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运筹学讲义

运筹学讲义绪论（2学时）

参考教材：

（1）运筹学基础教程（魏权龄）

（2）管理运筹学（韩伯棠）

（3）管理运筹学通论（韩大卫）

（4）运筹学（胡运权）

先修课程：一元微积分、线性代数、概率统计

学时：48+（8）

主讲教师：狄军锋

一、运筹学发展

1、运筹学的产生

?最早与1938年出现于英国，简称OR(operational Research)

?夫运筹帷幄之中，决胜于千里之外，吾不如子房。---史记

?古代运筹学思想：田忌赛马+丁谓挖沟+沈括运军粮

?二战中的运筹学：反潜艇策略、深水炸弹的起爆深度、诺曼底登陆

?运筹学在我国的发展：

①50年代中期，钱学森、许国志等教授将运筹学由西方引入我国。

②管梅谷（1962年，山东师范大学）：“中国邮递员问题”

③华罗庚：优选法（1970）和统筹法（1965）

2、运筹学的定义：管理运筹学是一门应用科学，它广泛应用现有的科学技术和数学方法，解决管理中提出的专门问题，为决策者选择最优或较优的决策提供定量依据。运筹学是一门新兴的交叉学科，来源于军事、管理和经济。本课程主要介绍用于解决管理领域问题的运筹学，因此称为管理运筹学，也有人称为管理科学。

二、运筹学解决问题的思路

提出问题→建模→求解→结果分析与调整→实施

二、运筹学的学科内容：

线性规划（LP）；*整数规划（IP）；*非线性规划(NP)；*多目标规划（MP）；动态规划（DP）；对策论（GT）；决策分析（DA）；存贮论（IC）；排队论（QT）；图论（Graph Theory）

三、章节安排

1、绪论（2学时）

2、线性规划(14学时)

3、动态规划（6学时）

4、存储论（6学时）

5、对策论（10学时）

6、决策论（6学时）

7、统筹方法（2学时）

8、总复习（2学时）

四、应用举例

1、猴子运香蕉

2、海盗分宝石

3、猜生日

第二

*主要内容

1、线性规划的一般形式、压缩形式、矩阵形式、向量形式

2、线性规划问题的图解法（3）

3、线性规划问题的标准形式

4、单纯形方法（4）

5、线性规划问题应用举例（3）

6、运输问题的解法（4）

§1 线性规划问题的基本模型

一、引例

【引例1】某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品需的设备台时，A 、B 两种原材料的消耗以及每种产品可获利润如下表所示。问应如何安排生产进度使工厂的获利最多？

Ⅰ Ⅱ 资源限量设备 1 2 8台时原材料A 4 0 16kg 原材料B 0 4 12kg 单位产品利润（元）

该问题可用一句话描述：即在有限资源的情况下，求使利润最大的生产计划方案。

12121212max 2328416.412,0

f x x x x x s t x x x =++≤??≤??

≤??≥?

【引例2】营养配餐问题

假定一个成年人每天需要从食物中获取300cal 热量，55g 蛋白质，88mg 钙。如果一个市场上有四种食品可供选择，它们每kg 所含热量和营养成分以及市场价格如下表所示。问如何选择才能满足营养的前提下使购买食物的费用最小？

1234

12341234

1234min 2075210008009002003000

5060201055

..4002003005008000(1,2,3,4)j z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x j =++++++≥??+++≥??

+++≥??≥=?

二、 LP 问题的模型

＊线性规划：变量满足线性约束的条件下，求使线性目标函数值最优的问题。 1、一般形式 2、紧缩形式

112211112211211222

221122

max(min)(,)(,)..(,)0(1,2,)n n

n n n n m m mn n m j

f c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b

x j n =+++?++≤=≥=?

++≤=≥=????++≤=≥=?≥=?? 11max(min)(,)(1,2,,)..0(1,2,)n

j j

j n ij j

i j j

f c x a x b i m s t x j n ===?≤=≥==???≥=?∑∑ 3、矩阵形式 4、向量形式

max(min)(,).0

f s t =≤=≥??≥?cx

Ax b x 1

max(min)(.x 0(1,2,,)n

j j f x s t j n ==?≤=≥???≥=?

∑j cx p b ，

）其中

(,,,ij m n

a ???==??

12n A p p p ，12(,,,)T n x x x =x ，

12(,,,)

n c c c =c ，

12(,,,)T m b b b =b 。

三、线性规划标准模型

由线性规划模型的一般形式的讨论可知，线性规划模型有多种不同情况：目标函数可以是最大或最小，约束条件可以有大于等于、小于等于或等于三种情况。为便于线性规划模型的求解，可将线性规划模型的一般形式统一转化为标准形式，这里规定线

线性规划标准模型的一般表达式：

1122min n n f c x c x c x =+++ 11112211

211222221122

12..,,0n n n n m m mn n m

n a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b

x x x +++=??+++=????+++=?≥??

化一般型为标准型： ①

max f →min()f cx -=-

② ≤→左边+松弛变量；≥→左边-剩余变量 ③ 变量0j x ≤→0j x -≥；变量j x 无限制→令'''j j j x x x =-

④

0i b <→等式两边同乘以（-1）.

§2图解法

一、线性规划几何解的有关概念考虑线性规划模型一般形式：

()Max Min f =cx

(..0s t ≤=≥??

≥?

Ax b x ，

）可行解：凡满足约束条件和非负条件的决策变量的取值12(,,,)T

n x x x =x 称为线性规划可行解。可行域：所有可行解的集合称为线性规划的可行域。

最优解：使目标函数达到最优值的可行解称为线性规划的最优解****12(,,,)T

n X x x x = 。

二、图解法基本步骤

在明确线性规划可行解、可行域和最优解的基础上，介绍线性规划的图解法。对于两个或三个变量的线性规划问题，可以通过平面图或立体图进行求解，是线性规划问题解的几何表示。图解法的优点简单、直观，有助于理解线性规划问题求解的基本原理。它的局限性在于只能对两个或三个变量的线性规划问题求解。图解法的基本步骤可以概括如下：

（1）建立平面（空间）直角坐标系。取决策变量为坐标向量，标出坐标原点、坐标轴指向及单位长度。（2）确定线性规划解可行域。根据非负条件和约束条件画出解的可行域。只有在第一象限的点才满足线性规划非负条件，将以不等式表示的每个约束条件化为等式，在坐标系第一象限作出约束直线，每条约束直线将第一象限划分为两个半平面，通过判断确定不等式所决定的半平面。所有约束直线可能形成或不能形成相交区域，若能形成相交区域，相交区域任意点所表示解称为此线性规划可行解，这些符合约束限制的点集合，称为可行集或可行域。转到第三步；否则该线性规划问题无可行解。

（3）绘制目标函数等值线（面）。目标函数等值线（面）就是目标函数取值相同点的集合，通常是一条直线（二维平面）或一个平面（三维空间）。

（4）寻找线性规划最优解。对于目标函数的任意等值线（面），确定该等值线（面）平移后值增加的方向，平移此目标函数的等值线（面），使其达到既与可行域相交又不可能使目标函数值再增加的位置。相交位置存在三种情况：若有唯一交点时，目标函数等值线（面）与可行域相切，切点坐标就是线性规划的最优解；若相交于多个点，称线性规划有无穷多最优解；若相交于无穷远处，此时无有限最优解。【例】运用图解法求解线性规划问题

12121212max 2328

416.412,0

f x x x x x s t x x x =++≤??≤??

≤??≥?

三、线性规划问题几何解的讨论

利用图解法可以讨论线性规划解的四种情况。

（1）唯一最优解。线性规划唯一最优解是指该规划问题有且仅有一个既在可行域内、又使目标值达到最优的解。

（2）无穷多最优解。线性规划问题的无穷多解是指，该规划问题有无穷多个既在可行域内、又使目标值达到最优的解。如果例的目标函数变为1233Maxf x x =+，

目标函数的等值线正好和约束条件128x x +=

相平行。在目标函数向右上方平移的过程中，与可行域相切于128x x +=上的所有点，此时，该线性规

划问题存在无穷多最优解。

（3）无有限最优解（无界解）。线性规划问题的无有限最优解是指最大化问题中的目标函数值可以无限增大，或最小化问题中的目标函数值可以无限减少。考虑下述线性规划模型：12Maxf

x x =+

112

..0,0x s t x x ≤??

