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2011-2012学年惠阳一中实验学校高二下学期期中考试数学(文)试题(A)

命题人：陈添松

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合{}0,1,2,3A =，{}1,2,4B =，则集合A B = （）

A ．{}0,1,2,3,4

B ．{}1,2,3,4

C ．{}1,2

D ．{}0 2．若1n

i =-（i 为虚数单位，且*

n N ∈），则n 的最小值是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．函数()()2log 1f x x =+的定义域是（）

A ．()1,+∞

B ．()1,-+∞

C ．[1,)+∞

D ．[1,)-+∞ 4．下列结果错误．．的是（） A ．()ln x

a a

a '= B ．()1n n x nx -'= C ．()1

ln x x

'= D ．()cos sin x x '=

5．已知点M 的极坐标是52,

π??

，则点M 的直角坐标是（） A ．()1,3- B ．()1,3- C ．

(

)3,1- D ．()

3,1-

6．已知椭圆C 的焦点在y 轴上，点()0,10A -在C 上，且C 的离心率0.6e =，则C 的方程是（）

A ．

2212516y x += B ．2212516x y += C ．22110064y x += D ．22

110064

x y += 7．已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a +=，则它的前5项和5S =（）

A ．31

B ．62

C ．

318 D ．3116

8．若某双曲线的焦点在x 轴上，且实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为（） A ．34y x =±

B ．43y x =±

C ．35y x =±

D ．4

y x =± 9．函数()213sin 224f x x π?

-- ??

是（） A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为

2π的偶函数 D ．最小正周期为2

的奇函数 10．以下四个命题中，正确命题的个数是（）

①0x ?>，都有1

ln 2ln x x

≥； ②0x ?>，都有1

2x x

≥；

③()0,x π?∈，使得1sin 2sin x x +≤； ④x R ?∈，使得221039

x x +≤+．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

11．从a ，b ，c ，d 四人中任选两人，a 被选中的概率是． 12．曲线x y e =在点()1,A e 处的切线方程为．

13．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角所对的边，若1a =，3b =，2A B C +=，则c 边的长是．

14．抛物线2

x ay =的焦点与圆C ：2

80x y y ++=的圆心重合，则a 的值是．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（12分）求函数()2

132ln 2

f x x x x =

-+的单调区间和极值．

16．（14分）已知动点P 到两定点()3,0A -、(

)

3,0B 的距离之和为定值25．

（1）求P 的轨迹方程；（2）若倾斜角为4

的直线l 经过点()1,0-，且与P 的轨迹相交于两点T 、S ，求弦长TS ．

17．（14分）已知()cos cos 2f x x x π??

=++ ??

．（1）求12f π??

???

；（2）设α、,02πβ??

∈- ???，33245f πα?

=- ???，52413f πβ??

-=- ???

，求()cos αβ+．

18．（14分）如图，已知三棱锥A PBC -中，AP PC ⊥，

AC BC ⊥，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且PMB △是

正三角形．

[来源:学|科|网Z|X|X|K]

（1）求证：DM ∥平面APC ；（2）求证：平面ABC ⊥平面APC ；

（3）若4BC =，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积．

19．（14分）已知a 是实数，函数()()f x x x a =-．

（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）设()g a 为()f x 在区间[]2,0上的最小值．

（i ）写出()g a 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得()62g a -≤≤-．

来源学科网

20．（12分）已知椭圆C ：22221x y a b

+=（0a b >>），直线l 为圆O ：222x y b +=的一

条切线并且过椭圆的右焦点，记椭圆的离心率为e ．（1）求椭圆的离心率e 的取值范围；（2）若直线l 的倾斜角为

，求e 的大小；（3）是否存在这样的e ，使得原点O 关于直线l 的对称点恰好在椭圆C 上．若存在，求出

e 的大小；若不存在，请说明理由．

2011～2012学年第二学期高二年级中段考试

数学（文）科试卷（A 卷）参考答案

一、选择题：CABDA CCBDB 二、填空题：

来源学科网

三、解答题：

15．（12分）求函数()2

132ln 2

f x x x x =

-+的单调区间和极值．解：()f x 的定义域为{}|0x x >．

……2分

()2232

3x x f x x x x

-+'=-+=，

……4分

由()2232

30x x f x x x x

-+'=-+=

>，得2320x x -+>，即2x >或01x <<；由()0f x '<，得12x <<．

……8分

所以()f x 的递增区间是()0,1、()2,+∞，递减区间是()1,2． ……10分

由单调性可知，()f x 在1x =处取得极大值()5

f =-

，在2x =处取得极小值()22ln 24f =-．

……12分

16．（14分）已知动点P 到两定点()3,0A -、(

)

3,0B 的距离之和为定值25．

（1）求P 的轨迹方程；（2）若倾斜角为

的直线l 经过点()1,0-，且与P 的轨迹相交于两点T 、S ，求弦长TS ．解：（1）依题意可知P 的轨迹是以()

3,0A -、(

)

3,0B

为焦点的椭圆，

设其方程为()22

2210x y a b a b

+=>>，则有5a =，3c =，

∴ 2

2b a c =-=，

故P 的轨迹方程是22

152

x y +=． ……7分

（2）l 的方程是1y x =+．设()11,T x y ，()22,S x y ，

[来源:Z&xx&https://www.wendangku.net/doc/fa18207330.html,]

由221

2y x x y =+???+=??消去y 得271050x x +-=，

故弦长()()

1212280430

TS x x y y =

-+-==

． ……14分

17．（14分）已知()cos cos 2f x x x π?

