洛伦兹力问题的多解性
洛伦兹力问题的多解性
安徽省灵璧县黄湾中学（234213） 华兴恒
Gao_wu_li@
对于洛伦兹力问题由于各种原因会造成多解，应引起我们高度注意，否则就很容易出错。下面对此类问题容易出现多解的情形进行归类例析，希望对大家学好这部分知识能够有所帮助。
一 因为带电粒子的电性不确定造成多解
例1 如图1所示，直线边界MN 上方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应器度为B ，磁场区域足够大。今有一质量为m 、带电量为q 的带电粒子，从边界MN 上某点垂直磁场方向射入，射入时的速度大小为v ，方向与边界MN 的夹角为θ，求带电粒子在磁场中的运动时间。
解析 设带电粒子在磁场中做圆周运动的周期为T ，则T =
qB
m
π2。 若粒子带正电，其运动轨迹如图2中轨迹I 所示，则运动时间 t 1=
qB
m T )
(22)22(θππθπ-=
-。 若粒子带负电，其运动轨迹如图2中轨迹II 所示，则运动时间
t 2=
qB
m T θ
πθ222=
。 评注 正负粒子在磁场中运动轨迹不同导致双解，然而有些同学由于想当然地把带电
粒子看成带正电荷，因而会漏掉带负电的情形，造成漏解。
二 因磁场方向不确定造成多解 例2 某电子以固定的正电荷为圆心在匀强磁场中沿逆时针方向做
匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面，电子所受正电荷的电场力是洛伦兹力的3倍。若电子电荷量为e 、质量为m ，磁感应器度为B ，不计重力，则电子运动的角速度可能是（ ）
A. m Be 4
B. m Be 3
C. m
Be
2 D. m Be
解析 设电子所受电场力为F ，洛伦兹力为f 。若磁场方向垂直于运
动平面指向纸外，则所受洛伦兹力指向圆心，如图3所示。由题意可得：
F+f=mω2R ①
f=evB=e (ωR )B ② 又F =3f ③
联立①②③式，可解得ω=m
Be 4 若磁场方向垂直于运动平面向里，则所受洛伦兹力背向圆心，如图4所示。则
图1
图2
图3
图4
F-f=m ω2R ④ 联立②③④式，可解得ω=
m
Be
2 故本题应选A 、C 。
评注 有些同学在求解此题时，由于思维定势，常常会按照习惯取定某个磁场方向，而忽略了磁场的其它可能方向，造成漏解。
三 因临界状态不唯一造成多解 例3 如图5所示，长为L 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应器度为B ，极板间距离为L ，板不带电。现有质量为m 、电量为q 的带正电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁场以速度v 水平射入，欲使粒子不打在极板上，v 应满足什么条件？
解析 由于粒子运动轨道的圆半径不同，飞出磁场的临界位置也有所不同。设粒子刚好相切于极板的左边缘飞出时，射入磁场的速度为v 1，则其对应
圆半径为R 1=4L
，又由R 1=qB mv 1，联立解得v 1=m qBL 4。
设粒子刚好从上极板的右边缘飞出时，射入磁场的速度为v 2，其对应圆半径为R 2，由几何关系得：
2222
2)2(L R L R -+=，即R 2=
4
5L ，又由R 2=qB mv 2，联立解得v 2=m
qBL
45。
故欲使粒子不打在极板上，v 应满足：v >
m qBL 45或v qBL 4。 评注 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动的轨迹是圆弧状，因此它可能是穿过的有界磁场，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而造成多解。 四 因运动方向不确定造成多解 例4 如图6所示，绝缘摆线长为L ，摆球带正电荷（电量为q ，质量为m ）悬于O 点，当它在磁感应器度为B 的匀强磁场中来回摆动经过最低点C 时速率为v ，则摆线的拉力为多大？ 解析 当摆球在最低点向右运动时，摆球受洛伦兹力的方向竖 直向上。由牛顿第二定律得： T-mg+qvB =L mv 2，则T=mg-qvB +L mv 2 。 当摆球在最低点向左运动时，摆球受洛伦兹力的方向竖直向下。由牛顿第二定律可得： T-mg-qvB =L mv 2，则T=mg+qvB +L mv 2 。 评注 由于粒子的运动方向不同，导致粒子所受洛伦兹力的方向不同，因此造成多解。 五 因运动的重复性造成多解 例5 如图6所示，x 轴上方是磁感应器度为B 的匀强磁场，下方是场强为E 的匀强电场，方向如图中所示。屏MN 距y 轴为S ，今有一质量为m 、电量为q 的正粒子（不计重力）从坐标原点O 沿y 轴正方向射入磁场，要使粒子垂直打在屏MN 上，求： (1)粒子从原点射入时的速度v 应为多大？ 图5 L 图6 (2)粒子从射入磁场到垂直打在屏上共需多少时间？ 解析 (1)设粒子的圆轨道半径为R ，要使粒子垂直打在屏MN 上，则有 S =(2n +1)R （n =0, 1, 2, …） ① 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有 qvB =R mv 2 ② 联立①②式，可解得 v = m n qBS )12(+ （n =0, 1, 2, …） ③ (2) 设粒子在磁场中运动的时间为t 1，则 t 1=4 )12(T n +（n =0, 1, 2, …） ④ 粒子作圆周运动的周期 T= qB m π2 ⑤ 由④⑤两式可得：t 1= qB m n 2)12(π+（n =0, 1, 2, …） 设粒子在电场中运动的加速度为a ，运动时间为t 2，则 t 2= a nv 2 ⑥ 由牛顿第二定律得qE=ma ⑦ 由③⑥⑦式，得 t 2= E n m nBS )12(2+（n =0, 1, 2, …） 所以粒子运动的总时间：t=t 1+t 2= qB m n 2)12(π++E n m nBS )12(2+ （n =0, 1, 2, …） 评注 带电粒子在复合场中运动时，往往带有可重复性，由此形成题目的解不止一个、 两个，而是一组若干个解。 图7