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二次函数在给定区间的最值教学设计

苏教版九年级下册6.1二次函数教案

6.1 二次函数一.学习目标 1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。 2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。二.知识导学（一）情景导学 1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是。 2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围较大? 设长方形的长为x 米，则宽为米，如果将面积记为y 平方米，那么变量y 与x 之间的函数关系式为 . 3．要给边长为x 米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y 为多少元？在这个问题中，地板的费用与有关，为元,踢脚线的费用与有关，为元；其他费用固定不变为元，所以总费用y （元）与x （m ）之间的函数关系式是。（二）归纳提高。上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？。一般地，我们称表示的函数为二次函数。其中是自变量，函数。一般地，二次函数c bx ax y ++=2中自变量x 的取值范围是，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？（三）典例分析例1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c 的值. (1) y ＝1— 23x (2)y ＝x(x －5) (3)y ＝ x 21－23x ＋1 (4) y ＝3x(2－x)＋ 3x 2 (5)y ＝ 12312++x x (6) y ＝652++x x (7)y ＝ x 4＋2x 2－1 (8)y ＝ax 2＋bx ＋c 例2．当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k k x k y 为二次函数？例3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． ⑴正方体的表面积S （cm 2）与棱长a （cm ）之间的函数关系； ⑵圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系； ⑶某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所

二次函数教学设计方案(共5讲)

二次函数教学设计方案单元知识集锦：教学重点：二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题．教学难点：二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题．第一讲二次函数的概念一般地，形如_______________的函数，叫做二次函数.图像是__________. 例:下列各式中,y 是x 的二次函数的是（） A.3 230x y --= B.2 (2)(2)(5)y x x x =+--- C.21 y x x = + D.2(1)210x y --+= 练习：若232 (3)1k k y k x kx -+=-++的图象是抛物线，则k= 注意：

2y ax =的图像和性质（1）顶点坐标___________ 对称轴___________. （2）开口方向由_________决定. __0__0 a a （3）增减性: 如果a ＞0. 00x x >< 如果a ＜0. 00 x x >< （4）开口大小由________决定. _______越大开口越________. 例1 若抛物线2 10 (3)m y m x -=+的开口向下，则m 为_______. 例2 已知直线y ax b =+经过二、三、四象限，则抛物线2 y abx =（） A.开口向上，有最低点 B. 开口向下，有最高点 C.开口向下，有最低点 D. 开口向上，有最高点练习：已知函数2 5y x =-+，当x 取1x ，2x 12()x x ≠，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为_______. 2y ax c =+的图像和性质（1）顶点坐标___________ 对称轴___________. （2）开口方向由_________决定. __0__0 a a （3）增减性: 如果a ＞0. 00x x >< 如果a ＜0. 00 x x >< （4）开口大小由________决定. _______越大开口越________. 例1 在抛物线2 132 y x =- -的对称轴左侧（） A.y 随x 的增大而增大 B. y 随x 的增大而减小

二次函数教案设计(全)

课题：1.1二次函数教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。教学重点：二次函数的概念和解析式教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。教学设计：一、创设情境，导入新课问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题）二、合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系：（1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) （一）教师组织合作学习活动： 1、先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。（1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？让学生充分发表意见，提出各自看法。 x

北京版-数学-九年级上册- 二次函数的应用教案

《二次函数的应用》教案教学目标一、知识与技能 1．巩固并熟练掌握二次函数的性质． 2．能够运用二次函数的性质解决实际问题． 3．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．增强解决问题的能力．二、能力目标建立二次函数模型，进一步体会如何应用二次函数的有关知识解决一些生活实际问题，进而提高理解实际问题、从数学角度抽象分析实际问题和运用数学知识解决实际问题的能力．三、情感态度与价值观 1．从实际生活中认识到：数学来源于生活，数学服务于生活． 2．培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成． 3．经历求最大面积的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．教学重点能利用实际问题列出二次函数的解析式，并能利用二次函数的性质求出最大值和最小值．教学难点能利用几何图形的有关知识求二次函数的解析式．教学过程一、相关知识回顾 1．函数223y x x =+-的最值是，是最（填“大”或者“小”）值． 2．说说你是如何做的？ 3．将函数2245y x x =+-化成顶点式，并指出顶点坐标，对称轴．二、新课引入 1．合作讨论，解决问题：如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角的边上．（1）如果设矩形的一边AB =x m ，那么AD 边的长度如何表示？（2）设矩形的面积为y m 2，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？

