高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三上学期期末考试数学理试题分类汇编函数
一、选择题
1、(滨州市高三上学期期末)已知函数22()2,()log ,()log 2x
f x x
g x x x
h x x =+=+=-的零点
依次为,,a b c ,则
(A )a b c << (B )c b a << (C )c a b << (D )b a c <<
2、(德州市高三上学期期末)若函数()x
x
f x a ka -=+ (a>0且a≠1)在R 上既是奇函数又是增函
数,则()log ||a g x x k =+的图象是
3、(济宁市高三上学期期末)设函数()422x
f x x =+-的零点为()1,x
g x 的零点为
()2121
4
x x x g x -≤,若,则可以是
A.()1g x x =
B.()21x
g x =-
C.()1ln 2g x x ??=-
??
?
D.()41g x x =-
4、(胶州市高三上学期期末)已知函数()y f x x =-是偶函数,且()2=1f ,则()-2f A. -1 B. 1 C. -3 D. 2
5、(莱芜市高三上学期期末)函数()()()1ln f x x x x =+-学科网的定义域为
A.{}
0x x <
B.{}{}10x x ≤-?
C.{}
1x x ≤-
D.{}
1x x ≥-
6、(莱芜市高三上学期期末)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且当0x ≥时,
()()ln 1f x x =-,则函数()f x 的大致图象为
7、(临沂市高三上学期期末)周期为4的奇函数()[]02f x 在,上的解析式为
()22,01log 1,12
x x f x x x ?≤≤=?+<≤?学科网,则()()20142015f f +=
A.0
B.1
C.2
D.3
8、(临沂市高三上学期期末)函数()()
23cos ln 1f x x x =?+的部分图像可能是
9、(泰安市高三上学期期末)已知实数,a b 满足23,32a
b
==,则()x
f x a x b =+-的零点所在
的区间是 A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1
D.()1,2
10、(泰安市高三上学期期末)已知函数()()()2111x x x f x e
x ->-??=?≤-??,若()(),a b f a f b <=,则实
数2a b -的取值范围为 A.1,1e
?
?-∞- ??
?
B.1,e ??-∞- ???
C.1,2e ??-∞-
- ???
D.1,2e ??
-∞-
- ??
?
11、(威海市高三上学期期末)
已知()2x
f x =,若()()()1,,22a b p f
ab q f r f a f b +??
===+ ?
??
,其中0a b >>,则下列关系式中正确的是
A.p q r <<
B.p r q <<
C.r p q <<
D.q p r <<
12、(潍坊市高三上学期期末)已知定义在R 上的偶函数()f x ,当0x ≤时,
()()()[]22,,111,1,02
x x x f x x ?+∈-∞-?=???-∈-? ???
?学科网则()()3f f =
A.9-
B.1-
C.1
D.9
13、(烟台市高三上学期期末)已知函数()()1
221,
1log 3,1
x x f x x x -?-≥?=?--?,若
()()11f a f a =-=,则
A.2
B.2-
C.1
D.1-
14、(枣庄市高三上学期期末)设0.3
.0.33log 2,log 2,2a b c ===,则这三个数的大小关系是
( )
A .c b a >>
B .c a b >>
C .a b c >>
D .b c a >> 15、(滨州市高三上学期期末)函数12
()log cos ()2
2
f x x x π
π
=-
<<
的图象大致是
16、(枣庄市高三上学期期末)函数()1|lg |cos 2f x x x ??
=-- ???
的零点的个数为( ) A .3 B .4C .5 D .6
参考答案
1、A
2、A
3、D
4、C
5、C
6、C
7、B
8、A
9、B 10、D
11、A 12、C 13、B 14、A 15、C 16、B
二、填空题
1、(德州市高三上学期期末)设函数()f x 的定义域为D ,如果x D ?∈,存在唯一的y D ∈,使
()()
2
f x f y C += (C 为常数)成立,则称函数()f x 在D 上的“均值”为C .已知四个函数:
①3
()()f x x x R =∈②1()()()2
x f x x R =∈
③()ln (0,)f x x x =∈+∞④()2sin ()f x x x R =∈
上述四个函数中,满足所在定义域上“均值”为1的函数是。(填入所有满足条件函数的序号)
2、(济南市高三上学期期末)对于函数()[]()()sin ,0,212,2,2
x x f x f x x π?∈?
