第6课时——函数的单调性教师
第六课时函数的单调性(1)
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(2) 比较f (x1), f (x2)大小
学习要求
1 ?理解函数单调性概念；
2 ?掌握判断函数单调性的方法，会证
明一些简单函数在某个区间上的单调性；
3 .提高观察、抽象的能力.；
自学评价
?单调增函数的定义：
一般地，设函数y f(x)的定义域为
A，区间I A.
如果对于区间I内的任意两个值X i ,
X2，当捲X2时，都有f (x-i) f (x2)，那
么就说y f (x)在区间I上是单调土_______________ 函
数，I称为y f(x)的单调增区间. 注意：⑴“任意”、“都
有”等关键词；
⑵.单调性、单调区间是有区别的；
2 ?单调减函数的定义：
一般地，设函数y f (x)的定义域为
A，区间I A.
如果对于区间I内的任意两个值X!,
X2，当X i X2 时，都有—f(X i) f(X2),
⑶下结论"函数在某个区间上是单调增
或减)函数"
【精典范例】
「?根据函数图像写单调区间: 例1：画出下列函数图
象，并写出单调区间.
(1)y x2 2 ；
(2)y 1；
x21, x
2x 2, x
【解】
(图略)
(,0)，单调减区间为(0,)；
1
(2)函数y —在(，0)和(0,)上分别单
X
调减，即其有两个单调减区间分别是(，0)和
(0, ) ?
x2 1 x 0
(3)函数f(X)在实数集R
2x 2, x 0
上是减函数;
那么就说y f (x)在区间I上是单调_M
函数，I称为y f(x)的单调减区间.
3 ?函数图像与单调性：函数在单调增区间
上的图像是上升图像；而函数在其
单调减区间上的图像是下降的图
像。(填"上升"或"下降")
x
(3) f(x)
(1 )函数y x22的单调增区间为
二.证明函数的单调性：
例2:求证：函数f(x)= —x3+1在区间(一g，+ g)上是单调减函数
证明：设X1 ,2€ R 且X1 3 3 —X i +1+X2 —1 2 2 =(X 2—X1)(X 2 +X1X2+X1 ) 2 2 因为X2>X1 , X2 +X1X2+X1 >0 所以f(X 1) —f(X 2)>0 即 f(X 1)>f(x 2) 所以f(x)在(一g，+ g)上递减 追踪训练一 1.函数y 1 (A) 在(1, (B) 在(1, 1 X 1 )内单调递增 )内单调递减 (C) 即f(X2)f (X1) 1 故f (x) x —在区间(0,1)上是减函数. X 【选修延伸】 如果一个函数有两个单调区间，两个区间一般不 取并集： 1 例3 :函数y 在其定义域 X (,0) U(0,)上是减函数吗？ 分析：单调区间的判断目前只有通过定义进行说明，如果 要说明这个命题是真命题时我们要给出严格的定义证明， 而如果要说明这个命题是假命题，我们只要举一组不满足 定义的 听课随笔 (C)在(1, )内单调递增X1,X2，并加以说明. 【解】 该命题是假命题；例如x11,x2 1时, (D)在(1, )内单调递减 2.函数y x22x 8的单调增区间 4, 1).. f (x-i) 1, f (x2) 1 ，显然X1 x2且 1 f(X1)f(X2)，所以"函数y —在其定义 X 域(，0) U (0,)上是减函数"是不成立 3.求证: f(x) x 1在区间(0,1)上是减 x 的. 函数. 证明：设0 x-i x21，则 X2 X1 0,0 X1X2 二f (X2) f (X1) (X2 (X2 X1 ) (X2 X1 ) (X2 ( X2 _) X1 (X2X1) X1X2 (X1X21) (X 1 X 1 点评： 1 .单调区间是函数定义域的子集，所以，求函数的单调 区间，必须注意函数的定义域； 2.单调区间是单调增区间和单调减区间的统称，所以， 求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有 单调减区间，必须分别写出来。 思维点拔： 一、利用图像写函数的单调区间？ 我们只要画出函数的草图，在草图上要能够反映 函数图像的上升和下降，根据图像上升的区间就是函数 的单调增区间，图像下降的区间就是函数的单调减区间. 追踪训练 X1) x1x2 1.函数y= 3x —2x2+ 1的单调递增区间是 (B ) [2,0],贝U f(x)的单调递减区间是 [1,1] _____ 设2 为 x ，贝U (x 2 2)( x-i 2) 0, x 2 x-i f(X 2) f(xj 1 2a 1 2a x> 2 x-! 2 (1 2a) (X 2 2)(X 1 2) (X 1 X 2) (X 2 2)(X 1 2) 3 3 A . (—^, 4] B . [ 4， +驾 3 3 C . (—^, —4] D . [— ,+勻 4 2.若函数 f (x)是 R 上的: 增函 i 数, 对于实数 a, b ，若 a b 0, 则有(A ) (A) f(a) f(b) f( a) f( b) (B) f(a) f(b) f( a) f( b) (C) f(a) f(b) f( a) f( b) (D) f(a) f(b) f( a) f( b) 3.函数f(x + 1) = x 2 — 2x + 1的定义域是 a -时, 2 听课随笔 f (X 2) f(x) (2, f (x 1)，此时函数 )上是单调减函数; 当a 丄 2 此时函数 ax 1 / 1、亠 f (x)冷二)在 时，f(X 2) f(X 1), (2,)上是单调增函数; 4.函数y= X 1 X 0 的单调减区间为 x 1,x 0 (—8, 0). 5 .讨论函数f (x) (a ^)在 x 2 2 (2,)上的单调性 解：f (x) ax 1 x 2 ax 2a 1 2a x 2 I 1 2a x 2 【师生互动】