第四讲 二 次 函 数
第四讲 二 次 函 数
二次函数在中学数学中起着十分重要的作用，也是初等数学中遇到比较多的函数之一，形如
)0()(2
≠++=a c bx ax
x f 的函数，它的图象简单，性质易于掌握，又与二次方程、二次不等式有
联系，与之相关的理论如判别式，韦达定理，求根公式等又是中学教材的重点内容，因此有必要进一步认识二次函数的性质，研究与二次函数有关的解题规律、方法与技巧．
二次函数)0()(2
≠++=a c bx ax
x f 的主要性质：
定义域为R ；图象是对称轴平行于y 轴（或与y 轴重合）的抛物线；当a ＞0时，抛物线开口
向上方，函数的值域是?
??
??
?
?+∞-,442
a b ac ，当∈x （－∞,a b 2-）时,)(x f 是减函数,当∈x [－a b
2,＋∞]时，)(x f 是增函数；当a ＜0时，抛物线开口向下方，函数的值域是??
?
??-∞-a b ac 44,2
，当∈x （－∞,a
b 2-
）时,)(x f 是增函数,当∈x [－,＋∞）时，)(x f 是减函数．当ac b 42
-＞0时，函数的图
象与x 轴有两个不同的交点，它们分别是（
0,242
a
ac
b
b --
-），（
0,242
a
ac
b
b -+-）；
ac b 42
-=0时，函数的图象与x 轴有两个重合的交点（－a
b 2,0）,这时也称抛物线与x 轴相切,
ac b
42
-＜0时,函数的图象与x 轴没有交点．
函数)0()(2
≠++=a c bx ax
x f 的图象是连续的．一个有用的结论是，在区间[q p ,]端点处的
函数值异号，即)()(q f p f ?＜0时,方程)(x f =0在（q p ,）内恰有一个实根．抛物线的凸性也有一
定用途，a ＞0时，函数的图象是下凸形曲线，即对于任意R x x ∈21,，有)2(
2
1x x f +≤
2
)
()(21x f x f +；a ＜0时, 函数的图象是上凸形曲线，即对于任意R x x ∈21,，有)2
(
2
1x x f +≥
2
)
()(21x f x f +利用二次函数图象的凸性和单调性，在某些与二次方程的范围有关的问题中可避免
使用判别式和求根公式． 一．含有参变数的二次函数
对于二次函数)0()(2
≠++=a c bx ax
x f ，当a 、b 、c 固定时，此二次函数唯一确定，它的
图象是一条抛物线；若b 、c 固定时，a 可以在某个范围内变动，则它的图象可能是“一族”抛物线，对于a 、b 、c 的不同范围和条件，得到的抛物线族具有不同的特征，如何确定这些特征，就因题而异了．
例题分析：
1． 集合A ={42|2
++=x x y y }，B ={a x ax
y y 42|2
+-=}，A ?B ，求实数a 的取值集合．
解：A 、B 分别表示函数422
++=x x y 与函数a x ax
y 422
+-=的值域．由
3)1(422
2
++=++x x x
≥3知A =[3，＋∞）．而B 受参数a 的影响，要进行讨论．
a =0时，x y 2-=，值域是R 符合条件A ?B ．
a ≠0时，)(x f =a x ax
422
+-是二次函数，如果a ＜0，该函数的值域为??? ?
?
-∞-a a 14,，这时A B 不成立．如果a ＞0时，由[3，＋∞]?[a a 1
4-，＋∞],得??
?
??≤->314
0a a a ∴ 0＜a ≤1 综上所述, a 的可取值集合为{a |0≤a ≤1}。 说明：参数a 的取值决定了函数)(x f =a x ax
422
+-的类别及性质，因而对该函数的值域有影响．为
了由A ?B 求出a 的允许值范围，必须对参数a 分情况讨论．
2． 考察所有可能的这样抛物线2
2
b ax x y -+=，它们与坐标轴各有三个不同的交点，对于每一条
这样的抛物线，过其与坐标轴的三个交点作圆．证明：所有这些圆周经过一定点．
证明：设抛物线2
2
b ax x y -+=与x 轴的交点为（1x ，0）、（2x ，0）．由韦达定理知2
21b
x x -=?＜0 (因为b =0,则ax x y +=2
与坐标轴只有两个不同的交点),故点（1x ，0）、（2x ，0）在坐标原
点的两侧．又因为1||||||2
21?-=?b x x ，由相交弦定理的逆定理知，点（1x ，0）、（2x ，0）、（0，2
b -），
（0，1）在同一个圆周上，即过抛物线与坐标轴的三个交点（1x ，0）、（2x ，0）、（0，2
b -）的圆一定过定点（0，1）．于是所有的这些圆周均经过一定点（0，1）．
3． 抛物线c bx x y ++=2
的顶点位于区域}10.10|),{(≤≤≤≤=y x y x G 内部或边界上，求b 、
c 的取值范围．
解：抛物线的顶点坐标为（4
4,
22
b
c b --），故 ??