=?-∈+∞??,有下列5个结论:
①任取[)12,0,x x ∈+∞,都有()()122f x f x -≤; ②函数()y f x =在区间[]4,5上单调递增;
③()()()22f x kf x k k N +=+∈,对一切[)0,x ∈+∞恒成立; ④函数()()ln 1y f x x =--有3个零点;
⑤若关于x 的方程()()f x m m =<0有且只有两个不同实根12,x x ,则123x x +=. 则其中所有正确结论的序号是_________.(请写出全部正确结论的序号)
3、(济宁市高三上学期期末)已知函数()()[]2
20,ln 32
x
a f x e a a x =-+>∈,当时,函数
()f x 的最大值与最小值的差为3
2
,则实数a =▲.
4、(莱芜市高三上学期期末)函数()1
x
f x x =+图象的对称中心的坐标为________
5、(临沂市高三上学期期末)已知函数()2ln 2x k
f x x e x x
=--+有且只有一个零点,则k 的值为
_______.
6、(青岛市高三上学期期末)若43
3333,,log ,,,555a b c a b c ????
=== ? ?????
则三者的大小关系为
___________.(用<表示);
7、(泰安市高三上学期期末)规定记号“*”表示一种运算,a*b=a2+ab ,
设函数()*2f x x =,且关于x 的方程()()ln 11f x x x =+≠-恰有4个互不相等的实数根
1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++=▲
8、(潍坊市高三上学期期末)若函数()y f x =满足:对()y f x =图象上任意点()()
11,P x f x ,总存在点()()
22,P x f x '也在()y f x =图象上,使得()()12120x x f x f x +=成立,称函数
()y f x =是“特殊对点函数”.给出下列五个函数:
①1y x -=;②2log y x =;③sin 1y x =+;④2x
y e =-;⑤y =其中是“特殊对点函数”的序号是_________.(写出所有正确的序号) 9、(烟台市高三上学期期末)函数()()
ln 21f x x =--的定义域为
10、(枣庄市高三上学期期末)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当[)0,1x ∈时,
()f x x =,则21log 2
2f ??- ???
=.
参考答案
1、①③
2、①④⑤
3、52
4、(-1,-1)
5、e e 12
+
6、c a b <<
7、-4
8、③④⑤
9、(-1,3) 10、-1
2
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷(理科)(附详细答案)(8)
一、选择题,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.(5分)函数f(x)=cos(2x﹣)的最小正周期是()
A. B.π C.2π D.4π
2.(5分)设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=()
A.[0,1]
B.[0,1)
C.(0,1]
D.(0,1)
3.(5分)定积分(2x+ex)dx的值为()
A.e+2
B.e+1
C.e
D.e﹣1
4.(5分)根据如图所示的框图,对大于2的整数N,输出的数列的通项公式是()
A.an=2n
B.an=2(n﹣1)
C.an=2n
D.an=2n﹣1
5.(5分)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上,则该球的体积为()
A. B.4π C.2π D.
6.(5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()
A. B. C. D.
7.(5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()
A.f(x)=x
B.f(x)=x3
C.f(x)=()x
D.f(x)=3x
8.(5分)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()
A.真,假,真
B.假,假,真
C.真,真,假
D.假,假,假
9.(5分)设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为()
A.1+a,4
B.1+a,4+a
C.1,4
D.1,4+a
10.(5分)如图,某飞行器在4千米高空飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为()
A.y=﹣x
B.y=x3﹣x
C.y=x3﹣x
D.y=﹣x3+x
二、填空题(考生注意:请在15、16、17三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分,共4小题,每小题5分,满分20分)
11.(5分)已知4a=2,lgx=a,则x=.
12.(5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为.
13.(5分)设0<θ<,向量=(sin2θ,cosθ),=(cosθ,1),若∥,则tanθ=.
14.(5分)观察分析下表中的数据:
多面体面数(F)顶点数
棱数(E)
(V)
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.
(不等式选做题)
15.(5分)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为.
(几何证明选做题)
16.如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F,若AC=2AE,则
EF=.
(坐标系与参数方程选做题)
17.在极坐标系中,点(2,)到直线的距离是.
三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤(共6小题,满分75分)
18.(12分)△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.
(Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.
19.(12分)如图1,四面体ABCD及其三视图(如图2所示),过棱AB的中点E作平行
于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.
