初二第三讲 等腰三角形

第三讲 等腰三角形

一． 本节考点：

1. 方案设计题（垂直平分线，角平分线的应用）

2.等腰三角形的性质定理

3.等腰三角形的判断定理

4.等边三角形的性质与判定

5.直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半

二． 考点分类精讲

考点1：方案设计题

例1：如图，有张村A ，李村B ，王村C ，这三个村要共建一个水泵站，使得水泵站到A ，B 两村的

距离相等且使C 村到水泵的管线最短，试确定水泵站的位置。

. A

B .

. C

例2:如图,小明住在甲村,奶奶住在乙村,星期天小明去看奶奶,先在北山坡打一捆草,又在南山坡砍一捆

柴给奶奶送去.问:小明应选择怎样的路线使路程最短?

.

甲

. 乙

例3:如图,12,t t 交于A,点P ,Q 的位置如图所示,试确定M 点使它到12,t t 的距离相等.且P ,Q 两点的距离也

相等.

1t

. P

A 2t

. Q

考点2:等腰三角形的性质定理

一.填空题

1.已知一个等腰三角形的顶角与底角度数之比为2:5,则这个等腰三角形顶角的度数为 .

2.如图1:在 ABC 中,AB=AC,BE=CD,BD=CF,则ED F ∠= (用∠B 的代数式表示).

A D

B D

C B C E (图1) (图2)

3.已知等腰三角形的两条边长分别是6cm 和3cm 则该等腰三角形的周长为 。

4.等腰三角形的腰长为2a ，底角是15°则腰上的高为 .

5.如图2:在A B C 中,AB=AC,CD 平分A C B ∠交AB 于D 点,AE DC 交BC 的延长线于点E,已知

E ∠=36°则B ∠= .

6.如图3: 在A B C 中,C ∠=90°,B ∠=15°,AB 的垂直平分线DE 交BC 于点D,垂足为

E,BD=10cm ，则AC= .

考点3:等腰三角形的判定定理

一. 填空

1.如图4:已知BO 平分,,CBA CO ACB BN BC ∠∠ 平分且过点O,若AB=12,AC=14,则

A M N 的周长为 .

A A

E D

M O N F

C B B C

(图4) (图5)

2.如图5:在 ABC 中,AB=AC,A ∠=36°,BD 平分A B C ∠,CE 平分A C B ∠,BD,CE 交于点F,则

图中等腰三角形的个数为 个.

3.设D,E,F 分别是等边三角形ABC 各边上的点,且AD=BE=CF,则 DEF 是 三角形.

4.如图6:把长方形ABCD 进行折叠,使B 与D 重合,折痕为EF,A 点落在`A 处

(1)观察并分析,重合部分的D EF 是什么样的三角形?说明理由?

(2)若D EF 是等边三角形,试求FC 与BC 的关系.

`A

A D

E

B F C

(图6)

考点4:直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半

一.填空

1.A B C 中,::A B C ∠∠∠=1:2:3且AB=6cm ，则AC= .

2.一辆汽车沿30°角的出坡从山底开到山顶共走4000米,则这座山的高度为 .

3.在直角三角形中,如果一个锐角为30°,而斜边与较小直角边的和为12,那么斜边长

为 .

4.如图7:在直角三角形ABC 中,C ∠=90°,∠BAC=60°, ∠BAC 的平分线AM 长为15cm ，

则BC= .

C M B

5.如图8:一只轮船以15海里每时的速度向北航行,上午8时在A处测得小岛P在两端北75°

方向上,10时到达B处,轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上,则从B处到达小岛P的

距离是多少?

二、综合运用

22如图,已知三角形ABC和ADE是等边三角形,求证:BD=CE.

A

E

D

B C

23如图:D为等边三角形ABC内一点,AD=BD,D B P D B C

∠=∠,且BP=BA,求∠P的度数.

A

P

D

D

∠.

24如图:AB=AC,B A D

∠=?,且AE=AD,1,2

∠∠为 ADE的两个底角求E D C

A

E

B D C

25.如图:在 ABC 中,B A C ∠=90°,AD ⊥BC 于D,∠ACB 的平分线交AD 于E,交AB 于F,FG ⊥BC 于G ,请猜测AE 与FG 之间有怎样的数量关系.并说明理由.

