固体自由电子理论classbfs120911195214521

金属自由电子气理论

金属自由电子气理论 特鲁德电子气模型：特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏观实验观测量 自由电子气+波尔兹曼统计→欧姆定律 电子平均自由程+分子运动论→电子的热导率 特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设1 1.自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性，与电子发生碰撞。 2.独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。外电场为零时，忽略电子之间的碰撞，两次碰撞（与离子实碰撞）之间电子自由飞行（与经典气体模型不同，电子之间没有碰撞，电子只与离子实发生碰撞，这一点我们将在能带论中证明是错误的。） 特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设2 3.玻尔兹曼统计：自由电子服从玻尔兹曼统计。 4.弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。 特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律 欧姆定律E j ρ=（或j E σ=），其中E 为外加电场强度、ρ为电阻率、j 为电流密度。

202()1I j nev ne S j E eEt m v v E j m ne eE m v m τρτστρ?==-??=??-?? =+??=????==???=-?? 2.经典模型的另一困难：传导电子的热容 根据理想气体模型，一个自由粒子的平均热量为3/2B k T ，故 333 (),222 A B e U U N k T RT C R T ?====? 33/29v ph e C C C R R =+=+≈（卡/molK.） 但金属在高温时实验值只有6（卡/molK.），即3v C R ≈。 4.2 Sommerfeld 的自由电子论 1925年：泡利不相容原理 1926年：费米—狄拉克量子统计 1927年：索末菲半经典电子论 抛弃了特鲁德模型中的玻尔兹曼统计，认为电子气服从费米—狄拉克量子统计得出了费米能级，费米面等重要概念，并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。 量子力学的索末菲模型 1、独立电子近似：所有离子实提供正电背景，忽略电子与电子之间的相互作用。 2、自由电子近似：电子与原子实之间的相互作用也被忽略。 3、采用费米统计以代替玻尔兹曼统计。 传导电子的索末菲模型

金属自由电子理论

第四章金属自由电子理论 1.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？ 解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。 2.金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？ 解：金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。 3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么？ 解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。 4.驰豫时间的物理意义是什么？它与哪些因素有关？ 解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。 5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差？ 解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，

所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。 6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。试求： （1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。 解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为： dE dk dk dZ dE dZ E ? == )(ρ …………………………（1） 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为： dk L dk dZ π =?= k 2 …………………………（2） 又由于 m k E 22 2 = 所以 m k dk dE 2 = …………………………（3） 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为： E m L E 22)( πρ= …………………………（4） （2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电

固体能带理论概述

固体能带理论概述 朱士猛学号220130901421 专业凝聚态物理 摘要 本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似等基本理论。还介绍了采用了近自由电子近似法来计算其能带结构。可以看出，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。 关键词：能带理论布洛赫定理近自由电子近似 1 引言 能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5，7，8，11]、K.P方法[12]。人们用这些方法对量子阱[2，8，9，10]。量子线[11，12，13]、量子点结构[16，17]的材料进行了计算和分析，

并取得了较好计算结果。使得对这些结构的器件的设计有所依据。并对一些器件的特性进行了合理的解释。 固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的祸合，半导体中的价电子状态分为导带与价带，二者又以中间的禁带(带隙)分隔开。从半导体的能带理论出发引出了非常重要的空穴的概念，半导体中电子或光电子效应最直接地由导带底和价带顶的电子、空穴行为所决定，由此提出的P-N结及其理论己成为当今微电子发展的物理依据。半导体能带结构的具体形态与晶格结构的对称性和价键特性密切相关，不同的材料〔如Si,Ge与GaAs,InP)能带结构各异，除带隙宽度外、导带底价带顶在k空间的位置也不同，GaAs,InP等化合物材料的导带底价带顶同处于k 空间的中心位置，称为直接带隙材料，此结构电子-空穴的带间复合几率很大，并以辐射光子的形态释放能量，由此引导人们研制了高效率的发光二极管和半导体激光器，在光电子及光子集成技术的发展中，其重要性可与微电子技术中的 晶体管相比拟。 2 布洛赫定理[1] 能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电子，在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在其平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶体，晶格具有周期性，因而等效势场V (r)也应具有周期性。晶体中的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，其波动方程为: （1）

