2013年浙江大学物理竞赛讲义——恒定电流

稳恒电流讲义

一、电路的基本概念及规律

1.电流强度

电荷的定向运动形成电流，电流强度即单位时间内通过导体任一截面的电量。设在时间间隔△t 通过某一截面的电量为△Q ，则电流强度为Q

I t

?=

? 电流的微观表达式 ：υnes I =（其中n 为电荷的数密度，S 为导体的横截面积，v 为电荷定向移动的速度） 2.电流密度

在通常情况的电路问题中，通过导线截面的电流用电流强度描述就

可以了，但在讨论大块导体中的电流的流动时，用电流强度描述就过于粗糙了，这是因为电流在截面上将会有一个强弱不同的分布，而且各点的电流方向可能并不一致。为此需引入电流密度j ，电流密度的定义，考虑导体中某一给定点P ，在该点沿电流方向作一单位矢量n ，并取一面元△S 与n 垂直，设通过△S 的电流强度为△I ，则定义P 点处电流密度的大小为

nev =??=

S

I

j 电流密度的单位为安培／米2（A·m －

2）。

通过导体任一有限截面△S 的电流强度为： ∑

=∞

→??=n

i i i n S j I 1

lim

3．电动势

正电荷在电场力的作用下从高电势处移到低电势处，而一非静电力把正电荷从低电势处搬运

到高电势处，提供非静电力的装置称为电源．电源内的非静电力克服电源内静电力作用，把流到负极的正电荷从负极移到正极．若正电荷q 受到非静电力f →

非，则电源内有非静电场，非静电场的强度E 非也类似电场强度的定义：k f E q

=

非

将非静电场把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时所做的功定义为电源的电动势，即

W E l q

ε=??=

∑非

非 4．欧姆定律

通过一段导体的电流强度与导体两端的电压成正比，与电阻R 成反比，即

R

U I =

这条定律，只适用于金属和电解液，即R 为常数的情形。满足欧姆定律的元件的电阻称为线性电阻，对于非线性元件，欧姆定律不适用，但仍可定义电阻 I U R /= ，只是R 还与工作状态下的电压、电流有关。

5．欧姆定律的微观表达式

设想在载有稳恒电流的各向同性的导体内取一长度为l ?，垂直截面积为S ?的小电流管分析，有

S

l U R

U I ???=?=

?ρ则：

l U S I ??=??ρE E j σρ==?1

（σ为电导率）,即→

→

=E j σ

6．含源电路的欧姆定律

如图所示含有电源的电路称为含源电路．含源电路的欧姆定律就是找出电路中两点间电压与电流的关系．常用“数电压”的方法．即从一点出发，沿一方向，把电势的升降累加起来得到另一点的电势，从而得到两点间的电压．设电流从a 流向b ，则有

1122a

b

U Ir IR Ir U εε+----= a 、b 两点间电压为 1212

a

b U U Ir IR Ir

εε-=-++++ 写成一般形式

a

b i i i

U U ε-=+∑∑（I R ）

闭合回路的欧姆定律：

对于上图可把a 、b 两点连起来形成一闭合回路，则

a b U U -=，即

12120

Ir IR Ir εε-++++=，

12

12-I r r R

εε=

++，写成一般形式：

i i

I R ε

=

∑∑

二、题型与方法

题型一：复杂电路的计算问题 方法一：基尔霍夫定律

1：基尔霍夫第一定律——节点定则： 流入任何一个节点的总电流必等于流出该节点的总电流.

1234I I I I +=+

注意：N 个节点，可以列N-1个独立方程

2：基尔霍夫第二定律——回路定则：

沿任一闭合回路的电势变化的代数和为零（或沿任一闭合回路,升高的电势等于降落的电势） 注意：M 个网孔，可以列M 个独立方程

【例1】如图所示，电源电动势V V 0.1,0.321==εε，内阻Ω=Ω=0.1,5.021r r ，电阻

Ω=Ω=Ω=Ω=0.19,5.4,0.5,0.104321R R R R ，求电路中三条支路

上的电流强度。

方法二：叠加原理

内容：含源网络中每一个支路中的电流，可以看作网络中每一个电源在支路中独立提供的电流的叠加．

方法：在计算每个电源独立作用提供的电流时，应将其它电源的电动势去掉，仅保留其内阻。方法三：等效电压源（戴维宁定理）

任意一含源的二端网络都可以等效成一电动势为E0，电源内阻为r0的电源。

求E0的方法：网络两端开路时的路端电压

求r0的方法：网络除电源后的等效电阻

方法四：等效电流源（诺尔顿定律）

两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的电流I0等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除电源后的等效电阻

