浅谈数学归纳法与高考数学的不解之缘

浅谈数学归纳法与高考数学的不解之缘

【摘要】数学知识发生过程就是归纳思想应用过程，解题中应用归纳思想,不仅能由此发现给定问题的解题规律，而且能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的命题．本文先叙述了归纳的意义、类型，进而讨论以归纳法为主要工具，去探索和发现数学问题的解题途径．数学归纳法作为由特殊概括出一般的一种思维方法，具有两种基本意义，首先数学归纳法是一种推理方法，称为归纳推理，它可以为我们提出猜想，为论证提供基础和依据．其次归纳是一种研究方法，归纳是一种又创造性的探索式思维方法，能开发智力，拓宽思路，引出猜想，它在发现问题和探索解题途径的过程中起着重要作用．数学归纳法可按照它的概括事物是否完全分为两种基本形式——不完全归纳和完全归纳．本文还介绍了在数学解题过程中归纳发现的思考方法：利用归纳法发现和提出数学猜想，利用归纳法发现问题的结论，运用归纳法发现解题途径等．

【关键词】数学归纳法；不完全归纳法；完全归纳法；高考数学

中文摘要----------------------------------------------------------------- 1引言---------------------------------------------------------------------- 3 1、数学归纳法-------------------------------------------------------------------- 4

1.1 归纳法定义------------------------------------------------------------------ 4

1.2 数学归纳法体现的数学思想--------------------------------------------------- 4

1.2.1 从特殊到一般--------------------------------------------------------- 4

1.2.2 递推思想------------------------------------------------------------- 5

2、数学归纳法在中学数学中的应用技巧----------------------------------------------- 5

2.1 强调----------------------------------------------------------------------- 5

2.1.1 两条缺一不可--------------------------------------------------------- 5

2.2 技巧----------------------------------------------------------------------- 5

2.2.1 认真用好归纳假设----------------------------------------------------- 5

2.2.2 学会从头看起--------------------------------------------------------- 6

2.2.3 在起点上下功夫------------------------------------------------------- 7

2.2.4 正确选取起点和过渡--------------------------------------------------- 7

2.2.5 选取适当的归纳假设形式----------------------------------------------- 8

3、数学归纳法在高考数学中的身影--------------------------------------------------- 8

3.1 2010年高考试卷中的数学归纳法身影------------------------------------------ 8

3.1.1 江苏卷第23题-------------------------------------------------------- 7

3.1.2 湖北卷第20题------------------------------------------------------- 10

3.2 2011年高考试卷中的数学归纳法身影------------------------- 错误！未定义书签。

3.2.1 山东卷第15题------------------------------------------------------- 12

3.2.2 天津卷第22题------------------------------------------------------- 12

3.3 2012年高考试卷中的数学归纳法身影------------------------- 错误！未定义书签。

3.3.1 湖北卷第22题------------------------------------------------------- 16

3.3.2 上海卷第23题------------------------------------------------------- 17 参考文献 -------------------------------------------------------------------------- 21 英文摘要 -------------------------------------------------------------------------- 21

数学归纳法是一种数学证明方法.典型的用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成

立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的.有一种用于数理逻辑和计算机

科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式，这就是著名的结构归纳法.

已知最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico 的Arithmeticorum

libri duo (1575年). Maurolico 证明了前n 个奇数的总和是n

2.

最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n 属于所有自然数时一个表达式成立，这

种方法是由以下两个步骤组成的.（1）、递推的基础：证明当1=n 时表达式成立；（2）递推

的依据:证明假设当k n =时表达式成立，那么当1+=k n 时表达式也同样成立.（递推的依

据中的“假设”为归纳假设，而不要把整个第二步都称为归纳假设）.归纳假设这个方法的

原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是

有效的.如果这两步都被证明是成立的，那么任何一个值的证明都是可以被包含在重复不断

进行的过程中的.数学归纳法的原理作为自然数公理，通常是已经规定的了.，然而它也可以

用一些逻辑方法证明，在此就不予证明了.

用数学归纳法进行证明表达式通常分为三个步骤：

（1）归纳基础

验证当n 取第一个值时命题成立，这时就获得了递推的基础，但是仅仅依靠这一步是不

能说明结论的普遍性的.在验证时，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再多考

虑几个正整数，即使命题对这几个正整数成立，也是不能保证命题对其他正整数也成立.

（2）归纳递推

假设当k n =时命题成立，证明当1+=k n 时命题成立.这样便获得了递推的依据，在

此必不可少的便是第一步的基础，只有二者结合，才能获得普遍性的结论.

（3）下结论

最后得到普遍性的结论，即表达式成立.