???
≤-≤≤-≤1
440 1202
b c b ?????+≤≤≤≤-∴144
022
2b c b
b ， 上式即为b 、
c 的取值范围．
二．二次函数的最值
4． 设x =p 时，二次函数)(x f 有最大值5，二次函数)(x g 的最小值为－2，且p ＞0，)(x f
+)(x g =13162
++x x ,)(p g =25．求)(x g 的解析式和p 值．
解：由题设)(p f =5，)(p g =25，)()(p g p f +=13162
++p p ，所以 13162
++p p =30，解得
p =1 （p = －17舍去）
．由于)(x f 在x =1时有最大值5，故设 )(x f =0,5)1(2
<+-a x a 所以 )(x g =13162
++x x －)(x f =a x a x a -+++-8)8(2)1(2
，因)(x g 的最小值为－2，
故2)
1(4)
3(4)8)(1(42
-=-+---a a a a ,所以2-=a ．从而)(x g =101232
++x x
．
5． 已知0≤x ≤1, )(x f =)0( 2
2
>+-a a ax x ,)(x f 的最小值为m ．
（1）用a 表示m ；（2）求m 的最大值及此时a 的值．
解：（1）把)(x f 改写成)(x f =42)2(22
a
a a x -+-．于是知)(x f 是顶点为（4
2,22
a
a a -），开口向
上的抛物线．又因为x ∈[0,1],故当0＜
2
a ≤1，即0＜a ≤2时，)(x f 的最小值为4
2
)2
(2
a
a a f -
=
；
当2a ＞1,即a ＞2时，)(x f 有最小值2
1)1(a
f -=．于是??
???>-≤<-=)
2( ,2
1)
20( ,422
a a a a
a
m
（2）当a ＞2时，2
1a -
的值小于0，而当0＜a ≤2时，
4
2
2
a
a -
=4
1)1(4
12
+
--
a ，它的最大值为
4
1（当a =1时取得），故m 的最大值为4
1，此时a =1．
说明：对于某些在给定区间上的二次函数最值问题，往往需要把顶点和区间端点结合起来考虑． 6． 函数)(x f =4
94332
2
+
+--m x x ，x ∈[―m ,1―m ],该函数的最大值是25,求该函数取最大值
时自变量的值．
分析：限定在区间[―m ,1―m ]上的函数的最大值要考虑到在这个区间上的单调情况．当x 可取任意实数时，二次函数4
94332
2
+
+--m x x 的图象是对称轴为2
1-
=x 开口向下的抛物线，2
1-
与
区间[―m ,1―m ]的位置关系决定了已知函数的单调状况，因此要分区间讨论．
当2
1-
∈[―m ,1―m ],即
2
32
1≤
≤m 时,最大值应是34)2
1(2
+=-
m
f ．由342
+m =25,
m 2
=
2
22||2
11=
m 得,不符合
2
32
1≤
≤m 的条件．可见m ]2
3
,21[?．
当2
1-
＞1―m ,即m ＞
23时，函数)(x f =4
94332
2
+
+--m x x ，x ∈[―m ,1―m ]是增函数，
可见254159)1(2
=-+=-m m m f ，解之得m =
2
5或m =2
23-
．其中m =2
23-不合m ＞
2
3的条
件，舍去．可见1―m =1－
2
5=－
2
3．
当2
1-
＜―m ，即m ＜
2
1时,函数)(x f =494332
2+
+--m x x 是[―m ,1―m ]是减函数,可见254
93)(2
=+
+=-m m m f ,解之得m =
2
7或m =2
13-
．其中m =2
7不合m ＜
2
1的条件,舍去,由此
知m =2
13-
． 综上所述,当x =－
2
3或x =2
13时, 函数)(x f 有最大值25．
说明：由点2
1-与区间[―m ,1―m ]的位置关系引起的分类讨论是“形”对“数”的引导作用．本
题中虽然只是求函数取最大值时的自变量x 的值，没有问m 的值，但这个x 值与m 值有直接关系，所以要先求m 再求x ．
7． 一幢k （＞2）层楼的公寓有一部电梯，最多能容纳k －1个人，现有k －1个学生同时在第一层
楼乘电梯，他们中没有两人是住同一层楼的．电梯只能停一次．停在任意选择的一层．而对每一个学生而言，自已往下走一层感到一分不满意，而往上走一层感到2分不满意，问电梯停在哪一层，可使不满意的总分达到最小？
