5.人教版 高中数学 第五章 平面向量 知识网络图及导读分析
第五章平面向量
【网络图】
【网络导读】
1.向量是数学中的重要概念，并和数一样，也能运算.它是一种工具，用向量的有关知识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题.
向量法和坐标法是研究和解决向量问题的两种方法.
坐标表示，使平面中的向量与它的坐标建立了一一对应关系，用“数”的运算处理“形”的问题，在解析几何中有广泛的应用.向量法便于研究空间中涉及直线和平面的各种问题.
2.平移变换的价值在于可利用平移变换，使相应的函数解析式得到简化. 【易错指导】
易错点1：利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时,数形结合的意识不够,忽视隐含条件.
易错点2：涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用时,易产生概念性错误. 忽视向量积定义中对两向量夹角的定义.向量数量积的应用.
例题1
已知1,0,OA OB OA OB ==?= 点C 在AOB ∠内,且AOC ∠30o
=.
设(,)OC mOA nOB m n R =+∈ ，则m
n
等于
（A ）
13 （B ）3 （C
（D
【解析】 由OC mOA nOB =+
, 得
两边同时乘以OA , 可得2OA OC mOA nOA OB m ?=+?=
, 又OA OC ?=
||||cos30||OA OC OC ?= ,
∴|m OC = ; 两边同时乘以OB ,可得2
3OB OC mOA OB nOB n ?=?+= ,
又OB OC ?=
||||cos60|OB OC OC ?= ,
∴||n OC = . ∴m n =3 ,故应选B.
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算,考查了算两次法则的数学解题中的解题策略在
实际求解中,考生多从平面几何的角度去分析该问题,出现思维延时现象. 例题2如图，连结ABC ?的各边中点得到一个新的111,A B C ?又连 结111A B C ?的各边中点得到222A B C ?，如此无限继续下 去，得到一系列三角形：ABC ?，111A B C ?，222A B C ?，...， 这一系列三角形趋向于一个点M 。已知(0,0),(3,0),A B
(2,2),C 则点M 的坐标是＿＿＿＿。
【解析】由已知可得111A B C ?的三个点的坐标为1115
3(,1),(1,1),(,0)22
A
B C , 222A B C ?的坐标225117
(,),(2,),(,1)4224
B C ,...，
可以求得ABC ?，111A B C ?，222A B C ?，...的重心均为52(,)33
,即可得三角形趋向于一个点M 就是三角形的重心,得点M 的坐标是52(,)33
.
【点评】本题考查了坐标系下三角形各边中点派生三角形的极限规律性运动,提示了平面几
何与解析几何在知识发生与发展中的相互推进作用.大多考生数形结合的意识不够,将思维方向转向了数列通项的归纳及极限的求解而出现延时现象.
例题3设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=
,若OP AB PA PB ?≥?
,则实数λ的取值范围是
(A)
112λ≤≤ (B) 112λ-≤≤ (C) 1122
λ≤≤+ (D)
11λ≤≤【解析】设点P 坐标为(,)x y ,则由AP AB λ=
可得(1,)(1,1)x y λ-=-, (01λ≤≤). 即得
1,x y λλ=-=,点P 坐标为(1,λλ-. 又由O P A B P A
?≥?
, 可得(1,)(
1,1)(,)λλλλλλ-?-≥-?--
,
整理可得2
2410λλ-+≤, 解之得1122λ-
≤≤+又∵01λ≤≤, ∴112
λ-≤≤,
故应选B.
【点评】本题考查了向量的坐标运算及定比分点公式的变形应用,向量不等式的解法转化.很多考生解题中忽视了条件01λ≤≤而出错.
高一数学思维导图
高一数学思维导图 (0)＝01、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同； 2、证明单调性：作差（商）； 3、复合函数的单调性最值二次函数、基本不等式、双钩（耐克）函数、三角函数有界性、数形结合、导数、幂函数对数函数三角函数基本初等函数抽象函数复合函数赋值法、典型的函数函数与方程二分法、图象法、二次及三次方程根的分布零点函数的应用建立函数模型使解析式有意义函数表示方法换元法求解析式分段函数注意应用函数的单调性求值域周期为T的奇函数→f (T)＝f ()＝f (0)＝0复合函数的单调性：同增异减一次、二次函数、反比例函数指数函数图象、性质和应用平移变换对称变换翻折变换伸缩变换图象及其变换必修二 立体几何点与线空间点、线、面的位置关系点在直线上点在直线外点与面点在面内点在面外线与线共面直线异面直线相交平行没有公共点只有一个公共点线与面平行相交有公共点没有公共点直线在平面外直线在平面内面与面平行相交平行关系的相互转化垂直关系的相互转化线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直空间的角异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角范围：(0，90]范围：[0，90]范围：[0，180]点到面的距离直线与平面的距离平行平面之间的距离相互之间的转化空间的距
离空间几何体柱体棱柱圆柱正棱柱、长方体、正方体台体棱台圆台锥体棱锥圆锥球三棱锥、四面体、正四面体直观图侧面积、表面积三视图体积长对正高平齐宽相等必修二 解析几何倾斜角和斜率直线的方程位置关系直线方程的形式倾斜角的变化与斜率的变化重合平行相交垂直A1B2－A2B1＝0A1B2－A2B1≠0A1A2＋B1B2＝0点斜式：y－y0＝k(x－x0)斜截式：y＝kx＋b两点式：＝截距式：＋＝1一般式：Ax＋By＋C＝0注意各种形式的转化和运用范围、两直线的交点距离点到线的距离：d＝，平行线间距离：d＝圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆的位置关系两圆的位置关系相离相切相交D＜0，或d＞rD＝0，或d＝rD＞0，或d＜r截距注意：截距可正、可负，也可为0、必修三 统计、概率、算法统计随机抽样抽签法随机数表法简单随机抽样系统抽样分层抽样共同特点：抽样过程中每个个体被抽到的可能性（概率）相等用样本估计总体样本频率分布估计总体总体密度曲线频率分布表和频率分布直方图茎叶图样本数字特征估计总体众数、中位数、平均数方差、标准差变量间的相关关系两个变量的线性相关散点图回归直线概率概率的基本性质互斥事件对立事件古典概型几何概型P(A＋B)＝P(A)＋P(B)P(`A)＝1－P(A)概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性顺序结构条件结构循环结构算法语言算法的特征程序框图基本算法语言算法案例辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制必修四
高一数学必修 知识结构图
高一数学必修1知识网络 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ???? ?? ???????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=???????