然而需要注意的有：用数学归纳法进行证明时，“归纳基础”和“归纳递推”二者缺一

不可；在归纳递推中，递推之前，k n =时结论是不确定的，因此必须有假设二字.这一步

的实质是证明命题k n =时的正确性可以传递到1+=k n 时的情况，这样再加上递推基础，

就能推得命题成立.

1、数学归纳法

1.1 归纳法定义

大家知道，数学中的许多命题都和正整数n 有关，这里所说的n ，往往是指任意的一

个自然数，因此，这样的一个问题也就是一整数命题．在数学问题中，每一类问题都有一种

专门的方法来解决．数学归纳法可以说是解决有关整数问题的一种工具．归纳法是从个别的

论断归结出一般结论的推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性，它可

以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法

得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法．归纳法的基础是观察与实践，

它是人类认识自然、总结生活、生产经验、处理科学实验材料的一种十分重要而有普遍应用

的思想方法．在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．流行于我国各地的农谚如“瑞雪

兆丰年”、“霜下东风一日晴”等，就是农民根据多年的实践经验进行归纳的结果．物理学

家、化学家的最基本的研究手段是实验和归纳．例如化学中的元素周期表，就是用归纳法发

现真理的典型例证．再例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文

预报，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法．数学归纳法是一种特殊的论证方

法，他使我们能够在一些个别实例的基础上，对某个普遍规律做出论断．虽然说数学归纳法

适用于有关整数的问题，但是它在很多数学问题中都有重大的作用，在中学数学中，很多不

等式问题、几何问题、函数迭代问题、整除性问题用它来解决都能收到很好的效果．

数学归纳法证明问题的步骤是：证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：

(1) 证明当n 取第一个值0n 时结论正确；

(2) 假设当),(0*n k N k k n ≥∈=时结论正确, 证明当1+=k n 时结论也正确．

完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确．

1.2 数学归纳法体现的数学思想

1.2.1 从特殊到一般

“从特殊到一般”与“由一般到特殊”乃是人类认识客观世界的一个普遍规律，而在人

类探索世界奥秘的奋斗中诞生和发展起来的任何一门学科，都将受到这一规律的制约．数学

当然也不例外，同样要被纳入这一规律的模式之中．

由于事物的特殊性中包括着普遍性，即所谓共性存在于个性之中，而相对于“一般”

而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知．另一方面，由于“一般”