(Ⅰ)证明:四边形EFGH是矩形;
(Ⅱ)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.
20.(12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P (x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.
(Ⅰ)若++=,求||;
(Ⅱ)设=m +n(m,n∈R),用x,y表示m﹣n,并求m﹣n的最大值.
21.(12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如表:
300 500
作物产量
(kg)
概率0.5 0.5
6 10
作物市场
价格(元
/kg)
概率0.4 0.6
(Ⅰ)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
(Ⅱ)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.
22.(13分)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=﹣x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为. (Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.
23.(14分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.
(Ⅰ)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;(Ⅱ)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n﹣f(n)的大小,并加以证明.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷(理科)(附详细答案) (8)
参考答案与试题解析
一、选择题,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.(5分)函数f(x)=cos(2x﹣)的最小正周期是()
A. B.π C.2π D.4π
【分析】由题意得ω=2,再代入复合三角函数的周期公式求解.
【解答】解:根据复合三角函数的周期公式得,
函数f(x)=cos(2x﹣)的最小正周期是π,
故选:B.
【点评】本题考查了三角函数的周期性,以及复合三角函数的周期公式应用,属于基础题.
2.(5分)设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=()
A.[0,1]
B.[0,1)
C.(0,1]
D.(0,1)
【分析】先解出集合N,再求两集合的交即可得出正确选项.
【解答】解:∵M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R}={x|﹣1<x<1,x∈R},
∴M∩N=[0,1).
故选:B.
【点评】本题考查交集的运算,理解好交集的定义是解答的关键.
3.(5分)定积分(2x+ex)dx的值为()
A.e+2
B.e+1
C.e
D.e﹣1
【分析】根据微积分基本定理计算即可.
【解答】解:(2x+ex)dx=(x2+ex)|=(1+e)﹣(0+e0)=e.
故选:C.
【点评】本题主要考查了微积分基本定理,关键是求出原函数.
4.(5分)根据如图所示的框图,对大于2的整数N,输出的数列的通项公式是()
A.an=2n
B.an=2(n﹣1)
C.an=2n
D.an=2n﹣1
【分析】根据框图的流程判断递推关系式,根据递推关系式与首项求出数列的通项公式. 【解答】解:由程序框图知:ai+1=2ai,a1=2,
∴数列为公比为2的等比数列,∴an=2n.
故选:C.
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键.
5.(5分)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上,则该球的体积为()
A. B.4π C.2π D.
【分析】由长方体的对角线公式,算出正四棱柱体对角线的长,从而得到球直径长,得球半径R=1,最后根据球的体积公式,可算出此球的体积.
【解答】解:∵正四棱柱的底面边长为1,侧棱长为,
∴正四棱柱体对角线的长为=2
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上,
∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径,得球半径R=1
根据球的体积公式,得此球的体积为V=πR3=π.
故选:D.
【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长,求该球的体积,考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识,属于基础题.
6.(5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()
A. B. C. D.
【分析】设正方形边长为1,则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点,共有10条线段,4条长度为1,4条长度为,两条长度为,即可得出结论.
【解答】解:设正方形边长为1,则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点,共有10条线段,4条长度为1,4条长度为,两条长度为,
∴所求概率为=.
故选:C.
【点评】本题考查概率的计算,列举基本事件是关键.
7.(5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()
A.f(x)=x
B.f(x)=x3
C.f(x)=()x
D.f(x)=3x
【分析】对选项一一加以判断,先判断是否满足f(x+y)=f(x)f(y),然后考虑函数的单调性,即可得到答案.
【解答】解:A.f(x)=,f(y)=,f(x+y)=,不满足f(x+y)=f(x)f (y),故A错;
B.f(x)=x3,f(y)=y3,f(x+y)=(x+y)3,不满足f(x+y)=f(x)f(y),故B错;
C.f(x)=,f(y)=,f(x+y)=,满足f(x+y)=f(x)f(y),但f (x)在R上是单调减函数,故C错.
D.f(x)=3x,f(y)=3y,f(x+y)=3x+y,满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(x)在R上是单调增函数,故D正确;
故选:D.
【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型,同时考查幂函数和指数函数的单调性,是一道基础题.
8.(5分)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()
A.真,假,真
B.假,假,真
C.真,真,假
D.假,假,假
【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假,根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假,再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假.