≥≥? 利用图解法进行求解时，可行域是一个非封闭的无界区域，2x 的取值可以无限增大，同时，目标函数

值

也可以增大到无穷，如下图所示。在这种情况下，称线性规划无有限最优解或无界解。原因在于建立线性规划模型时，遗漏了某种必要资源的约束。

（4）无可行解。当线性规划问题中的约束条件不能同时满足时，将出现无可行域的情况，这时不存在可行解，即该线性规划问题无解。考虑下述线性规划模型

12Maxf x x =+

12121

224..

250,0

x x s t x x x x +≤??

-≥??≥≥? 利用图解法进行求解时，在第一象限内，所有约束条件不能形成一个相交平面区域，如上图。线性规划问题不存在可行域，也就是说，问题没有可行解。其原因是线性规划模型自身的错误，约束条件之间自相矛盾，应根据实际情况进行调整。

针对线性规划几何解还有一些重要的性质，这里不加证明叙述如下：（1）线性规划几何解存在四种情况：唯一最优解、无穷多最优解、无有限最优解、无可行解。（2）若线性规划可行域非空，则可行域必定是一个凸集。（3）若线性规划可行域非空，则凸集至多有有限个极点。（4）若线性规划优解存在，则最优解或最优解之一肯定能够在可行域（凸集）的某个极点找到。

通过上述的讨论，求线性规划问题最优解，可以转化为在其可行域有限个极点上进行搜索的方法。基本思路是，先找出凸集任意一个极点，计算极点的目标函数值。比较与之相邻的目标函数值是否比该极点的目标函数值更优，如果为否，则该极点就是最优解，如果为是，转到比该点目标函数值更优的另一极点。重复上述过程，直到找出使目标函数值达到最忧的极点为止。

作业： 1、

112

121212

max 6

..210,0f c x x x x s t x x x x =++≤??

+≤??≥? 讨论1c 变化对最优解的影响。 2、P51.3

§3 单纯形法（Simplex Method 丹茨格1947丹麦）

一、预备知识 1、基

考虑线性规划标准模型

min .0

f s t ==??≥?cx

Ax b x 其中：A 系数矩阵为m n ?阶矩阵。若

A 的秩为m ，

B 为A 中的任意m m ?阶子矩阵，且行列式0B ≠，则称B 为线性规划模型式的一

个基。N 为

A 中其余()m n m ?-阶子矩阵，称N

为线性规划模型式的一个非基矩阵。不失一般性，

假设：11

121212221

2(...)m m m m mm

a a a a a a a a a =

=12m B

p ,p ,,p

，则(...)=j 12m P p ,p ,,p 为基向量。与基向量

j P 相对应的变量12(,,,)T

m x x x =B x 称为基变量，与基B 的列向量相对应；其它n m -个变量

12(,,,)T m m m n x x x +++=N x 称为非基变量，与非基矩阵N 的列向量相对应。基于上述讨论，假设B 为

线性规划的一个基，N 为线性规划的一个非基，则A 可以表示为：A

=(B,N)，相应地x 、C 可以分

为：T

B N x =(x ,x ) B N c =(c ,c )。线性规划标准模型可以表示为：

min f =B B N N c x +c x

..s t ??≥?

B N B N Bx +Nx =b x ,x 0

如非基变量N x 取定值，由于

0≠B ，则B x 有唯一的值与之对应：-1-1B N x =B b-B Nx 。特别地，当

N x =0时，-1B x =B b 。关于此类特别解，可以得到线性规划基本解、基本可行解、可行基的概念。

？线性规划问题基的数量等于约束不等式的数量（不含非负约束） 2、基本解、基本可行解、可行基。设

为线性规划的一个基，令非基变量

N x =0

，可求得

-1B x =B b

。此时，有

T -1

B N x =(x ,x )=(B b,0)

，称x 是线性规划与基B 对应的一个基本解。

如果≥-1B

x =B b 0，称x 是线性规划与基B 对应的一个基本可行解，相对应的基B 称为可行基。

【例1】求引例1线性规划问题的所有基本解、基本可行解。

（0，0，8，4，3）；（4，0，4，0，3）；（4，2，0，0，1）；（2，3，0，2，0）（0，3，2，4，0）；（4，3，-2，0，0）；（8，0，0，-4，3）；（0，4，0，4，-1）二单纯形法的基本思路及原理 1、如何寻找初始基本可行解？

2、最优性检验：判断初始基本可行解是否是最优解？

检验数j σ：目标函数中处理成只含有非基变量，则目标函数中基变量的系数为0.记目标函数中变量j x 的系数为j σ。

判定定理：所有检验数大于等于0，则这个基本可行解是最优解。

0j j

j B

f f x σ∈=+∑

设1

111111

22112211min .........n

j j

j m m n n m m n n m mm m mn n n

f c x x a x a x b x a x a x b x a x a x b =++++++=+++=??

+++=????+++=?∑

令1

i i ij

j m x b a x

=+=-

∑代入

中的基变量，有

1111

()()()m

n n

i i ij ij

i j m j m m

m n

i i i ij j

i i j m j m m

m i i j

i ij

i j m i n

j j

i f c b a x c x

c b c a x

c x

c b c c a x

f x σ==+=++===+=+==+===-

+=-+

-=+∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

3、基变化

（1）入基变量的确定

（2）出基变量的确定：把已确定的入基变量在各约束方程中的正的系数除其所在约束方程常数项的值，把其中比值最小的约束方程中的原基变量确定为出基变量。

出基变量的确定：令1

0x =，20x θ=>，则

345820430

x x x θθ=-≥==-≥→3θ

≤，所以θ

最大只能取3.

三、人工变量的引入

【例2】

123

1231231,2,3

min 23423..2340f x x x x x x s t x x x x =++?++≥?-+≥??≥?

解：化为标准型

123123412351,2,3,4,5min 23423

..2340

f x x x x x x x s t x x x x x

=++?++-=?

-+-=??≥? 显然不是典则形式现引入辅助问题

12346123571,2,3,4,5,6,7min 23

..2340

f x x x x x x x s t x x x x x x

=+?++-+=?

-+-+=??≥

四、几种特殊情况 1、无可行解【例3】

121

121,2max 20304030

..3101500z x

x x x x s t x x x =++≥

??≤??

+≤??≥?

2、无界解【例4】

12121,2

max 8624

..46300z x x x x s t x x x =+?+≥?

-≤??≥?

3、无穷多最优解【例5】

123

12312

1231,2,3max 242242420

..482160z x x x x x x x x s t x x x x =++++≥??+≤??

++≤??≥?

（8）作业：p51（4）

§4 运输问题（The Transportation Problem ）

在经济建设中，经常会遇见大宗物资调拨中的运输问题。例如煤炭、钢材、木材、粮食等物资，在全国有若干个生产基地，根据已有的交通网，应如何制定调运方案，将这些物资运送至各消费点，而使总运费最小。

一、基本模型

1、数学描述：假设有m 个产地，可以供应某种物资，用i A 表示，有n 个销地，用j B 表示，产地的产量

和销地的销售量分别为i s 和j d ，从i A 至j B 单位运价为ij c 。 2、应用举例

3、产销平衡的运输模型的线性规划模型

min ..0,1,...,,1,...,m n

ij ij

i j n

ij i j m ij j

i ij f c x x s s t x d x i m j n =====?=???=???≥==??

∑∑∑∑ 4、产销不平衡的运输问题

例：销地1B 、2B 、3B 需求量依次为3000、1000、2000吨，产地1A 、2A 产量为4000、1500吨。由于

需求大于供给，决定1B 需求量可减少0~200吨，2

B 区全部满足，3B 需求量不少于1700吨，试求运费

最小的分配方案。

二、表上作业法

运输问题变量多，运算量大；必须化为产销平衡问题。表上作业法的步骤：

①找出初始基本可行解；②求各非基变量的检验数；③确定入基和出基变量；④重复②、③直至得到最优解。

1、确定初始基本可行解（1）西北角法

（2）最小元素法

2、最优解的判别（1）闭回路法

在已经给出的调运方案的运输表上，从一个代表非基变量的空格出发，沿水平或垂直方向前进，只要碰到代表基变量的填入数字才能向左或向右转90度（当然也可以不改变方向继续前进），这样继续下去，直到回到出发的那个空格，由此形成的封闭折线叫做闭回路。一个空格存在唯一的毕回路。

例如，21x 增加1t ，运输费用增加5元，11x 就得减少1t ，运输费用减少3元，为了1A 产量平衡，12x 就得增加1t ，运输费用增加6元，为了2B 销量平衡，22x 就得减少1t ，运输费用减小3元，所以21x 检验数为5.