概括了“特殊”，“普遍”比“特殊”更能反映事物的本质，因而当我们在处理问题的时候，

若能置待解决的问题于更为普遍的情形中，进而通过对一般情形的研究去处理特殊情形的思

考方式，不仅是可行的，而且是必要的．

正因为如此，实践和归纳成了数学家寻找真理和发现真理的主要手段．如勾股定理，

多面体的面顶棱公式，前n 个自然数的立方和公式，二项展开式和杨辉三角形等，无一不是

观察、实验和归纳的结果．伟大的数学家欧拉曾说“数学这门科学，同样需要观察、实验”．无

独有偶，大数学家高斯也曾说过，他的许多定理都是靠归纳法发现的，证明只是一个补行的

手续．纵观古今，科学的发展史其实也是一部观察史、一部猜想史，更是一部论证史．数学

的发展更是这样的．科学结论的得到大致包含以下几个阶段：观察、实践→推广→猜测一般

性结论→论证结论．而数学归纳法恰恰是论证结论的最佳方法．这与数学大师所说的“先从

少数的事例中摸索出规律来，再从理论上论证这一规律的一般性，这是人们认识自然的客观

法则之一”的观点大致相同．

1.2.2 递推思想

其中（1）是递推的基础，没有它归纳假设就失去了依据，递推就没有奠基．（2）是递

推的根据，有了它无限次递推成为可能．所以数学归纳法的两个步骤缺一不可．数学归纳法

证题的两个步骤虽然都是重要的但在证题时第一步较易第二步证明较难．解决的关键就是做

从k 到k ＋1的转化工作, 而这种转化工作往往涉及到代数、三角、几何等知识, 有时还要

用不同的方式进行．学生往往感到很困难, 绞尽脑汁都难以完成这一步．针对这个问题本文

把中学数学教材及一些常见教学参考资料中用数学归纳法证明的各种问题进行整理分类并

以若干比较典型、比较困难的问题作为示例, 探讨数学归纳法在中学数学中的应用．

2、 数学归纳法在中学数学中的应用技巧

2.1 强调

2.1.1 两条缺一不可

在这里，必须强调一下，在数学归纳法的步骤里，两条缺一不可．不要认为，一个命

题在1=n 的时候，正确；在2=n 的时候，正确；在3=n 的时候也正确，就正确了．老实

说，不要说当3=n 的时候正确还不算数，就算当1000=n 的时候正确，或者1万的时候正

确，是不是对一切自然数都成立，还得证明了再说．不妨举两个例子：

例1 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当N n ∈时，

122+n 一定都是质数，这是他对4,3,2,1,0=n 作了验证后得到的．因为当4

,3,2,1,0=n 时，它的值分别等于3，5，17，257，65537．这五个数都是素数．后来，18世纪伟大的瑞

士科学家欧拉（Euler ）却证明了64167004174294967297122?==+n ，从而否定了费

马的推测．没想到当5=n 这一结论便不成立．后来，有人还证明了当9,8,7,6=n 的时候，

式子的值也都不是素数．由此可见，数学归纳法的第（2）步是至关重要的．

例2 所有的正整数都相等．

这个命题显然是荒谬的，但是当我们丢开“当1=n 的时候，这个命题是正确的”不管，

那么可以用数学归纳法来“证明”它．这里，第k 号命题是：“第1-k 个正整数等于第k 个

正整数”，就是k k =-1，两边都加上1，得到1+=k k ．这就是说第k 个正整数等于第1

+k 个正整数，这不就证明了所有的正整数都相等吗？错误就在于我们没有考虑当1=n 的情

况．由此可见，验证初始值对数学归纳法证明问题时是非常重要的．

2.2 技巧

2.2.1 认真用好归纳假设

如果说在用数学归纳法证题时．归纳过渡是解题的关键，那么归纳假设就是过渡的基

础，数学归纳法之所以显得有生命力，就是因为它避开了直接接触n 的任意性，而把证明过

程变成为一个“连环套”，使得人们在验证当0n n =成立之后，要再在“k n =已成立”的

假设基础上，证出“当1+=k n 时，命题也成立”就行了．这就意味着只需要再往前迈出

一步就够了，因而大大减少了论证中的不确定性，既然如此，运用归纳假设当然极为重要．我

们甚至可以说，“如何千方百计地创造条件以利用归纳假设？”的问题，正是论证者们在此

应多考虑的最中心的问题．

例3 在一块平地上站有n 个人．对每个人来说，他到其他人的距离均不相问．每人郁有一

支水枪．当发出火灾信号时，每人都用水枪击中距他最近的人．证明，当n 为奇数时，其中

至少有一人身上是干的．

证: n ＝1时，结论显然成立．设命题对“12-=k n 成立，要证当12+=k n 时命题也

成立．设A 与B 两人之间的距离在所有的两人间的距离中为最小．撤消A ,B 两人，则由

归纳假设知，在剩下的12-k 个人中间，至少有一人C 的身上是干的．再把A ,B 两人加进

去， 由于AB AC >，AB BC >,所以A ,B 两人都不会用水枪去击C ，从而C 身上仍然

是干的．所以对一切奇数n 命题都成立．

在这个问题中，先撤出两人是为了使用归纳假设(按照惯例，这叫做“退”)．但在退出

之后，还应再进；因为我们的目标是解决1+k 的情形．既然“退”是为“进”服务的，因

此在“退”的时候就应当为“进”作好安排．我们之所以撤出A 与B ，而不撤出别人，就

是为了能方便地将他们再加进去．

2.2.2 学会从头看起

为了实现归纳过渡，必须利用归纳假设．可是，为了归纳假设，有时需要各种技巧．那

么，怎样才能知道该使用什么技巧呢？这里用得着数学大师华罗庚教授的话：“善于‘退’，

足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍！”在数学

归纳法中，最原始而不失重要性的地方，便是最开头的几步，通常也就是n ＝1，2，3的情

形．凡是有些经验的人都知道，像这些简单的情形讨论是最合算也是最可靠的．事实上，在

很多问题中，如果真正把这些最开头的几步看透了，弄清楚了，想仔细了，那么解决整个问

题的办法也就有了．

例4 设正数数列{}n a 满足关系式12+-≤n n n a a a ，证明，对一切正整数n 有

n

a n 1<

． 证明：1=n 的情形显然，而当2=n 时，由于，

21)21(41212112<--=-≤a a a a ， 知断言也成立．假设当k n =的时候，断言成立，即k

a k 1<

．则当1+=k n 的时候，有，1

1111)121(41)21(41222221+=--<-=--<--=-≤+k k k k k k a a a a k k k k ．知断言也成立．因此由数学归纳法原理知对一切正整数n ，都有n

