人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 教学设计

24.1.2垂直于弦的直径（第一课时）教学设计

【教学目标】

1、知识目标：

(1)通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性；

(2)掌握垂径定理，理解其探索和证明过程；

(3)能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。

2、能力目标：

(1)在研究过程中，进一步体验“实验、归纳、猜想、证明”的方法；

(2)在解题过程中，注重发散思维的培养。

3、情感目标：通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。

【教学重点】探索并证明垂径定理。

【教学难点】利用垂径定理解决有关计算、证明问题.

【教学方法】引导发现法、直观演示法

【教学用具】圆形纸片，圆规，三角尺，PPT 课件，实物展台

【教学过程】

一、创设问题情境，激发学习兴趣：

1．出示赵州桥图片：我国隋代工匠李春建造的赵州桥，距今已有1400多年历史，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的勤劳与智慧。

2．创设问题情境：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37米，拱高（弧的中点到弦AB 的距离，也叫弓高）为7.23米。请问：桥拱的半径（即AB 所在圆的半径）是多少？通过本节课的探究和学习，老师相信大家一定能够解决这一问题。 （图1）

3. 出示学习目标：

( 1 ) 通过动手操作，使学生发现圆的轴对称性.

（2）探索垂径定理，并会用它解决有关的证明与计算问题。

二、尝试操作，发现定理：

（一）活动一： 实践探究

把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

（二）活动二：操作思考

1、如图，AB 是⊙O 的一条弦，做直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ．

（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？

我们可以发现：

（1）上图是轴对称图形，其对称轴是直径CD 所在的直线．

（2）相等的线段：AE=BE ，相等的弧：A ⌒C=B ⌒C,A ⌒D=B ⌒D 。

2、分析以上操作过程我们会发现:

已知条件有两个：（1）CD 是直径 （2） CD ⊥AB

结论有三个： （3）AE=BE (4) A ⌒C=B ⌒C (5) A ⌒D=B ⌒D

3、小结垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

4、板书：垂径定理的几何语言 ∵CD 是直径，AB 是弦

CD ⊥AB

∴AE=BE,

A ⌒C=

B ⌒

C ,

A ⌒D=

B ⌒D

(三)活动三：简单应用

1、辨一辨：下列哪些图形能直接满足垂径定理的条件？

2、选一选：

如图，AB 是O 的直径，CD 为弦，CDAB 于E ，则下列结论中不成立的是（）

A . ∠AOM =∠BOM B. AM=BM

C. OM=CM

D. A ⌒C=B ⌒C,

E C O A B B A C O M

三、例题讲解，巩固新知：

活动四：练一练

例1．已知：如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm 。 求：⊙O 的半径。

例2.变式练习：如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E,CE=1，AB=10，求直径CD 的长。

3.学法归纳：

（1）垂径定理经常和勾股定理结合使用。

（2）解决有关弦的问题时，经常连接半径，或经过圆心做一条与弦垂直的线段，为应用垂径定理创造条件。

四、拓展延伸，解决问题：

活动五：小组讨论，解决赵州桥问题

例（赵州桥桥拱问题）1400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.23米，求桥拱的半径（精确到0.1米）

O

A B E C

D O B A E

五、挑战自我，中考链接

课堂检测：

1、在直径是20cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是＿＿cm。

2、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于F,EF=＿＿＿。

P

六、课堂小结：

说说你这节课的收获与体验，让大家与你一起分享！

1、从知识上学习了什么？（知道了圆的对称性，掌握了垂径定理，并会运用定理解决问题.）

2、从学习方法上学会了什么？（垂径定理和勾股定理的结合应用；在圆中解决与弦有关的问题时，常用做辅助线的方法有：过圆心作垂直于弦的线段；或连接半径。）

七、布置作业：

1、课本83页练习2,89页习题24.1第2题。

2、预习作业：预习82页例2及垂径定理的推论。

八、教师寄语：

致亲爱的同学们：天空的幸福是穿一身蓝；森林的幸福是披一身绿；老师的幸福是因为认识了你们；愿你们努力进取，永不言败！

九、教学反思：

1、为了给学生营造一个民主、平等而又富有诗意的课堂，我以新数学课程标准

下的基本理念和总体目标为指导思想，在教学过程中始终面向全体学生，依据学生的实际水平，选择适当的教学起点和教学方法，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验。最后再以教师寄语的形式，把情感目标落到了实处。

2、根据教学目标和学生的认知水平，我选用引导发现法和直观演示法。让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---归纳---证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。

附：垂径定理检测题:

1、变式练习：如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1，AB=10，求直径CD 的长。

2、赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离) 为7.23m ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？(结果保留小数点后一位）

B

· O A

B

E C

D