我们把基数顶点运价之和减去偶数顶点运价之和即可得到非基变量的检验数。

（2）位势法

我们对运输表上的每一行赋予一个数值i u ，对每一列赋予一个数值j v ，它们的数值是由基变量的检验数

0ij ij i j c u v λ=--=所决定，则非基变量的检验数为ij ij i j c u v λ=--

3.改进运输方案的方法：闭回路调整法

首先选择负值最小的检验数，以它所对应的非基变量作为入基变量，并做一闭回路。

求得调运方案，13x =30，即闭回路上偶数顶点的运量最小值，然后基数顶点加上这个值，偶数顶点减去这个值，即可得到调整后的运输方案。

存在负的检验数，仍需调整。

31x =40，即闭回路上偶数顶点运量最小值，然后基数顶点加上这个值，偶数顶点减去这个值，即可得到调

整后的运输方案。

仍利用位势法求非基变量检验数。总运费为：2*70+3*30+3*0+4*50+2*10+1*40=490元，若存在多个最优解即是存在非基变量的检验数为0.

§4 线性规划问题建模

1、套材下料问题

有10米长的钢管若干，现在需要2、3、5长的钢管各100根，问如何建立模型？ 2、人力资源分配问题

某医院昼夜24h 各时段内需要的护士数量为：2：00~6：00 10人；6：00~10：00 15人；10：00~14：00 25人；14：00~18：00 20人；18：00~22：00 18人；22：00~2：00 12人。护士分别于2点、6点、10点、18点、22点分6批上班，并且连续工作8小时。试确定：（1）该医院至少应设置多少名护士，才能满足值班需要?

（2）若医院可以聘任合同工护士，上班时间同正式工时间，若正式工报酬为10元/h ，合同工为15元/h ，

问医院是否应聘用合同工护士及聘用多少？

3、生产计划问题

某机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，每种产品均需要A 、B 两道加工工序。设该厂有两种规格的设备能完成工序A ，它们以A1和A2表示。有三种规格的设备能完成工序B ，它们以B1、B2、B3表示。产品Ⅰ可在工序A 和B 的任何规格的设备上加工，产品Ⅱ可在工序A 的任何一种规格的设备上加工，但完成工序B 时，只能在设备B1上加工。产品Ⅲ只能在设备A2和B2上加工。已知在各种设备上加工的单位公示、各种设备的有效台时以及满负荷操作时设备的费用如下表。另外已知原材料的价格分别为0.25元件、0.35元/件，0.50元/件。销售价格分别为1.25、2.00、2.80元/件。要求制定最优的产品加工方案，使该厂利润最大？

设产品

ijk

x 表示产品

i 在工序

的设备

上加工的数量。

111112312111211112212312121221122322123300

max (1.250.25)()(20.35)(510)6000

321250783

(7912)(68)(411)100004000700020074000

z x x x x x x x x x x x x x =-++--

+-++-+-+-?

..s t

1112115106000x x +≤；112212312791210000

x x x ++≤；121221684000x x +≤； 1223224117000x x +≤；12374000x ≤；

111112*********x x x x x +=++；211212221x x x +=；312322x x =；0ijk x ≥且为整数

配料问题

某工厂要用三种原料1，2，3混合调配出三种不同规格的甲乙丙三种产品，产品规格要求、产品单价、每天能供应的原材料的数量以及原材料价格如表所示。应如何安排生产？

5、投资问题

某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下项目投资： A:从第一年至第五年每年年初都投资，当年末收回本利110%；

B:从第一年至第四年每年年初都可以投资，次年末收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；

C:第三年年初需要投资，到第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元； D:到第二年初需要投资，到第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。

据测定每次投资1万元的风险指数如表4-10所示：

(1)第5年末拥有资本最多？（2）使第5年末拥有资金本利在330万元的基础上总的风险系数最小？

第三章动态规划（DP）

1、教学目标：

通过本章的学习，理解动态规划的基本概念，会用动态规划的方法建立多阶段决策问题的数学模型；了解动态规划方法的基本解法，会用动态规划的方法解决实际中的最短路问题、资源分配问题、生产计划等问题。

2、教学要求：

动态规划：在求解多阶段决策过程最优方案时，需要把多阶段决策问题转变为一系列相互联系的但阶段决策问题，然后逐个加以解决。在多阶段决策问题中，各个阶段所采取的决策，一般来说与时间或者空间是由关系的，决策依赖于当前状态，又引起状态的转移，一个决策序列就是在变化中的状态中产生的，故有

动态规划可以解决哪些问题？ ? 最短路径问题

? 装载问题：例如有一部货车沿着公路给四个零售店卸下一定数量货物，现有每个零售店出售货物的利润，问应如何分配，才能使总利润最大？

? 生产与存贮问题：例如有每一期的需求量，现应如何安排生产和库存？ ?

资源分配问题

§1动态规划的基本思想和最短路问题

【引例】最短路线问题。

某人要从城市A 到城市E 旅行，途中经过三个中间停留站，且每个中间停留站有几个不同的城市可供选择，选择不同的中间站旅行的距离是不同的，两点之间的连线上的数字表示两点间的距离，如图所示。试求一条从A 到E 的旅行线路，使总距离最短。

如图所示的线路网络，求A 到E 的最短线路问题是动态规划中一个较为直观的典型例子。由图可知，从A 点到E 点可分为4个阶段：E D C B A →→→→

。在第一阶段，A 为起点，终点有B 1

、B 2

两个，因

而这时走的路线有两个选择：一是选择B 1；一是选择B 2。若选择B 1的决策，则B 1就是第一阶段决策之下的结果。它既是第一阶段路线的终点，又是第二阶段路线的起点。在第二个阶段，再从B 1点出发，对应于B 1点就有一个可供选择的终点集合{C 1，C 2，C 3}；若选择由B 1走到C 1为第二阶段的决策，则C 1就是第二阶段的终点，同时又是第三阶段的起点。同理递推下去，可看到：各个阶段决策不同，途径的城市路线就不同。很明显，当某阶段的起点给定时，它直接影响着后面各阶段的行进路线和整个路线的长度，而后面各阶段的路线的发展不受这点以前各阶段路线的影响。故此问题的要求是：在各个阶段选择一个恰当的决策，使由这些决策组成的一个决策序列所决定的一条路线，其总的路程最短。如何解决这个问题呢？最直接的方法就是穷举法，即把由A 到E 的所有可能路线的距离都算出来，然后比较找出距离最短的路线。这样，从A 到E 的4个阶段中，一共有121232=???条不同的路线，比较这12条不同路线的距离，最短距离的路线为：

121A B C D E →→→→

相应的最短值为13。显然，当路线数不多时这种方法是有效的，但当阶段数增加，且各阶段的不同选择数也很多时，这种解法的计算量将大大增加，甚至在计算机上也无法实现。那么对该问题是否存在更好的计算方法呢？答案是肯定的，这就是本章所讨论的动态规划法。

1．阶段

把所给问题的过程，恰当地分为若干个相互联系的阶段，以便能按一定的次序去求解。描述阶段的变量称为阶段变量，常用k 表示。阶段的划分，一般是根据时间和空间的自然特征来划分，但要便于把问题的过程转化为多阶段决策的过程，如引例中，可将问题分为4个阶段来求解，k =1、2、3、4。

2．状态

状态表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程的状况。在引例中，状态就是某阶段的出发位置。它既是该阶段某支路的起点，又是下一阶段某支路的终点。通常一个阶段有若干个状态，第一阶段状态为{}12D ,D ，第二阶段状态为{}1234C ,C ,C ,C ，一般第k 阶段的状态就是第k 阶

段所有始点的集合。

描述过程状态的变量称为状态变量。它可用一个数、一向量来表示，常用k s 表示第k 阶段的状态变量。如在引例中第三阶段有两个状态，我们记{}123

B ,B s =。

动态规划的状态应具有下面的性质：如果某阶段状态给定后，则在这阶段以后过程的发展不受这阶段以前各阶段状态的影响。换句话说，过程的过去历史只能通过当前的状态去影响它未来的发展，当前的状态是以往历史的一个总结，这个性质称为无后效性。

3．决策

当过程处于某一阶段的某个状态时，可以作出不同的选择，从而确定下一阶段的状态，这种选择称为决策。描述决策的变量，称为决策变量，它可用一个数或向量来描述。常用)(k k s x 表示第k 阶段当状态处于k s 时的决策变量。它是状态变量的函数。如在引例第二阶段中，若选择的点为D 1，则D 1是状态C 1在决策21()x C 作用下的一个新状态，记112()x C D =