a n 1<． 在上面的论证中，“2=n ”并未在归纳过渡中发挥作用，因此按理说来是不用验证这一步的．但是，它却启示了我们如何将)(2

11a a -改写成一种便于使用归纳假设的形式，而

这种启示对实行归纳过渡是非常重要的．

2.2.3 在起点上下功夫

起点情况的重要性并不仅仅表现在为归纳过渡提供启示，因而应当注意向起点情况讨

论．之所以强调向起点情况讨论，只是因为，一般来说起点情况多属具体验证，难度通常不

大，因此容易忽略对其后面的归纳过渡的启发意义．但是有时，我们也会遇到一些问题，在

归纳的第一步上就很难，需要非常认真的下一番功夫．这时，往往需要开阔思路，寻找合理

的切入点，有时还需用到一些其它的知识．

例5 证明，对一切自然数n ，都存在自然数n x 和n y 使得n n n y x 1993

22=+ 证明：当1=n 时，取431=x ，121=y 即可，此因

199314484912422

2=+=+

假设当k n =时，存在自然数k x 和k y ，使得k k k y x 1993

22=+， 那么显然就有2221993)1993()1993(+=+k k k y x ． 足见可取k k x x 19932=+，k k y y 19932=+，这就是说只要k n =时断言成立，即可推得

2+=k n 断言也成立．

但由于我们只证明了1=n 时断言成立，因此结合“k n =”?“2+=k n ”，我们仅

证明了n 为奇数时断言成立．

为了得出n 为偶数时的结论， 我们还应证明2=n 时断言成立．

注意到199312432

2=+，因此只要令17051243222=-=x ， 1032124322=??=y ，那么就有

2222222222222221993)1243(12434)1243(10321705=+=??+-=+=+y x ＝()2224312-＋2244312??

可见当2=n 时断言也成立，于是结合“k n =”?“2+=k n ”，便知断言对一切

偶自然数n 也成立．

综合上述，知对一切自然数n 断言都成立．

这个例子告诉我们：为了便于归纳，可以不局限于“k n =”?“1+=k n ”（即一

步一跨），而可以因题制宜，采用大跨度跳跃，但此时应注意相应地增多起点，一般来说，

采用多大跨度，就应当设多少个起点．

2.2.4 正确选取起点和过渡

我们已经知道，在数学归纳法的基本形式之下，第一次通常是由验证0n n =做起，这

叫做“起步”，0n 叫做“起点”，在通常情况下，起点一般只有一个，第二步则是由“k n =”