解：设电梯停在第x 层，则不满意的总分为S =（1＋2＋…＋x －2）＋2（1＋2＋…＋k －x ）=1])54(3[21
2
2
++++-k k x k x ,所以当x =)6
54(
+k N 时，S 最小，其中)(a N 表示最接近于a 的
整数．例如,4)6.3(,3)3(==N N 32)5.2(,2)1.2(或==N N ,故当电梯停在)6
54(+k N 时，不满意
总分最小．
三．利用二次函数的性质
8． 已知方程)1()1(2
22x a ax -=+，其中a ＞1，证明：方程的正根比1小，负根比 －1大． 证明：原方程整理后，得2
2
2
122a ax x a -++=0，令)(x f =2
2
2
122a ax x a -++，则)(x f 是开口向上的抛物线，且01)0(2
<-=a f ，故此二次函数)(x f =0有一个正根，一个负根．要证明正根比1小，只须证0)1(>f ，要证明负根比 －1大，只须证)1(-f ＞0．因为
)1(122)1(0
)
1(122)1(2
2
2
2
2
2
>-=-+-=->+=-++=a a
a a f a a
a a
f 从而命题得证．
9． 若抛物线22
++=ax x y 与连接两点M （0，1），N （2，3）的线段（包括M 、N 两点）有
两个相异的交点，求a 的取值范围．
解：易知过两点（0，1）、（2，3）的直线方程为1+=x y ，而抛物线22
++=ax x y 与线段MN 有两个交点就是方程22
++ax x 1+=x 在区间[0，2]上有两个有两个不等的实根．令
1)1()(2
+-+=x a x
x f ．则 ?????≥+=≥=>--=?<-<0
32)2(,01)0(0
4)1(,22
102
a f f a a 解得a 的范围为23-≤a ≤－1． 说明：利用二次函数来研究一元二次方程的根的分布是非常有效的手段．
10． 设}31|{<<=x x A ，又设X 是关于x 的不等式组???≤+-≤+-0
520
222bx x a x x 的解集，试确定b a ,的取
值范围，使得X A ?．
分析：本题以二次曲线为背景，它的通法是先求不等式组的解集X ，然后再来考虑A 与X 的包含关系，则必然导致浩繁的讨论，但如果由数想形，构造函数，就可简捷获解．
解：设2
2
2
2
2
)5()(52)(),1()1(2)(b b x bx x x g a x a x x x f -+-=+-=-+-=+-=．要使
X A ?时，则必使)(),(x g x f 在[1，3]上的函数图象落在x 轴下方，即30)3(0
)1(-≤???
?≤≤a f f ；30
)3(0
)1(≥???
?≤≤b g g ☆ 设一元二次方程)0( 02
≠=++a c bx ax
的两个实根为21,x x ，且21x x ≤
结论1．???>>0021x x ?????
????
>=?>-=+≥-=?? 00
042
1212a c x x a b x x ac b ,??
?>>0021x x ???????<>=>≥-=?? 0 0)0( 0042b c f a ac b 或???????><<≥-=?
0 0 00
42
b c a ac b
结论2．???<<0021x x ????
?
????
>=?<-=+≥-=?? 00
042
1212a c x x a b x x ac b ,??
?<<0021x x ???????>>=>≥-=?? 0 0)0( 0042b c f a ac b 或???????><<≥-=?
0 0 00
42
b c a ac b
结论3．1x ＜0＜2x 0)0(
b c 且；1x ＜0, 2x ＝000>=?a
b c 且
☆ 设一元二次方程)0( 02
≠=++a c bx ax
的两个实根为21,x x ，且21x x ≤，k 为实常数．
结论1．k ＜1x ≤2x ???????>->≥-=?? 2 0)(042k a b k af ac b ； 结论2．1x ≤2x ＜k ???
?
???<->≥-=?? 2 0)(042
k a b
k af ac b
结论3．1x ＜k ＜2x 0)(
结论5．??
?
??
<>><<<>>?<<≤<<0
)(,0)(0)(,0)(0 0)(,0)(0)(,0)(021*******
21211p f p f k f k f a p f p f k f k f a p x p k x k 或
结论6．?
??
?
?
??
<-<<<
???
?
??