解：（1）设AD的长度为a m，则：BC=a m BC∥AD（已知） ∴ 40 3040 a x - = ∴ 3 30 4 a x =- 即 3 30 4 AD x =- （2）∵ 2 2 3 (30) 4 3 30 4 3 (20)300(040) 4 y x a x x x x x x =? =?- =-+ =--+<< 当20300 x y == 最大时， 2．变式训练，灵活运用议一议：如果把上题中的矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？小组成员之间相互讨论．解：由勾股定理可得，这个三角形的斜边长为50m 易求得斜边上的高为24m．

二次函数教学设计

滨泉中学教学设计课题22.1 二次函数（1）课时 1 设计教师李春丽备课组长学科书写授课班级9.2 课型新授课审核领导三维目标知识与技能能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。过程与方法通过实际问题的探究，认识二次函数，认识二次项、一次项、常数项。情感态度与价值观注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯教学重点能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围教学难点能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围教学方法自主学习辅导法教学资源多媒体课件教学流程教师活动学生活动设计意图情境导入一、试一试 1、设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为 xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中， AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长(m) 12 面积y(m2) 48 2、x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3、我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积 (y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的 BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题： (1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识。可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜ 10。实际问题导入，体现新知识的产生源于生活实际的需要。

二次函数的应用(教学设计)

二次函数在生活中应用浦桂花学习目标: 1、会运用二次函数及其图像的知识解决现实生活中的实际问题。 2、初步体会到数形结合、数学建模以及函数和方程互相转化等数学思想、方法. 3、感悟“数学来源于生活，又指导生活”，激发出学习数学的浓厚兴趣. 一、引入：在日常生活中，我们接触到许多与二次函数有关的实际问题，例如：投篮后篮球运行的路线，推铅球时铅球运行的路线和喷池中水流的路线等等。今天就运用以前学过的二次函数的知识来解决这些实际问题。二、典型例题：例1: 小明参加铅球比赛,已知铅球的运行的路线是一条抛物线.铅球出手时的高度是米,铅球最高处离地面3米,距离出手时的水平距离是4米. 试推测小明这次铅球的比赛成绩. 35

例2：某越江隧道的横断面的轮廓线是一段抛物线．已知隧道的地面宽度为20米，地面离隧道最高点 C 的高度为10米． (1)、请建立适当的平面直角坐标系，并求出这段抛物线所表示的二次函数的解析式. (2)、这隧道设计为双向行驶，现有一辆宽为5米，高为6 米装满货物的卡车，问这辆卡车能否顺利通过？ C A B 三、巩固练习：如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10米，（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥280千米，（桥长忽略不计）货车以每小时 40千米的速度开往乙地，当行驶到1小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时0.25米的速度持续上涨，（货车接到通知时水位在CD处），当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行；

九年级数学上册22.1.1二次函数教案

22.1.1 二次函数一、教学目标 1.结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 二、课时安排 1课时三、教学重点体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念. 四、教学难点能够表示简单变量之间的二次函数关系. 五、教学过程（一）导入新课情景问题：正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y.显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为 y=6x2. （1）（二）讲授新课问题1：n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系？分析：每个队要与其他（n-1）支球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数是1 (1) 2 n n-（2）问题2：某种产品现在的年常量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？分析：这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1+x) t，再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x) t，即两年后的产量 22 20(1)204020 y x x x =+=++（3）活动2：探究归纳函数（1）（2）（3）有什么共同点？