A

F

E

B G D C

巩固练习

填空

1.等腰三角形两边长分别为3cm 和6cm,则周长为 .

2.等腰三角形顶角的处角与一个底角的外角和为265°,则它的顶角大小为 .

3.等腰三角形一腰上的高与底边夹角为?,则它的顶角度数为 .

4.如图1:在 ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC 于D,且AB+AC+BC=50cm ，AB+BD+AD=40cm ，则AD= 。

5. 等腰三角形的一边长是3cm ，周长是12cm ，则腰长为 。

6.如图2：在 ABC 中，AB=AC ，BD ，CE 分别是,ABC ACB ∠∠的平分线，且DE BC ，

A ∠=36°，则图中等腰三角形共有 个。

`C

A

B D

C B Ｃ B

D C

（图１） （图２） (图3)

７．如图３：AD 是 ABC 的中线,A D C ∠=60°,把 ADC 沿直线AD 折过来,点C 落在`C 位置,且BC=4,

则`BC = .

8.如图4:R t A B C 中,CD,DE 分别是斜边AB 上的高和中线,若A ∠=30°,BD=1,则B C D ∠= .BC= .AD= .

9.如图5:已知等边三角形ABC 的周长是2a ,BM 是AC 边上的高,N 为BC 延长线上的一点,且CN=CM,则BM= .

C A B C N

(图4) (图5)

10. 等腰三角形中,若斜边与斜边上的高的和是18cm，则斜边长为。

11.如图6：在 ABC中，AB=AC，BD平分,

∠= 。

∠∠=75°，那么A

ABC BDC

A

D

B C

（图6）

12.如图：在 ABC中，AB=AC，AD=DE=EB，BD=BC，试求∠A的度数。

B

E

A D C

13.如图：AD是 ABC中B A C

∠的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠=∠的理由。

B A F A

C F

A

E

B D

C F

初二等腰三角形专题

等腰三角形专题复习 一、等腰三角形中的分类讨论 1、等腰三角形的周长为50, —条边长是12,则另两边分别是____________________ 4 、如图，在RT^ABC中，/ ACBW ,AB=2BC 在直线BC或AC上取一点P 使得△ PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有____________ 个。 5、已知0为等边△ ABD边BD的中点，AB=4, E、F分别为射线AB DA上一动点，且/ EOF=^ ,若AF=1,求BE的长 _________________ 。 二、构造等腰三角形解题一一截长补短法 6、如图，在△ ABC中，AD为角平分线，且AC=AB+BD求证丁代 2 ＜：. 7、如图，已知W.W 1 2V,AC平分/ MA N MEC-A N C

&如图，△ ABC为等腰三角形，EC=ED, P为BD的中点，求证：AE=2PE. 三、构造等腰三角形解题一一引平行线 9、如图，已知△ ABC是等边三角形，延长BC到D,延长BA到E,使AE=BD求证：EC=ED. 10、已知△ ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC延长BE交AC于F,求证：AF=EF. B

11、△ ABC为等边三角形，D为BC上任意一点，/ ADE=60,边ED与/ ACB外角的平分线交于点E. (1) 求证：AD=DE. (2) 若点D在CB的延长线上，(1)的结论是否依然成立？请画出图形，若成立，请给出证明, 若不成立，请说明理由。 12、如图，BD平分/ ABC交AC于点D, E为CD上一点，且AD=DE,EF// BC交BD于F,求证: AB=EF. 四、等腰三角形中的“三线合一” (一)利用等腰三角形的“三线合一”证题 AE=AC,EF// BC交AC于点F,求证:EC 平分/ DEF. 13、如图，AD是厶ABC的角平分线，且

初二等腰三角形专题

初二等腰三角形专题集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]