金属中的电子气的理论

金属中的电子气的理论 金属中的自由电子并非真正自由，而是要受到金属离子的周期势场的作用，因此一些自由电子理论并不能解释金属的全部性质。由F.布洛赫和 .布里渊确立的单电子能带论解释了金属导电性与绝缘体和半导体的差别（见能带理论，半导体），并能定量计算金属的结合能，在考虑了金属离子的热运动的影响后，在描述金属的导电和导热等输运过程方面均取得了很大成功。金属中自由电子之间有很强的相互作用，在低温下考虑了电子通过晶格推动相互耦合就能很好地解释单电子理论无法解释的超导电性。近年来，研究合金中电子运动规律的合金电子理论也是金属电子论中的重要内容。 一、托马斯-费米近似方法 在相互作用强度很大的情况下，相互作用能在系统能量中占主导地位，相比之下，处于基态的系统的粒子由于受到非常强的相互排斥作用，其运动范围受到了限制，因此，动能就会远小于相互作用能。这时候，哈密顿量中的动能就可以忽略掉，被称为托马斯-费米(Thomas-Fermi)近似。一维定态GP 方程变为 则玻色子的密度分布为

同时玻色子密度分布的边界满足，在外势为简谐势的情况 我们得到凝聚体的半径为 则系统的粒子数为 将上式变换一下，得到化学势μ 满足 其中单粒子基态的特征半径为 边界R满足 化学势u和边界R都是随着粒子个数N和相互作用强度U1的增加而增加的。

在处理多电子原子问题中,、通常采用Hartree-Fook近似方法比较好,但是计算比较繁复,工作量大,在电子计算机使用以后,可以帮助人们进行大量的计算,减轻人们的负担,但用电子计算机计算有一个缺点,就是计算机只能进行数值计算,而不能解出一般形式,我们希望能找出一个普遍形式,这样对各种具体问题都能适用。 费米模型认为将金属中电子看作限制在边长为a的立方体盒子中运动.盒子内部势能为0.盒外势能为无限大,这样通过解定态薛定谔方程,可得出金属中电子的许多性质,如电子能级,电子的最高能量,电子的平均能量,电子气的压强,电子气的能级密度和磁化率,而且费米气体模型在固体理论中和原子核结构上也有很大用处,可以推出原子核的质量公式,跟实验结果比较符合得很好。 对于多电子原子应用如下的近似方法,即托马斯——费米方法,这是一个统计方法.它不是直接解薛定愕方程,可得出一些有用结论,其基本思想是在重原子中把正电荷看作连续分布(背景),电子在背景中运动n,这样处理中性原子运动比较成功。 二、哈特利-福克近似方法 通过绝热近似，把电子运动与离子实的运动分开，但系统的薛定谔方程仍然是一个多体方程。由于电子间存在的库伦相互作用，严格求解这种多电子问题是不可能的。通过哈特利-福克（Hartree-Fock）近似,可以将多电子的薛定谔方程简化为单电子有效势方程。 哈特利波函数将多电子波函数表述为每个独立电子波函数的连