。

4．策略

策略是一个按顺序排列的决策组成的集合，由过程的第k 阶段开始到终止状态为止的过程，称为问题的后部子过程（或k 子过程）。由每段的决策按顺序排列组成的决策函数序列{11(),,()k k x s x s }称为k 子过程策略，简称子策略，记为

)(,k n k s p ，即{},11()(),,()k n k k k p s x s x s =

当k =n 时，此决策函数序列称为全过程的一个策略，简称策略，记为

,()

n n n p s 。即

,1122

(){(),(),,(

)}

n n n n

n p s x s x s x s = 5．状态转移方程

状态转移方程是确定过程由一个状态到另一个状态的演变过程。若给定第k+1阶段状态变量1k s +的值，如果该段的决策变量1k x +确定后，第k 阶段的状态变量k s 的值就完全确定。这种确定的对应关系记为：

111(,)k k k k s T s x +++=

上式描述了由k +1阶段到k 阶段的状态转移规律，称为状态转移方程。1k T +称为状态转移函数。

6．指标函数和最优值函数

用来衡量所实现过程优劣的一种数量指标，称为指标函数。指标函数的最优值，称为最优值函数，记为

)(k k s f ，它表示从第k 阶段的状态k s 开始到第n 阶段的终止状态的过程，采取最优策略所得到的指标函

数值。在不同问题中，指标函数的含义是不同的，它可能是距离、利润、成本等。

动态规划的最优化原理

下面结合解决最短路线问题来介绍动态规划方法的基本思想和最优化原理。最短路线有一个重要特性：如果由起点A 经过点P 和点H 而到达终点E 是一条最短路线，则由点P 出发经过点H 到达终点E 的这条子路线，对于从点P 出发到达终点E 的所有可能选择的不同路线来说，必定也是最短路线。例如，在最短路线问题中，若找到了

E D C B A →→→→121是由A 到E 的最短路线，则E D C →→12应该是由

C 2出发到E 的所有可能路线的最短路线，这点读者不难验证。

根据最短路线这一特性，寻找最短路线的方法，就是从最后一段开始，用由后向前逐步递推的方法，求出各点到E 的最短路线，最后求得由A 到E 的最短路线，所以动态规划的方法是从终点逐段向始点方向寻找最短路线的一种方法。

下面按照动态规划的方法，将引例从最后一段开始计算，然后逐步推移至A 点。当k =1时，由D 1到终点E 只有一条路线，故

11()2f D =，同理12()1f D =。

当k =2时，出发点有C 1、C 2、C 3和C 4四个，若从C 1出发，有两个选择：○

1至D 1；○2至D 2，则 211112121212(,)()62()min min 8(,)()81d C D f D f C d C D f D ++????

===????++????

其相应的决策为211()x C D =，这说明由C 1至终点E 的最短距离为8，最短路线为E D C →→11

同理，从C 2、C 3和C 4出发，有

221112222212(,)()32()min min 5(,)()51d C D f D f C d C D f D ++????

===????++????

其相应的决策为221()x C D =

2312123232

22(,)()32()min min 4(,)()31d C D f D f C d C D f D ++????

===????++????

其相应的决策为232()x C D =

241112424212(,)()82()min min 5(,)()41d C D f D f C d C D f D ++????

===????++????

其相应的决策为242()x C D =

运筹学复习重点

运筹学复习重点第1章线性规划与单纯形法（1）化线形规划标准形的手法（2）线性规划解的概念、解的情形、解的判定（3）单纯形法的计算过程、迭代逻辑。（4）熟练运用单纯形表求解问题；若给出单纯形表，要会解读，会基于单纯形法基本原理反推出表中一些参数。（5）两阶段法、大M法第2章对偶理论和灵敏度分析（1）会写对偶问题，掌握对偶性质，原问题与对偶问题之间的关系。（2）互补松弛定理的应用：知道一个问题的最优解，求另一个问题的最优解。（3）对偶单纯形法（4）当目标函数系数和右端项变化时灵敏度分析的简便方法第3章目标规划（1）根据问题的特征和对多个目标的追求，通过引入偏离量，正确构建所需的目标规划数学模型（2）会用图解法求目标规划的最优解或满意解第4章整数规划（1）分支定界法：如何构造分支子问题，如何更新目标函数最优值上下界，何时终止。（2）割平面法：如何写对源约束方程；如何拆分、组装割平面方程；如何利用对偶单纯形法继续求解。第5章无约束优化（1）凸函数与凸规划的定义与判别（2）一维搜索的0.618法基本原理和迭代过程（3）无约束优化的最速下降法的基本原理、迭代过程第6章约束极值优化（1）可行下降方向的含义、满足什么代数条件、几何意义（2）正确写出Kuhn-Tucker条件，理解K-T条件与最优解的关系（3）利用Kuhn-Tucker条件，求出K-T点和最优解。

（4）外点法和内点法的基本原理、无约束优化目标函数的一般构造手法第7章动态规划（1）动态规划的基本原理和基本方程（2）动态规划的逆推解法（3）动态规划求静态规划问题的套路第8章图与网络优化（1）图的基本概念、树的基本性质、最小支撑树的求法（2）求最短路的Dijkstra算法（3）增广链的概念、用途，求网络最大流的标号法第9章网络计划（1）遵循网络计划图的绘制规则，正确画出网络计划图。（2）会计算网络计划的各种时间参数，确定关键线路（3）不同目标下网络计划优化的方法第10章排队论（1）排队系统基本性能指标的含义、关系（2）泊松流与负指数分布的关系，排队系统中基本参数λ和μ含义的多维解读。（3）系统状态概率Pn的含义、它在推导系统基本性能指标中的基础地位，推导它自身所依据的状态转移图。（4）标准M/M/1模型的系统状态概率、基本性能指标的表达式。第11章对策论（1）矩阵对策中鞍点、最优纯策略、对策的值（2）矩阵对策的混合策略和图解法（3）矩阵对策局中人各自对应的线性规划问题之间的关系（理解互补松弛定理在对策论中的应用）第12章决策论（1）风险决策的EMV准则，EOL准则，二者之间的关系（2）多级风险决策的图形工具：决策树，以及基于决策树的EMV决策套路（3）会利用决策树计算抽样信息的期望价值、完全信息的期望价值题型：计算题和证明题。计算量不大，不必带计算器，可带尺子画图。

《运筹学》复习参考资料知识点及习题

第一部分线性规划问题的求解一、两个变量的线性规划问题的图解法：㈠概念准备：定义：满足所有约束条件的解为可行解；可行解的全体称为可行（解）域。定义：达到目标的可行解为最优解。㈡图解法：图解法采用直角坐标求解：x1——横轴；x2——竖轴。1、将约束条件（取等号）用直线绘出； 2、确定可行解域； 3、绘出目标函数的图形（等值线），确定它向最优解的移动方向；注：求极大值沿价值系数向量的正向移动；求极小值沿价值系数向量的反向移动。 4、确定最优解及目标函数值。㈢参考例题：（只要求下面这些有唯一最优解的类型）例1：某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需在A、B、C三种不同的设备上加工，每种产品在不同设备上加工所需的工时不同，这些产品销售后所能获得利润以及这三种加工设备因各种条件限制所能使用的有效加工总时数如下表所示：问：该厂应如何组织生产，即生产多少甲、乙产品使得该厂的总利润为最大？（此题也可用“单纯形法”或化“对偶问题”用大M法求解）

解：设x 1、x 2为生产甲、乙产品的数量。 max z = 70x 1+30x 2 s.t. ???????≥≤+≤+≤+0 72039450555409321212121x x x x x x x x ，可行解域为oabcd0，最优解为b 点。由方程组 ???=+=+72039450 5521 21x x x x 解出x 1=75，x 2=15 ∴X * =??? ? ??21x x =（75，15） T ∴max z =Z *= 70×75+30×15=5700 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸、⑹

max z = 6x 1+4x 2 s.t. ???????≥≤≤+≤+0781022122121x x x x x x x ，解：可行解域为oabcd0，最优解为b 点。由方程组 ???=+=+810 22 121x x x x 解出x 1=2，x 2=6 ∴X * =? ?? ? ??21x x =（2，6）T ∴max z = 6×2+4×6=36 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸、⑹