<-<>>>≥-=??<≤<212121212
221120)(,0)(020)(,0)(004k a b
k k f k f a or
k a b
k k f k f a ac b k x x k 11． 设1x ≥2x ≥3x ≥4x ≥2，且2x ＋3x ＋4x ≥1x ，证明：43212
43214)(x x x x x x x x ≤+++ 证明：令a ＝2x ＋3x ＋4x ,432x x x b =,则原不等式为b x a x 12
14)(≤+,即
2
12
1)2(2a x b a x +-+=0，令)(x f =2
2
)2(2a x b a x
+-+,则只需证明)(1x f ≤0．因
)(164)2(42
2a b b a b a -=--=?，而
4
24
33
24
324
32111x x x x x x x x x x x x b
a +
+
=
++=
≤
14
34
14
14
1<=++，所以a b >,从而?＞0，)(x f 与x 轴有两个不同的交点．易知这两个交点为
)
(22)(22a b b a b v a b b a b u -+-=---=，下证1x ∈[v u ,]． ,331a x a ≤≤],3
[
1a a x ∈∴，只需证
[
a a ,3
]?[v u ,],即v a a u ≤≤
,3
,由于a a b a b b a b v ≥-≥-+-=2)(22，
3
)
313
4()
1()
(
)
()(222
2
2
2
a a a
b a b a a
b b a a b b a b b a b u =
+
≤-+
=--
=--=---=所以1x ∈[v u ,]，从而必有)(1x f ≤0． 解法二：只需证明)(1x f ≤0，而
a x a ≤≤13
，因此只需证0)3
(
,0)(≤≤a f a f 而)(4)(b a a a f -=，
)34(9
4)3(b a a a f -=
，由
4
3≤
b a 可证得0)3
(,0)(≤≤a
f a f
说明：通过构造二次函数，然后利用二次函数的性质来证明一些不等式问题，往往会使问题简化．
12． 在边长为10的正三角形ABC 中，以如图所示的方式内接两个正方形
（甲、乙两个正方形有一边相重叠，都有一边落在BC 上，甲有一顶点在AB 上，乙有一顶点在AC 上），试求这样内接的两个正方形面积和的最小值． 解：设甲、乙两正方形的边长分别为y x ,，易知BC 边上的四条线段之和
为： 10)3
31()3
31(=+++y x ，记k =+
331，则x k
y -=
10，设两正方形面积之和为S ，则有2
2
2
2
50)5(2)
10(
k
k
x x k
x S +-=-+=，当y k
x =-=
=
)33(2
55时，
S 取得最小值，其最小值是2
2
2
min )33(2
25)
33(45050-=
+
=
=
k
S ．
13． 定义在R 上的奇函数)(x f ，当x ≥0时，)(x f =－x x 22
+．另一个函数y =)(x g 的定义域为
[a ,b ],值域为[
a
b 1
,1],其中a ≠b ,a 、b ≠0．在x ∈[a ,b ]上, )(x f =)(x g ．问:是否存在实数m ,使集合{}|),{(]},[),(|),(2
m x y y x b a x x g y y x +=∈= 恰含有两个元素?
分析：{m x y y x +=2
|),(}是以y 轴为对称轴由y =2
x 的图象平移所形成的抛物线系．对给定的m 它表示一条抛物线，条件}|),{(],[),(|),(2
m x y y x b a x x g y y x +=∈= 恰含有两个元素的意思是函数y =)(x g ，x ∈[a ,b ]的图象与抛物线m x y +=2
恰有两个交点．首先要弄清楚y =)(x g ，
x ∈[a ,b ]，进而作出它的图象．
容易求出奇函数y =)(x f 在x ＜0时的解析式是)(x f =x x
22
+．即 )(x f =?
??<+≥+-)0( 2)
0( 222x x x x x x
函数y =)(x g 的定义域为[a ,b ],值域为[a
b 1
,1],其中a ≠b ,a 、b ≠0，这表明
???
- 2017二次函数教材分析 浙教版.doc
- 二次函数教材分析终稿
- 二次函数教材分析
- 二次函数单元备课(完整资料).doc
- 九年级数学(说课稿)二次函数
- [初中数学]二次函数复习说课稿1 人教版
- 初中数学_二次函数教学设计学情分析教材分析课后反思
- 初中数学_二次函数教学设计学情分析教材分析课后反思
- 最新人教版初中九年级上册数学《二次函数》说课稿
- (完整word版)九年级二次函数教材分析
- 二次函数的教材分析
- 二次函数说课稿-人教版优教案
- 初中数学_第五章 二次函数 复习课教学设计学情分析教材分析课后反思
- 教师招聘考试：初中数学优秀说课稿《二次函数》
- 第二十二章二次函数学情与教材分析
- 二次函数教材分析.doc
- 二次函数的教材分析
- 二次函数教材分析
- 第22章二次函数单元教学计划
- 二次函数教材分析 浙教版