金属中自由电子气体

1）经典定理固体原子作独立的简谐振动+能量均分定理仅在室温和高温范围内符合实验 2）爱因斯坦理论固体原子的振动模满足谐振子解+所有固体原子作同频共振+原子在振动模上服从玻尔兹曼分布在低温上定性符合3）德拜理论（非金属固体）固体原子的振动模式按频率的分布服从驻波条件+固体原子的振动模式的能量满足谐振子解+每一个振动模式只与一个原子的振动相对应+原子在振动模式上服从玻尔兹曼分布在低温时定性符合4）索末菲理（金属固体）对于金属固体：离子振动贡献+自由电子气体贡献。对自由电子气体：电子具有波粒二象性+电子的量子态满足驻波条件+自由电子在量子态上的填充满足费米分布。对离子振动：服从德拜理论，在低温处①金属中的自由电子形成强简并的费米气体，或者说自由电子气体以强简并形式占据量子态。 ②德布罗意假设——电子具有波粒二象性 ③电子自旋为1/2，且电子间为库仑相互作用。金属中的自由电子服从费米分布 ④在体积V 内，能量在的范围内，电子的实际量子态为⑤0K 时费米温度和电子简并压。当T=0K 时，化学势设为，则由费米分布有平均粒子数（体现了占据最低能量态和泡利不相容原理） 一般情况下，，即电子气体的分布与0K 时相差不大，与十分接近。由的分布可知，只有能量在附近，量级为的范围内的电子对热容量有贡献。这部分粒子数为、对能量和热容的贡献为固体的热容量问题 金属中的自由电子气体由自由电子在量子态上的费米分布，总电子数为 费米能级 费米动量费米温度（根据单个粒子的等效热温度概念） 0K 时的自由电子气体的内能 0K 时的自由电子气体的压强 T>0K 时自由电子气体性质自由电子气体的热容量的定量计算 低温下金属固体的实际定容热容量贡献的来源：金属中的离子振动——德拜理论+金属中的自由电子气体——索末菲理论。低温下金属的总定容热容量为自由电子气体

(完整版)第四章金属自由电子理论

第四章 金属自由电子理论 1.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？ 解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。 2.金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？ 解：金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。 3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么？ 解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。 4.驰豫时间的物理意义是什么？它与哪些因素有关？ 解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。 5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差？ 解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。 6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。试求： （1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。 解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为： dE dk dk dZ dE dZ E ? == )(ρ …………………………（1） 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为： dk L dk dZ π =?=k 2 ………………………… （2） 又由于 m k E 22 2η= 所以 m k dk dE 2η= …………………………（3） 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该 一维金属晶体中自由电子的状态密度为： E m L E 22)(ηπρ= (4) （2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为：

清华大学固体物理：第一章 自由电子论

第一章 自由电子论 1.1 经典自由电子论 1900年特鲁德 (P. Drude) 首先提出金属中的价电子好比气体分子，组成电子气体，它们可以同离子碰撞，在一定的温度下达到热平衡。因此电子气体可以用具有确定的平均速度和平均自由时间的电子来描述。在外电场作用下，电子产生定向漂移运动引起了电流。在温度场中电子气体的定向流动伴随着能量传送，使金属具有良好的热导。金属的电导和热导之间的维德曼－夫兰兹(Wiedemann -Franz) 定律反映了它们都起因于电子气体的定向流动，支持了电子气体模型。特鲁德金属电子气体模型的基本假设为： (1) 在两次碰撞间隙，忽略给定电子和其它电子及离子的相互作用。没有外加电磁场时，电子作匀速直线运动，在有外加电磁场时，电子受电磁力，运动遵从牛顿运动定律。忽略其它电子和离子产生的复杂的附加场。在两次碰撞间隙，忽略电子－电子之间的相互作用称为独立电子近似；忽略电子－离子之间的相互作用称为自由电子近似。 (2) 一个电子在有限的时间间隔dt 内经历的碰撞次数为τdt ，τ 称为平均自由时间，或弛豫时间。特鲁德假定弛豫时间与电子的位置和速度无关。这称为弛豫时间近似。 (3) 电子通过碰撞和它们的环境达到热平衡。遵从玻尔兹曼统计。电子每一次碰撞后，完全丢失原来的速度和运动方向，随机地改变运动方向，获得新的速率近似地由发生碰撞处的温度决定。这样发生碰撞的区域越热，碰撞后电子的速率越大。 应用特鲁德理论可以成功地解释金属的一些输运性质： 1 电子的运动方程 在任意时间t 电子的平均速度为p (t ) / m ，p 是每个电子的总动量。我们来计算经过无穷小的时间间隔dt 后每个电子的总动量p (t+dt )。电子在这段时间间隔内的碰撞几率为τdt ，不遭受碰撞的几率为τdt -1。假设电子不遭受碰撞，但是受到越过空间均匀的电场或/和磁场力()t f 的作用，因此电子总动量的增量为()()2dt o dt t +f 。忽略碰撞对电子总动量的影响有： ()()()()()()()()()()22 1t dt dt t t dt o dt t dt t t dt o dt ττ??+=-++-++?? p p f =p p f (1.1.1) 因此得到： ()()()()()()2dt o dt t t dt t dt t ++-=-+f p p p τ (1.1.2) 方程两边同除以dt ，并取dt → 0时的极限： ()()()t t dt t d f p p +-=τ (1.1.3) 这就是电子的运动方程。 2 金属的直流电导 欧姆定律的微分形式为： j = σ E (1.1.4) 其中σ 称为电导率。设单位体积中n 个电子以相同的平均速度υ运动，由此产生的电流密度j 将平行于υ。在时间间隔dt 内电子在速度方向运动的距离为υdt ，这样将有n υdtA 的电子越过垂直于速度方向的面积A ，每一个电子携带电荷 - e ，在时间间隔dt 内越过面积A 的电荷为 -ne υdtA ，因此电流密度为： j = -ne υ (1.1.5) 在没有外加电场时，电子的平均速度为零，电流密度也为零。在有外加电场E 时，稳态时，按照电子运 动方程，()0=dt t d p ，()()t t f p =τ ，因此附加定向速度的平均值为υ = -e E τ / m ，τ 为弛豫时间。因此： E j m ne τ 2= (1.1.6) 因此金属的电导率为： m ne τ σ2= (1.1.7) 3 霍尔效应 1879年霍尔 (E. H. Hall) 研究了在磁场中的载流导体，发现当磁场B (设沿z 方向) 垂直于电流j x 时，在垂直于电流和磁场方向导体两边 (沿y 方向) 有电压降。首先定义两个重要的物理量： ()x x j E H =ρ (1.1.8) 称为横向磁阻。其中E x 为沿电流j x 方向的电场。