【解答】解:根据共轭复数的定义,原命题“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”是真命题;
其逆命题是:“若|z1|=|z2|,则z1,z2互为共轭复数”,例|1|=|﹣1|,而1与﹣1不是互为共轭复数,
∴原命题的逆命题是假命题;
根据原命题与其逆否命题同真同假,否命题与逆命题互为逆否命题,同真同假,
∴命题的否命题是假命题,逆否命题是真命题.
故选:B.
【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系,考查了共轭复数的定义,熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键.
9.(5分)设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为()
A.1+a,4
B.1+a,4+a
C.1,4
D.1,4+a
【分析】方法1:根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论.
方法2:根据均值和方差的公式计算即可得到结论.
【解答】解:方法1:∵yi=xi+a,
∴E(yi)=E(xi)+E(a)=1+a,
方差D(yi)=D(xi)+E(a)=4.
方法2:由题意知yi=xi+a,
则=(x1+x2+…+x10+10×a)=(x1+x2+…+x10)=+a=1+a,
方差s2=[(x1+a﹣(+a)2+(x2+a﹣(+a)2+…+(x10+a﹣(+a)2]=[(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(x10﹣)2]=s2=4.
故选:A.
【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系,若变量y=ax+b,则Ey=aEx+b,Dy=a2Dx,利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算.
10.(5分)如图,某飞行器在4千米高空飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为()
A.y=﹣x
B.y=x3﹣x
C.y=x3﹣x
D.y=﹣x3+x
【分析】分别求出四个选项中的导数,验证在x=±5处的导数为0成立与否,即可得出函数的解析式.
【解答】解:由题意可得出,此三次函数在x=±5处的导数为0,依次特征寻找正确选项:A选项,导数为,令其为0,解得x=±5,故A正确;
B选项,导数为,令其为0,x=±5不成立,故B错误;
C选项,导数为,令其为0,x=±5不成立,故C错误;
D选项,导数为,令其为0,x=±5不成立,故D错误.
故选:A.
【点评】本题考查导数的几何意义,导数几何意义是导数的重要应用.
二、填空题(考生注意:请在15、16、17三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分,共4小题,每小题5分,满分20分)
11.(5分)已知4a=2,lgx=a,则x=.
【分析】化指数式为对数式求得a,代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值.
【解答】解:由4a=2,得,
再由lgx=a=,
得x=.
故答案为:.
【点评】本题考查了指数式与对数式的互化,考查了对数的运算性质,是基础题.
12.(5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为 x2+(y﹣1)2=1 .
【分析】利用点(a,b)关于直线y=x±k的对称点为(b,a),求出圆心,再根据半径求得圆的方程.
【解答】解:圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,可得圆心为(0,1),再根据半径等
于1,
可得所求的圆的方程为x2+(y﹣1)2=1,
故答案为:x2+(y﹣1)2=1.
【点评】本题主要考查求圆的标准方程,利用了点(a,b)关于直线y=x±k的对称点为(b,a),属于基础题.
13.(5分)设0<θ<,向量=(sin2θ,cosθ),=(cosθ,1),若∥,则tanθ=.
【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出.
【解答】解:∵∥,向量=(sin2θ,cosθ),=(cosθ,1),
∴sin2θ﹣cos2θ=0,
∴2sinθcosθ=cos2θ,
∵0<θ<,∴cosθ≠0.
∴2tanθ=1,
∴tanθ=.
故答案为:.
【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式,属于基础题.
14.(5分)观察分析下表中的数据:
多面体面数(F)顶点数
棱数(E)
(V)
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是 F+V﹣E=2 .
【分析】通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E,得到规律:F+V﹣E=2,进而发现此公式对任意凸多面体都成立,由此得到本题的答案.
【解答】解:凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E,
①正方体:F=6,V=8,E=12,得F+V﹣E=8+6﹣12=2;
②三棱柱:F=5,V=6,E=9,得F+V﹣E=5+6﹣9=2;
③三棱锥:F=4,V=4,E=6,得F+V﹣E=4+4﹣6=2.
根据以上几个例子,猜想:凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系:F+V﹣E=2
再通过举四棱锥、六棱柱、…等等,发现上述公式都成立.