等腰三角形专题复习 一、等腰三角形中的分类讨论 1、等腰三角形的周长为50，一条边长是12，则另两边分别是__________ 2、若等腰三角形的一个内角为,则底角的度数为__________________ 3、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则此三角形的三个内角度数分别为________________. 4、如图，在RT△ABC中，∠ACB=,AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P, 使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有个。 5、已知0为等边△ABD边BD的中点，AB=4，E、F分别为射线AB、DA上一动 点，且∠EOF=,若AF=1，求BE的长_____________。 二、构造等腰三角形解题——截长补短法 6、如图，在△ABC中，AD为角平分线，且AC=AB+BD,求证. 7、如图，已知,AC平分∠MAN，,求证： 8、如图，△ABC为等腰三角形，EC=ED, P为BD的中点，求证：AE=2PE. 三、构造等腰三角形解题——引平行线 9、如图，已知△ABC是等边三角形，延长BC到D,延长BA到E，使AE=BD,求证：EC=ED. 10、已知△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于F,求证：AF=EF. 11、△ABC为等边三角形，D为BC上任意一点，∠ADE=600,边ED与∠ACB外角的平分线交于点E. (1)求证：AD=DE. (2)若点D在CB的延长线上，（1）的结论是否依然成立?请画出图形，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。 12、如图，BD平分∠ABC交AC于点D，E为CD上一点，且AD=DE,EF∥BC交BD 于F,求证：AB=EF. 四、等腰三角形中的“三线合一” （一）利用等腰三角形的“三线合一”证题 13、如图，AD是△ABC的角平分线，且AE=AC,EF∥BC交AC于点F，求证:EC平分∠DEF. 14、如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD,点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点，试判断OE和AB的位置关系并给出证明。

华师大版初中数学八年级上册专题训练13.3 等腰三角形(含答案)

13.3 等腰三角形 专题一 与等腰三角形有关的探究题 1. 设a 、b 、c 是三角形的三边长，且ca bc ab c b a ++=++222，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是等腰直角三角形.其中真命题的个数是（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2. 如图，已知：∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3……在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3……在射线 OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4……均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 2013B 2013A 2014 的边长为（ ） 2012 2013 3. 如图,在△AB 1A 中, ∠B ＝20°,AB ＝1A B ，在1A B 上取一点C,延长1AA 到2A ,使得12A A ＝ 1A C ; 在2A C 上取一点D,延长12A A 到3A ,使得23A A ＝2A D ;……，按此做法进行下去, 求∠n A 的度数.

4. 如图，点O是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，∠AOB=140°，∠AOC=α．将 △AOC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，连接OD． （1）试说明△COD是等腰直角三角形； （2）当α=95°时，试判断△BOD的形状，并说明理由． 5. 如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．

专题二等腰（边）三角形中的动点问题 6. 已知ΔABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且 BM=CN，直线BN与AM相交于Q点.就下面给出的三种情况（如图中的①②③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，将结果填写在下面对应的横线上，然后猜测∠BQM在点M、N的变化中的取值情况，并利用图③证明你的结论. 测量结果：图①中∠BQM=______；图②中∠BQM=______；图③中∠BQM=______. 7. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合）， 连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E． （1）当∠BDA=115°时，∠BAD=______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____ （填“大”或“小”）； （2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE 是等腰三角形．

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等腰三角形培优专题 等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径． 练习 1．如图，已知△ A．7．5°ABC中， AB B．10° ＝AC ，AD ＝ C．12.5 ° AE ，∠ BAE D．18° ＝ 30 °，则 ∠ DEC 等于（）． 2．如图，AA′、 BB′分别是△ABC的外角∠C 在一直线上，则∠ACB的度数是多少？EAB 和∠CBD 的平分线，且AA′＝ AB ＝ B′Ｂ，A′、 B 、 3．如图，则∠ BDC 等腰三角形 ＝ ________ ABC ． 中，AB ＝AC ，∠ A ＝20 °． D 是AB 边上的点，且AD ＝ BC ，连 结 CD ， 例 2 如图， D 是等边三角形ABC 的 AB 边延长线上一点， E 是等边三角形ABC 的 AC 边延长线上一点，且EB ＝ ED ．那么CE 与 AD 相等吗？试说明理由． E

C A B D

练习 线交1．已知如图，在△ CA 的延长线于点 ABC中，AB＝CD，D是 F ，判断AD 与 AF 相等吗？ AB 上一点，DE⊥BC ， E 为垂足，ED? 的延长 2．如图，△ABC ＝ 15°，则 BD 与 A ． BD>BA 是等腰直角三角形，∠ BA 的大小关系是（ B ． BD

