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Understanding the United States

Chapter Three

Political System and National Economy

B.National Economy

Section 1 An Overview

For the most part, the United States has a market economy in which individual producers and consumers determine the kinds of goods and services produced and the prices of those products. A guiding principle of the U.S. economy, dating back to the colonial period, has been that individuals own the goods and services they make for themselves or purchase to consume.

The United States emerges as a world leader in producing various goods and services and generates more than 20% of worldwide gross domestic product. The economy is marked by steady growth, low unemployment and inflation, and rapid advances in technology.

This chart shows the GDP of the United States from

1940 to 2000

Major Economic Sectors

From colonization till the beginning of the 20th century the United States was largely an agricultural nation with the majority of Americans working on farms.

This chart shows

the percentage of

the labor force

employed in each

economic sector

changed between

1900 and 2000.

The Industrial Revolution that started in England in the 18th century, along with a lot more factors, including the introduction of the factory system, mass production, technological advancement and the emergence of the bank and the

corporation, contributed to the rapid growth of American industry. In 1890, for the first time the output of American factories exceeded that of American farms. By 1913 more than 1/3 of the world’s industrial production came from the United States.

New technologies and computerization enabled many of the newly rising industries to be highly automated. Fewer workers were needed in traditional industries and entirely new kinds of jobs and businesses are created. Since the mid-20th century, services (such as health care, entertainment, and finance) have grown faster than any other sector of the economy. A large proportion of the workforce entered service industry in recent years.

Free Enterprise & Government Role

U.S. economy is mainly a free enterprise system,

in which the person whose money is at risk is the person who gets to decide. Wrong or right, foolish or wise, whoever has the gold makes the rules. Government plays a limited role in economic decision making in the open, market economy; the initiative for production and consumption decisions lies in individuals or companies.

However, business in this free enterprise system

is not purely free. The consolidation of small businesses into increasingly powerful corporations in the 20th century spurred government intervention to protect small industries and consumers. Every year, the government produces thousands of pages of new laws and regulations, often spelling out in painstaking detail exactly what businesses can

do and cannot.

The federal government provides services and goods that the market cannot provide effectively,

such as national defense, assistance programs for low-income families, and interstate highways and airports. It regulates private industry in two ways—economic regulation and social regulation.

Economic regulation seeks primarily to control prices. Social regulation, on the other hand, promotes objectives that are not economic — such as workplace safety or environmental protection.

Business Forms

Most businesses in the United States operate under one of three different legal forms: sole proprietorships, partnerships, or corporations.

In a sole proprietorship, the proprietor owns and operates the business and collects all profits. Most small businesses in the United States are individual proprietorships. They are flexible and respond quickly to changing economic conditions, since owners can make decisions quickly without having to consult others.

独资公司 (Sole Proprietorship)

独资公司是由一个人拥有的无限公司,拥有者本人和公司之间没有明确的界限。它是一种最简单的公司形式。公司的拥有人行使全部的职能,自行作出决定。享有全部的利润,缴纳全部的税款,赔偿所有的损失,承担一切风险和公司在法律上是不可分离的。所有人与公司的关系是自雇。任何由公司的经营所引起的法定责任都是公司拥有人的责任,公司或个人的全部财产都可被法定地用来清偿债务。

Another kind of business is the partnership. According to the Census Bureau, there are more than one million American partnerships. Two or more people operate a partnership. They generally reach a legal agreement to specify each member’s rights and duties. Partnerships can end at any time and exist only as long as the owners are alive. They enable entrepreneurs to pool their talents, but serious disagreements constantly arise.

合资公司(Partnership)

合资公司是一种由两个或多个人,两个或多个股份公司,信托

公司等共同建立新公司来进行贸易或商业活动的公司,合作的

每方都为公司提供资金、劳力、财产或技术,同时也分享公司

的利润并承担损失。合资公司的存在依赖于合作的连续性,特

别是在两个人的合作关系中,

如果其中一人离开或宣布破

产,则伙伴关系自然解体。

还有一种特殊形式的合资公

司叫有限合资公司 (Limited

Partnership),它可以由一个

或多个有限合伙人组成,和有

限公司不同,公司的一部分股东不参加公司运作,公司的股东

仅以其出资额为限对公司负责。

In the United States, most large businesses are organized as corporations. A corporation has legal standing itself. It is treated under the law as a distinct person, separated from its owners.

Ownership in a corporation is divided into shares. The owner can trade his shares or keep them as long as the company is in business. A corporation may have a few major shareholder.

Or ownership may be spread among the general public. As a result, corporations may survive the death of any particular owners and, thus, have an unlimited lifetime.

Shareholders are paid in the form of dividends in return for their investments. A board of directors makes major corporate decisions and appoints top company executives. The directors might or might not hold shares in the corporation.

Seven of the world’s top ten corporations are American

Facts

New York City is the center of American financial, publishing, broadcasting, and advertising industries.

Los Angeles is the most important center for film and television production.

Detroit, known as the Motor City, serves as the historic center of the American automotive industry.

Chicago is the world’s most celebrated center of architecture innovation and a significant transportation hub.

The San Francisco Bay Area and the Pacific Northwest are major centers for technology.

The Midwest is a major area for manufacturing and heavy industry.

The Southeast is known for its reliance on agriculture, tourism and lumber industry.