明确：一般地，形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数. （三）重难点精讲例1 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m 2)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？ 2(602)30.2 a S a a a -=? =-+ 例2 （1）m 取什么值时，此函数是正比例函数？（2） m 取什么值时，此函数是二次函数？解：由（1）可知, 271, 30,m m ?-=?+≠? 解得：=m ± 由（2）可知，272,30,m m ?-=?+≠? 解得m=3 归纳：本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题紧扣概念的特征进行解题.尤其第2问要保证二次项系数m+3≠0. 例3 下列函数中，（x 是自变量），哪些是二次函数？为什么？ ① y=ax 2+bx+c ② s=3-2t 2 ③y=x 2 ④21y x = ⑤y=x 2+x 3+25 ⑥ y=(x +3)2-x 2 明确：②③ ①不一定是，缺少a ≠0的条件；④不是，右边是分式；⑤不是，x 的最高次数是3；⑥可以化成y=6x+9。（四）归纳小结小结：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax 2+bx+c(a ≠0)外，还有其特殊形式如y=ax 2,y=ax 2+bx,y=ax 2 +c 等. （五）随堂检测 1、把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数为______，常数项为 . 2.函数 y=(m-n)x 2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m,n 是常数,且m ≠0 B . m,n 是常数,且n ≠0 C. m,n 是常数,且m ≠n D . m,n 为任何实数

二次函数求最大利润问题的教学设计

二次函数求最大利润问题的教学设计范亚书一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y ＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。学生的活动经验基础：在前面对二次函数的研究中，学生研究了二次函数的图象和性质，掌握了研究二次函数常用的方法。二、教学任务分析 “怎样获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴。二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值。而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题。因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践。即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。具体地，本节课的教学目标是： (一)知识与技能

1、能根据实际问题建立二次函数关系式，并探求出何时刻，实际问题可取得理想值，增强学生解决实际问题的能力。 2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力。(二)过程与方法经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。 (三)情感态度与价值观 1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心。 2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值三、教学过程分析

二次函数的应用教案试讲-推荐下载

二次函数的应用一、教学目标 1、知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解实际问题中的最值问题。 2、过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值问题转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想和数学模型思想。 3、情感态度价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。二、重点、难点教学重点：利用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，求最值问题教学难点：1、正确构建数学模型 2、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用三、教学方法与手段的选择由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，因而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。四、教学流程（一）复习引入（1）由二次函数y= -x2 +20x的解析式我们能够想到的图象特征和性质是…？（2）根据同学们描述信息，画出函数的示意图为：

（二）讲解新课 1、在情境中发现问题师：在我们的实际生活中你还遇到过哪些运用二次函数的实例？生：老师，我见过好多。如周长固定时长方形的面积与它的长之间的关系：圆的面积与它的直径之间的关系等。师：好，看这样一个问题你能否解决：活动1：如图34-10，张伯伯准备利用现有的一面墙和40ｍ长的篱笆，把墙外的空地围成矩形养兔场。回答下面的问题： 1．设矩形一边的长为x m，试用x表示矩形的另一边的长。 2．设矩形的总面积为y ，请写出用x表示y的函数表达式。 3．你能利用公式求出所得函数的图像的顶点坐标，并说出y的最大值吗？4．你能画出这个函数的图像，并借助图像说出y的最大值吗？学生思考，并小组讨论。解：已知周长为40m，一边长为x m，看图知，另一边长为（) m。由面积公式得y= 化简得 y= 代入顶点坐标公式，得顶点坐标x=( )，y=( ) 。y的最大值为( ) 。画函数图像：通过图像，我们知道y的最大值为( )。师：通过上面这个例题，我们能总结出几种求y的最值得方法呢？生：两种；一种是画函数图像，观察最高（低）点，可以得到函数的最值；另外一种可以利用顶点坐标公式，直接计算最值。师：这位同学回答的很好，看来同学们是都理解了，也知道如何求函数的最值。总结：由此可以看出，在利用二次函数的图像和性质解决实际问题时，常常需