培优专题讲解_等腰三角形(含解答)-

等腰三角形专题练习题 等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径． 例1如图1-1，△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数． 练习1 1．如图1-2，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）．A．7．5° B．10° C．12.5° D．18° 1-2 2．如图1-3，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′=AB=B′B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？ 1-3

3．如图1-4，等腰三角形ABC中，AB=BC，∠A=20°．D是AB边上的点，且AD=BC，?连结CD，则∠BDC=________． 1-4 例2 如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD?的垂直平分线HE?交AC 延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由． 练习2 1．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED?的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？ 1-6 1-7 1-8 2．如图1-7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，则BD与BA的大小关系是（） A．BD>BA B．BD

新初二等腰三角形基本概念与性质

个性化教学辅导教案 教师姓名 学生姓名 上课时间 学科 数学 年级 新初二 教材版本 浙教 课称名称 等腰三角形基本概念与性质 教学目标 1、认知目标： ⑴使学生理解掌握等腰三角形的性质定理及其推理。 ⑵学会运用等腰三角形的性质解决有关证明和计算问题； 2、能力目标：培养观察能力、分析能力、联想能力、表达能力； 教学重点 教学难点 课 堂 教 学 过 程 - 等腰三角形(★★★) 1、掌握等腰三角形的判定级基本性质； 2、会运用‘‘三线合一’’性质进行解题； 知识结构 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用

等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

八年级等腰三角形的分类讨论专题

专题一：等腰三角形中的分类讨论 （一）角分类：顶角和底角+ 三角形内角和；外角 1.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，求顶角的度数。 2.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数。 3.如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是． （二）边分类：底边和腰+ 三角形三边关系 4.等腰三角形的两边分别是8,6，这个等腰三角形的周长为 5.等腰三角形的两边分别是8,3，这个等腰三角形的周长为 6.在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________. （三）中线分类 7.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，求腰长和底长。 8.等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长

（四）高、垂直平分线分类 9.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，求底角的度数 10.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________ 11.（2018·哈尔滨中考）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数 12.（2019·白银中考）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值b 称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=

13.(2018·绍兴中考）数学课上，张老师举了下面的例题： 例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数.（答案：35°） 例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数.（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数. (1)请你解答以上的变式题。 (2)解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围。 专题二：等腰三角形的综合应用 1.如图，在△ABC中，BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于点F,交BC于点E.求证：△DBE是等腰三角形.

(word完整版)八年级数学《等腰三角形与直角三角形》专题演练练习题(含答案),推荐文档

中考数学专题复习演练： 等腰三角形与直角三角形 一、选择题 1.如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是（） A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 12cm或15cm 2.已知是等边三角形的一个内角，是顶角为的等腰三角形的一个底角，是等腰直角三角形的一个底角，则（）． A. B. C. D. 3.如图点A的坐标为（2，2），若点P在坐标轴上，且△APO为等腰三角形，则满足条件的点P个数是（） A. 4个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，则下列结论正确的是（） A. 2α+∠A=180° B. α+∠A=90° C. 2α+∠A=90° D. α+∠A=180° 5.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（） A. 30° B. 40° C. 36° D. 45° 6.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是（）

A. 2 B. 4 C. D. 7.在下列四个角的度数中，一个不等边三角形的最小角度数可以是（） A. 80° B. 65° C. 60° D. 59° 8.如图, 在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=12,则BC等于( ) A. 6 B. 6 C. 6 D. 12 9.如图⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为( ) A. B. 2 C. D. 3 10.如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥ BC于H，交BE于G，下列结论：①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE= BF；④AE=BG．其中正确的是（） A. B. C. D. 二、填空题 11.一个等腰三角形的一个内角是，则等腰三角形的底角为________。 12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形顶角度数为________。 13.如图，AB∥CD，AF＝EF，若∠C＝62°，则∠A＝________度． 14.等腰三角形ABC的周长为30，其中一个内角的余弦值为，则其腰长为________． 15.如图∠AOB=60°，点P在边OA上，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，OP+OM=17，则OM= _.