跨到“1+=k n ”，即每次跨一步．换句话说，通常是以“跨度”1前进，那么这是不是说，

这种安排起点和跨度的方式就一定是不能改变的呢？并不是的！人们完全可以根据问题的需

要，对起点和跨度作灵活和适当的安排，不过需要注意的是，绝对不能造成逻辑上的漏洞．起

点是非常重要的，对起点及起点附近的一些命题的考察，不仅可以验证0n n =时成立．而且

能帮我们发现实行归纳过渡的方法．而选取起点方法很多，需要视具体问题而定，在此就不

论述了．

例6 任意n 条直线均能重合成一条直线．

这个命题是荒谬的，当2=n 时就不能成立．但如果我们忽视了这一点，而采用如下

的“证明”，那么就有可能陷于荒谬而难于解脱：

当1=n 时，命题显然成立．假设当k n =时，命题已经成立．那么当1+=k n 时，可

以先让其中k 条直线重合为一条直线，再让这条直线同剩下的一条重合为一条直线，即知命

题也可成立．所以任意n 条直线均能重合成一条直线．

这个“证明”中的逻辑上的漏洞，就在于在进行归纳过渡时，需要用到“可将任意两条

直线重合为一条直线”的论断，而这一论断却是未加证明，而且在事实上也是不能加以证明

的．由此可见，认真考察起点附近的命题，并验证其成立与否，是何等之重要！

但是，是不是在每一个问题的证明中，都需要首先验证起点附近的一连贯命题，并不是

的．究竟是否需要验证以及需要验证几个，完全取决于命题自身的特点，尤其是取决于在进

行归纳过渡时的需要．

2.2.5 选取适当的归纳假设形式

我们已经知道，在数学归纳法的基本形式中，归纳假设总是以“假设当n ＝k 时，命题

成立”的形式出现的．其实，这并不是归纳假设的唯一形式．在必要的时候，可以将归纳假

设中的“k n =”改写为“k n ≤”．事实上，在对很多问题的证明中，人们就是这么做的，

有些人还把采用这种假设形式的数学归纳法称作第二归纳法．第二数学归纳法在很多问题的

证明中为我们带来方便．由于第二数学归纳法在中学教材中并未提及，高考也不作要求，只

是在竞赛中有所要求，所以在此不举例子．若感兴趣，可参考《漫话数学归纳法应用技巧》

一书．

3、 数学归纳法在中学数学中的应用

3.1 2010年高考试卷中的数学归纳法身影 3.1.1 2010年高考理科数学江苏卷第23题

已知△ABC 的三边长都是有理数．

（1）求证A cos 是有理数；

（2）求证：对任意正整数n ,nA cos 是有理数．

考点：余弦定理的应用；数学归纳法．

专题：计算题；证明题．

分析：（1）设出三边为c b a ,,，根据三者为有理数可推断出222a c b -+是有理数，

2

22a c b -+是有理数，进而根据有理数集对于除法的具有封闭性推断出bc a c b 22

22-+

也为有理数，根据余弦定理可知A bc

a c

b cos 22

22=-+，进而可知A cos 是有理数． （2）先看当1=n 时，根据（1）中的结论可知A cos 是有理数，当2=n 时，根据余弦的

二倍角推断出A 2cos 也是有理数，再假设()2≥≤k k n 时，结论成立，进而可知kA cos 、

A k )1cos(-均是有理数，

用余弦的两角和公式分别求得A k )1cos(+，根据A cos ，kA cos ，A k )1cos(-均是有理数推断出A cos ，kA cos ，A k )1cos(-，即1+=k n 时成立．最后

综合原式得证．

解答：解：（1）证明：设三边长分别为c b a ,,，bc

a c

b A 2cos 2

22-+=， ∵c b a ,,是有理数，222a c b -+是有理数，分母bc 2为正有理数，又有理数集对于除法的

具有封闭性，

∴bc

a c

b 22

22-+必为有理数， ∴A cos 是有理数．

（2）①当1=n 时，显然A cos 是有理数；

当2=n 时，∵1cos 22cos 2-=A A ，因为A cos 是有理数，∴A 2cos 也是有理数；

②假设当()2≥≤k k n 时，结论成立，即kA cos 、A k )1cos(-均是有理数．

当1+=k n 时，A kA A kA A k sin sin cos cos )1cos(-=+，

)]cos()[cos(2

1cos cos )1cos(A kA A kA A kA A k +---=+, A k A k A kA A k )1cos(2

1)1cos(21cos cos )1cos(++--=+ , 解得：A k kA A k )1cos(cos 2)1cos(--=+

∵A cos ，kA cos ，A k )1cos(-均是有理数，

∴A k A kA )1cos(cos cos 2--是有理数，

∴A cos ，kA cos ，A k )1cos(-均是有理数．

即当1+=k n 时，结论成立．

综上所述，对于任意正整数n ,nA cos 是有理数．

点评：本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、

解决问题的能力．

3.1.2 2010年高考理科数学湖北卷20题

已知数列{}n a 满足：211=

a ，()()1

1112113++-+=-+n n n n a a a a ，()101≥<+n a a n n ，数列{}n b 满足：()1221≥-=+n a a b n n n . （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列.

解：（Ⅰ）由题意可知，()

22113

21n n a a -=-+ 令 21n n c a =-，则 223

n n c c += 又212314c a =-=，则数列}{n c 是首项为134c =，公比为23的等比数列，即 13243n n c -??= ???，故121232321()14343n n n n a a --??-=?=- ???， 又02

11>=a ，()101≥<+n a a n n 故1132(1)

1()43

n n n a --=-- （Ⅱ）用反证法证明 假设数列{}n b 存在三项,,r s t b b b ()r s t <<按某种顺序成等差数列，

由于数列{}n b 是首项为14，公比为23

的等比数列， 于是有r s t b b b >>，则只有可能有2r s t b b b =+ 成立

3211212122434343s r t ---??????∴?=+ ? ? ???????

两边同乘3t t 2t-r ，化简得3t-r +22t-r =2*2t-r 3t-s

由于r s t <<，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上上式不可能成立，导致

矛盾.故数列{}n b 中任意三项不可能成等差数列. （Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知：当12

a ≥时，有()ln (1)f x x x ≥≥. 令12a =，有11()()ln (1)2f x x x x x

=-≥≥

当1>x 时，

x x

x ln )1(21>-. 令1k x k +=，有)]1

11()11[(21)11(211ln +--+=+-+<+k k k k k k k k 即 )111(21ln )1ln(++<-+k k k k ，n k ,...,2,1= 将上述n 个不等式一次相加得

)1(21)1...3121(21)1ln(++++++<

+n n n 整理得 )

1(2)1ln(1...31211+++>++++n n n n 解法二：用数学归纳法证明 （1）当1n =时，左边1=，右边1212ln <+

=，不等式成立 （2）假设n k =时， 不等式成立， 就是

)

1(2)1ln(1...31211+++>++++k k k k 那么111111.....ln(1)2312(1)1

k k k k k k +++++>++++++ 2ln(1)2(1)k k k +=++

+ 由（Ⅱ）知：当12

a ≥

时，有()ln (1)f x x x ≥≥ 令12a =，有11()()ln (1)2f x x x x x

=-≥≥ 令21k x k +=+，得：1212()ln ln(2)ln(1)2121k k k k k k k k +++-≥=+-++++ 21ln(1)ln(2)2(1)2(2)

k k k k k k ++∴++≥++++ 11111.....ln(2)2312(1)

k k k k k +++++>++++ 就是说， 当1n k =+时，不等式也成立.