高一数学思维导图
必修一集合与函数 集合映射 概念元素、集合之间的关系 运算：交、并、补数轴、Venn图、函数图象 性质确定性、互异性、无序性 定义表示 解析法 列表法 三要素 图象法 定义域 对应关系 值域 性质 奇偶性 周期性 对称性 单调性 定义域关于原点对称，在x＝0处有定义的奇函数→f (0)＝0 1、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同； 2、证明单调性：作差（商）； 3、复合函数的单调性 最值 二次函数、基本不等式、双钩（耐克）函 数、三角函数有界性、数形结合、导数. 幂函数 对数函数 三角函数 基本初等函数 抽象函数 复合函数 赋值法、典型的函数 函数与方程二分法、图象法、二次及三次方程根的分布 零点 函数的应用建立函数模型 使解析式有意义 函数 表示方法 换元法求解析式 分段函数 注意应用函数的单调性求值域 周期为T的奇函数→f (T)＝f (T 2 )＝f (0)＝0 复合函数的单调性：同增异减 一次、二次函数、反比例函数 指数函数 图象、性质 和应用 平移变换 对称变换 翻折变换 伸缩变换 图象及其变换
点与线 空间点、 线、面的 位置关系 点在直线上 点在直线外 点与面 点在面内 点在面外 线与线 共面直线 异面直线 相交 平行 没有公共点 只有一个公共点 线与面 平行 相交 有公共点 没有公共点 直线在平面外 直线在平面内 面与面 平行 相交 平行关系的相互转化 垂直关系的相互转化 线线 平行 线面 平行 面面 平行 线线 垂直 线面 垂直 面面 垂直 空间的角 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角 范围：(0?，90?] 范围：[0?，90?] 范围：[0?，180?] 点到面的距离 直线与平面的距离 平行平面之间的距离 相互之间的转化 空间的距离 空间几何体 柱体 棱柱 圆柱 正棱柱、长方体、正方体 台体 棱台 圆台 锥体 棱锥 圆锥 球 三棱锥、四面体、正四面体 直观图 侧面积、表面积 三视图 体积 长对正 高平齐 宽相等
高中数学必修1知识结构图解
高中数学必修1知识结构图解第一章集合与函数概念 集合含义与表示 基本关系 基本运算 列举法{a,b,c,…} 描述法{x|p(x)} 图象法 包含关系 相等关系 交集:A∩B={x|x∈A且x∈B} 并集:A∪B={x|x∈A或x∈B} 补集:{|} U C A x x U x A =∈? 且 韦恩图; 数轴 子集; 真子集 函数概念 定义域 对应关系 值域 表示 解析法 图象法 列表法 性质 单调性 定义 图象特征 最值 奇偶性 定义 图象特征:对称性 映射映射的概念上升或下降
第二章基本初等函数(Ⅰ) 基本初等函数(Ⅰ) 指 数 与 指 数 函 数 指 数 根式n a 分数指数幂(0,,*,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 无理数指数幂 运算性质 指 数 函 数 定义(0,1) x y a a a =>≠ 图象: “一撇或一捺”，过点(0,1).见教材P56 性质: 位于x轴上方,以x轴为渐近线 对 数 与 对 数 函 数 对 数 定义：x a N x a N = 若则叫以为底的对数 运算性质 对 数 函 数 定义：log(0,1) a y x a a =>≠ 图象：位于y轴右侧，以y轴为渐近线.见教材P71 性质：过点（1，0） log()log log log log log log log a a a a a a n a a M N M N M M N N M n M ?=+ =- = () () r s r s r s rs r r r a a a a a ab a b + = = = 幂 函 数 定义：y xα = 具体的五 个幂函数 2 3 1 2 1 y x y x y x y x y x- = = = = = 特征：过点（1，1）， 当0 α>时在(0,) +∞ 上递增；当0 α<时， 在(0,) +∞上递减。 换底公式： log log(0,1,0,1,0) log c a c b b a a c c b a =>≠>≠> 图象见P77图2.3－1