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级数敛散性总结

摘要

级数理论是数学分析的重要组成部分，研究级数对于深入探讨数学分析问题有着深远的意义。级数理论中最重要的问题和学者研究最多的问题则是关于级数收敛与发散的问题。级数的收敛与发散性质更是级数存在当中的最基本的立足点。

基于级数发散和收敛的问题，本文对级数进行了比较详细和系统的介绍，并在级数收敛性方面进行了较为详细的概括，包括级数的分类和收敛性的总结和应用。本文第一个部分首先对常见的级数：常数项级数、正项级数、交错级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数，进行了大概的介绍，并从常见级数的定义、常见级数的分类、级数收敛发散的充要条件和对应级数常用的收敛判别方法进行详细的分析概括。

本文的第二个部分针对具体的级数收敛方法，从方法的定义和方法的具体例子应用两个方面对其进行较为全面的介绍和分析，其中包括：判别级数发散与收敛的简单方法、比较判别法、比值判别法、高斯判别法、达朗贝尔判别法、对数判别法、积分判别法、拉贝判别法、柯西判别法。

最后，本文第三部分通过整理级数散敛性判断的方法，对本文进行一个综合的概括，主要从基于级数类型的方法和基于通项特征的方法两个方面总结了解答收敛性问题的分析思路和如何更快的寻找有效的方法。

关键词：级数敛散性方法

Abstract

Progression theory is an important part of the mathematical analysis. The study of series is of profound significance for further discussing mathematical analysis problems. Series convergence and divergence problem is the most important question in progression theory that many researchers research on. For the analysis, series convergence and series divergence is of the basic foothold existing in mathematical analysis.

Firstly, based on the series convergence and series divergence, this thesis gives a detailed and systematical introduction to series, and a more detailed summary of series convergence, including the classification of series, application of convergence. Firstly, this paper has a general introduction to common series, including constant series, series of positive term, staggered series, series with function terms, power series, fourier series. Besides, the paper has detailed analysis and summary of the definition of common series, the classification of common series, and the sufficient and necessary conditions for the convergence series, together with the commonly used identification methods of corresponding series.

And then the second part of this article has a comprehensive introduction and analysis of the method’s definition and specific examples application of the method, including: simple method distinguishing the divergence of a series , comparative method, ratio method, Gauss method, D'Alembert discriminant method, Logarithmic method, integral method, Rabe method, and Cauchy method.

Finally, the third part of this paper made a comprehensive summary through sorting out identifying methods of series convergence and divergence. Based on the types of series and the methods of general term characteristics, this paper summarized the analysis mentality and effective ways of solutions to convergence problem.

Key words: Series Convergence Mathod

第一章引言

级数理论是数学分析的重要组成部分，与极限理论有密切的联系，它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。

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第二章级数基本概念

2.1 级数的定义

其定义如下：设,1,2,3n u R n ∈= ，记所有无限项加起来的和为

1231

n n u

u u u a ∞

==+++++∑

而1

n n u ∞

=∑则称为级数。

注：数项级数或无穷级数也常简称级数。

2.2 级数的分类

级数的种类繁多，并没有很详细的分类标准，本文考虑从通项的内容来看，主要分成两大类：数项级数和函数项级数。数项级数：通项没有含有函数的的级数。等比级数：（又称几何级数）形如

234u uq uq uq uq ++++++

其中0q ≠ ，称为等比级数。

调和级数：形如

1111

1234n

++++++ 称为等比级数。

正项级数：若数项级数的各项的符号都相同，则称为同号级数。对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数——称为正项级数。

交错级数:若级数的各项符号正负相间，即：

()

()1

123410,1,2,3n n n u u u u u u n +-+-++-+ >=

称为交错级数。

第二章级数基本概念

一般项级数：没有以上特点的数项级数。

函数项级数：如果级数的每一项依赖于一个连续变量x ，()n n u u x =,x 在一个区a x b <<上变化，这个级数就成为一个函数项级数，简称函数级数，记为1n n u ∞

=∑。

幂级数：有幂级数列(){

}

n u x x -所产生的函数项级数，即形如

()()()()200102000

n n

n n n u x x u u x x u x x u x x ∞

=-=+-+-++-+∑

的级数成为幂级数。

傅立叶级数：一般地说，若()f x 是以2π为周期且在[],ππ-上可积的函数，以()f x 的傅立叶系数的三角级数

()()01

cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞

==++∑

称为()f x 的傅立叶级数，其中

()1

cos ,0,1,2,,n a f x nxdx n π

ππ

==? ()1

sin ,1,2,3,,n b f x nxdx n π

ππ

称为傅立叶系数。

泰勒级数：设函数()f x 在点的某一邻域内具有直到1n +阶导数，则形如

()()()0

n n

n f x x a n ∞

=-∑

称为泰勒级数。

Laurent 级数：如果函数()f x 在环形域12R x a R <-<解析，则可以展开为

()()n

n n f x c x a +∞

+-∞

-∑

其中

()()()1

0,1,2,2n n k f c d n i a ξξπξ+= =±±-?