(公开课一等奖)二次函数复习课教案

《二次函数复习》教学案班级：初三18班年级：九设计者：李玲时间：2015年10月16日

关基础知识．同学们之间可以相互补充，体现团结协作精神．同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性．基础知识之基础演练二次函数是生活中最常见的一类函数，它有着自己固有的性质，反映的是轴对称性和增减性；我们要突出反映二次函数的轴对称性、顶点坐标，我们就可以把一般式改写成顶点式；如果想知道抛物线与x轴两个交点的情况，我们可以把一般式写出交点式；刚刚我们回顾了二次函数的性质，我们发现二次函数的图像能够直观地反映函数的特性，而数又能细致刻画函数图像的大小和位置，下面就让我们遵循着数形结合的线索，继续对二次函数进行深入的研究。

难点突破之思维激活1、如果把抛物线绕 ()4 12+ + - =x y顶点旋转 180°，则该抛物线对应的解析式是 . 若把新抛物线再向右平移2个单位，向下平移3个单位，则得到的抛物线对应的解析式是 . 抛物线的平移——点的平移难点突破之聚焦中考2、问题①，结合图像思考：方程 ()1 4 12= + + -x 有几个实数解？问题②，结合图像思考：当m为何值时，方程 ()m x= + + -4 12 1）有两个不相等的实数根； 2）有两个相等的实数根； 3）没有实数根？问题③ 其实方程、不等式本身就有一个代数的解法，我们现在也用图像解法我们通过三个题目把这个知识的层次性展示出来，方程、不等式都可以转化成函数的图像来解

若直线 m kx y +=1与抛物线 c bx ax y ++=22交于A （1,0）、B （-1，4）两点，观察图像填空： 1）方程 m kx c bx ax +=++2的解为； 2）不等式 m kx c bx ax +>++2的解为； 3）不等式 m kx c bx ax +<++2的解为；反思与提高 1、本节课你印象最深的是什么？ 2、通过本节课的函数学习，你认为自己还有哪些地方是需要提高的？ 3、在下面的函数学习中，我们还需要注意哪些问题？教者归纳本章知识网络图示让学生自己总结一节课的得失，教者进行适当的点评．真正体现出学生是学习的主体．为今后自主学习奠定基础，由此达到数学教学的新境界——提升思维品质，形成数学素养．

二次函数专题复习教案

初中数学二次函数复习专题〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向〖大纲要求〗 1．理解二次函数的概念； 2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象； 3．会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2 ＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 4．会用待定系数法求二次函数的解析式； 5．利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。内容（1）二次函数及其图象如果y=ax 2 +bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是a b x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。抛物线y=a （x+h ）2+k(a ≠0)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=-h. 〖考查重点与常见题型〗 1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2 －m －2额图像经过原点，则m 的值是 2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2 ＋bx －1的图像大致是（） 3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝5 3 ，求这条抛物线的解析式。 4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：

实际问题与二次函数教学设计

实际问题与二次函数【教学目标】一、知识与技能：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，发展解决问题的能力。二、过程与方法：应用已有的知识，经过自主探索和合作交流尝试解决问题。三、情感态度与价值观：在经历和体验数学发现的过程中，提高思维品质，在勇于创新的过程中树立人生的自信心。【教学重难点】 1.探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法。 2.如何将实际问题转化为二次函数的问题。【教学过程】一、复习旧知、导入新课 1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。（1）y＝6x2＋12x；（2）y＝－4x2＋8x－10 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决生活中的实际问题。二、学习新知 1.应用二次函数的性质解决生活中的实际问题出示例1.要用总长为60m的篱笆围成一个矩形的场地，矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化，当L是多少时，围成的矩形面积S最大？解：设矩形的一边为Lm，则矩形的另一边为(30－L)m，由于L＞0，且30－L＞O，所以O＜L＜30。围成的矩形面积S与L的函数关系式是 S＝L(30－L) 即S＝－L2＋30L

(有学生自己完成，老师点评) 2.练一练：某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？请同学们完成解答；教师巡视、指导；师生共同完成解答过程：解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元。商品每天的利润y与x的函数关系式是： y＝(10－x－8)(100＋1OOx) 即y＝－1OOx2＋1OOx＋200 配方得y＝－100(x－12)2＋225 因为x＝12时，满足0≤x≤2，所以当x＝12时，函数取得最大值，最大值y＝225．所以将这种商品的售价降低0.5元时，能使销售利润最大。三、课堂小结小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：（1）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；（2）研究自变量的取值范围；（3）研究所得的函数；（4）检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值：（5）解决提出的实际问题。