高一物理运动的描述(培优篇)(Word版 含解析)

一、第一章运动的描述易错题培优(难) 1.甲、乙两辆赛车从同一地点沿同一平直公路行驶。它们的速度图象如图所示,下列说法正确的是( ) A.60 s时,甲车在乙车的前方 B.20 s时,甲、乙两车相距最远 C.甲、乙加速时,甲车的加速度大于乙车的加速度 D.40 s时,甲、乙两车速度相等且相距900m 【答案】AD 【解析】 【详解】 A、图线与时间轴包围的面积表示对应时间内的位移大小,由图象可知60s时,甲的位移大于乙的位移,所以甲车在乙车前方,故A正确; B、40s之前甲的速度大于乙的速度,40s后甲的速度小于乙的速度,所以40s时,甲乙相距最远,在20s时,两车相距不是最远,故B错误; C、速度?时间图象斜率表示加速度,根据图象可知,甲加速时的加速度小于乙加速时的加速度,故C错误; D、根据图象可知,40s时,甲乙两车速度相等都为40m/s,甲的位移 ,乙的位移,所以甲乙相距,故D正确; 故选AD。 【点睛】 速度-时间图象切线的斜率表示该点对应时刻的加速度大小,图线与时间轴包围的面积表示对应时间内的位移大小,根据两车的速度关系知道速度相等时相距最远,由位移求相距的距离。 2.物体沿一条东西方向的水平线做直线运动,取向东为运动的正方向,其速度—时间图象如图所示,下列说法中正确的是

A.在1 s末,物体速度为9 m/s B.0~2 s内,物体加速度为6 m/s2 C.6~7 s内,物体做速度方向向西的加速运动 D.10~12 s内,物体做速度方向向东的加速运动 【答案】AC 【解析】 【分析】 【详解】 A.由所给图象知,物体1 s末的速度为9 m/s,选项A正确;B.0~2 s内,物体的加速度 a= 126 2 v t ?- = ? m/s2=3m/s2 选项B错误; C.6~7 s内,物体的速度、加速度为负值,表明它向西做加速直线运动,选项C正确;D.10~12 s内,物体的速度为负值,加速度为正值,表明它向西做减速直线运动,选项D 错误. 3.一个物体做直线运动的位移—时间图象(即x t-图象)如图所示,下列说法正确的是 A.物体在1s末运动方向改变 B.物体做匀速运动 C.物体运动的速度大小为5m/s D.2s末物体回到出发点 【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】 AB.位移时间图象的斜率表示速度,根据图象可知物体一直向负方向匀速运动,故A错误、B正确; C.物体运动的速度大小为5m/s,故C正确;

一(1)集合及其运算(教师)

1 / 6 模块: 一、集合、命题、不等式 课题: 1、集合及其运算 教学目标: 理解集合、空集的意义,会用列举法和描述法表示集合;理解子集、真子集、 集合相等等概念,能判断两个简单集合之间的包含关系或相等关系;理解交集、 并集,掌握集合的交、并运算,知道有关的基本运算性质,理解全集的意义, 能求出已知集合的补集. 重难点: 集合的概念及其运算;对集合有关概念的理解. 一、 知识要点 1、 集合的有关概念 (1) 集合、元素、有限集、无限集、空集; (2) 子集、真子集、集合相等; (3) 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 2、 表示集合的方法:列举法、描述法. 3、 集合运算:交集、并集、补集(全集). 4、 有限集的子集个数公式: 对于有限集A ,若其中有n 个元素,则有2n 个子集,21n -个非空子集,21n -个真子集. 5、 两个有限集的并集的元素个数公式: ()()()()card A B card A card B card A B =+-. 二、 例题精讲 例1、已知{}221,251,1,2A a a a a A =-+++-∈且,则a = . 答案:3 2- 例2、给出下列四种说法 ①任意一个集合的表示方法都是唯一的; ②集合{}1,0,1,2-与集合{}2,1,0,1-是同一个集合 ③集合{}|21,x x k k Z =-∈与集合{}|21,y y s s Z =+∈表示的是同一个集合; ④集合{}|01x x <<是一个无限集. 其中正确说法的序号是 .(填上所有正确说法的序号) 答案:②③④ 例3、下列五个关系式:(1){}?=0;(2)0=?;(3)?∈0;(4){}??0;(5){}0≠?; 其中正确的个数是( ) A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 答案:A 例4、设P 是一个数集,且至少含两个数,若对任意,a b P ∈,都有

等差数列讲义(学生版)

2.2 等差数列 2.2.1 等差数列的概念、通项公式 【学习目标】 1.理解等差数列的定义(重点); 2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题; 3.掌握等差中项的概念,深化认识并能运用(重、难点). 【要点整合】 1. 等差数列的概念 2. 等差中项 如果三个数a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项. 注意 根据等差中项的定义,a ,A ,b 成等差数列,则A =a +b 2;反之,若A =a +b 2 ,也可得到a ,A ,b 成等差数列,所以A 是a ,b 的等差中项?A =a +b 2 3. 等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,那么它的通项公式是a n =a 1+(n -1)d . 上述公式中有4个变量,a 1,d ,n ,a n ,在4个变量中已知其中的三个便可求出其余的一个,即“知三求一”.其作用为: (1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项; (2)已知等差数列的任意两项,就可以求出首项和公差,从而可求等差数列中的任一项; (3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项,也可判断某数是否为数列中的项及是第几项. 【典例讲练】 题型一 等差数列的概念 例1 判断下列数列是不是等差数列? (1)9,7,5,3,…,-2n +11,…; (2)-1,11,23,35,…,12n -13,…; (3)1,2,1,2,…;

