《高等数学》不定积分课后习题详解
篇一:高等数学第四章不定积分习题
第四章不定积分
4 – 1不定积分的概念与性质
一.填空题
1.若在区间上F?(x)?f(x),则F(x)叫做f(x)在该区间上的一个f(x)的所有原函数叫做f(x)在该区间上的__________。
2.F(x)是f(x)的一个原函数,则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3.因为
d(arcsinx)?
1?x2
dx
,所以arcsinx是______的一个原函数。
4.若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与x成正比例,并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该曲线方程为__________ 。二.是非判断题
1.若f?x?的某个原函数为常数,则f?x??0. [ ] 2.一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3.
3
??f?x?dx???f??x?dx. [ ]
?
4.若f?x?在某一区间内不连续,则在这个区间内f?x?必无原函数. [ ] ?ln?ax?与y?lnx是同一函数的原函数. [ ] 三.单项选择题
1.c为任意常数,且F’(x)=f(x),下式成立的有。(A)?F’(x)dx?f(x)+c;(B)?f(x)dx=F(x)+c;(C)?F(x)dx?F’(x)+c;(D) ?f’(x)dx=F(x)+c.
2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数,f(x)?0,则下式成立的有。(A)F(x)=cG(x); (B)F(x)= G(x)+c;(C)F(x)+G(x)=c;
(D) F(x)?G(x)=c. 3.下列各式中是f(x)?sin|x|的原函数。(A) y??cos|x| ; (B) y=-|cosx|;(c)y=?
?cosx,x?0,cosx?2,x?0;
(D) y=?
?cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0.
c1、c2任意常数。
?(x)?f(x),f(x) 为可导函数,且f(0)=1,又F(x)?xf(x)?x2,则f(x)=______.(A) ?2x?1 (B)?x?1 (C)?2x?1(D)?x?1 5.设f?(sin2x)?cos2x,则f(x)=________.
1
(A)sinx?sin2x?c; (B)x?1x2?c; (C)sin2x?1sin4x?c;
(D)x2?1x4?c;
2222
2
2
6.设a是正数,函数f(x)?ax,?(x)?axlogae,则______.(A)f(x)是?(x)的导数; (B)?(x)是f(x)的导数;(C)f(x)是?(x)的原函数;
(D)?(x)是f(x)的不定积分。
四.计算题
1.?xndx
2.?
dh2gh
(g是常数)
3.x?1)(x?1)dx 4.
(1?
?
3
?
(1?x)2
x
?
x
e?xx
)dx6.?32xe3xdx
4sin3x?1x2?22x?2
dx 7.?8.?2
sinxx?2
xx21?cos2x
dx 9.?(cos?sin)dx 10.?
221?cos2x
cos2x22?3x?33?2x
dx 12.?dx 11.?
sin2xcos2x3x
13.(
15.(1?
五.应用题
1.一曲线通过点(e,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该曲线的方程.
2.一物体由静止开始运动,经t秒后的速度是3t(米/秒),问:
(1) 在3秒后物体离开出发点的距离是多少? (2) 物体走完360米需要多少时间
2
2
?
32
?)dx14.?secx(secx?tanx)dx
21?x2?x
?
1
)xxdx
?
1?x
dx 1?x
4-2 换元积分法
一、填空题
?______d(ax) ((a?0)) ?______d(7x?3)?_______d(x2) ?______d(5x2) ?______d( 1?x2) ?_______d(2?3x3) ?______d(e)
2
2x2x
?
x
2
dx?______d(1?e)
x
?1)dx?d(______) 3
?
x2
?2xdx?d(_______)(11.
dxdx
?______d(5lnx)12.?______d(3?5lnx) xx
(?t??)dt?d(______)14.
dx?x
2
?______d(1?arcsinx)
15.
?
1xx?1
2
?
?
x2
11
?()2
x
?
?
1?_________ 1?()2
xd
16.若
?f(x)dx?F(x)?c,则?f(ax?b)dx?________(a?0) 二.是非判断题
lnx1?1?111. ?dx??d????2?c. [ ]
xx?x?2x12.
?x?1xdx?2arctgx?c. [ ] 3.设f?x?dx?sinx?c,则f?arcsinx?dx?x?c. [ ]
??x2
?