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称为Laurent 系数，K 是环形域内包围a 在其内部的任意简单封闭曲线。称

()()n

n n f x c x a +∞

+-∞

-∑

是()f x 在环形域12R x a R <-<的Laurent 级数。

2.3 级数收敛发散的充要条件

一般收敛：级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列n s 的敛散性来定义的。因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则（宋国柱，2004）：1n n u ∞

=∑收敛等

价于任意给定正数ε，必有自然数N ，当n N >，对一切自然数p ，有

123n n n n p u u u u ε++++++++<

即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。

绝对收敛：设{}n a 是实数列，如果级数1

n n a ∞

=∑收敛，则级数1

n n a ∞

=∑收敛；

条件收敛：如果级数1

n n a ∞=∑收敛，但级数1

n n a ∞=∑发散，则说级数1

n n a ∞

=∑条件

收敛；

一致收敛：设函数项级数()1n n f z ∞

=∑在区域D 中收敛于函数()S z ，若

ε?>0，?N ，使得当n N >时，()()()()1

n n

k i S S z z f z S z ε=-=

-<∑对一切z D

∈同时成立，则说()1

n n f z ∞

=∑在D 一致收敛于()S z 。

第二章级数基本概念

2.4 常见级数对应的收敛定理

2.4.1 常数项级数

1. 当lim n n S S →∞

=存在，则收敛；

2. Cauchy 准则：级数1

n n u ∞

→∑收敛的充分和必要条件是ε?>0，?N ,使得

当n N >时，12n p n n n n p S S u u u ε++++-=+++< 对一切自然数p 成立。

3. 无穷级数：收敛的必要条件：若级数1

n n u ∞

=∑收敛，则lim 0n n u →∞

2．4.2 正项级数

1. 正项级数1n n u ∞

→∑收敛的充分条件是它的部分序列和有上界；

2. 比较判别法：设()0,1,2,3n n u v n ≤≤= ，则 (1)若1n n v ∞

=∑收敛，则1n n u ∞

=∑也收敛；

(2)若1

n n v ∞

=∑发散，则1

n n u ∞

=∑也发散；

3. 比值判别法：设1

n n v ∞=∑和1

n n u ∞

=∑是两个正项级数，且lim

x n

u v ρ→∞= (1)若0l <<+∞，则级数1

n n v ∞

=∑和1

n n u ∞

=∑ 同时收敛或同时发散；

(2)若0l =，级数1

n n v ∞=∑收敛，则1

n n u ∞

=∑也收敛；

(3)若l =+∞，级数1

n n v ∞=∑发散，则1

n n u ∞

=∑也发散。

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4. Cauchy 判别法（根值判别法）：设1

n n u ∞

=∑

是正项级数，n ρ=

(1)则当1ρ<时，级数1

n n u ∞

=∑ 收敛；

(2) 则当1ρ>时，级数1n n u ∞

=∑ 发散；

(3) 则当1ρ=时，级数1

n n u ∞

=∑ 可能收敛也可能发散。

5. 对数判别法：若对任意的N ∈N ，当n N >时有

1ln n

a q n ≥>，则1

n n u ∞

=∑收敛；若有

1ln n

a n ≤，则1

n n u ∞

=∑发散。 6. 积分判别法：设()f x 是[)1,+∞上非负下降函数，则

()()1

n n n u f n f x dx ∞

∞

==??→=←??∑∑?收敛。 2.4.3 交错级数

1. Leibniz 判别法：设0n u >，1(1,2)n n u u n +>= 且lim 0n n u →∞

=，则交错级数

(1)

n n n u -∞

=-∑收敛且余和的绝对值

11(1)

N n n n N r u u ∞

+=+=

-≤∑

2. Cauchy 定理：若级数1

n n v ∞

=∑和1

n n u ∞

=∑ 都绝对收敛，其和分别为S 和δ，则

它们的乘积

()()1111221121111

n k n n n n k u

v u v u v u v u v u v u v ∞++-===+++++++∑∑

第二章级数基本概念

也是绝对收敛，且和为S δ

。 2.4.4 函数项级数

1. Cauchy 准则：函数项级数()1n n f z ∞

=∑在D 一致收敛于()S z 的充分且必要条

件是： ε?>0，?N ，使得当n N >时，()()()1

n p p

n n k k S S z z f z ε++=-=

<∑对一切

z D ∈及一切自然数P 同时成立。

2. weierstass 判别法：设在集合G 上()()1,2n n f z a n ≤= ，且1

n n a ∞

=∑收敛，

则()1

n n f z ∞

=∑在G 上一致收敛。

2.4.5 幂级数

1. Abel 定理：若1()n n n c z a ∞

=-∑在()11z z a ≠收敛，则当1z a z a -<-时，级

数1()n

n n c z a ∞=-∑绝对收敛，若1

()n n n c z a ∞

=-∑在2z 处发散，则当2z a z a ->-时，级

数1

()n n n c z a ∞

=-∑发散。

(1)幂级数在其收敛圆是内闭一致收敛的。

(2)比值法：若1

lim n n n

c c λ+→∞=，则幂级数1()n n n c z a ∞

=-∑的收敛半径1R λ=，这里，

当0λ=时，R =+∞，当λ=+∞时，0R =。

(3)

根值法：n υ=，则级数1

()n n n c z a ∞

=-∑的收敛半径1

R υ

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2.4.6 傅立叶级数

1. 狄尼判别法：设()f x 连续或者至多有第一类间断点，记

()()

002

f x f x s ++-=

()()2f x u f x u s ?=++--

若存在0δ>，使()

u du u

存在，则

()01

cos sin 2n n n a a nx b nx s ∞

=++=∑ 2. Lipschitz 判别法设()f x 在点x 满足Lipa 条件，即对充分小的u 有

()()f x u f x Mu α±-≤（,M α为常数，01α<<），则

()()01

cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞

==++∑

3. 狄里希莱-约当判别法若()f x 在[],x h x h -+上囿变，则在点x

()()()0100cos sin 22

n n n f x f x a a nx b nx ∞

=++-++=

∑ 4. 弗耶定理设()f x 是周期为2π的连续函数，()n S x 为()f x 傅立叶级数的部分和，()()()()()0111

n n x S x S x S x n

σ-=+++ ，则在(),-∞+∞上()n x σ一致收敛于()f x 。

5. 威尔斯托拉斯逼近定理设()[],a b f t C ∈，周期为2π，则存在三角多项式列()t T t 一致收敛于()f t 。

第三章级数敛散性判别法

3.1 判别级数发散的简单方法

（注：面对一道通项有规律的判定收敛性的题时，最初的想法应该从定义下手）

定义：如果级数1

n n u ∞

=∑ 的部分和数列{}n S 有极限，则1

n n u ∞

=∑收敛，反之发散。

例题l 判别级数(

)11

1n n n ∞

=+∑的散敛性。

解：因为

n u n n =

-+ 故级数的部分和

()1111

111111111

112233411

n n n S n n n

n N N N ==??==- ?