运筹管理精编运筹学讲义

运筹管理精编运筹学讲义文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-

M B A运筹学讲义运筹学是一门应用科学，它广泛应用现代科学技术知识、用定量分析的方法，解决实际中提出的问题，为决策者选择最优决策提供定量依据。运筹学的核心思想是建立在优化的基础上。例如，在线性规划中体现为两方面：（1）对于给定的一项任务，如何统筹安排，使以最少的资源消耗去完成（2）在给定的一定数量的资源条件下，如何合理安排，使完成的任务最多运筹学解决问题的主要方法是用数学模型描述现实中提出的决策问题，用数学方法对模型进行求解，并对解的结果进行分析，为决策提供科学依据。随着计算机及计算技术的迅猛发展，目前对运筹学的数学模型的求解已有相应的软件。因此，在实际求解计算时常可借助于软件在计算机上进行，这样可以节省大量的人力和时间。第一部分线性规划内容框架 LP问题基本概念数学模型可行解、最优解实际问题LP问题解的概念基本解、基可行解提出基本最优解

基本方法图解法原始单纯形法单纯形法大M法人工变量法对偶单纯形法两阶段法对偶理论进一步讨论灵敏度分析──参数规划* 在经济管理领域内应用运输问题（转运问题）

特殊的LP问题整数规划多目标LP 问题* 第一部分线性规划（Linear Programming）及其应用第一章 LP问题的数学模型与求解 §1 LP问题及其数学模型（一）引例1（生产计划的问题）某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ的两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时，A、B两种原材料的消耗以及每件产品可获的利润如下表所示。问应如何安排计划使该工厂获利最多该问题可用一句话来描述，即在有限资源的条件下，求使利润最大的生产计划方案。解：设x 1,x 2 分别表示在计划期内生产产品Ⅰ、Ⅱ的产量。由于资源的限制，所以有：

运筹学复习资料资料讲解

运筹学复习一、填空题 1、线性规划中，满足非负条件的基本解称为基本可行解，对应的基称为可行基线. 2、性规划的目标函数的系数是其对偶问题的右端常数；而若线性规划为最大化问题，则 3、对偶问题为最小化问题。 m n个变量构成基变量的充要条件是不含闭回路。 4、在运输问题模型中，1 5、动态规划方法的步骤可以总结为：逆序求解最优目标函数，顺序求__最优策略、最优路线和最优目标函数值。 6、工程路线问题也称为最短路问题，根据问题的不同分为定步数问题和不定步数问题； 7、对不定步数问题，用迭代法求解，有函数迭代法和策略迭代法两种方法。 8、在图论方法中，通常用点表示人们研究的对象，用边表示对象之间的某种联系。 9、一个无圈且连通的图称为树。 10、图解法提供了求解只含有两个决策变量的线性规划问题的方法． 11、图解法求解生产成本最小线性规划问题时，等成本线越往左下角移动，成本越低． 12、如果线性规划问题有有限最优解，则该最优解一定在可行域的边界上上达到。 13、线性规划中，任何基对应的决策变量称为基变量． 14、原问题与对偶问题是相互对应的．线性规划中，对偶问题的对偶问题是原问题． 15、在线性规划问题中，若某种资源的影子价格为10，则适当增加该资源量，企业的收益将_会 (“会”或“不会”)提高． 16、表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法． 17、产销平衡运输问题的基变量共有m+n-1个． 18、动态规划不仅可以用来解决和时间有关的多阶段决策问题，也可以处理与时间无关的多阶段决策问题． 19、构成动态规划模型，需要进行以下几方面的工作：正确选择阶段（k）变量，正确选择状态（Sk）变量，正确选择_ 决策（UK）变量，列出状态转移方程, 列出_阶段指标函数_，建立函数基本方程． 20、动态规划方法可以用来解决和某些与时间有关的问题，但也可以用来解决和某些与时间无关的问题.在图论方法中，图是指由点与边和点与弧组成的示意图． 21、网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权之和最小的路线．简述单纯形法的计算步骤：第一步：找出初始可行解，建立初始单纯形表。第二步：判断最优，检验各非基变量的检验数。 1若所有的，则基B为最优基，相应的基可行解即为基本最优解，计算停止。 2若所有的检验数，又存在某个非基变量的检验数所有的，则线性规划问题有无穷多最优解。 3若有某个非基变量的检验数，并且所对应的列向量的全部分量都非正，则该线性规划问题的目标函数值无上界，既无界解，停止计算。第三步：换基迭代

运筹学复习资料

《运筹学》综合复习资料一、判断题 1、LP 问题的可行域是凸集。 2、LP 问题的基可行解对应可行域的顶点。 3、LP 问题的最优解一定是可行域的顶点,可行域的顶点也一定是最优解。 4、若LP 问题有两个最优解,则它一定有无穷多个最优解. 5、求解LP 问题时,对取值无约束的自由变量，通常令"-'=j j j x x x ,其中∶0≥" ' j j x x , 在用单纯形法求得的最优解中,有可能同时出现0>" ' j j x x . 6、在PERT 计算中，将最早节点时刻等于最迟节点时刻、且满足0)(),()(=--i t j i t j t E L 节点连接而成的线路是关键线路 7、在一个随机服务系统中，当其输入过程是一普阿松流时，即有 (){}()t n e n t n t N P λλ-==! ，则同一时间区间，相继两名顾客到达的时间间隔是相互独立且服从参数为λ的负指数分布，即有()t e t X p λλ-== 8、分枝定界求解整数规划时,分枝问题的最优解不会优于原(上一级)问题的最优解. 9、对偶问题的对偶问题一定是原问题。 10、运输问题是一种特殊的LP 问题，因而其求解结果也可能会有唯一的最优解或无穷多个最优解。 11、动态规划中，定义状态变量时应保证在各个阶段中所做决策的相互独立性。 12、用割平面法求解整数规划时，每次增加一个割平面／线性约束条件后，在新的线性规划可行域中，除了割去一些不属于整数解的可行解外，还割去了上级问题不属于整数解的最优解。 13、在求解目标规划时，遵循的基本原则就是在考虑低级目标时，不能破坏已经满足的高级目标。 14、根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解。

运筹学复习资料(1)

运筹学复习一、单纯形方法（表格、人工变量、基础知识）线性规划解的情况：唯一最优解、多重最优解、无界解、无解。其中，可行域无界，并不意味着目标函数值无界。无界可行域对应着解的情况有：唯一最优解、多重最优解、无界解。有界可行域对应唯一最优解和多重最优解两种情况。线性规划解得基本性质有：满足线性规划约束条件的可行解集（可行域）构成一个凸多边形；凸多边形的顶点（极点）与基本可行解一一对应（即一个基本可行解对应一个顶点）；线性规划问题若有最优解，则最优解一定在凸多边形的某个顶点上取得。单纯形法解决线性规划问题时，在换基迭代过程中，进基的非基变量的选择要利用比值法，这个方法是保证进基后的单纯型依然在解上可行。换基迭代要求除了进基的非基变量外，其余非基变量全为零。检验最优性的一个方法是在目标函数中，用非基变量表示基变量。要求检验数全部小于等于零。 “当x 1由0变到45/2时，x 3首先变为0，故x 3为退出基变量。”这句话是最小比值法的一种通俗的说法，但是很有意义。这里，x 1为进基变量，x 3为出基变量。将约束方程化为每个方程只含一个基变量，目标函数表示成非基变量的函数。单纯型原理的矩阵描述。在单纯型原理的表格解法中，有一个有趣的现象就是，单纯型表中的某一列的组成的列向量等于它所在的单纯型矩阵的最初的基矩阵的m*m 矩阵与其最初的那一列向量的乘积。最初基变量对应的基矩阵的逆矩阵。这个样子： '1 222 1 0 -382580 1 010 0 158P B P -?????? ??????==?????? ???????????? ５１＝５所有的检验数均小于或等于零，有最优解。但是如果出现非基变量的检验数为0，则有无穷多的最优解，这时应该继续迭代。解的结果应该是： X *= a X 1*+(1-a)X 2* （0<=a<=1）说明：最优解有时不唯一，但最优值唯一；在实际应用中，有多种方案可供选择；当问题有两个不同的最优解时，问题有无穷多个最优解。无最优解的情况就是：应该进基的变量所对应的列的系数全部小于零。若存

