几类非线性发展方程的孤立子解与精确解研究
目 录
III
目 录
摘 要..............................................................................................................................I Abstract..........................................................................................................................II 目 录...........................................................................................................................III
第一章 绪论 (1)
§1.1 孤立子概述 (1)
§1.2 非线性方程的求解方法简介 (2)
§1.3 研究现状 (3)
§1.4 本文的主要工作 (4)
第二章 预备知识 (5)
§2.1 动力系统方法简介 (5)
§2.2 Jacobi 椭圆函数 (6)
§2.3 推广的范子方程方法 (6)
第三章 一类带2-3次非线性项的双色散方程行波解分支 (8)
§3.1 引言 (8)
§3.2 系统(3.5)的分支和相图 (9)
§3.2.1 系统(3.5)的分支集 (9)
§3.2.2 系统(3.5)的相图 (10)
§3.3 方程(3.1)的行波解及解波形图 (11)
§3.3.1 方程方程(3.1)的行波解 (11)
§3.3.2 方程（3.1）的行波解波形图 (15)
§3.4 本章小结 (16)
第四章 2+1维Burgers 耦合系统的精确解研究 (17)
§4.1 引言 (17)
§4.2 系统(4.7)的相图分支 (18)
§4.3 系统(4.1)的精确行波解 (19)
§4.3.1 0,00c m ?>><， ((见图4.1(e)) (20)
§4.3.2 2
90,008
c c m ?>><<， ((见图4.1(f))..........................................21 §4.3.3 0,00c m ?><<， (见图4.1(g)） (22)
§4.3.4 2
90,008
c c m ?><<<， (见图4.1(h))...........................................23 §4.4 本章小结 (23)
第五章 超常介质中非线性传输方程的精确解研究 (24)
§5.1 引言 (24)
§5.2 非线性传输方程的范子方程方法分析 (24)
§5.3 方程(5.1)的精确解 (25)
§5.4 本章小结 (28)
第六章 总结与展望 (29)
§6.1 研究总结 (29)
§6.2 研究展望 (29)
参考文献 (30)
致 谢 (34)
作者在攻读硕士期间的主要科研成果 (35)
1
第一章 绪论
非线性科学作为一门新兴学科，在最近几十年里已得到快速发展，当今社会的发展也离不开非线性科学，生活中很多有趣的自然现象都可以用非线性方程来描述，如在生物医学、量子力学、光通信、机械工程等领域都有非线性科学的身影，这为人们在该领域的研究提供了广阔平台. 在理论方面，非线性科学的研究能够促进数学理论的发展，除此之外，它的应用价值也是显而易见的，尤其是非线性方程包含的丰富解，可以为我们更好地揭示自然间的奥秘.
§1.1 孤立子概述
孤立子的首次提出是在流体力学中，它具有碰撞不变的特性. 伟大的科学发现往往就在普通的自然现象中，1834年8月，一次偶然的机会，英国著名工程师Russell [1] 观察到一个有趣的水波现象，出于对科学的敏锐观察性，他又骑马追逐这段水波，他发现浅水面上的水波的速度、形状具有变化很慢的特点，而且这些水波圆润光滑. 随后他又进行了大量的浅水波实验，几年之后，在一次科学会议上，Russell 对他的独特发现提出了个人的观点，他认为流体运动的一个稳定解很符合浅水波的运动特点，并称之为孤立波(solitary waves)，由于当时流体力学数学模型的缺乏，所以Russell 没能成功的用理论证实所发现的现象，故孤立波的研究一时没得到科学界的重视. 时隔半个多世纪， 在1895年，两位著名的荷兰数学家D.Korteweg 、de Vries [2]在反复研究浅水波的单向运动时，推导出了著名的浅水波KdV 方程：
60.t x xxx u uu u ±+= (1.1)
两人通过分析得到了KdV 方程的解
201(,)sec )],2u x t c h x ct x =-+ (1.2) 其中0c >为波速，0x 为任意常数. 值得一提的是方程解的形状与Rusel 所发现的水波
现象一致，成功的用理论解释了Rusel 所观察到的奇特水波现象, 进而用理论证明了孤立波的存在. 科学的脚步是在大胆假设和质疑中前进的，许多科学家还未察觉孤立子的重要性，他们认为孤立波解作为方程的特殊解，对物理现象的描述和解释并没有多大作用，正因为科学家们的学术争论，所以使得人们对孤立子的研究一直没有中断. 1955年，美国物理学家Fermin [3]领导的科学家小组在进行热传导实验时，给出了著名的FPU 问题，随着FPU 问题的提出，科学家们对孤立波的研究热情又重新被点燃. 随后，Toda 也进行了类似的实验，并得到了孤立波解，这也是证明孤立子存在的实验依据，能够很好地解答FPU 问题[4]. 1960年，Gardner [5]等在分析其他物理模型时，也得到了KdV 方程. 由此说明流体力学以外的物理背景中也存在着此方程，在