++?????????? =-+-+-++- ? ? ? ?+????????

+∑∑ ，

又因为

1lim lim 111n n n S n →∞→∞

?=-= ?+??

所以，原级数收敛。

例题2 判别级数21

n n +∞

=∑的散敛性解：因为

()2122111111122,11N N

n n n N n n n n n N +∞

===??≤+=+-=-≤?∈N ?--??∑∑∑ 所以级数21

n n +∞

=∑收敛。

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例题3

判别级数1

n +∞

=是否收敛。解：因为

n N N =≥=?∈N

所以级数n +∞

= 3.2 比较判别法

3.2.1 定理及其极限形式

为了考查一个正项级数的散敛性，常用另一个已知是收敛的或者已知是发散的正项级数来与之作比较（可见比较判别法只用于正项级数）。

在此先引入几个常用来做比较的级数：几何级数、调和级数、P 级数。等比级数：（几何级数）判别法：级数20(0)

n n n uq u uq uq uq u ∞

==+++++≠∑ 叫做等比级数，下面讨论该级数的散敛性。解：（1）如果1q ≠，则部分和

n n u uq S u uq uq uq

--=++++=- 当1q <时，由于lim 0n n q →∞=，所以lim 1n n u

S q →∞=-，因此级数0

n n uq ∞

=∑ 收敛，其

和为

-；当1q >时，由于lim n n q →∞

=∞，所以lim n n S →∞

=∞，因此级数0n n uq ∞

=∑级数0

n n uq ∞

=∑发

散。

（2）如果1q =，则有

第三章级数敛散性判别法

当1q =时，n S nu =，从而lim n n S →∞

=∞，所以级数0

n n uq ∞

=∑发散；

当1q =-时，n S u u u u =-+-+ ，所以有20n S =，21n S u +=从而lim n n S →∞

不存

在，所以级数0

n n uq ∞

=∑发散；

由上可知:当1q <时，等比级数0

n uq ∞=∑收敛；而当1q ≥，等比级数0

n n uq ∞

=∑发

散。

调和级数：级数1111

1234n

++++++ 称为调和级数，试讨论该级数的散敛

性。

解：令()ln f x x =，由拉格朗日中值定理可知，存在(),1N N ξ∈+。使得

()'ln 1ln ln (1)N N

N N

ξ+-=+-

即

()11

ln 1ln ()N N N N

+-=

为整数所以有

1ln 2ln11

2ln 3ln 221

3ln 4ln 33

ln 2ln1N N N N n n

= -<= -<

= -< = -<

时，时，时，时，,

将上面所有式子的两端分别相加得

()111ln 1123n n

+<+

+++ 其中 111

123n

++++ 为调和级数的部分和n S

因为

()lim lim ln 1n n n S n →∞

→∞

=+=+∞

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所以,调和级数11

n n

∞

=∑发散。.

P 级数：级数)0(1

1>∑

∞

=p n

n p

称为P 级数,试讨论该级数的散敛性. 解:(1)当1p ≤时,这时级数的各项都不小于把调和级数的对应项,即

11p n n

≥ 由前面可知调和级数11

n n

∞

=∑发散,由比较判别法可知该级数发散.

(2)当1p <时,把P 级数写成

()()

213111

111111112345678151

111111112

24444881111222p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ---??????++++++++++ ? ? ???????

??????<++++++++++ ? ? ???????=++++

而()

()

21311

11112

p p p ---+

+ 是一个等比级数,且1p >,其公比1

112

p q -=

<,于是

级数1

p n ∞-=∑

收敛,由比较判别法可知,P 级数收敛.

综上所述,当01p <<时,P 级数收敛;当1p >时,P 级数发散. 在介绍几个常用来比较的级数后,接着介绍比较判别法比较判别法定义：设1

n n u ∞

=∑和1

n n v ∞

=∑是正项级数，则

(1) 如果1

n n v ∞

=∑收敛，并且存在0c ≥和0n ∈N ，使得0,n n u cv n n ≤?≥，那

么级数1

n n u ∞

=∑也收敛；

(2) 如果1

n n v ∞

=∑发散，并且存在0c >和0n ∈N ，使得0,n n u cv n n ≥?≥，那么

第三章级数敛散性判别法

级数1

n n u ∞

=∑也发散。

证明：(1)对于0000

1111

n n n N N N N

n n n n n n n n n n n n n n n n u u u u c v u c v ---========+≤+≤+∑∑∑∑∑∑∑，因

为1N n n v =??????∑有上界，所以1N n n u =??

????