(4)1,2,4,6,8,10,…; (5)a,a,a,a,a,…. 练习1:数列{a n}的通项公式a n=2n+5,则此数列() A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 题型二等差中项 例2在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成等差数列,求此数列. 练习2:若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,求m和n的等差中项. 题型三等差数列的通项公式及应用 例3(1)若{a n}是等差数列,a15=8,a60=20,求a75. (2)已知递减等差数列{a n}的前三项和为18,前三项的乘积为66.求数列的通项公式,并判断-34是该数列的项吗? (3)等差数列2,5,8,...,107共有项

集合的概念与运算练习题

集合的概念与运算训练 一、选择题 1.(07浙江)设全集U ={1,3,5,6,8},A ={1,6},B ={5,6,8},则(C U A )∩B =( ) A .{6} B .{5,8} C .{6,8} D .{3,5,6,8} 2.(09山东)集合{0,2,}A a =,2{1,}B a =,若{0,1,2,4,16}A B = ,则a 的值为( ) A .0 B .1 C .2 D .4 3.(10湖北)设集合M ={1,2,4,8},N ={x |x 是2的倍数},则M ∩N =( ) A .{2,4} B .{1,2,4} C .{2,4,8} D .{1,2,8} 4.(08安徽)若A 为全体正实数的集合,{2,1,1,2}B =--则下列结论中正确的是() A .{2,1}A B =-- B .()(,0)R C A B =-∞ C .(0,)A B =+∞ D .(){2,1}R C A B =-- 5.(06陕西)已知集合P ={x ∈N |1≤x ≤10},集合Q ={x ∈R |x 2+x -6=0}, 则P ∩Q 等于( ) A . {2} B .{1,2} C .{2,3} D .{1,2,3} 6.(07安徽)若22 {|1},{|230}A x x B x x x ===--=,则A B =( ) A .{3} B .{1} C .? D .{1}- 7.(08辽宁)已知集合{31}M x x =-<<,{3}N x x =≤-,则M N = () A .? B .{3}x x ≥- C .{1}x x ≥ D .{1}x x < 8.(06全国Ⅱ)已知集合2{|3},{|log 1}M x x N x x =<=>,则M N = ( ) A .? B .{|03}x x << C .{|13}x x << D .{|23}x x << 9.(09陕西)设不等式20x x -≤的解集为M ,函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N ,则M N 为() A .[0,1) B .(0,1) C .[0,1] D .(-1,0] 10.(07山东)已知集合11{11}| 242x M N x x +??=-=<<∈????Z ,,,,则M N = () A .{11}-, B .{0} C .{1}- D .{10}-, 11.(11江西)已知集合{}? ?????≤-=≤+≤-=02,3121x x x B x x A ,则B A 等于() A .{10}x x -≤< B .{01}x x <≤ C .{02}x x ≤≤ D .{01}x x ≤≤ 12.(07广东)已知集合1{10{0}1M x x N x x =+>=>-,,则M N = () A .{11}x x -<≤ B .{1}x x > C .{11}x x -<< D .{1}x x -≥ 13.(08广东)届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行,若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员},集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员},集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员},则下列关系正确的是() A. A B ? B. B C ? C. B ∪C = A D. A∩B = C 14.(09广东)已知全集U =R ,则正确表示集合M = {-1,0,1}和N = {x |x 2+x =0}关系的韦恩(Venn ) 图是() A . B . C . D .

高一物理下册 抛体运动(培优篇)(Word版 含解析)

一、第五章抛体运动易错题培优(难) 1.如图所示,半径为R的半球形碗竖直固定,直径AB水平,一质量为m的小球(可视为 质点)由直径AB上的某点以初速度v0水平抛出,小球落进碗内与内壁碰撞,碰撞时速度大小为2gR,结果小球刚好能回到抛出点,设碰撞过程中不损失机械能,重力加速度为g,则初速度v0大小应为() A.gR B.2gR C.3gR D.2gR 【答案】C 【解析】 小球欲回到抛出点,与弧面的碰撞必须是垂直弧面的碰撞,即速度方向沿弧AB的半径方向.设碰撞点和O的连线与水平夹角α,抛出点和碰撞点连线与水平夹角为β,如图,则由2 1 sin 2 y gt Rα ==,得 2sin R t g α =,竖直方向的分速度为 2sin y v gt gRα ==,水平方向的分速度为 22 (2)(2sin)42sin v gR gR gR gR αα =-=-,又 00 tan y v gt v v α==,而2 00 1 2 tan 2 gt gt v t v β==,所以tan2tan αβ =,物体沿水平方向的位移为2cos x Rα =,又0 x v t =,联立以上的方程可得 3 v gR =,C正确. 2.一阶梯如图所示,其中每级台阶的高度和宽度都是0.4m,一小球以水平速度v飞出,欲打在第四台阶上,则v的取值范围是()