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一、单项选择题: 1、对偶问题与原问题研究出自(D )目得。 A、不同 B、相似 C、相反 D、同一 2、机会成本可同时满足(A )用途。 A、1种 B、1种以上 C、2种 D、无限种 3、运筹学有助于管理人员正确决策,因为它把研究对象当成( C)。 A、决策变量 B、决策目标 C、有目标得系统 D、影响模型得关键 4、运筹学就是系统工程得理论基础之一。 5、现代运筹学就是因为(D )得需要而诞生与发展起来得。 A、工业 B、商业 C、金融业 D、战争 6、一个图就是树得充要条件就是其为一个(D ),并且边数=节点数-1。 A、有向图 B、简单图 C、多重图 D、连通图 7、线性规划标准形式得约束式为(D )。 A、不等式 B、大于等于 C、小于等于 D、等式 8、动态规划有(B )限制。 A、阶段数 B、维数 C、节点数 D、层级数二、填空题: 1、最小树得求解方法: __破圈法与避圈法__ 2、整数规划得基本分类: __整数线性规划整数非线性规划规划__ 3、图解法得基本理论就是__凸集基本理论__ 4、多数情况下,模型得___形式化___ 工作需要借助某些定量化方法 5、一般整数规划问题可采取: ___计算机方法分支定界法割平面法___ 6、动态规划得优点首先就是通过对一个多阶段得__复杂动态问题____ 进行分级处理,变成了求解多个单阶段得__静态问题____ ,使求解过程大大简化了 7、对偶解——影子价格得大小客观地反映资源在系统内得稀缺程度。

8、若标准线性规划问题得可行域有界,则标准线性规划问题必有最优解 9、一般整数规划问题可采取:计算机方法分支定界法割平面法。三、综合分析题: 1、不平衡运输问题得求法得基本思想? 参考答案: 将不平衡运输问题化为平衡运输问题;然后,应用表上作业法求解。四、论述题: 请结合自己得实际情况与运筹学得原理及用途,举一个例子,说说学习运筹学能帮助自己解决实际中得什么问题,为什么？参考答案: 应用《运筹学》得知识,结合自己得实际构造一案例。元)得需求经统计如下表星期一二三四五六七人数 12 15 12 14 16 18 19 为了保证销售人员充分休息,销售人员每周工作5天,休息2天。问应如何安排销售人员得工作时间,使得所配售货人员得总费用最小？模型假设: 每天工作8小时,不考虑夜班得情况; 每个人得休息时间为连续得两天时间; 每天安排得人员数不得低于需求量,但可以超过需求量问题分析: 因素:不可变因素:需求量、休息时间、单位费用;可变因素:安排得人数、每人开始工作得时间、总费用; 方案:确定每天工作得人数,由于连续休息2天,当确定每个人开始休息得时间就等于知道工作得时间,因而确定每天开始休息得人数就知道每天开始工作得人数,从而求出每天工作得人数。变量:第i 天开始休息得人数约束条件: 1、每人休息时间2天。 2、每天工作人数不低于需求量,第i 天工作得人数就就是除了该天在休息得所有人,即除了第i-1天及第i 天开始休息得人以外得所有人,所以有约束: 3、变量非负约束: 目标函数:总费用最小,总费用与使用得总人数成正比。由于每个人必然在且仅在某一天开始休息,所以总人数等于模型: 五、简答题: 1、灵敏度分析。参考答案: 就是指为了改善决策方案与有效控制实施过程,在获得最优解得基础上,仍假定最优基不变,分别研究参数得波动对最优解有什么影响。 2、线性规划标准形式有什么特点？一、1265432≥++++x x x x x 二、1576543≥++++x x x x x 三、1217654≥++++x x x x x 四、1421765≥++++x x x x x 五、1632176≥++++x x x x x 六、1843217≥++++x x x x x 日、1954321≥++++x x x x x 7,...,2,1,0=≥i x i 且为整数?????????????=≥≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++∑=7,...,2,1,019 1816 14121512 ..200 min 5432174321763217652117654765436543271 i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x i i i 且为整数

管理运筹学课件

管理运筹学课件《运筹学》武汉大学商学院刘明霞教材 Operation al Research(简写OR) 直译为:作战研究、运用研究日本:运用学中国:运筹学(意译) 教材《运筹学》，韩伯堂，高等教育出版社，2000年参考书《运筹学》，清华大学出版社《管理运筹学》韩大卫编，大连理工大学出版社其它同类书教学目的与方法教学目的:介绍运筹学各分支体系的基本模型、求解方法;引导并锻练MBA学员用运筹学知识定量分析与解决实际问题的能力。教学方法以各种实际问题为背景，引出各分支基本概念、基本模型和基本方法，侧重各种方法及应用，回避繁复的数学理论推导。运用软件教学，并让学生掌握这类软件。分组进行案例分析与讨论教学内容运筹学ABC 线性规划问题整数规划目标规划动态规划网络规划排队论存贮论对策论决策论第一章运筹学ABC 运筹学的发展:三个来源运筹学的性质和特点运筹学研究的问题与解决方法运筹学的工作步骤运筹学的发展:三个来源军事管理经济军事:运筹学的主要发源地古代军事运筹学思想中国古代的“孙子兵法”在质的论断中渗透着量的分析(1981年美国军事运筹学会出版了一本书，书中第一句话就是说孙武子是世界上第一个军事运筹学的实践家)，中国古代运筹学思想的例子还有:田忌赛马、围魏救赵、行军运粮，等等。国外历史上的阿基米德、伽利略研究过作战问题;第一次世界大战时，英国的兰彻斯特(Lanchester)提出了战斗方程，指出了数量优势、火力和胜负的动态关系;美国的爱迪生为美国海军咨询委员会研究了潜艇攻击和潜艇回避攻击的问题。运筹学的正式产生:第二次世界大战鲍德西(Bawdsey)雷达站的研究 1939年，以Blackett为首的一个研究小组(代号“Bla ckett 马戏团”)，研究如何改进英国的空防系统，提高英国本土防空能力。 Blackett备忘录 1941年12月， Blackett应盟国政府的要

《运筹学》复习资料

远程教育学院期末复习大纲模板注：如学员使用其她版本教材，请参考相关知识点一、客观部分：（单项选择、多项选择、判断）（一）多选题 1．线性规划模型由下面哪几部分组成？（ABC） A决策变量B约束条件C目标函数 D 价值向量 ★考核知识点: 线性规划模型得构成、（1、1）附1、1、1（考核知识点解释）：线性规划模型得构成：实际上，所有得线性规划问题都包含这三个因素：（1）决策变量就是问题中有待确定得未知因素。例如决定企业经营目标得各产品得产量等。（2）目标函数就是指对问题所追求得目标得数学描述。例如利润最大、成本最小等。（3）约束条件就是指实现问题目标得限制因素。如原材料供应量、生产能力、市场需求等，它们限制了目标值所能到达得程度。 2．下面关于线性规划问题得说法正确得就是（AB） A．线性规划问题就是指在线性等式得限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）得问题。 B．线性规划问题就是指在线性不等式得限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）得问题。 C．线性规划问题就是指在一般不等式得限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）得问题。 D．以上说法均不正确 ★考核知识点: 线性规划模型得线性含义、（1、1）附1、1、2（考核知识点解释）：所谓“线性”规划，就是指如果目标函数就是关于决策变量得线性函数，而且约束条件也都就是关于决策变量得线性等式或线性不等式，则相应得规划问题就称为线性规划问题。 3．下面关于图解法解线性规划问题得说法不正确得就是（BC ）A在平面直角坐标系下，图解法只适用于两个决策变量得线性规划 B 图解法适用于两个或两个以上决策变量得线性规划 C 图解法解线性规划要求决策变量个数不要太多，一般都能得到满意解