【例2】如图，电路构成为四面体的棱，各电阻均为R=2Ω，各电源电

动势均为E=2V，内阻均为r=1Ω，求节点B、C间的电压。

【例3】在如图复15-6所示的网络中，仅知

道部分支路上电流值及其方向、某些元件参

数和支路交点的电势值（有关数值及参数已

标在图上）。请你利用所给的有关数值及参

数求出含有电阻R x的支路上的电流值及其

方向。

【例4】若干个电阻构成如图所示的电路，其中A 和B 两点的接地电阻是固定不变的。输入电压V1，V2，…V n 仅取1V 或0V 两个值，0V 表示接地。 (1)当n=3时，B 点输出电压有几种可能的值？ (2)当n →∞时，B 点的最大输出电压是多少？

题型二：等效电阻求解问题

方法一：等势缩点法:利用对称性求电路的等效电阻问题

【例5】如图所示的电阻网络，每一段的电阻为r ，求AB 的等效电阻和MN 之间的等效电阻。

【提高】由单位长度电阻为r 的导线组成如图所示的正方形网络系列．n=1时，正方形网络边长为L,n= 2时，小正方形网络的边长为L/3；n=3 时，最小正方形网络的边长为L/9．当 n=1、2、3 时，各网络上A 、B 两点间的电阻分别为多少？

【例6】一正方体，每一条边的电阻为R ，求R AC ，R AD ，R AG 。

【相关变换】如图所示的平面电阻丝网络中，每一直线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r ．试求A 、B 两点间的等效电阻．

2Ω

【提高】如图所示，正六边形每条棱的电阻都为r，每个顶点至中心O连

线电阻也为r。

1）求A,H两点的电阻；2）求A,B两点的电阻。

方法二：利用递推法求解等效电阻

【例7】：在图8-11甲所示无限网络中，每个电阻的阻值均为

R ，试求A、B两点间的电阻R AB。

【相关变换1】在图8-13甲所示的三维无限网络中，每两个节点

之间的导体电阻均为R ，试求A、B两点间的等效电阻R AB。

【相关变换2】试求框架上A、B两点间的电阻R AB．此框架是用同

种细金属制作的，单位长度的电阻为ρ．一连串内接等边三角形的

数目可认为趋向无穷，如图所示．取AB边长为a，以下每个三角形

的边长依次减少一半．

【相关变换3】如图所示，由粗细、质地均匀的细金属丝连成的无

限内接网络。已知金属丝单位长度的电阻为ρ，求等效电阻R AB

（ABC为等边三角形，且边长为a，内接三角形的顶点均为三角

形各边的中点）

【提高】六个相同的电阻（阻值均为R ）连成一个电阻环，六个接点依次为1、2、3、4、5和6，如图复16-5-1所示。现有五个完全相同的这样的电阻环，分别称为1D 、2D 、┅5D 。

现将2D 的1、3、5三点分别与1D 的2、4、6三点用导线连接，如图复16-5-2所示。然后将3D 的1、3、5三点分别与2D 的2、4、6三点用导线连接，┅ 依此类推。最后将5D 的1、3、5三点分别连接到4D 的2、4、6三点上。

1．证明全部接好后，在1D 上的1、3两点间的等效电阻为724

627

R 。 2．求全部接好后，在5D 上的1、3两点间的等效电阻。

方法三：利用电流分布法求等效电阻

【例8】电阻分布如图所示，试求A 、B 间的等效电阻。

方法四：利用电流叠加原理求等效电阻

【例9】电阻丝网络如图所示，每一小段的电阻均为R ，求AB 之间的等效电阻R

【例10】一个无限延展的矩形线圈平面网络，求任意相邻两点AB 间的电阻。

变：若把AB 间的电阻r 去掉，则AB 间的电阻为多少？ 变：若把AB 间的电阻换成R ，则AB 间的电阻为多少？

变：若把所有电阻换成电容C ，则AB 间的等效电容是多少？

2R

【相关变换】无限大六角形网络, 每边电阻为r, 求: (1)ab 之间电阻;

(2)如果电流从a 流入, 从g 流出, 求de 段的电流.