A 6m/s 22m/s v << B .22m/s 3.5m/s v <≤ C 2m/s 6m/s v << D 6m/s 23m/s v << 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 若小球打在第四级台阶的边缘上高度4h d =,根据2 112 h gt = ,得 1880.4s 0.32s 10 d t g ?= == 水平位移14x d = 则平抛的最大速度 1112m/s 0.32 x v t = == 若小球打在第三级台阶的边缘上,高度3h d =,根据2 212 h gt = ,得 260.24s d t g = = 水平位移23x d =,则平抛运动的最小速度 2226m/s 0.24 x v t = == 所以速度范围 6m/s 22m/s v << 故A 正确。 故选A 。 【点睛】 对于平抛运动的临界问题,可以通过画它们的运动草图确定其临界状态及对应的临界条件。 3.一个半径为R 的空心球固定在水平地面上,球上有两个与球心O 在同一水平面上的小孔A 、B ,且60AOB ∠=?2 gR

1.2.2集合的运算1教案教师版

1.2.2 集合的运算 第1课时交集与并集 【学习要求】 1.理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个简单集合的交集和并集. 2.能使用Venn图表示集合的交集和并集运算结果,体会直观图对理解抽象概念的作用. 3.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确进行集合的交集与并集运算. 【学法指导】 通过观察和类比,借助Venn图理解集合的交集及并集运算,培养数形结合的思想;体会类比的作用;感受集合作为一种语言在表示数学内容时的简洁性和准确性. 填一填:知识要点、记下疑难点 1.交集的定义:一般地,对于两个给定的集合A,B,由属于A又属于B的所有元素构成的集合,叫 做A与B的交集,记作A∩B,读作“A交B”.即A∩B= {x|x∈A且x∈B} . 2.交集的性质:(1)A∩B= B∩A ;(2)A∩A=A ; (3)A∩?=?∩A=?;(4)如果A?B,则A∩B=A . 3.并集的定义:一般地,对于两个给定的集合A,B,由两个集合的所有元素构成的集合,叫做A 与B的并集,记作A∪B,读作“A并B”.即A∪B= {x|x∈A或x∈B} . 4.并集的性质:(1)A∪B= B∪A ;(2)A∪A=A ;(3)A∪?=?∪A=A ;(4)如果A?B,则A∪B =B . 研一研:问题探究、课堂更高效 [问题情境] 两个实数除了可以比较大小外,还可以进行加减法运算,如果把集合与实数相类比,我们会想两个集合是否也可以进行“加减”运算呢?本节就来研究这个问题. 探究点一交集 问题1你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗? (1)A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,8},C={3,4,5}; (2)A={x|x≤3},B={x|x>0},C={x|0

集合的概念与运算例题及答案

1 集合的概念与运算(一) 目标: 1.理解集合、子集的概念,能利用集合中元素的性质解决问题 2.理解交集、并集、全集、补集的概念,掌握集合的运算性质, 3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法. 重点: 1.集合中元素的3个性质,集合的3种表示方法,集合语言、集合思想的运用; 2.交集、并集、补集的求法,集合语言、集合思想的运用. 基本知识点: 知识点1、集合的概念 (1)集合:某些指定的对象集在一起就形成一个集合(简称集) (2)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素 知识点2、常用数集及记法 (1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合记作N ,{}Λ,2,1,0=N (2)正整数集:非负整数集内排除0的集记作N * 或N + {}Λ,3,2,1*=N (3)整数集:全体整数的集合记作Z , {}Λ,,,210±±=Z (4)有理数集:全体有理数的集合记作Q , {} 整数与分数=Q (5)实数集:全体实数的集合记作R {} 数数轴上所有点所对应的=R 注:(1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数0 (2)非负整数集内排除0的集记作N * 或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集,也是这样表示,例如,整数集内排除0的集,表示成Z * 知识点3、元素与集合关系(隶属) (1)属于:如果a 是集合A 的元素,就说a 属于A ,记作a ∈A (2)不属于:如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A ,记作A a ? 注意:“∈”的开口方向,不能把a ∈A 颠倒过来写 知识点4、集合中元素的特性 (1)确定性:按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里, 或者不在,不能模棱两可 (2)互异性:集合中的元素没有重复 (3)无序性:集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)

高一物理上册运动和力的关系(培优篇)(Word版 含解析)

一、第四章 运动和力的关系易错题培优(难) 1.A 、B 两物体用两根轻质细线分别悬挂在天花板上,两细线与水平方向夹角分别为60°和45°,A 、B 间拴接的轻质弹簧恰好处于水平状态,则下列判断正确的是( ) A .A 、 B 的质量之比为1︰3 B .A 、B 所受弹簧弹力大小之比为3︰2 C .快速撤去弹簧的瞬间,A 、B 的瞬时加速度大小之比为1︰2 D .悬挂A 、B 的细线上拉力大小之比为1︰2 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 A .对A B 两个物体进行受力分析,如图所示,设弹簧弹力为F 。 对物体A A tan 60m g F = 对物体B B tan 45m g F = 解得 A B 3 m m 故A 错误; B .同一根弹簧弹力相等,故B 错误; C .快速撤去弹簧的瞬间,两个物体都将以悬点为圆心做圆周运动,合力为切线方向。 对物体A A A A sin 30m g m a = 对物体B