因此归纳出一般结论:F+V﹣E=2
故答案为:F+V﹣E=2
【点评】本题由几个特殊多面体,观察它们的顶点数、面数和棱数,归纳出一般结论,得到欧拉公式,着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识,属于基础题.
(不等式选做题)
15.(5分)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为.
【分析】根据柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当ad=bc取等号,问题即可解决.
【解答】解:由柯西不等式得,
(ma+nb)2≤(m2+n2)(a2+b2)
∵a2+b2=5,ma+nb=5,
∴(m2+n2)≥5
∴的最小值为
故答案为:
【点评】本题主要考查了柯西不等式,解题关键在于清楚等号成立的条件,属于中档题.
(几何证明选做题)
16.如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F,若AC=2AE,则EF= 3 .
【分析】证明△AEF∽△ACB,可得,即可得出结论.
【解答】解:由题意,∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F,
∴∠AEF=∠C,
∵∠EAF=∠CAB,
∴△AEF∽△ACB,
∴,
∵BC=6,AC=2AE,
∴EF=3.
故答案为:3.
【点评】本题考查三角形相似的判定与运用,考查学生的计算能力,属于基础题.
(坐标系与参数方程选做题)
17.在极坐标系中,点(2,)到直线的距离是 1 .
【分析】把极坐标化为直角坐标,再利用点到直线的距离公式即可得出.
【解答】解:点P(2,)化为=,y=2=1,∴P.
直线展开化为:=1,化为直角坐标方程为:,即=0.
∴点P到直线的距离d==1.
故答案为:1.
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤(共6小题,满分75分)
18.(12分)△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.
(Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.
【分析】(Ⅰ)由a,b,c成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式,利用正弦定理化简,再利用诱导公式变形即可得证;
(Ⅱ)由a,bc成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,再利用余弦定理表示出cosB,将得出的关系式代入,并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)∵a,b,c成等差数列,
∴2b=a+c,
利用正弦定理化简得:2sinB=sinA+sinC,
∵sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C),
∴sinA+sinC=2sinB=2sin(A+C);
(Ⅱ)∵a,b,c成等比数列,
∴b2=ac,
∴cosB==≥=,
当且仅当a=c时等号成立,
∴cosB的最小值为.
【点评】此题考查了正弦、余弦定理,等差、等比数列的性质,以及基本不等式的运用,熟练掌握定理是解本题的关键.
19.(12分)如图1,四面体ABCD及其三视图(如图2所示),过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.
(Ⅰ)证明:四边形EFGH是矩形;
(Ⅱ)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.
【分析】(Ⅰ)由三视图得到四面体ABCD的具体形状,然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行,即可得四边形为平行四边形,再由线面垂直的判断和性质得
到AD⊥BC,结合异面直线所成角的概念得到EF⊥EH,从而证得结论;
(Ⅱ)分别以DB,DC,DA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,求出所用点的坐标,求出及平面EFGH的一个法向量,用与所成角的余弦值的绝对值得直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.
【解答】(Ⅰ)证明:由三视图可知,四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形,
且侧棱AD⊥底面BDC.
如图,∵AD∥平面EFGH,平面ADB∩平面EFGH=EF,AD?平面ABD,
∴AD∥EF.
∵AD∥平面EFGH,平面ADC∩平面EFGH=GH,AD?平面ADC,
∴AD∥GH.
由平行公理可得EF∥GH.
∵BC∥平面EFGH,平面DBC∩平面EFGH=FG,BC?平面BDC,
∴BC∥FG.
∵BC∥平面EFGH,平面ABC∩平面EFGH=EH,BC?平面ABC,
∴BC∥EH.
由平行公理可得FG∥EH.
∴四边形EFGH为平行四边形.
又AD⊥平面BDC,BC?平面BDC,
∴AD⊥BC,则EF⊥EH.
∴四边形EFGH是矩形;
(Ⅱ)解:
解法一:取AD的中点M,连结,显然ME∥BD,MH∥CD,MF∥AB,且ME=MH=1,平面MEH⊥平面EFGH,取EH的中点N,连结MN,则MN⊥EH,
∴MN⊥平面EFGH,则∠MFN就是MF(即AB)与平面EFGH所成的角θ,
∵△MEH是等腰直角三角形,
∴MN=,又MF=AB=,
∴sin∠AFN==,即直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值是.
解法二:分别以DB,DC,DA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,