【提高】一个平面把空间分为两个部分。一半充满了均匀的导电介质, 而物理学家在另一半空间里工作。他们在平面上画出一个边长为a 的正方形的轮廓, 并用精细的电极使一电流I0在正方形的两个相邻角, 一个流入，一个流出。同时, 他们测量另两个角之间的电势差V 。如图所示。问物理学家们如何用这些数据来计算均匀介质的电阻率？

方法五：利用△-Y 转化求解等效电阻

????

?????++=++=++=31231231233

31

231223

122

31

231212131

R R R R R R R R R R R R R R R R R R ????

?????++=

++=++=2133221311

13322123

3

1

3322112

R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R

【例10】试利用△——Y 转化求R AG

【提高】如图所示电路，图中各电阻均相等为r ，电容C 1=C 2=2C 0 C 3=C 0.电源电动势为ε，内电阻为r/12，试求C 1,C 2,C 3,与O 连接极板所带电荷。

题型三: 含容电路的计算

【例11】如图7-21所示的电路中，三个电容器完全相同，电源电动势ε1 = 3.0V ，ε2 = 4.5V ，开关K 1和K 2接通前电容器均未带电，试求K 1和K 2接通后三个电容器的电压U ao 、U bo 和U co 各为多少。

【相关变换1】正六面体网络中，四个电阻都相同，ε1 = 4V ，ε2 = 8V ，ε3 = 12V ，ε4 = 16V ，四个电源均不计内阻，C 1 = C 2 = C 3 = C 4 = 1μF 。试求：①四电容器积聚的总能；②若将a 、b 两点短接，C 2上将具有多少电荷？

【相关变换2】在图示的复杂网络中，所有电源的电动势均为E 0，所有电阻器的电阻值均为R 0，所有电容器的电容均为C 0，则图示电容器A 极板上的电荷量为多少？

【例12】如图7-22所示，由n 个单元组成的电容器网络，每一个单元由三个电容器连接而成，其中有两个的电容为3C ，另一个的电容为3C 。以a 、b 为网络的输入端，a ′、b ′为输出端，今在a 、b 间加一个恒定电压U ，而在a ′b ′间接一个电容为C 的电容器，试求：（1）从第k

单元输入端

算起，后面所有电容器储存的总电能；（2）若把第一单元输出端与后面断开，再除去电源，并把它的输入端短路，则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少？

【相关变换1】由如图所示的电路，其中 E 为内阻可以忽

略的电源的电动势，R 为电阻的阻值；K 为开关；A 、 B

右边是如图所标的 8 个完全相同的容量均为 C 的理想

电容器组成的电路，问从合上 K 到各电容器充电完毕，

电阻 R 上发热消耗的能量是多少？（在解题时，要求在

图上标出你所设定的各个电容器极板上电荷的正负）

【例13】如图所示,C

=4C0,C2=2C0,C3=C0,电池的电动势为E，内

阻不计，C0和E均已知，先在断开S4的条件下，接通S1，S2，

S3，令电池给三个电容器充电,然后断开S1，S2，S3，接通S4,使

电容器放电,问

(1)放电过程中,电阻R上共产生多少热量?

(2)放电过程中达到放电量一半时,R上电流多大?

【例14】如图所示的一个由正三角型和正六边形组成的平面无限电阻和电容网络。网络内的正三角形每边上有三个串联的电容为C的电容器，除AB边以外，正六边形每边有一个电容为C的电容器，如图所示，网络中正六边形的边长为a，单位长度导线的电阻为r，AB边上有一个电动势为ε，内电阻为零的电池。求：从电建S闭合到系统稳定的过程中，整个网络的电阻所放出的总热量。

题型四: 非线性电路的分析（含二极管、三极管）

【例15】如图16-4-1所示，电阻121k R R ==Ω，电动势6V =E ，内阻不计，两个相同的二极管D 串联在电路中，二极管D 的D D I U -特性曲线如图16-6-2所示。试求：

1. 通过二极管D 的电流。

2. 电阻1R 消耗的功率。

【例16】两个相同的非理想二极管，其伏安特性曲线如图所示，它们与电容器连在一起，两个电阻器，一个理想电池如图所示接入电路中。两个电阻分别为R=16欧和r=4欧，电池电动势V 4=ε，电容器电容C=10-4F ，二极管伏安特性曲线参数u 0=1V ，I 0=0.05A 。求： （1）电路中电键闭合后电容器充电电压。