sin 45B B B m g m a = 联立解得 A B 2 a a = 故C 正确; D .对物体A ,细线拉力 A cos60F T = 对物体B ,细线拉力 cos 45 B F T = 解得 A B 2T T = 故D 错误。 故选C 。 【点睛】 快速撤去弹簧瞬间,细线的拉力发生突变,故分析时应注意不能认为合外力的大小等于原弹簧的弹力。 2.如图所示,斜面体A 静止放置在水平地面上,质量为m 的物体B 在外力F (方向水平向右)的作用下沿斜面向下做匀速运动,此时斜面体仍保持静止。若撤去力F ,下列说法正确的是( ) A .A 所受地面的摩擦力方向向左 B .A 所受地面的摩擦力可能为零 C .A 所受地面的摩擦力方向可能向右 D .物体B 仍将沿斜面向下做匀速运动 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 根据题意可知B 物块在外力F 的作用下沿斜面向下做匀速直线运动,撤去外力F 后,B 物块沿斜面向下做加速运动,加速度沿斜面向下,所以A 、B 组成的系统在水平方向上有向左的分加速度,根据系统牛顿第二定律可知,地面对A 的摩擦力水平向左,才能提供系统在水平方向上的分加速度。

§1.1集合的概念及其基本运算(教师)

§1.1集合的概念及其基本运算 基础自测 1.(2008·山东,1)满足M ?{}4321,,,a a a a ,且M {}{}21321,,,a a a a a = 的集合M 的个数是 . 答案 2 2.设集合A ={1,2},则满足A ∪B ={1,2,3}的集合B 的个数是 . 答案 4 3.设全集U ={1,3,5,7},集合M ={1,|a -5|},, U M ?U M ={5,7},则a 的值为 . 答案 2或8 4.(2008·四川理,1)设集合U ={},5,4,3,2,1A {},3,2,1=B {},4,3,2=则 U (A B )等于 . 答案 {}5,4,1 5.(2009·南通高三模拟)设集合A ={}R ∈≤-x x x ,2|2||,B ={}21,|2≤≤--=x x y y ,则 R (A B )= . 答案 (-∞,0) (0, +∞) 例题精讲 例1 若a ,b ∈R ,集合 {},,,0,,1? ?? ???=+b a b a b a 求b -a 的值. 解 由 {}? ?? ?? ?=+b a b a b a ,,0,,1可知a ≠0,则只能a +b =0,则有以下对应关系: ???? ???===+1 0b a a b b a ①或???????===+10a b a b b a ② 由①得,11?? ?=-=b a 符合题意;②无解.所以b -a =2. 例2 已知集合A = {}510|≤+

考点4 等差数列(学生版)

考点4 等差数列 [玩前必备] 1.数列的定义 按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项. 2.数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n =f (n ),那么这个式子叫作这个数列的通项公式. 3.已知数列{a n }的前n 项和S n , 则a n =????? S 1 (n =1)S n -S n -1 (n ≥2). 4.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差是同一个常数,我们称这样的数列为等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,通常用字母d 表示. 5.等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,那么它的通项公式是a n =a 1+(n -1)d . 说明:等差数列{a n }的通项公式可以化为a n =pn +q (其中p ,q 为常数)的形式,即等差数列的通项公式是关于n 的一次表达式,反之,若某数列的通项公式为关于n 的一次表达式,则该数列为等差数列. 6.等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ,其前n 项和S n ,则S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2 d . 说明:数列{a n }是等差数列?S n =An 2+Bn (A 、B 为常数).这表明d ≠1时,等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次表达式,并且没有常数项. 7.等差中项 如果A =a +b 2 ,那么A 叫作a 与b 的等差中项. 8.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N +). (2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N +),则a k +a l =a m +a n . [玩转典例] 题型一 数列的概念 例1 根据下面数列{a n }的通项公式,写出它的前5项: (1)a n =n 2-12n -1 ;(2)a n =n(n+2). [玩转跟踪]

物理高一上册 期末精选(培优篇)(Word版 含解析)

物理高一上册期末精选(培优篇)(Word版含解析) 一、第一章运动的描述易错题培优(难) 1.如图,直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置一时间(x一t)图线,由图可知 A.在时刻t1,a车追上b车 B.在时刻t2,a、b两车运动方向相反 C.在t1到t2这段时间内,b车的速率先减少后增加 D.在t1到t2这段时间内,b车的速率一直比a车大 【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】 由x—t图象可知,在0-t1时间内,b追a,t1时刻相遇,所以A错误;在时刻t2,b的斜率为负,则b的速度与x方向相反,所以B正确;b图象在最高点的斜率为零,所以速度为零,故b的速度先减小为零,再反向增大,所以C正确,D错误. 2.在下图所示的四个图象中,表示物体做匀速直线运动的图象是() A.B. C.D. 【答案】AD

