课时训练第2章-第2课时
第二章 第2课时
【A 级】 基础训练
1．(2015·济南质检)函数y ＝x (x －1)＋x 的定义域为( ) A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≥1} C ．{x |x ≥1}∪{0}
D ．{x |0≤x ≤1}
解析：由题意得????? x (x －1)≥0x ≥0，即?????
x ≤0或x ≥1x ≥0
，
所以{x |x ≥1}∪{0}． 答案：C
2．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )
x －1的定义域是( )
A ．[0,1]
B ．[0,1)
C ．[0,1)∪(1,4]
D ．(0,1)
解析：由已知有?
????
0≤2x ≤2
x －1≠0，得0≤x ＜1，
∴定义域为[0,1)． 答案：B
3．已知函数f (x )＝?
????
3－x 2
，x ∈[－1，2]，
x －3，x ∈(2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )
A.2或2
B.2或3
C.2或4
D ．±2或4
解析：当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1?x ＝2； 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1?x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4. 答案：C 4．函数y ＝
1
－x 2－3x ＋4
＋ln(x ＋1)的定义域为________．
解析：由?
????
x ＋1>0，
－x 2－3x ＋4>0，得－1 答案：(－1,1) 5．函数y ＝x －x (x ≥0)的值域为________． 解析：y ＝x －x ＝－(x )2＋x ＝－????x －122＋14， ∴y max ＝1 4.故值域为????－∞，14. 答案：? ???－∞，1 4 6．函数y ＝f (x )的图像如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________． 解析：由图像知，函数y ＝f (x )的图像包括两部分，一部分是以点(－3,2)和(0,4)为两个端点的一条曲线段，一部分是以(2,1)为起点，到(3,5)结束的曲线段，故其定义域是[－3,0]∪[2,3]，值域为[1,5]，只与x 的一个值对应的y 值的取值范围是[1,2)∪(4,5]． 答案：[－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 7．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝1－x －x ； (2)y ＝log 2(x 2－2x ＋1)； (3) 解：(1)要使函数有意义，则? ????1－x ≥0， x ≥0. ∴0≤x ≤1，函数的定义域为[0,1]． ∵函数y ＝1－x －x 为减函数， ∴函数的值域为[－1,1]． (2)要使函数有意义， 则x 2－2x ＋1>0，∴x ≠1， 函数的定义域为{x |x ≠1，x ∈R }， ∵x 2－2x ＋1∈(0，＋∞)， ∴函数的值域为R . (3)函数的定义域为{0,1,2,3,4,5}， 函数的值域为{2,3,4,5,6,7}． 8．某公司招聘员工，连续招聘三天，应聘人数和录用人数符合函数关系y ＝ ???? ? 4x ，1≤x ≤102x ＋10，10 其中，x 是录用人数，y 是应聘人数．若第一天录用9人，第二天 的应聘人数为60，第三天未被录用的人数为120.求这三天参加应聘的总人数和录用的总人数． 解：由1<9<10， 得第一天应聘人数为4×9＝36. 由4x ＝60，得x ＝15?[1,10]； 由2x ＋10＝60，得x ＝25∈(10,100]； 由1.5x ＝60，得x ＝40<100. 所以第二天录用人数为25. 设第三天录用x 人，则第三天的应聘人数为120＋x . 由4x ＝120＋x ，得x ＝40?[1,10]； 由2x ＋10＝120＋x ，得x ＝110?(10,100]； 由1.5x ＝120＋x ，得x ＝240>100. 所以第三天录用240人，应聘人数为360. 综上，这三天参加应聘的总人数为36＋60＋360＝456， 录用的总人数为9＋25＋240＝274. 【B 级】 能力提升 1．函数y ＝16－4x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4) 解析：∵16－4x ≥0且4x >0，∴0≤16－4x <16， ∴0≤16－4x <4，故选C. 答案：C 2．(2014·高考上海卷)设f (x )＝????? (x －a )2 ，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为 ( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2] D ．[0,2] 解析：∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1 x ＋ a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D. 答案：D 3．(2015·龙岩质检)已知函数f (x )＝log 12(4x －2x ＋ 1＋1)的值域是[0，＋∞)，则它的定义域可以 是( ) A ．(0,1] B ．(0,1) C ．(－∞，1] D ．(－∞，0] 解析：依题意得0<4x －2x ＋ 1＋1≤1，即0<(2x －1)2≤1，∴－1<2x －1≤1且2x －1≠0，即0<2x ≤2且2x ≠1，∴x ≤1且x ≠0，可排除C 、D ；对于B ，当x ∈(0,1)时，f (x )∈(0，＋∞)，故选A. 答案：A 4．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b 为整数)，值域是[0,1]，则满足条件的整 数数对(a ，b )共有________个． 解析：由0≤4 |x |＋2－1≤1，得0≤|x |≤2.满足条件的整数数对有(－2,0)、(－2,1)、(－2,2)、(0,2)、 (－1,2)，共5个． 答案：5 5．(2015·北京东城综合测试)已知定义域为D 的函数y ＝f (x )，若对于任意x ∈D ，存在正数K ，都有|f (x )|≤K |x |成立，那么称函数y ＝f (x )是D 上的“倍约束函数”．已知下列函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝2sin ????x ＋π4；③f (x )＝x 3－2x 2＋x ；④f (x )＝x 2 x 2＋x ＋1(x >0)． 其中是“倍约束函数”的是________．(将你认为正确的函数序号都填上) 解析：对于①，f (x )＝2x ，|2x |≤K |x |?K ≥2，故存在正数K ，对任意x ∈R ，都有|f (x )|≤K |x | 成立，故①满足；对于②，如图，由函数y ＝??? ?2sin ????x ＋π4和y ＝K |x |的图像可知，无论K 取何正值，总存在x ∈(0，x 0)不满足不等式成立，故②不满足；对于③，若|f (x )| |x |＝|x 2－2x ＋1|≤K 恒成立，需K ≥|x 2－2x ＋1|max ，但|x 2－2x ＋1|无最大值，故K 不存在，③不满足；对于④， |f (x )| |x | ＝????x 2x 2＋x ＋1|x |＝????x x 2＋x ＋1＝??????1x ＋1x ＋1≤13 ，只需K ≥13即可，故④满足．综上，满足题意的为①④. 答案：①④ 6．设g (x )是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f (x )＝x ＋g (x )在[0,1]上的值域为[－2,5]， 则f (x )在[0,3]上的值域为________． 解析：设x 1∈[0,1]，f (x 1)＝x 1＋g (x 1)∈[－2,5]．∵函数g (x )是以1为周期的函数， ∴当x 2∈[1,2]时，f (x 2)＝f (x 1＋1)＝x 1＋1＋g (x 1)∈[－1,6]， 当x 3∈[2,3]时，f (x 3)＝f (x 1＋2)＝x 1＋2＋g (x 1)∈[0,7]． 综上可知，当x ∈[0,3]时，f (x )∈[－2,7]． 答案：[－2,7] 7．(创新题)已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6(a ∈R )． (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值； (2)若函数的值域为非负数，求函数g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0， ∴2a 2－a －3＝0， ∴a ＝－1或a ＝3 2 . (2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝8(2a 2－a －3)≤0. ∴－1≤a ≤3 2.∴a ＋3>0， ∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－????a ＋322＋17 4????a ∈????－1，32. ∵二次函数g (a )在????－1，3 2上单调递减， ∴g ???? 32≤g (a )≤g (－1)， 即－19 4≤g (a )≤4. ∴g (a )的值域为????－19 4，4.