（2）电容器充电后电键断开，当电容器放电时，求电阻R 上释放的热量。哪一个二极管释放热量？

【例17】半导体pn 结太阳能电池是根据光生伏打效应工作的。当有光照射pn 结时，pn 结两端会产生电势差，这就是光生伏打效应。当pn 结两端接有负载时，光照使pn 结内部产生由负极指向正极的电流即光电流，照射光的强度恒定时，光电流是恒定的，已知该光电流为I L ；同时，pn 结又是一个二极管，当有电流流过负载时，负载两端的电压V 使二极管正向导通，其电流为)1(0-=Vr

V D

e

I I ，式中Vr 和I 0在一定条件下均为

已知常数。

1、在照射光的强度不变时，通过负载的电流I 与负载两端的电压V 的关

系是I=__________________。太阳能电池的短路电流I S =_______________，开路电压V OC =___________________，负载获得的功率P=______________。

2、已知一硅pn 结太阳能电池的I L =95mA ，I 0=4.1×10－

9mA ，Vr=0.026V

。则此太阳能电池的开路电

R

C ε

r

压V OC =___________________V ，若太阳能电池输出功率最大时，负载两端的电压可近似表示为

)

/(1)

/(1ln

0Vr V I I Vr V OC L mP ++=，则V mP =______________V 。太阳能电池输出的最大功率

P max =_______________mW 。若负载为欧姆电阻，则输出最大功率时，负载电阻R=____________Ω。

【例18】晶体三极管的基极B 、反射极E

势分别用U B 、U E 和U C 表示。理想的硅性能如下：

当U

B 较U E 高0.6V 或更高，即U B -U E 管完全导通，即发射极E 与集电极

C 接接通。

当U B -U E <0.6V C 态。图10-7所示是一个有实际用途的电

路，Ⅰ和Ⅱ都是理想的硅NPN 开关三极

管。 要求1．在图10-8中画出输出电压

U 2随输入电压U 1变化的图线。

2．举出此电路一个可能的应用。

题型五:电势差计

电势差计是一种利用补偿法比较精确测量电压、电动势、电阻的仪器，通常测量电源参数时，总有电流流过电源，因而造成误差（精确测量时，要想办法消除电流的影响，补偿法可以实现这一点）

图中工作电源与粗细均匀的电阻线A 、B 相连。适当调节C 的位置，当电阻丝在A 、C 段的电势降刚好与待测电源的电动势Ex 相等时，灵敏电流计G 内没有电流流过，待测电源中的电流也为0，这时，称待测电路得到了补偿。 测量步骤与原理：

①先将开关K 掷于2方，调节触头B 使电流计示数为0

图10-8

这时，D 点与B 点等电位，故有

1S AB E U IR ==

②再将开关K 掷于1方，因一般X S E E ≠ ，调节触头至另一点B ’，以重新达到平衡（G 表读数为0）， '2X AB E U IR == ③因为两种情况下，G 都无电流，故

1122s x E R l E R l ==，有21

x s l

E E l = ④在k2打在1处，将k3闭合，将触头移到B ’’,同样调节到平衡，G 都无电流，此时待测电源的路

端电压U X ，有

31x S U l E l =，31x S l U E l =，3(1)x x r

E U R =+，3(1)x x

E r R U =-

利用电势差计还可以借助比较法测电阻，测量方法如图所示。图中R 为标准电阻，Rx 为待测电阻，先用电势差计测出Rx 两端的电压为Ux ，再用同样的方法测出标准电阻R 两端的电压，由于电势差计，没有分流作用，故

:::x x x U U IR IR R R ==，则x

x U R R U

=

【例19】如图用电势差计测电池内阻的电路图，实际的电势差计在标准电阻R AB 上直接刻度的不是阻值，也不是长度，而是各长度对对应的电势差值，R M 为被测电池的负载电阻，阻值为100Ω，实验开始时，K 2打开，K 1接在1处，调节R N 使流过R AB 的电流准确地达到标准值，然后K 1拔在2处，滑动C ，当电流计指针指指零时读得U AC =1.5025V ，再闭合开关K 2，滑动C ，当电流计指针指零时，读得U AC =1.4455V ，试根据这些数据计算电池内阻。

【例20】写出用补偿法测量给定干电池的电动势及内阻的测量方案（要求画出测量电路图、写出简明实验步骤、给出主要测量公式），并简要分析误差来源。

[实验器材]：标准电池（已知电动势E 1=1.019V ）一只，待测干电池一只（内阻未知），标准电阻箱2只，AC5型检流计1只，开关2只，导线若干。