根据（1）和（2），可知不等式对任何n N ∈都成立.

112

2132321211434343n n n n n n

b a a --+??????????=-=-?--?=???? ? ? ???????????????

3.2 2011年高考试卷中的数学归纳法身影

3.2.1 2011年高考理科数学山东卷第15题 设函数()(0)2x f x x x =

>+,观察: 1()(),2x f x f x x =

=+ 21()(()),34x f x f f x x =

=+ 32()(()),78x f x f f x x =

=+ 43()(()),1516

x f x f f x x =

=+ 根据以上事实，由归纳推理可得：

当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== . 【答案】22(1)x n x n

-+ 【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为2,34,78,1516x x x x ++++,即

(21)2,(41)4,(81)8,(161)16x x x x -+-+-+-+,所以归纳出分母为1()(())

n n f x f f x -=的分母为22(1)n x n -+,故当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -==22(1)x n x n

-+.

3.2.2 2011年高考理科数学天津卷第22题

在数列{}n a 中，10a =，且对任意k +∈N ，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为k d ．

（Ⅰ）若2k d k =，证明22122,,k k k a a a ++成等比数列；

（Ⅱ）若对任意k +∈N ，22122,,k k k a a a ++成等比数列，其公比为k q ．

(ⅰ) 设11q ≠,证明11k q ????-??

是等差数列;

(ⅱ) 若22a =,证明2

23222n k k

k n a =<-≤∑()2n ≥. 【解】（Ⅰ）解法1．由题设可得21214k k a a k +--=，k +∈N ．

所以()()()2112121212331k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-+-L

()()4414121k k k k +-++?=+L ．

因为10a =，所以()2121k a k k +=+．

从而由21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为2k 得222122k k a a k k +=-=．

于是()22221k a k +=+． 因此2121k k a k a k ++=，22211k k a k a k +++=，所以22212121k k k k a a k a a k

++++==， 于是当2k d k =时，对任意k +∈N ， 22122,,k k k a a a ++成等比数列．

解法2．用数学归纳法．

(1) 当1k =时，因为123,,a a a 成公差为22k =的等差数列，及10a =，则

232,4a a ==．

当2k =时，因为345,,a a a 成公差为24k =的等差数列，及34a =，则458,12a a ==．

由232,4a a ==，48a =，所以234,,a a a 成等比数列．

所以当1k =时，结论成立；

(2) 假设对于k 结论成立，即

21221,,k k k a a a -+成公差为2k d k =等差数列，22122,,k k k a a a ++成等比数列，

设2k a u =，则212k a u k +=+，()2

2212222k k k u k a a a u +++==， 又由题设212223,,k k k a a a +++成公差为()21k d k =+等差数列，

则()22212122242k k a a k u k k u k ++=++=+++=++，

因此()2242u k u k u +=++，解得22u k =．

于是()2212221k a k k k k +=+=+，()2222222221k a k k k k +=+++=+．

()()()()2

232121212k a k k k k +=+++=++．

再由题设232425,,k k k a a a +++成公差为()22k d k =+等差数列，

及()()23212k a k k +=++，

则()()()()()2

2423222122222k k a a k k k k k ++=++=++++=+．

因为()22221k a k +=+，()()23212k a k k +=++，()22422k a k +=+， 所以()()()

232222122121k k k k a k a k k +++++==++，()()()224232222121k k k a k a k k k ++++==+++， 于是222324,,k k k a a a +++成等比数列．于是对1k +结论成立，

由(1)，(2)，对对任意k +∈N ,结论成立．

（Ⅱ）(ⅰ)证法1．由21221,,k k k a a a -+成等差数列，22122,,k k k a a a ++成等比数列,

则 221212k k k a a a -+=+,即2121221

12k k k k k k a a q a a q -+-=+=+．因为11q ≠,可知1k q ≠()k +∈N , 从而11

1111111

21k k k q q q --==+----，即111111k k q q --=--， 所以11k q ????-??

是等差数列，且公差为1．

证法2．由题设,()2122221k k k k k k k k d a a q a a a q +=-=-=-,

()2122212221k k k k k k k k k k d a a q a q a a q q +++=-=-=-,所以1k k k d q d +=.