2015年运筹学复习资料

运筹学复习一、填空题 1、线性规划中，满足非负条件的基本解称为基本可行解，对应的基称为可行基线. 2、性规划的目标函数的系数是其对偶问题的右端常数；而若线性规划为最大化问题，则 3、对偶问题为最小化问题。 4、在运输问题模型中，1m n +-个变量构成基变量的充要条件是不含闭回路。 5、动态规划方法的步骤可以总结为：逆序求解最优目标函数，顺序求__最优策略、最优路线和最优目标函数值。 6、工程路线问题也称为最短路问题，根据问题的不同分为定步数问题和不定步数问题； 7、对不定步数问题，用迭代法求解，有函数迭代法和策略迭代法两种方法。 8、在图论方法中，通常用点表示人们研究的对象，用边表示对象之间的某种联系。 9、一个无圈且连通的图称为树。 10、图解法提供了求解只含有两个决策变量的线性规划问题的方法． 11、图解法求解生产成本最小线性规划问题时，等成本线越往左下角移动，成本越低． 12、如果线性规划问题有有限最优解，则该最优解一定在可行域的边界上上达到。 13、线性规划中，任何基对应的决策变量称为基变量． 14、原问题与对偶问题是相互对应的．线性规划中，对偶问题的对偶问题是原问题． 15、在线性规划问题中，若某种资源的影子价格为10，则适当增加该资源量，企业的收益将_会 (“会”或“不会”)提高． 16、表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法． 17、产销平衡运输问题的基变量共有m+n-1个． 18、动态规划不仅可以用来解决和时间有关的多阶段决策问题，也可以处理与时间无关的多阶段决策问题． 19、构成动态规划模型，需要进行以下几方面的工作：正确选择阶段（k ）变量，正确选择状态（Sk ）变量，正确选择_ 决策（UK ）变量，列出状态转移方程, 列出_阶段指标函数_，建立函数基本方程． 20、动态规划方法可以用来解决和某些与时间有关的问题，但也可以用来解决和某些与时间无关的问题.在图论方法中，图是指由点与边和点与弧组成的示意图． 21、网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权之和最小的路线．简述单纯形法的计算步骤：第一步：找出初始可行解，建立初始单纯形表。第二步：判断最优，检验各非基变量的检验数。 1若所有的，则基B 为最优基，相应的基可行解即为基本最优解，计算停止。 2若所有的检验数，又存在某个非基变量的检验数所有的，则线性规划问题有无穷多最优解。 3若有某个非基变量的检验数，并且所对应的列向量的全部分量都非正，则该线性规划问题的目标函数值无上界，既无界解，停止计算。第三步：换基迭代

运筹学讲义

《管理运筹学》 1、运筹学的工作步骤 (1)提出和形成问题． (2)建立模型． (3)求解． (4)解的检验． (5)解的控制． (6)解的实施. 2、运筹学模型三种基本形式：(1)形象模型 (2)模拟模型 (3)符号或数学模型构模的五种方法和思路： (1)直接分析法 (如线性规划) (2)类比法（手机的普及与电视机的普及） (3)数据分析法（如汽车销售量预测模型） (4)试验分析法（销售量与价格之间的关系模型） (5)想定(构想)法（销售与心理） 3、如何将线性规划问题的一般形式化为标准形式： 1.如果问题是求目标函数的最小值，求min f＝∑Cjxj则可先将目标函数乘（-1），化为求极大值问题，即求 max Z=－f=－∑Cjxj 2.如果有某个bk≤0，则可将该等式两边均乘以(－1)，使右端常数项bk=－bk≥0 3.如果第k个约束条件是∑akjxj≤bk,引入松弛变量sk≥0 , 将它写成∑akjxj+sk＝bk 如果第l个约束条件是∑aljxj≥bl则引入剩余变量(也可称为松弛变量)sl≥0，将它写成∑aljxj—sl=bl 且使松弛变量和剩余变量在目标函数中的系数为零。 4.如果对某个变量xj没有非负限制(这种变量称为自由变量或无约束变量)，则引进两个非负变量xj′，xj″，令xj＝xj′－xj″代人目标函数和约束条件中，可将它化为对全部变量都有非负限制的问题。 4、①目标函数为变量的线性函数，约束条件也为变量的线性等式或不等式的模型称之为线性规划。 ②如果目标函数是变量的非线性函数，或约束条件中含有变量非线性的等式或不等式的数学模型则称之为非线性规划。 ③满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。 ④把使得目标函数值最大(即利润最大)的可行解称为该线性规划的最优解,此目标函数值称为最优目标函数值，简称最优值 5、图解法的启示 1．最优解：如果某一个线性规划问题有最优解，则一定有一个可行域的顶点对应一个最优解。（一般为封闭可行域凸集） 2．无穷多个最优解：若将上例中的目标函数变为求 maxZ=50x1+50x2 则代表目标函数的直线平移到最优位置后将和直线x1+x2=300重合。此时不仅顶点B，

运筹学复习资料资料讲解

最全的运筹学复习题及答案

四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：

根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省? 1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示：起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?

五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。

六、用单纯形法求解下列线性规划问题：七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。

八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 X l X2X3X4 —10b-1f g X32C O11／5 X l a d e01 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解第四章线性规划的对偶理论五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3

运筹学讲义6

第六讲排队论 X/Y/Z X处填写表示相继到达间隔时间的分布; Y处填写表示服务时间的分布; Z处填写并列的服务台的数目c.c=1 单服务台，c>1 多服务

台

表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布的符号: M —负指数分布 D —确定型 Ek —k 阶爱尔朗分布 GI — 一般相互独立的时间间隔的分布 G — 一般服务时间的分布 X/Y/Z/A/B/C A 处填写系统容量限制N ；N=c 损失制，N=∞等待制系统，N>c 混合制系统 B 处填写顾客源数m （有限、无限）； C 处填写服务规则（FCFS/LCFS/SIRO/PR ）。约定：FCFS Z Y X /////∞∞如略去后三项，即指 1、平均到达率(λ)：单位时间内平均到达的顾客数。平均到达间隔 (1/λ) 2、平均服务率(μ)：单位时间内平均服务的顾客数。平均服务时间(1/μ) 3、队长(Ls)：排队系统中顾客的平均数。 4、队列长(Lq)：指系统中排队等候服务的顾客数。Ls=Lq+正被服务的顾客数 5、逗留时间(Ws)：指一个顾客在系统中的停留时间。 6、等待时间(Wq)：指一个顾客在系统中排队等待的时间。

Ws=Wq+服务时间 7、系统的状态：描述系统中的顾客数损失制、服务台个数c 系统容量N 系统容量无限 0,1,2,...,N 0,1,2,... 0,1,2,...,c 8、系统的状态概率[Pn ( t )] ：指t 时刻、系统状态为n 的概率 9、稳定状态（统计平衡状态）：lim Pn (t )→Pn P n =P {N =n }稳态系统中有n 个顾客概率 P 1稳态系统中有1个顾客概率 P 0稳态所有服务台全部空闲概率模型 P n (t)的计算（在时刻t 系统中有n 个顾客的概率）在时刻在时刻×O ×O 离去到达n n n n ××O O n n +1n -1n (A)(B)(C)(D) t +Δt 顾客数在区间（t , t +Δt ）t 顾客数情况λΔt μΔt λΔt P n (t )P n (t )P n+1(t )P n-1(t )1-λΔt 1-λΔt μΔt 1-μΔt 1-μΔt P n (t +Δt )= P n (t )(1-λΔt )(1-μΔt ) + P n +1(t )(1-λΔt )μΔt++ P n-1(t)λΔt(1- μΔt) + P n (t)λΔt μΔt n ≥1

运筹学(2)复习重点

2013年运筹学（2）期末复习重点提醒：同学们要真正理解并掌握以下内容，不要死记硬背！第一部分对策论 1. 对策行为的三个基本要素：局中人、策略集和赢得函数（支付函数）（掌握局中人、策略集、局势和赢得函数（支付函数）的含义；对实际问题能根据某一局中人、策略集及赢得矩阵建模求解。） 2. 对策的分类 3. 矩阵对策的研究对象：二人有限零和对策 4. 平衡局势的定义，最优纯策略的定义，及求解方法。 5. 纯策略意义下有解的充要条件 6. 矩阵的鞍点、对策的鞍点 7. 当矩阵对策的解不唯一时，解之间的关系所具有的性质：无差别性；可交换性。（要理解这两个性质） 8. 理解矩阵对策的混合策略、混合局势、各局中人的赢得函数、混合扩充以及矩阵对策在混合策略意义下的解的定义。 10. 矩阵对策在混合策略意义下有解的充要条件 11. 矩阵对策的求解（重点掌握矩阵对策的几个基本定理，如定理4、6、7、8、10，理解定理所揭示的内容）（1）灵活运用定理7和8（课后习题15）；（2）熟练运用定理4和6，在后续矩阵对策的诸多求解方法中，经常会结合这两个定理，通过对例题的复习掌握这两个定理；（3）理解优超的含义，能运用优超原则（定理10是优超原则求解矩阵对策的依据）求解矩阵对策（例题11及课后习题13）；（4）掌握其他求解方法：公式法、图解法（例题13、14）、方程组法（例题16、17）。