金属自由电子理论

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第四章金属自由电子理论 1.金属自由电子论作了哪些假设得到了哪些结果 解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。 2.金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状费米能量与哪些因素有关 解：金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。 3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么 解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。 4.驰豫时间的物理意义是什么它与哪些因素有关 解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。 5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差 解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。

6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。试求： （1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。 解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为： dE dk dk dZ dE dZ E ? == )(ρ (1) 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为： dk L dk dZ π =?= k 2 (2) 又由于 m k E 22 2 = 所以 m k dk dE 2 = …………………………（3） 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为： E m L E 22)( πρ= (4) （2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为：

(完整版)大学物理章节习题9原子结构固体能带理论

?物理系_2015_09 《大学物理AII 》作业 No.9 原子结构 固体能带理论 班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______ 一、判断题：（用“T ”表示正确和“F ”表示错误） [ F ] 1．根据量子力学理论，氢原子中的电子是作确定的轨道运动，轨道是量子化的。 解：教材227.电子在核外不是按一定的轨道运动的，量子力学不能断言电子一定 出现 在核外某个确定的位置，而只能给出电子在核外各处出现的概率。 [ F ] 2．本征半导体是电子与空穴两种载流子同时参与导电，N 型半导体只有电子导 电，P 型半导体只有空穴导电。 解：N 型半导体中依然是两种载流子参与导电，不过其中电子是主要载流子；P 型半导体也是两种载流子参与导电，其中的主要载流子是空穴。 [ T ] 3．固体中能带的形成是由于固体中的电子仍然满足泡利不相容原理。 解：只要是费米子都要遵从泡利不相容原理，电子是费米子。 [ T ] 4．由于P 型和N 型半导体材料接触时载流子扩散形成的PN 结具有单向导电性。 解：教材244. [ F ] 5．施特恩-盖拉赫实验证实了原子定态能级的存在。 解：施特恩-盖拉赫实验验证了电子自旋的存在，弗兰克—赫兹实验证实了原子定态能级的存在. 二、选择题： 1．下列各组量子数中，哪一组可以描述原子中电子的状态？ [ D ] (A) n = 2，l = 2，m l = 0，21= s m (B) n = 3，l = 1，m l =-2，21-=s m (C) n = 1，l = 2，m l = 1，21=s m (D) n = 3，l = 2，m l = 0，2 1 -=s m 解：根据原子中电子四个量子数取值规则和泡利不相容原理知D 对。 故选 D 2．与绝缘体相比较，半导体能带结构的特点是 [ D ] (A) 导带也是空带 (B) 满带与导带重合 (C) 满带中总是有空穴，导带中总是有电 子 (D) 禁带宽度较窄 解：教材241-242. 3. 在原子的L 壳层中，电子可能具有的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )是 (1) (2，0，1， 2 1) (2) (2，1，0，2 1- )