初中数学《二次函数的一些应用》教案

初中数学《二次函数的一些应用》教案 20.5二次函数的一些应用教学目标：利用数形结合的数学思想分析问题解决问题。利用已有二次函数的知识经验，自主进行探究和合作学习，解决情境中的数学问题，初步形成数学建模能力，解决一些简单的实际问题。在探索中体验数学来源于生活并运用于生活，感悟二次函数中数形结合的美，激发学生学习数学的兴趣，通过合作学习获得成功，树立自信心。教学重点和难点：运用数形结合的思想方法进行解二次函数，这是重点也是难点。教学过程：（一）引入：分组复习旧知。探索：从二次函数y=x2+4x+3在直角坐标系中的图象中，你能得到哪些信息？可引导学生从几个方面进行讨论：（1）如何画图（2）顶点、图象与坐标轴的交点（3）所形成的三角形以及四边形的面积（4）对称轴从上面的问题导入今天的课题——二次函数中的图象与性质。（二）新授： 1、再探索：二次函数y=x2+4x+3图象上找一点，使形成的图形面积与已知图形面积有数量

关系。例如：抛物线y=x2+4x+3的顶点为点A，且与x轴交于点B、C；在抛物线上求一点E 使S∆BCE= S∆ABC。再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点F，使∆BCE与∆BCD全等。再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点M，使∆BOM与∆ABC相似。 2、让同学讨论：从已知条件如何求二次函数的解析式。例如：已知一抛物线的顶点坐标是C(2,1)且与x轴交于点A、点B,已知S∆ABC=3，求抛物线的解析式. （三）提高练习根据我们学校人人皆知的船模特色项目设计了这样一个情境：让班级中的上科院小院士来简要介绍学校船模组的情况以及在绘制船模图纸时也常用到抛物线的知识的情况，再出题：船身的龙骨是近似抛物线型，船身的最大长度为48cm，且高度为12cm。求此船龙骨的抛物线的解析式。让学生在练习中体会二次函数的图象与性质在解题中的作用。（四）让学生讨论小结（略）（五）作业布置 1、在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交x轴于点A(x1,0)、B(x2,0)且(x1+1)(x2+1)=-8. (1)求二次函数的解析式； (2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求∆ POC的面积。 2、如图，一个二次函数的图象与直线y= x-1的交点A、B分别在x、y轴上，点C在二次函数图象上，且CB⊥AB，CB=AB，求这个二次函数的解析式。 3、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面1:11000的比例图上，跨度AB=5cm，拱高OC=0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图1，在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图2。

二次函数的概念教学设计课题

二次函数的概念教学设计芷兰实验学校佳雪一、教材分析： 1、教材的地位和作用二次函数是在学生学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习的一个新的函数，学习二次函数将为一元二次方程的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想，为后来学习二次函数的图象做铺垫，更是高中学习阶段不可缺少的一类重要函数，在学业水平测试中占有较大比例，更是压轴题的热门. 2、学情分析从心理特征来说，初中阶段的学生观察能力，记忆能力和想象能力迅速发展。但同时，学生进入九年级之后，上课气氛比较沉闷，不爱发表自己的见解，所以本节课我将利用生活中的视频，图片和时事问题引发学生的兴趣，创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学习的主动性。从认知状况来说，学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数，对函数概念已经有了认识，但对于得出二次函数的概念（由于其抽象程度较高，）学生可能会产生一定的困难，所以我将结合生活中的图片和实例予以引导。二、教学目标分析 1、知识目标：掌握二次函数的概念，理解二次函数的一般式，初步运用二次函数解决简单应用题，了解如何根据实际问题确定自变量的取值围。 2、能力目标：通过视频图片的引入，培养学生的观察力，抽象概括能力及创造想象能力 3、情感目标：通过观察、讨论、合作交流等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的信心． 4、教学重点难点：新概念教学指出，正确的理解数学概念是牢固掌握数学知识，灵活运用知识解决问题的金钥匙，所以本节课的重点是对二次函数概念的理解。难点是由实际问题确定函数解析式和自变量的取值围。三、课堂结构设计 1、设计理念：形的引入，揭示为什么学二次函数，再数的解析，得出什么是二次函数，最后达到数形结合的统一、 2、为充分发挥学生的主体性和教师的主导辅助作用，教学过程中设计了六个教学环节：（1）联系生活，引出概念（2）合作交流，提炼概念（3）全面剖析，理解概念（4）例题讲练，运用概念（5）拓展延伸，升华概念（6）归纳小结，整理概念