23221112222221k k k k k k k k k a a d d q a a q a ++++++++===+

()22222111112k k k k k k k k k k k k

a q q d d q a q a q a q -=+=+=+=-． 因为11q ≠,可知1k q ≠()k +∈N ,于是

111111111k k k k k q q q q q +-=-=----． 所以11k q ????-??

是等差数列，且公差为1．

(ⅱ) 证法1．由（Ⅰ）得解法1和解法2均可得1k k q k

+=． 从而22212121k k k k a a k a a k ++++==，2

2221k k a k a k ++??= ???， 因此()()()

2

22

2222422222222421222112k k k k k k a a a k a a k a a a k k ----=????=????=--L L ，k +∈N ， ()221211221k k k k a a k k k k k +++=?=?=+，k +∈N ． (1) 当n 为偶数时，设2n m =()m +∈N ．

若1m =，则22222422n

k k k n a =-=-=∑，满足2

23222n k k k n a =<-≤∑； 若2m ≥，则

()()222

1212221221n

m m k k k k k k k k k a a a -===++=+∑∑∑()()()22212221221m n k k k k k k k ==+=++∑∑ ()

()211244122121m m k k k k k k k k -==??+=++??++??∑∑ 1

11112221m k m k k -=????=++- ???+???

?∑()1122112m m m ??=+-+- ???3122n n =--． 所以223122n k k k n a n =-=+∑，所以2

23222n k k k n a =<-<∑，4,6,8,n =L ． (2) 当n 为奇数时，设21n m =+()m +∈N ．

()2222222121n m k k k k m m k k a a a ==++=+∑∑()()2213142221m m m m m +=--++()114221m m =+-+

31221n n =-

-+． 所以2231221n k k k n a n =-=++∑，所以2

23222n k k

k n a =<-<∑，3,5,7,n =L ． 由(1)，(2)可知，对任意2n ≥，2

23222n k k

k n a =<-≤∑． 证法2．由（Ⅰ）得解法1和解法2均可得1k k q k +=．从而11k k k d k q d k

++==．

所以12112112121

k k k k k d d d d k k k d d d d k k ----=???=???=--L L ，由12d =，可得2k d k =． 于是由（Ⅰ）知()2121k a k k +=+，222k a k =．以下同证法１．

3.3 2012年高考试卷中的数学归纳法身影

3.3.1 2012年高考理科数学湖北卷第22题

（I ）已知函数)0)(1()(>-+-=x r x rx x f r ，其中r 为有理数，且10<

最小值；

（II ）试用（I ）的结果证明如下命题：

设01≥a ，02≥a ，1b ，2b 为正有理数，若121=+b b ，则22112121b a b a a a b

b +≤；

（III ）请将（II ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．

证明你所推广的命题.注：当α为正有理数时，有求道公式1)(-=αααx x r

解：

(Ⅰ))1()(11'---=-=r r x r rx r x f ，令0)('=x f ，解得1=x .

当10<

当1>x 时，0)('>x f ，所以)(x f 在),1(+∞内是增函数. 故函数)(x f 在1=x 处取得最小值0)1(=f .

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，当),0(+∞∈x 时，有0)1()(=≥f x f ，即)1(r rx x r -+≤①

若1a ，2a 中有一个为0，则22112121b a b a a a b b +≤成立；

若1a ，2a 均不为0.又121=+b b ，可得121b b -=， 于是在①中令21a a x =

，1b r =，可得)1()(1211211b a a b a a b -+?≤， 即)1(12112111b a b a a a b b -+≤-，亦即22112121b a b a a a b b +≤.

综上，01≥a ，02≥a ，1b ，2b 为正有理数121=+b b ，则22112121b a b a a a b b +≤②

（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：

设n a a a ,...,,21为非负实数，n b b b ,...,,21为正有理数.

若1...21=+++n b b b ，则n n b n b b b a b a b a a a a n +++≤......22112121.③

用数学归纳法证明如下：

（1）当1=n 时，11=b ，有11a a ≤，③成立.

（2）假设k n =时，③成立，即若n a a a ,...,,21为非负实数，n b b b ,...,,21为正有理数

且1...21=+++i b b b ，则i i b i b b b a b a b a a a a i +++≤......22112121.