∑也有上界。 (2)反证法：对于01

,n n v u n n c ≤?≥，如果级数1

n n u ∞

=∑收敛，那么根据上面的

结论，级数1

n n v ∞

=∑也应该收敛，但这与题设所矛盾。所以1

n n u ∞

=∑是发散级数。

例题1 设()0,x π∈，试判断级数21

sin

n x

∞

=∑的散敛性。解：由题意得

sin

,2x x

n n n ≤?≥ 因为级数211n n ∞

=∑收敛，所以级数21

sin n x

n ∞

=∑ 也收敛。

例题2

试判断级数1

n ∞

=的散敛性。解：容易知道

12n ≥=?∈N ，

因为级数n ∞

n ∞

=发散推论：设1

n n u ∞

=∑和1

n n v ∞

=∑是正项级数，并且设极限lim

,(0)n

u v γγ=≤≤+∞存在，则有：

(1)如果级数1

n n v ∞

=∑收敛，γ<+∞，那么级数1

n n u ∞

=∑也收敛，

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(2)如果级数1

n n v ∞=∑发散，0γ>，那么级数1

n n u ∞

=∑也发散。

证明：（1）对于取定的0ε>，存在0n ∈N ，使得只要0n n ≥，就有n

u v γε<+，也就是

()0,n n u v n n γε<+?≥

（2）对于取定的()0,εγ∈，存在0n ∈N ，使得只要0n n ≥，就有

u v γε>-，也就是 ()0,n n u v n n γε>-?≥

例题3 设()0,x π∈，试判断级数11cos n x n ∞

?- ??

?∑的散敛性。

解：容易知道

1cos lim

12n x

x n n →∞

-= 因为级数211n n ∞

=∑收敛，所以级数11cos n x n ∞

?- ??

?∑ 收敛。

例题4 试判断级数1

ln(1)n n ∞

=+∑的散敛性。

解：容易知道

()11lim 1lim ln 1N

N N n N n →∞→∞=??

+=+=+∞ ??

?∑ 因为级数11n n ∞

=∑发散，所以级数1

ln(1)n n ∞

=+∑发散。

第三章级数敛散性判别法

3.2.2 比值判别法

运用比较判别法来解决级数散敛性问题是一种广泛应用的方法，但前提是需要找到一个能用来做比较的级数，要找到一个合适的级数并不容易，所以很多时候就要用到以下的比值判别法：

设有正项级数1

n n u ∞

=∑，如果1

lim

n n n

u u ρ+→∞=，则

（1）当1ρ<时，级数1n n u ∞

=∑收敛；

（2）当1ρ>时，级数1n n u ∞

=∑发散；

（3）当1ρ=时，级数1

n n u ∞

=∑可能收敛也可能发散。

例题5 试判别级数1

3tan

n n

n π

∞

=∑的散敛性。

解：因为

1113tan

34lim

lim

143tan

4n n n n n n n n

u u π

π+++→∞→∞==< 故根据比值判别法可知，原级数1

3tan

4n n

n π

∞

=∑收敛。

例题6 试判别级数2

1n n

∞

=+∑的散敛性。解：因为

()2

122

111lim lim lim 11221n n n n n

n u n u n n n +→∞→∞→∞+++===+++

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因此，比值判别法失效，但221101n n <<+，而级数211

n n

∞

=∑是收敛的，可以根据比较判别法可知，原级数21

1n n ∞

=+∑

也收敛。 3.2.3 活用比较判别法

当所求级数的通项中出现关于n 的有理式时，比较对象常常选择P 级数或者调和级数。

例题7 试判别级数()

1n n n ∞

=+∑的散敛性。

解：因为

()211

1n n n

<+ 又由于2

11n n ∞

=∑收敛，则由比较判别法可知，级数()

1n n n ∞

=+∑也收敛。

例题8 试判别级数41

2n n n ∞

=+∑的散敛性。解：因为

4443

121222n n n n n n n n ++≤==，又由于311n n ∞

=∑收敛，则根据比较判别法可知，原级数41

2n n n ∞

=+∑也收敛。

例题9 试判别级数2

n n n n ∞

=+--∑的散敛性。

解：因为

22211222525

n n n n n n n n n +=<≤----

又有级数11n n ∞

=∑发散，根据比较判别法可知，原级数21

25n n n n ∞

=+--∑也是发散的。

第三章级数敛散性判别法

例题10 试判别级数1

2sin

n n

n π

∞

=∑的散敛性。

解：考虑到当0x >时，sin x x <，则

2sin ,2sin 233333n

n n n n n n ππππ

π??

<<= ???

而123n

n π∞

=??

???

∑是公比213q =<的收敛级数，故根据比较判别法可知，原级数

2sin

3n n

n π

∞

=∑收敛。

例题11 试判别级数221

ln n n n ∞

=+∑的散敛性。

解：由于

2222111ln ln 1n n n n +?

?=+≤

???

而2

n n

∞

=∑

是收敛的级数，所以原级数收敛。 3.3 柯西判别法

柯西根式判别法（普通形式）设级数1n n u ∞

=∑是正项级数，

(1)如果存在1r <和N ∈N

,r n N

n n u ∞

=∑收敛。

(2)如果对无穷个n

1≥，那么级数1

n n u ∞

=∑发散。

柯西根式判别法（极限形式）设1

n n u ∞

=∑是正项级数。

并设存在极限q =，

则有

(1)如果1q <，那么级数1n n u ∞

=∑收敛，

广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结

(2)如果1q >，那么级数1

n n u ∞

=∑发散。

证明：（1）对于取定的()0,1q ε∈-，存在N ∈N ，

1,q n N ε+

1,q n N ε>-

例题1 判别级数121n

n n n ∞

=?? ?+??∑的散敛性。

解：由于

1lim 1212n n n n n →∞===<+ 根据柯西判别法可知，级数121n

n n n ∞

=??

?+?