二次函数最值问题优秀教学设计(教案)

二次函数最值重难点设计尊敬的各位评委老师大家好：本题出自人教版数学九年级上册第二十二章二次函数中的实际问题与二次函数习题第6题，我将从原题再现，数学地位，目标理念，分析指导，拓展延伸，教学反思这几个流程来完成说题。首先我们来看下原题：..... 数学地位：函数与几何综合题能有效的考查学生对学习数学知识的掌握和灵活运用的程度。在各地的中考数学试题中，有关函数与几何构成的综合题占据相当的比例，分值也很大；进入高中后，二次函数的应用更加广泛，更加灵活，更加突出了其重要性。这类题型设计优美，新颖独特，活不超纲，充分体现了考查能力和提高素质教育的思想和要求。目标理念：主要是从考试大纲分析本题重要考点是相似三角形的应用及二次函数的应用。直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半及勾股定理是学生熟悉的，相对较易掌握，对于单独求二次函数的最值问题学生大部分也能掌握，有待提高的是知识点之间的联系和从几何问题中整理出二次函数的模型并利用二次函数的知识求最值，以上是学生现有的能力表现。通过这道题目的讲解，让学生能分析出题目要考查的知识点以及知识点之间的联系，掌握建模思想，并能将这种思想运用到新的题目当中，以实现解题目标。分析指导：（两种方法）方法一分析：首先在Rt △ABC 中利用∠A ＝30°、AB ＝12，求得BC ＝6、AC 的长，然后根据四边形CDEF 是矩形得到EF ∥AC 从而得到△BEF ∽△BAC ，设AE ＝x ，则BE ＝12－x ．利用相似三角形成比例表示出EF 、DE ，然后表示出有关x 的二次函数，然后求二次函数的最值即可．解：在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝12， ∴BC ＝6，AC ＝AB ?cos30°＝12× 23＝63． ∵四边形CDEF 是矩形， ∴EF ∥AC ． ∴△BEF ∽△BAC ． ∴EF:AC ＝BE:BA ．设AE ＝x ，则BE ＝12－x ． EF ＝2 3（12-x ）在Rt △ADE 中，DE ＝21AE ＝2 1x ．矩形CDEF 的面积S ＝DE ?EF ＝ 21x ?23(12?x)＝?43x 2＋33x （0＜x ＜12）．当x ＝6时，S 有最大值． ∴点E 应选在AB 的中点处．

二次函数的性质教案教案

2.3二次函数的性质教学目标:1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质. 2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性重点:二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 难点:二次函数的性质的应用. 教学过程: 一. 复习引入二次函数: y=ax2 +bx + c (a ≠ 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢? 补充: 当a 的绝对值相等时,其形状完全相同,当a 的绝对值越大,则开口越小,反之成立. 二,新课教学: 1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x 2的顶点坐标是 , 对称轴是，在侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大；在侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小. 当x= 时，函数y 最大值是____. 当x____0时,y<0. 2. 探索填空:根据上边已画好的函数图象填空：抛物线y= 2x2的顶点坐标是 , 对称轴是，在侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减少；在侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大. 当x= 时，函数y 最小值是____. 当x____0时,y>0 3.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大；当时，函数y 有最小值。当a ﹤0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小。当时，函数y 有最大值 4.探索二次函数与一元二次方程 a 2b x -=a 2b x -=a 4ac 4b 2-a 4ac 4b 2 -