4.已知f??lnx??
?
1,0?x?1,
x,???x?0,?
且f?0??0,且f?x???x.[ ]
x,1?x???,?e?1,0?x???
5.?sin2xdx?1sin3x?c. [ ] 36.若?f?x?dx?F?x??c,则?f?g?x??dx?F?g?x???c. [ ] 三.单项选择题1.?f?(3x)dx?_____.(A)
11
f(x)?c; (B)f(3x)?c; 33
(C)3f(x)?c;(D)3f(3x)?c;
2.
f?(x)
. ?1?[f(x)]2dx?________
(A) ln|1?f(x)|?c;(B) 1ln|1?[f(x)]2|?c;
2 (C) arctan[f(x)]?c;(D) 1arctan[f(x)]?c.
2
1?x?3.?dx?. ???x?
?
(A)
2
11
?2ln|x|?x?C(B) ??2ln|x|?x?C
xx
(C) ?1?2ln|x|?C (D)ln|x|?x?C
x3?2x?2?3x
dx?. .
2?
33
3x?2ln?()x?c;
(A)(B) 3x?2x(3)x?1?c 22
2
x
2?3?2?3? (C) 3? (D) 3??c???c ??
ln3?ln2?2?ln3?ln2?2?
x
5.
1?x7
?x(1?x7)dx?______.
7
x (A) 1ln|
7(1?x7)2
1x7
|?c;(B) 7ln|1?x7|?c;
1x61x6
(C) ln||?c; |?c; (D) ln|662
61?x6(1?x)
6.|x|dx?_____. (A)
?
1111
|x|2?c; (B) x2?c;(c) x|x|?c; (D) ?x2?c; 2222
e3x?1
7.?xdx?_____.
e?1
11
(A) e2x?ex?x?c; (B) e2x?ex?c;
22
11
(C) e2x?ex?x?c; (D) e2x?ex?c.
22
1?sin2x
sin2x的全体原函数是________.
(B) e
1?sin2x?c;
(A) e
1?sin2x;
(C) e
1?sin2x?c
(D) e
1?sin2x
?c
篇二:第五章不定积分的习题库(2015年11月) 第五章不定积分
一、判断题
1.
??f(x)dx???f(x)dx。
’
’
()()()()()()
?
2. ??f(x)dx??f(x)。
??
3.
?f?(x)dx?f(x)?C。
4. y?ln(ax)与y?lnx是同一函数的原函数。
5. lnx1111
?()??x?xx2?x2?C
?C 6.
7. 设?
f(x)dx?sinx?C则8.
132
xsinxdx?sinx?C ?3
?x?C
()()
二、选择题
1. F?(x)?f(x),C为常数,下列等式成立的是
A.?F?(x)dx?f(x)?C
’
C.?f(x)dx?F(x)?C
()
B.?f(x)dx?F(x)?C D.
??F(x)dx???F?(x)
2. F(x)和G(x)是f(x)函数的任意两个原函数,则下式成立的有()
(x)=CG(x) (x)=G(x)?C (x)?G(x)?C (x)?G(x)?C
3. 若曲线y?f(x)通过点(1,2),且在该曲线上任意点(x,y)处切线的斜率为3x2,则该曲
线方程是
()
(x)?x3?C (x)?x3?1 (x)?x3?1
?(x)?3x2
()
4. 下列函数中,是同一个函数的原函数的是
和arccotx C.?e?e
x
?x2
和cos2x
2x
D.和2x?ln2 ln2
?
和e?e
2x?2x
5. 若F(x)是f(x)的一个原函数,C为常数,则下列函数中仍f(x)的是
()
习题库
第五章不定积分第五章共9页
A. F(Cx)
B. F(x?C)
C. CF(x)
(x)?C
()
6. 设f’(sin2x)?cos2x,则f(x)?
12
sinx?sinx?C A.
2124
C. sinx?sinx?C
2
12
x?C 2142
?x?C
2
?
xx
7. 设a?0,函数f(x)?a,?(x)?alogae则
()
A. f(x)的导数等于?(x) (x)是?(x)的原函数 8.
?f’(x)
1??f(x)?2
dx=
2
ln?f(x)?C
?f(x)??C
2
9. ???1?x??x?? dx?