初二数学重难点专题突破-等腰三角形

初二数学重难点专题突破-等腰三角形 ----“等边对等角”与“等角对等边” 理解“等边对等角”与“等角对等边”的意义，会利用这两个定理解题 在同一三角形中：“欲证边相等，先证角相等”，“欲证角相等，先证边相等” 例1．如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD=BE，AE=DE，求∠A的度数。 例2．如图，AB=AD=AC，∠CAD=36°，求∠DBC的度数。 例3．如图，DE∥BC，BG=CG，∠1=∠2。求证：ΔDGE是等腰三角形。

例4．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连结EF。求证：AD 垂直平分EF。 （即是该课程的课后测试） 1．如图，已知AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。 2．已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE =CD。求证：BD =DE。

3．如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O。试判断△OEF的形状，并说明理由。 4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD=CE，∠DBC=∠ECB。求证：AB=AC。 5．如图，△ACB和ΔECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点。求证：△ACE≌△BCD。

1．答案： ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵AD=AE ∴∠ADE=∠AEC ∴180O -∠ADE=180O -∠AEC 即∠ADB=∠AEC 在△ABD和△ACE中 ∠ADB=∠AEC ∠B=∠C AB=AC ∴△ABD≌△ACE ∴BD=CE 2．答案： ∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC=∠ACB=60° ∵D为AC中点 ∴∠DBC=30° ∵CE＝CD ∴∠E=30° ∴∠DBC=∠E ∴BD＝DE

八年级数学上册 第十七章 等腰三角形专题练习1 (新版)

等腰三角形 专题一等腰三角形的性质和判定的应用 1.已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，则△ABC是（） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2.如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连结BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连结ED．若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是． 3.在等腰△ABC中，AB=AC，MN是AB的垂直平分线，MN与AB相交于D点，与AC所在的直线相交于E点，若∠AED=40°，则∠EBC的度数为______. 4如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE． 若∠BAC=90°，∠BAD=30°，求∠EDC的度数； 若∠BAC=a（a＞30°），∠BAD=30°，求∠EDC的度数； （3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系？（不必证明）

专题二等腰（边）三角形中的动点问题 5.已知ΔABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点.下面给出的三种情况（如图中的①②③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，将结果填写在下面对应的横线上，然后猜测∠BQM在点M，的变化中的取值情况，并利用图③证明你的结论。 测量结果：图①中∠BQM=______；图②中∠BQM=______；图③中∠BQM=______。 6.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B，重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E． （1）当∠BDA=115°时，∠BAD=______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____ （填“大”或“小”）； 当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D运动的程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．

初二数学《等腰三角形证明》专题练习

初二数学《等腰三角形》练习题 1、如图，AB=AC，BD=CD，AD=AE，∠BAD=26°，则∠AED=_______________ 2、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=___________ 3、如图，点D是△ABC的边BC上一点，且AB=AC，AD=AE，∠BAD=30°，则∠EDC=__________ 4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DC=BC，求∠A的度数。 5、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交线段AB于点F．请找出一组相等的线段（AB=AC除外）并加以证明。 6、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数．

7、如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，且BD=BE，∠A=100°，试求∠DEC的度数。 8、已知，如图△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC。 9、如图，D是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线交点，过D作与BC平行的直线，分别交AB、AC于E、F，求证：EB+FC=EF。 10、如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE。

《等边三角形》练习题 1、已知，等边三角形ABC，D是AB上一点，DE⊥BC，垂足为E，EF⊥AC，垂足为F，FD⊥AB．求证：△DEF 为等边三角形的理由。 2、已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形。 3、如图，A、B、C三点在同一直线上，△ABM和△BCN是正三角形，P是AN中点，Q是CM中点．求证：△BPQ是正三角形。 4、如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE，DE．求证：EC=ED。