2金属自由电子气的Drude模型

上讲回顾 ?固体的微观定义 *固体中的原子在其平衡位置附近作微小振动 ?贯穿课程的主线→ *周期性→波在周期性结构中的运动 10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型1

本讲内容：建模→推演→比较→修正?如何用在1900年左右可以理解和接受的假设、 前提和经典理论，在微观层次上建立研究金属 宏观性质的模型，解释实验观察到的金属的良 好导电和导热现象 *对已知现象，用已有知识，抓住要点 *困难之处施展腾挪手段 #一时搞不清楚的相互作用，用近似和假定绕过去?自由电子近似、独立电子近似、弛豫时间近似*用该模型研究金属的电导、热导→ #成功地解释Wiedemann-Franz定律 *对比实验，分析该模型的局限，提出模型改进之道10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型2

第2讲、金属电子气的Drude模型 1.已知的金属性质 2.模型的建立——基本假定及其合理性分析 3.金属电导率 4.金属热传导 5.Wiedemann-Franz定律 6.Hall效应和磁阻 7.Drude模型的局限 10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型3

1、已知的金属性质 模型建立的依据 10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型4

为什么研究固体从金属开始？ ?金属最基本物质状态之一，元素周期表中有2/3是金属元素，应用很广泛，当时对金属的了解 比其他固体多 *比如，电导、热导、光泽、延展等性能很早开始就 被广泛应用 *区分非金属，实际上也是从理解金属开始 ?当时已经知道很多其他固体所没有的金属性质*这些性质很多已经有应用，亟需知道其之所以有这 些性质的原因 10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型5

固体能带理论综述

半导体物理学 ——固体能带理论综述 班级：材料物理081401 姓名：薛健 学号：200814020122

固体能带理论综述 摘要:本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似、包络函数模型(平面波展开方法)等基本理论。还介绍了采用了包络函数法和近自由电子近似法来计算其能带结构。可以看出，采用包络函数方法外推势能分布为体材料的势能分布时得到能带结构与利用准自由电子近似的方法得到的结果一致；另外，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。 关键词：能带理论,包络函数,近自由电子近似 一、引言 能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5， 7， 8， 11]、 K.P方法[12]。人们用这些方法对量子阱[2， 8， 9，10]。量子线[11，12，13]、量子点结构[16， 17]的材料进行了计算和分析，并取得了较好计算结果。使得对这些结构的器件的设计有所依据。并对一些器件的特性进行了合理的解释。 固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的祸合，半导体中的价电子状态分为导带与价带，二者又以中间的禁带(带隙)分隔开。从半导体的能带理论出发引出了非常重要的空穴的概念，半导体中电子或光电子效应最直接地由导带底和价带顶的电子、空穴行为所决定，由此提出的P-N结及其理论己成为当今微电子发展的物理依据。半导体能带结构的具体形态与晶格结构的对称性和价键特性密切相关，不同的材料〔如Si,Ge与GaAs,InP)能带结构各异，除带隙宽度外、导带底价带顶在k空间的位置也不同，GaAs,InP等化合物材料的导带底价带顶同处于k 空间的中心位置，称为直接带隙材料，此结构电子-空穴的带间复合几率很大，并以辐射光子的形态释放能量，由此引导人们研制了高效率的发光二极管和半导体激光器，在光电子及光子集成技术的发展中，其重要性可与微电子技术中的 晶体管相比拟。 二、布洛赫定理[1] 能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电子，在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在其平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶体，晶格具有周期性，因而等效势场V (r)也应具有周期性。晶体中的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，其波动方程为: （1）

