 0tan sin lim x x x x →- 解：原式=2 322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x x x x x x x x x →→→--=== 3、（7分）计算极限 1 23lim( )21 x x x x +→∞++ 解：原式= 11 122 11 22 21lim(1)lim(1)121211lim(1)lim(1)22 x x x x x x x x x e x x +++→∞→∞+→∞→∞+=+++ =+?+=++ 4、（7分）计算极限 0 1 x x e →- 解：原式=201 sin 12lim 2 x x x x →= 5、（7分）设3214 lim 1 x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值 解：因为1 lim(1)0x x →-+=，所以 32 1 lim(4)0x x ax x →---+=， 因此 4a = 并将其代入原式 321144(1)(1)(4) lim lim 1011 x x x x x x x x l x x →-→---++--===++