?∑收敛。

例题2 试判断级数ln 1

23n

n n ∞

=∑的散敛性。

解：由于

ln 0

22lim lim 2133n n n n n →∞====> 根据柯西判别法可知，级数ln 1

23n

n n ∞

=∑发散。

3.4达朗贝尔判别法

达朗贝尔判别法（普通形式）设1n n u ∞

=∑是严格的正项级数。

(1)如果存在1r <和0n ∈N 使得1

0,n n u r n n u +≤?≥，那么级数1n n u ∞

=∑收敛。 (2)如果存在0n ∈N 使得1

01,n n u n n u +≥?≥，那么级数1

n n u ∞

=∑收敛。达朗贝尔判别法（极限形式）设1

n n u ∞

=∑是严格的正项级数。并存在极限

正项级数敛散性地判别方法

正项级数敛散性的判别方法摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =，可得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法定理一（比较判别法的极限形式）：设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是（1）若0l <<+∞，则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。（2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。

数项级数敛散性判别法。(总结)

华北水利水电学院数项级数敛散性判别法。（总结）课程名称：高等数学（下）专业班级：成员组成联系方式： 2012年5月18日

摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。

正项级数敛散性的判断及其应用

正项级数敛散性的判断及其应用摘要级数是高等数学教学中的一个重要内容，而正项级数又是级数的重要组成部分,敛散性问题级数理论的一个基本问题，判别正项级数敛散性的方法很多.本文总结了正项级数的各种敛散性判别法,主要有比较判别法及其推广、积分判别法及其推广、导数判别法和一般项级数敛散性判别法;简单介绍了它们强弱性关系,给出了典型例题验证上述判别法的有效性. 关键词正项级数；判别法；敛散性 The Convergence Tests and Application for Series of Positive Terms ! Abstract Higher Mathematics series is an important part of teaching, The series of positive terms is an important series Part, Positive identification of Convergence and Divergence of many paper has summarized a variety of convergence judge methods for positive terms series, including comparison principle and its extension, integrated judge method and its extension, derivate judge method and judge methods of general series, some famous tests such as Cauchy Test, D’Alembert Test, Kummer Test and Gauss Test come from Comparison principle; given a brief introduction of their week and strong relationship of convergence, set examples for identifying the effectiveness of these judge methods. Key words positive terms series; judge methods; convergence

考研数学数项级数敛散性判定解题思路总结

2016考研数学数项级数敛散性判定解题思路总结数项级数敛散性判定是考研数学一数三考试的重点题型，而且是考试的难点，为了便于同学们解题，文都考研高端数学老师帮大家总结了此种题型的解题思路和常用结论，希望对大家的学习有帮助。 1.解题思路若有两个收敛，则第三个收敛; 若其中一个收敛，另一个发散，则第三个发散;

若有两个发散，则第三个敛散性不确定; 若有两个绝对收敛，则第三个绝对收敛; 若其中一个绝对收敛，另一个条件收敛，则第三个条件收敛; 若有两个条件收敛，则第三个收敛，但不能判断它是绝对收敛还是条件收敛。

1.林黛玉：三生石畔，灵河岸边，甘露延未绝，得汝日日倾泽。离恨天外，芙蓉潇湘，稿焚情不断，报汝夜夜苦泪。 2.薛宝钗：原以为金玉良缘已成，只待良辰，奈何君只念木石前盟，纵然艳冠群芳牡丹姿，一心只怜芙蓉雪。 3.贾元春：贤孝才德，雍容大度，一朝宫墙春不再，一夕省亲泪婆娑。昙花瞬息，红颜无罪，到底无常。 4.贾探春：虽为女流，大将之风，文采诗华，见之荡俗。诗社杏花蕉下客，末世悲剧挽狂澜，抱负未展已远嫁。 5.史湘云：醉酒卧石，坦荡若英豪，私情若风絮，嫁与夫婿博长安，终是烟销和云散，海棠花眠乐中悲。 6.妙玉：剔透玲珑心，奈何落泥淖，青灯古佛苦修行，高洁厌俗袅亭亭。可惜不测之风云，玉碎冰裂，不瓦全。 7.贾迎春：沉默良善，见之可亲，深宅冷暖，累遭人欺，腹中无诗情风骚，膺内缺气概魄力。空得金黄迎春名，可怜一载赴黄泉。 8.贾惜春：高墙白曼陀，冷水伴空门。孤寒寂立一如霜，如何能得自全法？狠心舍弃近身人。侯门金簪冰雪埋，海灯僻冷长弃世。 9.王熙凤：毒酒甘醇，罂粟灿艳，锦绣华衣桃花眼，眼明刀锋吊梢眉。何幸七窍玲珑心，只惜冷硬霜凝集。千机算尽，反误性命。

任意项级数敛散性判断练习及答案

任意项级数敛散性判断下列级数是否收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛 1、 () ∑ ∞ =--1 1 11n n n 2、 ()∑∞=--1131n n n n 3、 () ∑∞=+121sin n n na 4、 ()()011>-∑∞=a na n n n 5、 ∑∞=??? ?? +2ln 1sin n n n π 6、 Λ+-+-+- 332210 3 211032110321 7、 ()()()∑∞=+-+-+11 2 212 12121n n n n n 8、 ()() [] ()01111 >-+-∑∞=-p n n p n n

答解：1、() ∑ ∞ =--1 1 11n n n 取绝对值 ()∑ ∑∞=∞ =-=-1 11 1 1n n n n n >∞ （ 2 1 =p 的p 级数）而原级数是交错级数且： 01lim 1 111==<+=∞ →+n u n n u n n n 由莱布尼兹定理，原级数收敛。所以是条件收敛。 2、()∑∞ =--113 1n n n n 13111lim 313 31lim lim 11<=??? ??+=+=∞→-∞→+∞→n n n u u n n n n n n n

绝对值级数 ()∞<-∑∞ =-113 1n n n n 所以原级数绝对收敛 3、() ∑∞ =+12 1sin n n na ()() 22111sin +≤+n n na () ∑∞ =+1211n n 是p=2 的p 级数。收敛！所以由比较判别法，原级数绝对收敛 4、() ()011>-∑ ∞ =a na n n n ()111lim lim 11<=+=+∞ →+∞→a a n na u u n n n n n a>1 时原级数绝对收敛 0