(完整版)二次函数的应用教案

22．5 二次函数的应用岑川中学龙小丹一、教学目标 1、知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解实际问题中的最值问题。 2、过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值问题转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想和数学模型思想。 3、情感态度价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。二、重点、难点教学重点：利用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，求最值问题教学难点：1、正确构建数学模型 2、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用三、教学方法与手段的选择由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，因而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。四、教学流程（一）复习引入（1）由二次函数y= -x2 +20x的解析式我们能够想到的图象特征和性质是…？（2）根据同学们描述信息，画出函数的示意图为：

（二）讲解新课 1、在情境中发现问题 [做一做] 1）、你能够画一个周长为40cm 的矩形吗？ 2）、周长为40cm 的矩形是唯一的吗？ 3）、谁画出的矩形的面积最大？ 4）、有没有一个矩形的面积是最大呢？最大面积为多少？ 2、在解决问题中找出方法 [想一想]：某小区想用40m 的栅栏围成一个矩形花园，问矩形的长和宽各取多少米，才能使花园的面积最大，最大面积为多少？ 3、在巩固与应用中提高技能变式一：如果矩形的一面靠墙，（墙的最大利用长度为18m ）那么此时用40m 的栅栏可以围成矩形的面积（1）能够为202m 2 吗？（2）能够为200m 2 吗？（3）此时还会有最大面积吗？如果有，请说明最大面积为多少？画出示意图。在（想一想）的基础上，我在此设计了一个条件墙长18米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图像辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，通过此题的有意训练，学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。（三）、师生小结 1、通过本节课的探讨，在实际问题中求解最值，你有怎样的收获？ 2、体会数学的价值

二次函数的最值几何应用教学案

二次函数的最值几何应用教学案【教学目标】 1．理解二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质在平面几何问题中的应用，特别是用来求几何图形面积的最大值或最小值． 2．理解二次函数在求解几何问题中的一般方法和步骤．【重点、难点】重点：二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质在平面几何中的应用. 难点：如何将几何问题转化为二次函数的图象和性质问题. 【知识要点】 1．一次函数的最值：在函数的取值范围的两个端点，考察该函数的最值； 2．二次函数的最值：在函数的取值范围的两个端点考察该函数的最值； 3．函数的最大值与最小值最大值： ()()()()()()(). 0max 0000x f y x f y x f x f x f x f x x f y ==≤=记作叫做函数都成立，那么不等式处的函数值是在设函数几何解释： (1) 函数图像的最高点，纵坐标最大的值在将一条平行于横坐标的直线从y 坐标。 ()()()()()()().0in 0000x f y x f y x f x f x f x f x x f y m ==≥=记作的最小值，叫做函数都成立，那么不等式处的函数值是在设函数几何解释： (2) 函数图像的最高点，纵坐标最小的值 (3) 在将一条平行于横坐标的直线从y 轴的负向向正向平移的过程中，与函数的第一个交点的纵坐标。【经典例题】例1．求下列函数的最值(自变量范围是R). 132)1(2+-=x x y 32)2(2++-=x x y

例2．已知实数a,b 满足等式5)3(22=+-b a ，求 a b 的最大值和最小值。例3．已知二次函数2 (1)2y x =-- （1）当23x ≤≤时，求函数的最值。（2）当03x ≤≤时，求函数的最值。例4．方程()()22160x m x m +-+-=有一根不大于1，另一根不小于1。（1）求m 的取值范围（2）求方程两根平方和的最大值与最小值

九年级数学下册实际问题中二次函数的最值问题教案

第2课时实际问题中二次函数的最值问题 1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系． 2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值． 3．能应用二次函数的性质解决图形最大面积、利润最大问题．一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．二、合作探究探究点一：最大面积问题【类型一】利用二次函数求最大面积小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化． (1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x 2 ，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2 ·x ＝－x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30. (2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2 ＋225，∵a ＝－1＜0，∴S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值＝225平方米．方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)． (1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式； (3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．