函数单调性与导数教案

3.3.1函数的单调性与导数

【三维目标】

知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系

2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间

过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法

2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转

化思想。

情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。 【教学重点难点】

教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。 教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。 【教 具】多媒体 【教学方法】问题启发式 【教学过程】 一．复习回顾

复习 1：导数的几何意义

复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法，（图像法，定义法）

问题提出：判断y=x 2

的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成）

那么如何判断();,0,sin )(π∈-=x x x x f 的单调性呢？引导学生图像法，定义去尝试发觉有困

难，引出课题：板书课题：函数的单调性与导数

二．新知探究

探究任务一：函数单调性与其导数的关系：

问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数105.69.4)(2

++-=t t t h 的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度5.68.9)(')(+-==t t h t V h 的图像.

通过观察图像, 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？此时你能发现)(')(t h t h 和这两个函数图像有什么联系吗?

启发:函数)('t h 在(0,a)上是大于0，函数)(t h 在(0,a)上有何特点呢？函数)('t h 在(a ，b)上是小于0，那么函数)(t h 在(a,b)上有何特点呢？

问题2：观察图（1）～图（4），探讨函数与其导函数是否也存在问题（1）的关系呢？

问题3：通过对问题1和问题2的观察，你能得到原函数的单调性与其导函数的正负号有何关系？你能得到怎样的结论？（形成初步结论，板书结论：函数的单调性与导数的关系：在某个区间(,)a b 内，如果

'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间

内单调递减．）

问题4：上述结论主要是通过观察得到的，你能结合导数的几何意义为切线的斜率，你能从这个角度给予说明吗？

探究任务二：()0'=x f 与函数单调性的关系：

问题5：若函数()x f 的导数()0'=x f ，那么()x f 会是一个什么函数呢？（板书：特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常值函数．

） 问题6：平时我们遇到很多需要数形结合的题目，那么现在我们知道了导数的正负能帮助我们判

断函数的单调性，那么我们能否利用导数信息画出函数的大致图像呢？

例1:已知某函数的导函数的下列信息:

当;0)('41><

,4<<>x f x x 时，或 当.0)('1

,4===x f x x 时，或试画出函数()x f 图像的大致形状.

跟踪练习1、设()y f x '=是函数()y f x =的导数, ()y f x '=的 图象如图所示, 则()y f x =的图象最有可能是( )

问题7：根据我们得到的导数与单调性之间关系的结论，你能否利用此结论来求函数的单调区间呢？

例3：判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

（1）();,0,sin )(π∈-=x x x x f （2）;12432)(23+-+=x x x x f （3）;3)(3x x x f +=（4）;32)(2--=x x x f （5）f(x)＝x ＋ln x

（对于（2）让学生课后探究尝试单调性的定义法和图象法）

问:你对利用导数去研究函数的单调性有什么看法?你能总结出利用导数求单调区间的步骤吗？（简单易行）

（板书“求解函数()y f x =单调区间的步骤：

（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．

问题8：导数能帮助我们简洁的求出单调区间，画出大致图象，但我们知道就是递增（递减）也有快与慢的区别，在导数上如何体现呢？下面我们就来看一下下面这个问题

例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．

分析：

在导数几何意义那节我们就感受了增加与减少也由快慢之分，那么我们以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．

解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→

思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？

一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数

的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．

如右图, 函数()y f x =的图象 ，在(0,)b 或(,0)a 内的图象“陡峭”, 在(,)b +∞ 或(,)a -∞ 内的图象平缓.

（跟踪练习）已知f ′(x)是f(x)的导函数，f ′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )

三，课堂练习

1．确定下列函数的单调区间

(1)y =x

e x - (2)y =3x －x 3 x x x

f ln 23)()3(2-=

四，课堂小结

1.函数导数与单调性的关系:若函数y =f (x )在某个区间内可导, 如果f ′

(x )>0, 则f (x )为增函数;如果f ′(x)<0, 则f (x )为减函数.

2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.

3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.

五，作业设计 课本98页，A 组1，2