【解析】 【分析】 x -t 图像中,倾斜的直线表示匀速直线运动;v -t 图象中,匀速直线运动的图像是一条与x 轴平行的直线;倾斜的直线表示匀变速直线运动,斜率表示加速度.分别分析物体的运动情况,即可作出选择. 【详解】 A. 此图表示物体的位移随时间均匀增加,物体处于匀速直线运动状态,故A 正确; B. 此图表示物体的位移不随时间变化,物体处于静止状态,故B 错误; C. 此图表示物体的速度均匀增加,说明物体做匀加速直线运动,故C 错误; D. 此图表示物体的速度不变,说明物体做匀速直线运动,故D 正确. 故选AD 。 3.一个以初速度v 0沿直线运动的物体,t 秒末的速度为v t ,如图所示,则下列说法正确的是( ) A .0~t 秒内的平均加速度0 t v v a t -= B .t 秒之前,物体的瞬时加速度越来越小 C .t =0时的瞬时加速度为零 D .平均加速度和瞬时加速度的方向相同 【答案】ABD 【解析】 根据加速度的定义式可知0~t 秒内的平均加速度a= t v v t -,故A 正确;由图可知,物体做加速度减小的加速运动,故B 正确;t=0时斜率不为零,故瞬时加速度不为零,故C 错误; 物体做加速度逐渐减小的变加速运动,故平均加速度和瞬时加速度的方向相同,故D 正确;故选ABD. 点睛:v-t 图象中图象的斜率表示物体的加速度,则根据斜率可求得加速度的变化;由图象的面积可得出物体通过的位移. 4.历史上有些科学家曾把在相等位移内速度变化相等的单向直线运动称为“匀变速直线运动”(现称为“另类匀变速直线运动”),“另类加速度”的定义式为0 s v v A s -= ,其中0v 和s v 分别表示某段位移s 内的初速度和末速度>0A 表示物体做加速运动,0A <表示体做减速运动,

第1讲 必修1第一章集合的基本含、集合间的基本关系以及基本运算-教师版

教学课题人教版必修1第一章集合的基本含、集合间的基本关系以及基本运算 教学目标知识目标: (1)掌握集合的表示方法,能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题(2)运用类比的方法,对照实数的相等与不等的关系,探究集合之间的包含与相等关系 (3)能利用Venn图表达集合间的关系;探索直观图示(Venn图)对理解抽象概念的作用 (4)通过探讨集合与集合间的关系,对照数或式的算术运算和代数运算,探究集合之间的运算. 能力目标: (1)发展运用数学语言的能力,感受集合语言的意义和作用,学习从数学的角度认识世界 (2)初步经历使用最基本的集合语言表示有关数学对象的过程,体会集合语言,发展运用数学语言进行交流的能力 (3)使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程,体会集合语言,发展运用数学语言进行交流的能力 . 教学重点与难点重点:集合间的基本关系以及基本运算 难点:子集、真子集的判断、空集与非空集合的分类谈论 教学过程 课堂导学 1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号N N*(或N+)Z Q R 2.集合间的基本关系 关系自然语言符号语言Venn图 子集集合A中所有元素都在集合B中(即若 x∈A,则x∈B) A?B(或B ?A) 真子集集合A是集合B的子集,且集合B中至 少有一个元素不在集合A中 A B(或 B A)

【点评】含字母的两个集合相等,并不意味着按序对应相等,要分类讨论,同时也要考虑集合中的 元素的互异性和无序性。 ★★★变式2:集合{|2,}A x x k k Z ==∈,{|21,}B x x k k Z ==+∈,{|41,}C x x k k Z ==+∈,又,a A b B ∈∈,则有( ) A .a b A +∈ B .a b B +∈ C .a b C +∈ D .a b +不属于,,A B C 中的任一个 答案:B 解:设Z k k a ∈=11,2,2221,b k k Z =+∈, ∴12122212()1a b k k k k B +=++=++∈。 新知三: 子集、真子集、空集 ①如果集合A B ?,并且存在元素x B ∈且x A ?,我们称集合A 是集合B 的真子集,记作:A B 。 ②不含任何元素的集合叫做空集,记作?,并规定:空集是任何集合的子集。 ★例3:写出集合{1,0,1}-的所有子集,并指出哪些是它的真子集. 解:子集为:?,{1}-,{0},{1},{1,0}-,{1,1}-,{0,1},{1,0,1}-。 真子集为:?,{1}-,{0},{1},{1,0}-,{1,1}-,{0,1}。 【点评】若有限集A 有n 个元素,则A 的子集有2n 个,真子集有21n -,非空子集有21n -个,非 空真子集有22n -个。 ★★变式3:已知集合{}{}1,21,2,3,4,5P ??,那么满足条件的集合P 的个数是( ) A .5 B .6 C .7 D .8 答案:D 解:满足条件的集合P 可为:{}1,2,{}1,2,3,{}1,2,4,{}1,2,5,{}1,2,3,4,{}1,2,3,5, {}1,2,4,5,{}1,2,3,4,5,共8个。 ★★例4:已知集合{13}A x x =-≤≤,2{,}B y y x x A ==∈,{2,}C y y x a x A ==+∈,若满足C B ?,求 实数a 的取值范围。 解:2{,}{09}B y y x x A y y ==∈=≤≤, {2,}{26}C y y x a x A y a y a ==+∈=-+≤≤, ∵C B ?,∴20 2369a a a -??? +? ≥≤≤≤。 ★变式4:集合{}1,2,3,4A =,2{0}B x N x a =∈-=,若满足B A ?,求实数a 的值组成的集合。 答案:{}1,4,9,16 ★★例5:已知集合A ={|25}x x -<≤,{|121}B x m x m =+-≤≤且B A ?,求实数m 的取值范围。 解:∵B A ? (1)当B =?时,则121m m +>-,解得2m <。 (2)当B ≠?时,则12121512m m m m +-?? - ??+>-? ≤≤,解得23m ≤≤。 综上所述,实数m 的取值范围是m ≤3。 【点评】当出现“A B ?”这一关系时,首先是讨论A 有没有可能为空集,因为A =? 时满足 A B ?。

等差数列(学生版)

等差数列 导引: 若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。 例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。 计算等差数列的相关公式: 通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差 项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1 求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2 在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。 例题1有一个数列:4、7、10、13、…、25,这个数列共有多少项 练习: 1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。 2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项? 3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?