当1+=k n 时，已知121,,...,,+i i a a a a 为非负实数，121,,...,,+i i b b b b 为正有理数，

且1...121=+++++i i b b b b ，此时101<<+i b ，即011>-+i b ，于是

11112

11

!21121!111211121121)...()...(...++++++++----++==i i i i

i i i i i i b i b b b i b b b b b i b i b b b i b i b b a a a a a a a a a a a a 因11 (111)

1211=-++-+-+++i i i i b b b b b b ，由归纳假设可得 122111122111

1211...1...11...121+++++-+++=-++-+-≤+i i i i i i i i b i b i b b b b a b a b a b b a b b a b b a a a a a i i 11121111

2211121)1...(...++++-++-+++≤i i i i b i b i i i b i b i b b a b b a b a b a a a a a 又因1)1(11=+-++i i b b ，由②得

1111

22111112211)1(1...)1...(11+++++-++--+++≤-+++++i i i i i i b i b i i i b a b b b a b a b a a b b a b a b a i i 112211...++++++=i i i i b a b a b a b a ，

从而!12211121......121+++++++≤+i i i i b

i b i b b b a b a b a b a a a a a i i 故当1+=k n 时，③成立

由（1）（2）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立.

说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对2≥n 成立，则后续证明中不需讨论1=n 的情况.

3.3.2 2012年高考理科上海卷第23题

对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集

},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=?a a ，则称X

具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P .

(1)若x >2，且},2,1,1{x -，求x 的值；

(2)若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n >1时，x 1=1；

(3)若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q (q 为常数)，求有穷数列n x x x ,,,21 的通

项公式.

[解](1)选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -.

所以x =2b ，从而x =4.

(2)证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=?a a .

由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.

因为－1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为－1，另一为1，

故1∈X .

假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101. 选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=?a a ，即01=+n tx sx ，

则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为－1.

若s =－1，则11x t tx x n ≥>=，矛盾；

若t =－1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.

所以x 1=1.

(3)[解法一]猜测1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .

记},,,1,1{2k k x x A -=，k =2, 3, …, n .

先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P. 任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中出现－1时，显然有2a 满足021=?a a ；

当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.

因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=?a a ，

从而1s 和1t 中有一个是－1，不妨设1s =－1.

假设1t ∈1+k A 且1t ?k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-?+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与

s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而k A 也具有性质P.

现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .

当n =2时，结论显然成立；

假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ；

当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A -=

也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A . 取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=?a a ，即01=++qt s x k .由此可得s 与t 中有且

只有一个为－1.

若1-=t ，则1≥s ，所以q x s q

k ≤=+1，这不可能；

所以1-=s ，k k k q q q qt x =?≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以k k q x =+1.

综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .

[解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=?a a 等价于2

211

s t t s -=. 记|}|||,,|{t s X t X s B t

s >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于原点对称. 注意到－1是X 中的唯一负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n －1个数，

所以),0(∞+ B 也只有n －1个数. 由于

1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<-- ，已有n －1个数，对以下三角数阵 1221

x x x x x x x x n n n n n n

<<<<--

113121

x x x x x x n n n n n -----<<< (12)

x x 注意到12111x x x x x x n n

>>>- ，所以12211x x x x x x n n n n ===--- ，从而数列的通项公式为

111)(1

2--==k k x x k q x x ，k =1, 2, …, n .

参考文献：

[1]史久一，朱梧槚著．化归与归纳·类比·猜想．大连理工大学出版社，2008.

[2]华罗庚著．数学归纳法．上海教育出版社，1964．

[3](苏联)索明斯基著．数学归纳法．中国青年出版社，1954.

[4]苏淳著．漫话数学归纳法．中国科学技术大学出版社，2001.

[5]L·J·格拉维娜,I·M·雅格咯姆著．莫斯科米尔出版社，1979.

[6]吴志翔著．证明不等式．河北人民出版社，1982.

[7]吴之季，严镇军，杜锡录等著．归纳·递归·迭代.人民教育出版社，1990.

[8](苏联)伊·亚·杰朴著.数学归纳法.人民教育出版社，1958.

英文摘要

The simple discussion about mathematical induction and

using in high school math

LinWei 10501201015 Adviser: Chen Qing-hua

Major in Pure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science

【Abstract】The occurrence process of mathematical knowledge is precisely the application process of inductive https://www.wendangku.net/doc/f811143023.html,ing inductive thinking in problem solving,not only can find a

given law for this problem solving,but also can find new objective laws based on practise,put forward a new proposition.This article first describes the significance and type of induction,and

then discuss induction as the main tool, to explore and discover mathematical problem solving approach.Mathematical induction, as summarized by the general as a special way of thinking,

has two basic meanings, the first mathematical induction is a kind of reasoning, known as

inductive reasoning, it can bring up us suppose ,Provide the basis and foundation for the argument. Second, induction is a research method, induction is a creative exploration of another type of thinking, can develop intelligence, broaden thinking, leads to speculation, it plays an important

role in finding the problem and ways to explore the process of problem solving. Mathematical induction, in accordance with its general matter is completely divided into two basic forms - incomplete induction and complete induction. This article also describes the process of mathematics problem solving way of inductive methods of discovery: using mathematical

induction to find and put forward mathematical suppose, using induction to find conclusions of the