第二部分存储论（库存论） 1.备货时间、提前时间及存储策略的概念。 2.费用结构：存储费、订货费、生产费及缺货费及相关概念。 3.存储策略概念及常见的存储策略类型 4.确定性存储模型（1）模型1、2、3的最优订货批量(E.O.Q)，对应的最佳费用及存储策略。（2）掌握上述模型的费用结构，能够写出费用函数。 5.两种价格折扣的类型：全单位量折扣和增量折扣理解两种价格折扣的定义。全单位量价格折扣情况下的最优订购批量的计算。（结合例题6理解书上的求解步骤） 6.随机性存储模型（1）模型5（报童问题）掌握最佳报纸份数的判断条件（结合例7和8）（2）模型7（（s,S ）型存储策略）掌握例题9-11 第三部分排队论 1. 排队系统的组成部分：输入过程、排队规则、服务机构。 2. 排队模型的分类：X/Y/Z 其中的字母表示什么？ 3. 队长s L ，队列长q L ，逗留时间s W ，等待时间q W 的概念 4. 泊松流（1）形成泊松流的三个条件（2）()n P t 的含义：长为t 的时间内到达n 个顾客的概率 ()n P t 的推导过程、及()n P t 的表达式。 5. 单服务台负指数分布排队系统的分析（计算时注意量纲统一）（1）标准M/M/1模型模型的推导（状态概率转移图），状态转移方程，n P 的表达式 ,,λμρ的含义

运筹学参考资料

运筹学参考资料一、单项选择题（本大题共0 0 分，共60 小题，每小题0 分） 1. 割平面法若达不到整数要求条件，则针对某个变量( )。 C. 增加一个割平面 2. 整数规划模型在其( )基础上附加了决策变量为整数的约束条件。 C. 松弛问题 3. 整数规划模型在其松弛问题基础上附加了( )的约束条件。 B. 决策变量为整数 4. 如果产出量与投入量（近似）存在线性关系，则可以写成投入产出的( ) D. 线性函数 5. 分枝定界法不会增加( )的个数。 A. 决策变量 6. 割平面法每切割压缩一次都要再增加( )。 B. 切割约束式 7. 关于分配问题，叙述错误的是（）。 B. 任务书>0 8. 线性规划问题的特点是( ) D. 约束条件限制为实际的资源投入量 9. 运筹学的应用另一方面是由于电子计算机的发展，保证其( )能快速准确得到结果。 D. 反馈 10. 纯整数或混整数规划问题的求解方法没有( )。 D. 避圈法 11. 下列______不是线性规划标准型的特征 B. 决策变量无符号限制 12. 以下不属于图解法步骤的是（） A. 建立目标函数 13. 决策变量的一组数据代表一个( ) D. 解决方案 14. 整数规划的松弛问题指（） A. 去掉决策变量取整约束形成的线性规划问题 15. 资源数大于任务数的目标最小化分派问题需要( )。 C. 增加任务数至等于资源数，并赋M(无限大)值 16. 关于线性规划标准型的特征，哪一项不正确____ _ B. 约束条件全为线性等式 17. 动态规划的构成要素不包括( )。 D. 阶段和阶段静态参数 18. 决策变量表示一种( ) C. 活动 19. 下列结论错误的是（）。 D. 一个图中一定存在圈. 20. 下列图形所包含的区域不是凸集的是______ C. 圆环 21. 动态规划的特点不含有( )。 D. 最优结果唯一

运筹学课程讲义

运筹学课程讲义第一部分线性规划第一章线性规划的基本性质 1.1 线性规划的数学模型一、线性规划问题的特点胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子售价50元/个，椅子售价30元/个。生产桌子和椅子需木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？ 213050max x x z += ?? ? ??≥≤+≤+0 ,50212034212121x x x x x x 例：某工厂生产某一种型号的机床。每台机床上需要 2.9m 、2.1m 、1.5m 的轴，分别为1根、2根和1根。这些轴需用同一种圆钢制作，圆钢的长度为74m 。如果要生产100台机床，问应如何安排下料，才能用料最省？二、数学模型的标准型 1. 繁写形式 2. 缩写形式 3. 向量形式 4. 矩阵形式

三、任一模型如何化为标准型？ 1. 若原模型要求目标函数实现最大化，如何将其化为最小化问题？ 2. 若原模型中约束条件为不等式，如何化为等式？ 3. 若原模型中变量x k 是自由变量，如何化为非负变量？ 4. 若原模型中变量x j 有上下界，如何化为非负变量？ ?????? ?≥≤-=--≤+--≥-+----=无约束 3213213 21321321,0,0520 10651535765max x x x x x x x x x x x x x x x z 令'' '3'3''3'331'1,0,,,Z Z x x x x x x x =-≥-=-= ??? ????≥-=+-++=+-+-=+-+-+--+-++-=0,,,,,,,520 1010651533507765min 7654''3'32'17' '3'32'15' '3'32'164' '3'32'17 65' '3'32'1'x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Mx Mx x x x x x z 1. 2图解法该法简单直观，平面作图适于求解二维问题。使用该法求解线性规划问题时，不必把原模型化为标准型。一、图解法步骤 1. 由全部约束条件作图求出可行域 2. 作出一条目标函数的等值线 3. 平移目标函数等值线，作图求解最优点，再算出最优值二、从图解法看线性规划问题解的几种情况

运筹学复习参考资料全

第一部分线性规划问题的求解 ——重要算法：图解法、单纯形迭代、大M 法单纯形迭代、对偶问题、表上作业法（找初始可行解：西北角法，最小元素法；最优性检验：闭回路法，位势法；）、目标规划：图解法、整数规划：分支定界法（次重点），匈牙利法（重点）、第二部分动态规划问题的求解 ——重要算法：图上标号法第三部分网络分析问题的求解 ——重要算法：破圈法、TP 标号法、寻求网络最大流的标号法第一部分线性规划问题的求解一、两个变量的线性规划问题的图解法：㈠概念准备：定义：满足所有约束条件的解为可行解；可行解的全体称为可行（解）域。定义：达到目标的可行解为最优解。㈡图解法：图解法采用直角坐标求解：x 1——横轴；x 2——竖轴。1、将约束条件（取等号）用直线绘出； 2、确定可行解域； 3、绘出目标函数的图形（等值线），确定它向最优解的移动方向；注：求极大值沿价值系数向量的正向移动；求极小值沿价值系数向量的反向移动。 4、确定最优解及目标函数值。㈢参考例题：（只要求下面这些有唯一最优解的类型）例1：某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需在A 、B 、C 三种不同的设备上加工，每种产品在不同设备上加工所需的工时不同，这些产品销售后所能获得利润以及这三种加工设备因各种条件限制所能使用的有效加工总时数如下（此题也可用“单纯形法”或化“对偶问题”用大M 法求解）解：设x 1、x 2为生产甲、乙产品的数量。 max z = 70x 1+30x 2 s.t. ???????≥≤+≤+≤+0 72039450555409321212121x x x x x x x x ， ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸、⑹

《运筹学》复习资料

《运筹学》复习资料注：如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点一、客观部分：（单项选择、多项选择、判断）（一）多选题 1．线性规划模型由下面哪几部分组成？（ABC） A决策变量 B约束条件 C目标函数 D 价值向量 ★考核知识点: 线性规划模型的构成.（1.1）附1.1.1（考核知识点解释）：线性规划模型的构成：实际上，所有的线性规划问题都包含这三个因素：（1）决策变量是问题中有待确定的未知因素。例如决定企业经营目标的各产品的产量等。（2）目标函数是指对问题所追求的目标的数学描述。例如利润最大、成本最小等。（3）约束条件是指实现问题目标的限制因素。如原材料供应量、生产能力、市场需求等，它们限制了目标值所能到达的程度。 2．下面关于线性规划问题的说法正确的是（AB） A．线性规划问题是指在线性等式的限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）的问题。 B．线性规划问题是指在线性不等式的限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）的问题。 C．线性规划问题是指在一般不等式的限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）的问题。 D．以上说法均不正确 ★考核知识点: 线性规划模型的线性含义.（1.1）附1.1.2（考核知识点解释）：所谓“线性”规划，是指如果目标函数是关于决策变量的线性函数，而且约束条件也都是关于决策变量的线性等式或线性不等式，则相应的规划问题就称为线性规划问题。 3．下面关于图解法解线性规划问题的说法不正确的是（ BC ） A在平面直角坐标系下，图解法只适用于两个决策变量的线性规划 B 图解法适用于两个或两个以上决策变量的线性规划 C 图解法解线性规划要求决策变量个数不要太多，一般都能得到满意解 D 以上说法A正确，B，C不正确 ★考核知识点: 线性规划图解法的条件. （1.2）