例题2 有一等差数列:2,7,12,17,…,这个等差数列的第100项是多少? 练习: 1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。 2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。 3、一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少? 例题3 计算2+4+6+8+…+1990的和。 练习: 1、计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。 2、计算5+10+15+20+? +190+195+200的和。

3、计算100+99+98+…+61+60的和 例题4计算(1+3+5+...+l99l)-(2+4+6+ (1990) 练习: 1、计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002) 2、计算(2+4+6+...+100)-(1+3+5+ (99) 3、计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。 例题5 已知一列数:2,5,8,11,14,…,80,…,求80是这列数中第几个数。 练习: 1、有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。

高中物理全套培优讲义

U x 第1讲 运动的描述 质点、参考系 (考纲要求 Ⅰ) 1.质点 (1)定义:忽略物体的大小和形状,把物体简化为一个有质量的物质点,叫质点. (2)把物体看做质点的条件:物体的大小和形状对研究问题的影响可以忽略. 2.参考系 (1)定义:要描述一个物体的运动,首先要选定某个其它的物体做参考,这个被选作参考的物体叫参考系. (2)选取:可任意选取,但对同一物体的运动,所选的参考系不同,运动的描述可能会不同,通常以地面为参考系. 判断正误,正确的划“√”,错误的划“×”. (1)质点是一种理想化模型,实际并不存在. ( ) (2)只要是体积很小的物体,就能被看作质点. ( ) (3)参考系必须要选择静止不动的物体. ( ) (4)比较两物体的运动情况时,必须选取同一参考系. ( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 位移、速度 (考纲要求 Ⅱ) 1.位移和路程 (1)位移:描述物体位置的变化,用从初位置指向末位置的有向线段表示,是矢量. (2)路程:是物体运动轨迹的长度,是标量. 2.速度 (1)平均速度:在变速运动中,物体在某段时间内的位移与发生这段位移所用时间的比值,即v =x t ,是矢量. (2)瞬时速度:运动物体在某一时刻(或某一位置)的速度,是矢量. 3.速率和平均速率 (1)速率:瞬时速度的大小,是标量. (2)平均速率:路程与时间的比值,不一定等于平均速度的大小. 判断正误,正确的划“√”,错误的划“×”. (1)一个物体做单向直线运动,其位移的大小一定等于路程.( ) (2)一个物体在直线运动过程中路程不会大于位移的大小. ( ) (3)平均速度的方向与位移的方向相同. ( ) (4)瞬时速度的方向就是该时刻(或该位置)物体运动的方向.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√

人教版高数必修一第2讲:集合的关系与运算(教师版)

高中数学·· 教师版 page 1 of 8 集合的关系与运算 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 掌握两个集合之间的包含关系和相等关系,能识别给定集合的子集。 2、 了解空集的含义与性质。 3、 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集。 4、 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集。 一、子集: 一般地,对于两个集合A 与B ,如果集合A 的任何..一个元素都是集合B 的元素,我们就说集合A 包含于集合B ,或集合B 包含集合B 。 记作:A B B A ??或 , 读作:A 包含于B 或B 包含A 。 特别提醒:1、“A 是B 的子集”的含义是:集合A 的任何.. 一个元素都是集合B 的元素,即由x A ∈,能推出x B ∈。如:{}{}1,11,0,1,2-?-;{}{}?深圳人中国人。2、当“A 不是B 的子集”时,我们记作:“() A B B A ??//或”,读作:“A 不包含于B ,(或B 不包含A )”。如:{}{}1,2,31,3,4,5?/。 3、任何集合都是它本身的子集。即对于任何一集合A ,它的任何一个元素都属于集合A 本身,记作A A ?。 4、我们规定:空集是任何集合的子集,即对于任一集合A ,有A ??。 5、在子集的定义中,不能理解为子集A 是集合B 中部分元素组成的集合。因为若A =?,则A 中不含有任何元素;若A =B ,则A 中含有B 中的所有元素,但此时都说集合A 是集合B 的子集。 二、集合相等: 一般地,对于两个集合A 与B ,如果集合A 的任何.. 一个元素都是集合B 的元素,同时集合B 的任何.. 一个元素都是集合A 的元素,我们就说集合A 等于集合B ,记作A =B 。 特别提醒:集合相等的定义实际上给出了我们判断或证明两个集合相等的办法,即欲证A B =,只需证A B ?与B A ?都成立即可。 三、真子集:

第34讲 数列的概念与等差数列(学生版) 备战2021年新高考数学微专题讲义

第34讲:数列的概念与等差数列 一、课程标准 1、通过实例,了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊函数. 2、通过实例,理解等差数列的概念. 3、探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式. 4、.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题. 5、体会等差数列与一次函数的关系. 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 数列的概念 (1)按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每个数都叫做这个数列的项.数列可以看做是定义域为N *或其非空子集的函数,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值,其图像是一群孤立的点. 注:数列是特殊的函数,应注意其定义域,不要和函数的定义域混淆. (2)数列的一般形式可以写成a 1,a 2,a 3,…,a n ,…,简记为{a n },其中a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项),a 2称为第2项,…,a n 称为第n 项. 2. 数列的分类 (1)数列按项数的多少来分:项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列. (2)按前后项的大小来分:从第二项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;从第二项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;各项相等的数列叫做常数列. 3. 数列的通项公式 一般地,如果数列{}a n 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列{}a n 的通项公式. 注:并不是每一个数列都有通项公式,有通项公式的数列,其通项公式也不一定唯一. 4. 数列的表示方法 数列可以用通项公式来描述,也可以通过图像或列表来表示. 5.等差数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等

第1讲 集合的概念与运算

第1讲集合的概念与运算 一、知识梳理 1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N+)Z Q R [注意]N为自然数集(即非负整数集),包含0,而N*和N+的含义是一样的,表示正整数集,不包含0. 2.集合间的基本关系 表示 关系 自然语言符号语言Venn图 子集集合A中所有元素都在集合B中(即 若x∈A,则x∈B) A?B(或B?A) 真子集集合A是集合B的子集,且集合B 中至少有一个元素不在集合A中 A B(或 B A) 集合相等集合A,B中元素相同A=B 集合的并集集合的交集集合的补集 图形语言 符号语言A∪B={x|x∈A或x∈B}A∩B={x|x∈A且x∈}B ?U A={x|x∈U且x?A}

常用结论|三种集合运用的性质 (1)并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A. (2)交集的性质:A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B. (3)补集的性质:A∪(?U A)=U;A∩(?U A)=?;?U(?U A)=A;?U(A∩B)=(?U A)∪(?U B);?U(A∪B)=(?U A)∩(?U B). 二、教材衍化 1.若集合P={x∈N|x≤ 2 021},a=22,则() A.a∈P B.{a}∈P C.{a}?P D.a?P 解析:选D.因为a=22不是自然数,而集合P是不大于 2 021的自然数构成的集合,所以a?P.故选D. 2.设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是() A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选C.A中包含的整数元素有-2,-1,0,1,2,共5个,所以A∩Z中的元素个数为5. 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A,B,C表示同一个集合.() (2)若a在集合A中,则可用符号表示为a?A.() (3)若A B,则A?B且A≠B.() (4)N*N Z.() (5)若A∩B=A∩C,则B=C.() 答案:(1)×(2)×(3)√(4)√(5)× 二、易错纠偏 常见误区|(1)忽视集合中元素的互异性致错; (2)集合运算中端点取值致错; (3)忘记空集的情况导致出错.

高一物理上册第三章 相互作用——力(培优篇)(Word版 含解析)

一、第三章 相互作用——力易错题培优(难) 1.水平传感器可以测量器械摆放所处的水平角度,属于角度传感器的一种,其作用就是测量载体的水平度,又叫倾角传感器。如图为一个简易模型,截面为内壁光滑的竖直放置的正三角形,内部有一个小球,其半径略小于内接圆半径,三角形各边有压力传感器,分别感受小球对三边压力的大小,根据压力的大小,信息处理单元能将各边与水平面间的夹角通过显示屏显示出来。如果图中此时BC 边恰好处于水平状态,将其以C 为轴在竖直平面内顺时针缓慢转动,直到AC 边水平,则在转动过程中( ) A .当BC 边与AC 边所受压力大小相等时,A B 处于水平状态 B .球对A C 边的压力一直增大 C .球对BC 边的压力一直减小 D .BC 边所受压力不可能大于球的重力 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 对正三角形内部的小球受力分析,如图所示 由几何关系可知,随着角度θ从0°到120°增大过程中,角α与角θ之和保持不变,且α + θ = 120°,所以角β也保持不变,β = 60°,由平衡条件和正弦定理得 () sin sin sin 120AC BC N N G βθθ==?- 所以球对AC 边的压力 23 sin sin sin sin sin 60AC AC G G N N θθθβ'====? 球对BC 边的压力

()()()23 sin 120sin 120sin 120sin sin 603 BC BC G G N N G θθθβ'==?-=?-=?-? A .当BC 边与AC 边所受压力大小相等时,即AC BC N N ''=,则θ = 60°,此时AB 处于水平状态,故A 正确; BC .角度θ从0°到120°增大过程中,sin θ和()sin 120θ?-都是先增大后减小,所以球对AC 边的压力和球对BC 边的压力都是先增大后减小,BC 错误; D .当0 < θ < 60°时,BC N G '>,即BC 边所受压力有可能大于球的重力,故D 错误。 故选A 。 2.如图所示,质量为M 的四分之一圆柱体放在粗糙水平地面上,质量为m 的正方体放在圆柱体和光滑墙壁之间,且不计圆柱体与正方体之间的摩擦,正方体与圆柱体的接触点的切线与右侧墙壁成θ角,圆柱体处于静止状态,则( ) A .地面对圆柱体的支持力大于(M +m )g B .地面对圆柱体的摩擦力为mg tan θ C .墙壁对正方体的弹力为 tan mg θ D .正方体对圆柱体的压力为cos mg θ 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 CD .以正方体为研究对象,受力分析,并运用合成法如图所示 墙壁对正方体的弹力 N 1= tan mg θ

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