A. 1
x?2lnx?x?c C. ?1 x
?2lnx?c 3?2x?2?3x 10. ?2x
?
x
?ln32???3?
?2??
?c
?2?3x
ln3?ln2??
?2??
?c
?e3x11.?1
ex?1
?
A. 12e2x?ex
?x?c
B. 12. ?1?x7
x(1?x7)
dx? 习题库
B. ?(x)的导数等于f(x) D.?(x)是f(x)的不定积分()
??f(x)?2
?C
2
arctan?f(x)??C
()
B. ?1x
?2lnx?x?c
D. lnx?x?c
()
x?1
?2x??3?
?2?
??c
x
?2?3?
ln3?ln2??2???c
()
12x2e?ex
?c
e2x?ex
?x?c
e2x?ex
?c ()
第五章不定积分第五章共9页1x7
?c
7(1?x)1x6
?c
6(1?x)
’’
13. ?xf(x)dx?
1x7
71?x7
1x6
?c
61?x
()
’(x)?f(x)?’(x)?f’(x)?c
’
’(x)?f(x)?(x)??f(x)dx
14. ?sinxln(tanx)dx=
A.?cosxln(tanx)?lntan
()
x
?c (tanx)?lncscx?cotx?c 2 (tanx)?lntan
2
15. ?xsinxdx?
x
?c D.?cosxln(tanx)?lnsinx?c x ()
121121
A. x?xsin2x?c
B. x?xcos2x?c
12x1x?sin2x?cos2x?C xcosx?sinx?cC. D. 448
lnx
16. ?()dx?
x
2
()
1212x1
A. ?(lnx?2lnx?2)
B. lnx?lnx??c
xx2x
112?xx
lnx?2lnx??cearctane?x?ln(1?e2x)?c
x2
arcsinx
dx? () 17. ?x211
A. ?arcsinx?lncscx?cotx?c
B. ?arcsinx?lncotx?cscx?c xx
11?
cD. ?arcsinx?c C. ?arcsinx?xxarctanex
dx? 18. ?x
e
()
11?xx2x?xx2x
A. ?earctane?ln(1?e)?c
B. ?earctane?x?ln(1?e)?c
22
习题库
第五章不定积分第五章共9页
12x?xx
C.?e?xarctanex(?e?x?1)?c
D. ?ln(1?e)?earctane?x?c
2
1?cosx
?() 19. ?1?cosx
A. x+2cotx?cscx?c
B. ?x?2cotx?c
C. ?x?2(cscx?cotx)?c
D. ?x?cscx?cotx?c
20. ?sinx(2cscx?cotx?
1
)dx= sin3x
()
A. 2xsinx?cotx?c
B. 2x?sinx?cotx?c
C. 2?sinx?cotx?c
D. ?x?cscx?cotx?c 1
21. 的全体原函数是()
1?sinx
?2
1?c?cB. A. tanx?
1?tansinx
2
11
?tanx??ctanx??c
sinxcosx
sinxcosx
? () 22. ?4
sinx?cos4x11
A. arctan(cos2x)?c
B. ?arctan(cos2x)?c
22
1sin2x?1arctan(?cos2x)?c?c C. D. ln
2sin2x?1
xx
23. ?2edx?
x
x
()
xxxx
??ed2
?2e??CB.
ln2eC.?2e?ln?2e??C
三、填空题
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1
1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数5 2 x -=,由积分表中的公式(2)可解。 解:5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?() 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???() ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解:42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134(-+-)2 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(-+-)2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解: 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=?11172488x x ++==,直接积分。 解:715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
不定积分练习题一、选择题、填空题: 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数,贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数,贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中,过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x),则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续,则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是:(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则: f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项, 分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式, 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 (- +-)2 思路:分项积分。 解:3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(- +-)2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =? 111 7248 8 x x ++==,直接积分。 解 : 715 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解: 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解:21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题:、( 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数,则: 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数,则、在积分曲线族 中,过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续,则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是: (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则:
题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 (2小题,共5分) 得分 阅卷人
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?
不定积分内容概要
课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =,由积分表中的公式(2)可解。 解:53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?() 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? ( ) ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ??
★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项, 分别积分。 解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134(-+-)2 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134(-+-)2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解: 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==,直接积分。 解:715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。