人教版初中八年级数学上册专题等腰三角形习题及答案

CD = BC ．求证：∠ACD =∠B ． ∴ BE = BC ∵ CD = BC B E ?BE = CD （已证） 等腰三角形（习题） 例题示范 例 1：如图，在△ ABC 中，AB =AC ，点 D 在△ABC 外， C D ⊥AD 于点 D ， 1 2 【思路分析】 A ① 读题标注： A B ② 梳理思路： 由条件 CD = 1 2 D C B D C BC ，可尝试取 BC 的中点 E ，此时结合等腰构造三线合一的线 AE ，如图所示． 要证∠ACD =∠△B ，可以证明 ABE ≌△ACD ． 【过程书写】 证明：如图，取 BC 的中点 E ，连接 AE ． A 过程规划： 1．辅助线描述 ∵E 是 BC 的中点 1 2 1 2 C D 2．说明三线合一 3．证明△ABE ≌△ACD 4．根据全等性质得结论 ∠ACD =∠B ∴BE =CD ∵AB =AC ，E 是 BC 的中点 ∴AE ⊥BC ∴∠AEB =90° ∵CD ⊥AD ∴∠D =90° ∴∠AEB =∠D =90° 在 Rt △ABE 和 Rt △ACD 中 ? A B = AC （已知） ? ∴Rt △ABE ≌Rt △ACD （HL ） ∴∠ACD =∠B 例 2：等腰三角形的周长为 12cm ，其中一边长为 5cm ，则该等腰三角形的底边 长为__________cm ．

【思路分析】 等腰三角形一边长为5cm，这一边可能是底，也可能是腰，故需分类讨论： ①如果5cm为底，则根据周长为12cm，可知腰长为3.5cm．此时两边之和大于 第三边，这个三角形存在． ②如果5cm为腰，则根据周长为12cm，可知底边长为2cm．此时两边之和大 于第三边，这个三角形存在． 综上，该等腰三角形的底边长为5cm或2cm． 巩固练习 1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，求∠C的度数． A B C 2.如图，在△ABC中，AB=AC，BE∥AC，∠BDE=100°， ∠BAD=70°，则∠E=______． A A B D E C D B C 第2题图第3题图 3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB边上一点，若CD=AD=BC，则 ∠A=_________． 4.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的平分线相交于点E，过点E 作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N．若BM+CN=9，则线段MN的长为（）

八年级数学等腰三角形专项练习

1．如图，在△ABC中，AB=AC=10，AD=BD，△BCD的周长为17，那么BC的长是（） A．5B．7C．12D．以上都不对 2．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，则∠DBC等于（） A．∠ABC B．2∠A C．∠A D．∠A 3．如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是（） A．∠B=∠C B．AD⊥BC，∠BAD=∠CAD C．AD⊥BC，BD=CD D．AD⊥BC，∠BAD=∠ACD 4．在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为（） A．2个B．3个C．4个D．5个

5．如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AB=10cm，AC=8cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线段AB向点B运动．在运动过程中，当△APC为等腰三角形时，点P出发的时刻t可能的值为（） A．5B．5或8C．D．4或 6．如图，在△MBC中，AB=4，AC=6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为（） A．7B．8C．9D．10 7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（） A．3个B．4个C．5个D．6个 8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=5，AD=2，则△AED 的周长为（） A．4B．5C．6D．7

9．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED 的度数为（） A．108°B．120°C．126°D．144° 10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF； ②∠BGC=90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n， =mn．其中正确的结论有（） 则S △AEF A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④11．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN=30°．若AM=m，MN=x，CN=n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（） A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定 12．等腰三角形一腰上的中线将其周长分为8和12两部分，则它的底边长是．

八年级数学等腰三角形等边三角形专项训练(超经典)

………………………………………………最新资料推荐……………………………………… 1、已知AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，试说明△ADF是等腰三角形的理由． 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）．∵DE⊥BC 于E，∴∠FEB=∠FEC=90°．∴∠B+∠EDB=∠C+∠EFC=90°．∴∠EFC=∠EDB（等角的余角相等）．∵∠EDB=∠ADF （对顶角相等），∴∠EFC=∠ADF．∴△ADF是等腰三角形．