固体的能带理论 习题

第五章 固体的能带理论 1.布洛赫电子论作了哪些基本近似？它与金属自由电子论相比有哪些改进？ 解：布洛赫电子论作了3条基本假设，即①绝热近似，认为离子实固定在其瞬时位置上，可把电子的运动与离子实的运动分开来处理；②单电子近似，认为一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动；③周期场近似，假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性。布洛赫电子论相比于金属自由电子论，考虑了电子和离子实之间的相互作用，也考虑了电子与电子的相互作用。 2.周期场对能带形成是必要条件吗？ 解：周期场对能带的形成是必要条件，这是由于在周期场中运动的电子的波函数是一个周期性调幅的平面波，即是一个布洛赫波。由此使能量本征值也称为波矢的周期函数，从而形成了一系列的能带。 3.一个能带有N 个准连续能级的物理原因是什么？ 解：这是由于晶体中含有的总原胞数N 通常都是很大的，所以k 的取值是十分密集的，相应的能级也同样十分密集，因而便形成了准连续的能级。 4.禁带形成的原因如何？您能否用一物理图像来描述？ 解：对于在倒格矢h K 中垂面及其附近的波矢k ，即布里渊区界面附近的波矢k ，由于采用简并微扰计算，致使能级间产生排斥作用，从而使)(k E 函数在布里渊区界面处“断开”，即发生突变，从而产生了禁带。

5.近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同之处？ 解：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚模型则认为电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其它原子场的作用看成微扰作用。这两种模型的相同之处是：选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数集，然后将电子的波函数在所选取的函数集中展开，其展开式中有一组特定的展开系数，将展开后的电子的波函数代入薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，可以得到一组各展开系数满足的久期方程。这个久期方程组是一组齐次方程组，由齐次方程组有解条件可求出电子能量的本征值，由此便揭示出了系统中电子的能带结构。 6.布洛赫电子的费米面与哪些因素有关？确定费米面有何重要性？ 解：布洛赫电子的费米面与晶体的种类及其电子数目有关。由于晶体的很多物理过程主要是由费米面附近的电子行为决定的，如导电、导热等，所以确定费米面对研究晶体的物理性质及预测晶体的物理行为都有很重要的作用。 7.试述晶体中的电子作准经典运动的条件和准经典运动的基本公式。 解：在实际问题中，只有当波包的尺寸远大于原胞的尺寸，才能把晶体中的电子看做准经典粒子。 准经典运动的基本公式有： 晶体电子的准动量为 k p η=； 晶体电子的速度为 )(1 k v k E ?= η； 晶体电子受到的外力为 dt d k F η= 晶体电子的倒有效质量张量为 β ααβk k E m ???=) (1122*k η； 在外加电磁场作用下，晶体电子的状态变化满足： )(B v Εk ?+-=ηe dt d )(*B v Εv ?+-=m e dt d 8.试述有效质量、空穴的意义。引入它们有何用处？ 解：有效质量实际上是包含了晶体周期势场作用的电子质量，它的引入使得晶体中电子准经典运动的加速度与外力直接联系起来了，就像经典力学中牛顿第二定律一样，这样便于我们处理外力作用下晶体电子的动力学问题。 当满带顶附近有空状态k 时，整个能带中的电流，以及电流在外电磁场作用下的变化，完全如同存在一个带正电荷q 和具有正质量*m 、速度v(k)的粒子的情况一样，这样一个假想的粒子称为空穴。空穴的引入使得满带顶附近缺少一些电子的问题和导带底有少数电子的问题十分相似，给我们研究半导体和某些金属的导电性能带来了很大的方便。 9.试述导体、半导体和绝缘体能带结构的基本特征。 解：在导体中，除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带。 在半导体中，由于存在一定的杂质，或由于热激发使导带中存有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性。