数项级数的敛散性的练习题及解析

数项级数的敛散性的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1n n U ∞=∑（ D ） A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n ∞=∑收敛选D 2．设 1n n U ∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ） A ． 1n n U ∞=∑ B.()12008n n U ∞=∑ C ．()10.001n n U ∞ =+∑ D ．11n u U ∞=∑ 解： ()12008n n U ∞=∑＝20081n n U ∞=∑ 1 n n U ∞=∑收敛∴由性质()12008n n U ∞ =∑收敛 3．下列级数中一定收敛的是…( A ) A ．21014n n ∞ =-∑ B ．10244n n n n ∞=-∑ C ．101n n n n ∞=?? ?+?? ∑ D +… 解：214n U n =- 0n ≥21n = lim 1n n n U V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ） A ．11n n n ∞=+∑n （－1） B ．()211n n n ∞=-∑ C ．1n n ∞=- D ．()1312n n n ∞=??- ???∑ 解：（ 1 ）n ∞∞=n=1发散（112p =<）（ 2）1 1n n ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C 5．级数() 1 11cos n n k n ∞=??-- ???∑ （k>0）…（ B ） A ．发散 B ．绝对收敛 C ．条件收敛 D ．敛散性与K 相关解：11(1)(1cos )1cos n n n k k n n ∞ ∞-=??--=- ???∑∑

关于数项级数敛散性的判定

关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质（1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1)(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛.

级数敛散性判别方法的归纳

级数敛散性判别方法的归纳（西北师大）摘要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。关键词：级数；收敛；判别；发散一. 级数收敛的概念和基本性质给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。

关于正项级数敛散性的判别法

关于正项级数敛散性的判别法作者: 学号：单位：指导老师摘要：级数是数学分析中的主要内容之一，我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种，柯西（Cauchy ）判别法、达朗贝尔（D'Alembert ）判别法、高斯（Gause ）判别法、莱布尼兹（Leibniz ）判别法、阿贝尔（Abel ）判别法等，对数项级数敛散性判别法进行归纳，使之系统化. 关键词：正项级数；敛散性；判别法 1引言设数项级数 121...++... n n n a a a a ∞ +==+∑的n 项部分和为： 121 ......n n n i i S a a a a ==++++= ∑.若n 项部分和数列为{n S }收敛，即存在一个实数 S ，使lim n x S S →∞ =.则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和，可见无穷级数是否收敛，取决于lim n x S →∞ 是否存在，从而由数列的柯西（Cauchy ）收敛准则，可得到级数的柯西（Cauchy ）收敛准则[1]: 数项级数 1 n n a ∞ =∑收敛? 0,, , N N n N p N ε+ + ?>?∈ ?>?∈对，有 +1+2+ +...+

设数项级数 1 n n a ∞ =∑为正项级数( ) 0n a ≥，则级数的n 项部分和数列{}n S 单调递增，由数列的单调有界定理，有定理2.1：正项级数n 1u n ∞ =∑收敛?它部分和数列{}n S 有上界. 证明：由于,...), 2,1(0u i =>i 所以{n S }是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界（单调有界定理），从而本定理得证 . 由定理2.1可推得定理2.2（比较判别法）：设两个正项级数n 1 u n ∞ =∑和n 1 n v ∞ =∑，且 , n ,N N N ≥?∈?+ 有n n cv u ≤，c 是正常数，则 1）若级数n 1 n v ∞ =∑收敛，则级数n 1 u n ∞ =∑也收敛; 2）若级数n 1 u n ∞ =∑发散，则级数n 1 n v ∞ =∑也发散. 证明：由定理知，去掉，增添或改变级数n 1 u n ∞ =∑的有限项，，则不改变级数n 1 u n ∞ =∑的敛散性.因此，不妨设 , + ∈?N n 有 n n cv u ≤，c 是正常.设级数n 1 n v ∞=∑与n 1 u n ∞ =∑的n 项部分和分部是n B A 和n ，有上述不等式有， n n n n cB v v v c cv cv cv u A =+++=++≤+++=)...(......u u 212121n . 1)若级数n 1 n v ∞ =∑收敛，根据定理1，数列{n B }有上届，从而数列{n A }也有上届，再根据定理1，级数n 1 u n ∞ =∑收敛; 2)若级数n 1 u n ∞ =∑发散，根据定理1，数列{n A }无上届，从而数列{n B }也无上届，

数项级数敛散性的判别法毕业论文

关于数项级数敛散性的判别法摘要：级数是数学分析中的主要内容之一.我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种,如柯西(Cauchy)判别法、达朗贝尔（D ’Alembert ）判别法、拉阿贝(Raabe)判别法、高斯(Gauss)判别法、狄里克莱(Dirichlet)判别法、莱布尼兹(Leibniz)判别法、阿贝尔(Abel)判别法等.对数项级数敛散性判别法进行归纳,使之系统化. 关键词：数项级数; 正项级数 ; 变号级数; 敛散性; 判别法 1 引言设数项级数 ++++=∑∞ =n n n a a a a 211 的n 项部分和为: 12n S a a =++ +1 n n i i a a ==∑ 若n 项部分和数列{} n S 收敛,即存在一个实数S,使 lim n n S S →∞ =. 则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和.可见，无穷级数是否收敛，取决于lim n n S →∞ 是否存在.从而由数列的柯西(Cauchy )收敛准则, 可得到级数的柯西(Cauchy )收敛准则[1]:

数项级数1 n n a ∞ =∑收敛0,N N ε+ ??>?∈,对,n N p N + ?>?∈有 12n n n p a a a ε ++++++<. 2 正项级数敛散性判别法设数项级数1n n a ∞ =∑为正项级数(n a ≥0).则级数的n 项部分和数列{}n S 单调递增,由数列的单调有界公理,有定理2.1[1] 正项级数1n n u ∞ =∑收敛?它的部分和数列{}n S 有上界. 由定理2.1可推得定理2.2 [2] ：设两个正项级数1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑,存在常数c 0 >及正整数N ，当n ＞N 时有 n u ≤c n v ,则（i ）若级数1 n n u ∞=∑收敛，则级数1 n n v ∞ =∑也收敛；（ii ）若级数1 n n u ∞=∑发散，则级数1 n n v ∞ =∑也发散. 一般常及其极限形式: 定理2.2’（比较判别法的极限形式） [2] ：设1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑是两个正项级数且有 lim n n n u v →∞=λ，（i ）若0＜λ＜＋∞，则两个级数同时敛散；（ii ）若 λ＝0，级数1 n n v ∞ =∑收敛，则级数1 n n u ∞ =∑也收敛；（iii ）若 λ＝＋∞，级数1 n n v ∞=∑发散，则级数1 n n u ∞ =∑也发散. 由比较判别法可推得:

正项级数敛散性判别

正项级数敛散性判别 Prepared on 22 November 2020

级数收敛的必要条件如果级数(1)收敛，则其一般项n u 趋于零。二．正项级数敛散性的判别由正数和零构成的级数称为正项级数。比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。比较审敛法如果正项级数∑∞ =1n n v 收敛，且满足),3,2,1( =≤n v u n n ，则 ∑∞ =1 n n u 收敛；如果正项级数∑∞=1 n n v 发散，且满足),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞ =1 n n u 发散；比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数∑∞ =1 n n v 是解题的关键。几何级数∑∞ =-11 n n aq 和p-级数∑∞ =11 n p n 常用来充当比较审敛法中的级数∑∞ =1 n n v 。例１证明级数∑∞ =+122 1 n n 是收敛的。证由于2 22n n >+，所以22121n n <+，而级数∑∞ =121n n 为p=2 的p-级数且收敛，故由比较审敛法，级数∑∞ =+1221 n n 是收敛的。例2 判别下列级数∑∞ =+122 2n n n 的敛散性。分析这是一个典型的例题，通项2 22+n n 是关于n 的一个有理分式。应注意分母和分子中n 的最高幂次之差，通项为关于n 的一个有理分式的级数和相应的p-级数有相同的敛散性。本题中这一差数为１，故应和p=1的p-级数∑∞ =11 n n 做比较。解 n n n n n n n 1 322222222?=++≥+，而级数∑∞=?1)132(n n 与∑∞ =1 1n n 有相同的敛散性，即同时发散，故由比较审敛法，级数∑∞ =+1 222n n n 是收敛的。在例２中，由于级数的通项比较复杂，使得敛散性的判别过程较为复杂，为使比较审敛法的应用更为方便，给出其极限形式。

正项级数敛散性的判别

一、正项级数敛散性的判别设∑∞ =1 n n u 是正项级数，若 0lim ≠∞ →n n u ,则∑∞ =1 n n u 发散。若0lim =∞ →n n u ,则∑∞ =1 n n u 可能收敛也可能发散。可按照下面的思路判别其敛散性。 (1)如果通项n u 包含有n ！之类的因子，或关于n 的若干因子连乘形式，则用比值判别法，即ρ=+→∞ n n n u u 1lim ，则当1<ρ时∑ ∞ =1n n u 收敛，当1>ρ时∑ ∞ =1 n n u 发散。如果n n n u u 1 lim +∞→不易计算，或不存在，或存在为1，则适当放大n u ,使得n n v u ≤，并对∑∞ =1 n n v 应用比值判别法，如果∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛；或者适当缩小n u ，使得0>≥n n v u ，并对应用比值判别法，如果∑∞=1 n n v 发散，则∑∞ =1 n n u 发散。 (2)如果通项n u 包含有n 或关于n 的函数为指数的因子，则用根值判别法，即ρ=∞→n lim n n u ，则当1<ρ时∑∞=1n n u 收敛，当1>ρ时∑∞ =1 n n u 发散。如果n lim n n u →∞ 不易计算，或不存在，或存在为1，则适当放大n u ,使得n n v u ≤，并对∑∞ =1 n n v 应用根值判别法，如果∑∞=1 n n v 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛；或者适当缩小n u ，使得0>≥n n v u ，并对应用根值判别法，如果∑∞=1 n n v 发散，则∑∞ =1 n n u 发散。 (3)当n u 不是以上情形时，寻找∞→n 时n u 的等价无穷小，可利用等价无穷小的常用公式和麦克劳林展开式，得到)0(~ >C n C u n α，等价的通项，两级数应具第八讲常数项级数敛散性的判别

正项级数敛散性判别

正项级数敛散性的判别刘兵军无穷级数是高等数学的重要内容，是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。正项级数在无穷级数中占据了较大的比重，其题型丰富且灵活。本文给出了正项级数敛散性的各种判别方法，通过典型例题的讲解，使学员能以尽快掌握正项级数敛散性的判断问题。一．常数项级数的概念所谓无穷级数就是把无穷多个数按照一定的顺序加起来，所得的和式。对于数列 ,,,,21n u u u ，由此数列构成的表达式 +++++n u u u u 321 叫做无穷级数，简称级数，记为∑∞ =1 n n u ，即 +++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211， (1) 其中第n 项n u 叫做级数(1)的一般项。级数(1)的前n 项的和构成的数列 n n u u u s +++= 21， ,3,2,1=n (2) 称为级数(1)的部分和数列。根据部分和数列可得级数敛散性及和的定义。定义如果级数(1)的部分和数列n s 有极限，即存在常数s ，使得=∞ →n n s lim s ，则称级数(1)收敛，极限s 称为级数(1)的和；否则称级数(1)发散。级数收敛的必要条件如果级数(1)收敛，则其一般项n u 趋于零。二．正项级数敛散性的判别由正数和零构成的级数称为正项级数。比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。比较审敛法如果正项级数∑∞=1n n v 收敛，且满足),3,2,1( =≤n v u n n ，则∑∞ =1n n u 收敛；如果正项级数∑∞=1n n v 发散，且满足),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞ =1n n u 发散；比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数∑∞=1n n v 是解题的关键。几何级数∑∞=-11n n aq 和p-级数∑∞ =11n p n 常用来充当比较审敛法中的级数∑∞=1n n v 。

(完整版)关于数项级数敛散性的判定

关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质（1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1 )(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛.