2、如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分 线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，若AB=18，AC=16， 求△AEF 的周长？ 证明：∵，∠ABC 和∠ACB 的角平分线 相交于点 O∴∠EBO=∠OBC ，∠FCO=∠OCB∵EF‖BC∴∠EOB=∠OBC ，∠FOC=∠OCB∴BE=EO,CF=OF∴△AEF 的周 长=AE+AF+EF=AE+BE+AF+CD=AB+AC=18+16=34cm 3、已知BO 、CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线， OE ∥AB ，OF ∥AC ，如果已知BC 的长为a ，你能知 道△OEF 的周长吗？. 证明：OF ‖AC 所以∠COF=∠ACOOF 是∠C 的平分线所以∠ACO=∠OCF 所以∠COF=∠ACO=∠OCF 所以△OFC 是等腰三角形 OF=FC 同理可证△OBE 是等腰三角形 OE=BE 所以 OEF 的周长为OE+OF+EF=BE+EF+EC=BC=a 4、如图，在ΔABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F. 求证：DE+DF=AB ∵DE∥AC ∴∠EDB=∠ACB F E O A A B C F E O

初二等腰三角形讲义

课题等腰三角形 教学目的 1、熟练掌握等腰三角形的性质和判定 2、熟练等腰三角形“三线合一”的性质 3、会运用性质和判定解决实际问题 重点、难点 重点：等腰三角形的性质 难点：“三线合一”的应用 教学内容 基础知识巩固： 1．等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形. 2．等腰三角形的性质： 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 3．等腰三角形的判定： A B C

1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【知识点简单运用】 例1、 如图，在△ABC 中，AC AB =，D 在AC 上，且,BD BC AD ==求△ABC 各角的度数。 练习：1、如图△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC,∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B ，∠C ，∠BAD ， ∠DAC 的度数，图中有哪些相等的线段 2、如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°.求∠B 和∠C 的度数。

初二数学等腰三角形练习题.

B 第2章 三角形期中复习 【课前复习】 1、已知等腰三角形的一边长为 5cm ，另一边长为 6cm ，则它的周长为 。 2、等腰三角形底边长为 5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3cm.则腰长为 3、在等腰三角形中，设底角为 x 0 ，顶角为 y 0 ，用含 x 的代数式表示 y ，得 y= ； 用含 y 的代数式表示 x ，则 x= 。 4、如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠GEF= G 5、有一个内角为 40°的等腰三角形的另外两个内角的度数 E 为 .若一个角为 140°呢，则另外两个角是 C 6、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为 10cm ，那么它的 三边长为 7、如图，把矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 C 落在点 A 处，点 D 落在 F D B A 点 G 处，若∠CFE= 60 ，且 DE=1，则边 BC 的长为 ． 8、判定两个等腰三角形全等的条件可以是（ ）。 A 、有一腰和一角对应相等 B 、有两边对应相等 C 、有顶角和一个底角对应相等 D 、有两角对应相等 9、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ） A 、顶角 B 、底角 C 、顶角的一半 D 、底角的一半 10、在△ABC 中，AB=AC ，下列推理中错误的是（ ） A 、如果 AD 是中线，那么 AD⊥BC ，∠BAD=∠DAC B 、如果 BD 是高，那么 BD 是角平分线 C 、如果 A D 是高，那么∠BAD=∠DAC 、BD=DC D 、如果 AD 是角平分线，那么 AD 也是 BC 边的垂直平分线 11 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 为中线，图中共有等腰三角形（ ）个 A 、4 个 B 、6 个 C 、3 个 D 、5 个 A A A E D E B P Q C 15 题图 16 题图 C B C 17 题图 12、如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ，∠ACE＝280，则∠B 的度数是（ ） A 、600 B 、700 C 、760 D 、450 13、三角形的三边长 a , b , c 满足式子 (a - b ) 2 + (b - c ) 2 + c - a = 0 ，那么这个三角形是（ ） A 、钝角三角形 B 、等边三角形 C 、等腰非等边三角形 D 、以上都不对 14、正三角形 ABC 所在平面内有一点 △P ，使得 PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形，则这样 的 P 点有（ ） A 1 个 B 4 个 C 7 个 D 10 个