固体能带理论综述

固体能带理论综述 摘要 本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似、包络函数模型(平面波展开方法)等基本理论。还介绍了采用了包络函数法和近自由电子近似法来计算其能带结构。可以看出，采用包络函数方法外推势能分布为体材料的势能分布时得到能带结构与利用准自由电子近似的方法得到的结果一致；另外，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。 关键词：能带理论包络函数近自由电子近似 1 引言 能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5， 7， 8， 11]、 K.P方法[12]。人们用这些方法对量子阱[2， 8， 9，10]。量子线[11，12，13]、量子点结构[16， 17]的材料进行了计算和分析，并取得了较好计算结果。使得对这些结构的器件的设计有所依据。并对一些器件的特性进行了合理的解释。 固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的耦合，半导体中的价电子状态分为导带与价带，二者又以中间的禁带(带隙)分隔开。从半导体的能带理论出发引出了非常重要的空穴的概念，半导体中电子或光电子效应最直接地由导带底和价带顶的电子、空穴行为所决定，由此提出的P-N结及其理论己成为当今微电子发展的物理依据。半导体能带结构的具体形态与晶格结构的对称性和价键特性密切相关，不同的材料〔如Si,Ge与GaAs,InP)能带结构各异，除带隙宽度外、导带底价带顶在k空间的位置也不同，GaAs,InP等化合物材料的导带底价带顶同处于k 空间的中心位置，称为直接带隙材料，此结构电子-空穴的带间复合几率很大，并以辐射光子的形态释放能量，由此引导人们研制了高效率的发光二极管和半导体激光器，在光电子及光子集成技术的发展中，其重要性可与微电子技术中的晶体管相比拟。

金属自由电子理论

金属自由电子理论 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

第四章金属自由电子理论 1.金属自由电子论作了哪些假设得到了哪些结果 解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。 2.金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状费米能量与哪些因素有关 解：金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。 3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么 解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。 4.驰豫时间的物理意义是什么它与哪些因素有关 解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。 5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差

解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。 6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。试求： （1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。 解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为： dE dk dk dZ dE dZ E ? == )(ρ …………………………（1） 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为： dk L dk dZ π =?= k 2 (2) 又由于 m k E 22 2 = 所以 m k dk dE 2 = (3) 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为：