毕业论文正项级数敛散性

目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1正项级数相关概念 (1) 1.1定义 (1) 1.2收敛的充要条件 (1) 2正项级数敛散性判别法 (2) 2.1判别级数发散的简单方法 (2) 2.2比较判别法 (2) 2.3柯西判别法 (3) 2.4达朗贝尔判别法 (4) 2.5积分判别法 (5) 2.6拉贝判别法 (5) 2.7其他判别法 (6) 3判别方法的比较 (7) 3.1不同方法的比较及应用 (7) 3.2判别正项级数敛散性方法的总结 (8)

致 (8) 参考文献 (8)

正项级数敛散性判别法的比较及其应用数学与应用数学云炳指导教师郭英新摘要：正项级数是级数容中的一种重要级数,它的敛散性是其基本性质.正项级数敛散性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，才能事半功倍. 关键词：正项级数收敛性判别法比较应用 Positive Series Convergence Criterion of Comparison and Its Application Mathematics and Applied Mathematics ZhaoYunbing Tutor GuoYingxin Abstract：Positive series is a series of important theoretical component and its convergence is the core issue of series theory .Although positive series convergence judgment methods more ,there still have to use the skills, summarized convergence of positive series to determine some of the typical method to compare the different characteristics of these methods, summed up the typical positive series, according to the characteristics of different subject analysis to determine to choose suitable methods to judge, to maximize savings in time and increase efficiency. Key words:positive series ; convergence; methods; compare；application 引言级数是数学分析这门学科中的一个重要部分,而正项级数又是级数中最简单从而也是级数中最基本的一种级数.证明级数的敛散性是级数的一种重要性质,解决级数的问题多半要设计到讨论级数的敛散性.由于正项级数在级数中的基础地位,所以讨论正项级数的敛散性是级数的一个基础容,也是一个十分重要的容,故正项级数敛散性判别法在数学分析中有着重要的作用. 1.正项级数相关概念

级数敛散性判别方法的归纳

级数敛散性判别方法的归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

级数敛散性判别方法的归纳（西北师大）摘要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。关键词：级数；收敛；判别；发散一. 级数收敛的概念和基本性质给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数 )(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性

定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。二正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法 1 比较判别法设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有 n n v u ≤，则（i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛；（ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。例 1 . 设∑∞ =1 2 n n a 收敛，证明：∑ ∞ =2 ln n n n n a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞ =1 2 n n a <)ln 1(212 2n n a n +

任意项级数敛散性判断练习及答案

任意项级数敛散性判断下列级数是否收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛 1、 () ∑∞ =--1 1 11n n n 2、 ()∑∞ =--1131n n n n 3、 () ∑∞=+121sin n n na 4、 ()()011>-∑∞=a na n n n 5、 ∑∞=??? ?? +2ln 1sin n n n π 6、 +-+-+- 332210 3 211032110321 7、 ()()()∑∞=+-+-+11 2 212 12121n n n n n 8、 ()() [] ()01111 >-+-∑∞=-p n n p n n }

答解：1、() ∑ ∞ =--1 1 11n n n 取绝对值 ()∑ ∑∞=∞ =-=-1 11 1 1n n n n n >∞ （ 2 1 =p 的p 级数）而原级数是交错级数且： 01lim 1 111==<+=∞ →+n u n n u n n n ~ 由莱布尼兹定理，原级数收敛。所以是条件收敛。 2、()∑∞ =--113 1n n n n 13111lim 313 31lim lim 11<=??? ??+=+=∞→-∞→+∞→n n n u u n n n n n n n

绝对值级数 ()∞<-∑∞ =-113 1n n n n 所以原级数绝对收敛 3、() ∑∞ =+12 1sin n n na # ()() 2 211 1sin +≤+n n na () ∑∞ =+1211n n 是p=2 的p 级数。收敛！所以由比较判别法，原级数绝对收敛 4、() ()011>-∑ ∞ =a na n n n ()111lim lim 11<=+=+∞ →+∞→a a n na u u n n n n n a>1 时原级数绝对收敛

级数敛散性判别方法的归纳

＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。二正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法 1 比较判别法设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有 n n v u ≤，则（i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛；（ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。例 1 . 设∑∞ =1 2 n n a 收敛，证明：∑ ∞ =2 ln n n n n a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞ =1 2 n n a <)ln 1(212 2n n a n + 易知：∑∞ =22ln 1n n n 收敛（积分判别法），又∑∞=22n n a 收敛，所以)ln 1 212 2 2 n n a n n +∑∞ =（收敛。由比较判别法知∑ ∞ =2ln n n n n a 收敛（n a >0）. 例 2 . 证明：级数)0(sin )1(1 ≠?-∑∞ =x n x n 都是条件收敛的。证：不妨设x>0,则?x N >0，当n>x N 时，0< n x <2π,此时0sin >n x ,且{n x sin }

级数敛散性总结

正项级数敛散性地判别方法

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