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第2章三角形期中复习 【课前复习】 1、已知等腰三角形的一边长为 5cm，另一边长为 6cm，则它的周长为。 2、等腰三角形底边长为 5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm.则腰长为 3、在等腰三角形中，设底角为x0，顶角为y0，用含 x 的代数式表示 y，得 y= ； 用含 y 的代数式表示 x，则 x= 。 4、如图，∠ A=15°， AB=BC=CD=DE=EF，则∠ GEF= G 5、有一个内角为 40°的等腰三角形的另外两个内角的度数 E C 为.若一个角为140°呢，则另外两个角是 6、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm，那么它的 F A 三边长为 D B 7、如图，把矩形 ABCD沿 EF 折叠，使点 C 落在点 A 处，点 D 落在 60o ，且 DE=1，则边 BC的长为． 点 G处，若∠ CFE= 8、判定两个等腰三角形全等的条件可以是（）。 A、有一腰和一角对应相等 B 、有两边对应相等 C 、有顶角和一个底角对应相等 D 、有两角对应相等 9、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（） A、顶角 B 、底角 C 、顶角的一半 D 、底角的一半 10、在△ ABC中， AB=AC，下列推理中错误的是（） A、如果 AD是中线，那么 AD⊥BC，∠ BAD=∠DAC B、如果 BD是高，那么 BD是角平分线 C、如果 AD是高，那么∠ BAD=∠DAC、 BD=DC D、如果 AD是角平分线，那么 AD也是 BC边的垂直平分线 11 如图，△ ABC中， AB＝AC， BD、CE为中线，图中共有等腰三角形 （）个 A、4 个 B 、 6 个 C 、3 个D 、5 个 A A A E D B P Q C B C E B C 15 题图16 题图17 题图 ） 12、如图， AB＝ AC，AE＝EC，∠ ACE＝28 ，则∠ B 的度数是（ A 、600 B、700 C、 760 D、 450 13、三角形的三边长a, b, c 满足式子 ( ) 2 ( ) 2 0 ，那么这个三角形是（） a b b cc a A、钝角三角形 B 、等边三角形 C 、等腰非等边三角形 D 、以上都不对 14、正三角形 ABC所在平面内有一点 P，使得△ PAB、△PBC、△ PCA都是等腰三角形，则这样 的 P 点有（） A 1 个 B 4 个 C 7 个 D 10 个

初二数学等腰三角形练习题

G F E C A 等腰三角形练习 一、填空题 1、已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为6cm，则它的周长为。 2、已知等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为9cm，则它的周长为。 3、等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm.则腰长为 4、在等腰三角形中，设底角为0x，顶角为0y，用含x的代数式表示y，得 y= ；用含y的代数式表示x，则x= 。 5、有一个角等于50°，另一个角等于__________的三角形是等腰三角形． 6、如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠GEF= 7、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为 .140°呢 8、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为 9、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm，那么它的三边长为 10、如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60o，且DE=1，则边BC的长为． 二、选择题 11、判定两个等腰三角形全等的条件可以是……………………（）。 A、有一腰和一角对应相等 B、有两边对应相等 C、有顶角和一个底角对应相等 D、有两角对应相等 12、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（） A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半 13、在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（） A、100° B、75° C、150° D、75°或100° 14、在△ABC中，AB=AC，下列推理中错误的是……………………（）。 A、如果AD是中线，那么AD⊥BC，∠BAD=∠DAC B、如果BD是高，那么BD是角平分线 C、如果AD是高，那么∠BAD=∠DAC、BD=DC D、如果AD是角平分线，那么AD也是BC边的垂直平分线 1

初二数学重难点专题突破等腰三角形

初二数学重难点专题突破-等腰三角形

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初二数学重难点专题突破-等腰三角形 ----“等边对等角”与“等角对等边” 理解“等边对等角”与“等角对等边”的意义，会利用这两个定理解题 在同一三角形中：“欲证边相等，先证角相等”，“欲证角相等，先证边相等” 例1．如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD=BE，AE=DE，求∠A的度数。 例2．如图，AB=AD=AC，∠CAD=36°，求∠DBC的度数。 例3．如图，DE∥BC，BG=CG，∠1=∠2。求证：ΔDGE是等腰三角形。 例4．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连结EF。求证：AD 垂直平分EF。

（即是该课程的课后测试） 1．如图，已知AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。 2．已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE =CD。求证：BD =DE。 3．如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O。试判断△OEF的形状，并说明理由。

4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD=CE，∠DBC=∠ECB。求证：AB=AC。 5．如图，△ACB和ΔECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点。求证：△ACE≌△BCD。 1．答案： ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵AD=AE ∴∠ADE=∠AEC