固体能带理论II修订版

固体能带理论I I Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998

晶体的能带结构 1 导体、半导体和绝缘体的能带解释 能态总数 根据周期性边界条件，布洛赫电子量子态k 在k 空间量子态的密度为V /83π，V 为晶体体积。每个能带中的量子态数受第一布里渊区体积的限制为N 。N 为原胞数。考虑到每个量子态可以填充自旋相反的两个电子，每个能带可以填充2N 个电子。简单晶格晶体的每个原子内部满壳层的电子总数肯定为偶数，正好填满能量最低的几个能带。不满壳层中的电子数为偶数的，也正好填满几个能带，为奇数的则必定有一个能带为半满。复式晶格可以根据单胞数N 和每个单胞中的原子和每个原子的电子数讨论电子填充能带的情况。 满带电子不导电 由于布洛赫电子的能量在k 空间具有反演对称性，即 ()()k k -=n n E E 因此布洛赫电子在k 空间是对称分布的。在同一能带中k 和 k 态具有相反的速度： ()()k k --=υυ 在一个被电子填满的能带中，尽管对任一个电子都贡献一定的电流υq -，但是k 和 k 态电子贡献的电流正好相互抵销，所以总电流为零。 即使有外加电场或磁场，也不改变k 和 k 态电子贡献的电流正好相互抵销，总电流为零的情况。在外场力的作用下，每一个布洛赫电子在k 空间作匀速运动，不断改变自己的量子态k ，但是简约区中所有的量子态始终完全占据，保持整个能带处于均匀填满的状态，k 和 k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。因此满带电子不导电。 导体和非导体模型 部分填充的能带和满带不同，虽然没有外场力作用时，布洛赫电子在k 空间对称分布，k 和 k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。但是在外场力作用下，由于声子、杂质和缺陷的散射，能带中布洛赫电子在k 空间对称分布被破坏，逆电场方向有一小的偏移，电子电流将只能部分抵销，抵销不掉的量子态上的电子将产生一定的电流。 根据布洛赫电子填充能带和在外场力作用下量子态的变化，提出了导体和非导体能带填充模型。在非导体中，电子恰好填满最低的一系列能带（通常称为价带），其余的能量较高的能带（通常称为导带）中没有电子。由于满带不产生电流，尽管晶体中存在很多电子，无论有无外场力存在，晶体中都没有电流。在导体中，部分填满能带（通常也称为导带）中的电子在外场中将产生电流。 本征半导体和绝缘体的能带填充情况是相同的，只有满带和空带，它们之间的差别只是价带和导带之间的能带隙（band gap ）宽度不同，本征半导体的能隙较小，绝缘体的能隙较大。本征半导体由于热激发，少数价带顶的电子可能激发到导带底，在价带顶造成空穴，同时在导带底出现传导电子，产生所谓本征导电。 在金属和本征半导体之间还存在一种中间情况，导带底和价带顶发生交叠或具有相同的能量，有时称为具有负能隙宽度或零能隙宽度。在此情况下，通常在价带顶有一定数量的空穴，同时在导带底有一定数量的电子，但是其导电电子密度比普通金属小几个数量级，导电性很差，通常称为半金属。V 族元素Bi 、Sb 、As 都是半金属。它们具有三角晶格结构，每个原胞中含有两个原子，因此含有偶数个价电子，似乎应该是绝缘体。但是由于能带之间的交叠使它们具有金属的导电性，由于能带交叠比较小，对导电有贡献的载流子浓度远小于普通金属，例如Bi 约为3 1017 cm 。是普通金属的10。Bi 的电阻率比普通金属高10到100倍。 近满带和空穴 假设满带中只有一个量子态k 上缺少一个电子，设I (k ) 表示近满带的总电流，假如放上一个电子使能带变成满带，这个电子贡献的电流为 ()k υq - 而且 ()()[]0=-+k k I υq 或 ()()k k I υq = 表明近满带的总电流如同一个速度为空状态k 的电子速度()k υ、带正电荷q 的粒子引起的电流。

固体物理中的能带理论

固体物理中的能带理论 摘要 本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似、包络函数模型(平面波展开方法)等基本理论。还介绍了采用了包络函数法和近自由电子近似法来计算其能带结构。可以看出，采用包络函数方法外推势能分布为体材料的势能分布时得到能带结构与利用准自由电子近似的方法得到的结果一致；另外，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。 关键词：能带理论包络函数近自由电子近似 1 引言 能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5， 7， 8， 11]、K.P方法[12]。人们用这些方法对量子阱[2， 8， 9，10]。量子线[11，12，13]、量子点结构[16， 17]的材料进行了计算和分析，并取得了较好计算结果。使得对这些结构的器件的设计有所依据。并对一些器件的特性进行了合理的解释。 固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的祸合，半导体中的价电子状态分为导带与价带，二者又以中间的禁带(带隙)分隔开。从半导体的能带理论出发引出了非常重要的空穴的概念，半导体中电子或光电子效应最直接地由导带底和价带顶的电子、空穴行为所决定，由此提出的P-N结及其理论己成为当今微电子发展的物理依据。半导体能带结构的具体形态与晶格结构的对称性和价键特性密切相关，不同的材料〔如Si,Ge与GaAs,InP)能带结构各异，除带隙宽度外、导带底价带顶在k空间的位置也不同，GaAs,InP等化合物材料的导带底价带顶同处于k 空间的中心位置，称为直接带隙材料，此结构电子-空穴的带间复合几率很大，并以辐射光子的形态释放能量，由此引导人们研制了高效率的发光二极管和半导体激光器，在光电子及光子集成技术的发展中，其重要性可与微电子技术中的晶体管相比拟。