=++ ??

．

（1）求12f π??

???

；（2）设α、,02πβ??

∈-

???，33245f πα?

=- ???，52413f πβ??

-=- ???

，求()cos αβ+．解：()cos sin 2cos 4f x x x x π?

?=-=

+ ??

?．

……4分

（1）22cos 2cos 1212432f ππππ????

=+==

? ?

????

； ……6分

（2）∵()3322cos 2cos 4

5f πααπα?

+=+=-=- ??

，∴ 3cos 5α=．

又,02πα??

∈-

???

，∴ 4sin 5α=-．

∵522cos 2sin 4213f ππβββ????

-=-==-

? ?????

，∴ 5sin 13β=-．

又,02πβ??

∈-

???

，∴ 12cos 13α=．

故()3124516

cos cos cos sin sin 51351365

αβαβαβ????+=-=

?---= ???????． ……14分 18．（14分）如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，

AC BC ⊥，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且PMB △是

正三角形．

（1）求证：DM ∥平面APC ；（2）求证：平面ABC ⊥平面APC ；

（3）若4BC =，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积．

解：(1)∵M 为AB 中点，D 为PB 中点，

∴MD//AP ，又∴MD ?平面ABC ∴DM//平面APC ．

……4分

(2)∵△PMB 为正三角形，且D 为PB 中点．

∴MD ⊥PB ．

又由（1）∴知MD//AP ， ∴AP ⊥PB ．又已知AP ⊥PC ∴AP ⊥平面PBC ， ∴AP ⊥BC ，又∵AC ⊥BC ．

∴BC ⊥平面APC ， ∴平面ABC ⊥平面PAC ， ……8分

（3）∵AB=20

∴MB=10 ∴PB=10

又BC=4，.2128416100==-=PC

∴.212212441

4121=??=?==

??BC PC S S PBC BDC 又MD .3510202

2122=-=

=AP ∴V D-BCM =V M-BCD =710352123

31=??=??DM S BDC ……14分

19．（14分）已知a 是实数，函数()()f x x x a =-．

（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）设()g a 为()f x 在区间[]2,0上的最小值．

（i ）写出()g a 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得()62g a -≤≤-．（1）解：函数的定义域为[0)+∞，，3()22x a x a

f x x x x

--'=

（0x >）若0a ≤，则()0f x '>，()f x 有单调递增区间[0)+∞，

．若0a >，令()0f x '=，得3

x =，当03

x <<时，()0f x '<，当3

x >

时，()0f x '>． ()f x 有单调递减区间03a ??????，，单调递增区间3a ??

+∞ ???

，．

……4分

（2）解：（i ）若0a ≤，()f x 在[02]，

上单调递增，所以()(0)0g a f ==．若06a <<，()f x 在03a ??????，上单调递减，在23a ?? ???

，上单调递增，

所以2()333a a a g a f ??

==-

．若6a ≥，()f x 在[02]，

上单调递减，所以()(2)2(2)g a f a ==-．综上所述，002()06332(2)6a a a

g a a a a ??

?=-<

?-?

，≤，，，，≥． ……10分

（ii ）令6()2g a --≤≤．若0a ≤，无解．

若06a <<，解得36a <≤．若6a ≥，解得6232a +≤≤．故a 的取值范围为3,232??+??

．

……14分

20．（12分）已知椭圆C ：22

221x y a b

+=（0a b >>），直线l 为圆O ：222x y b +=的一

条切线并且过椭圆的右焦点，记椭圆的离心率为e ．（1）求椭圆的离心率e 的取值范围；（2）若直线l 的倾斜角为

，求e 的大小；（3）是否存在这样的e ，使得原点O 关于直线l 的对称点恰好在椭圆C 上．若存在，求出e 的大小；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意可知，右焦点在圆上或在圆的外部，因此c b ≥．

∴ 2

c b ≥，即2

c a c ≥-，也即2212c a ≥，解之可得212

e ≤<．

……2分

（2）依题意，设直线l ：()3

y x c =

-，由l 与圆222x y b +=相切得 2

33313c b =??+ ?

，即224c b =，

∴ ()

222

4c a c =-，解得25

e =

． ……7分

（3）设原点关于直线l 对称的点为(),M x y ，则M 到原点的距离为2b ，M 到焦点

(),0F c 的距离为c ．

由

()

222

x y b

x c y c

?+=

-+=

……9分

附件1：律师事务所反盗版维权声明

附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）

学校名录参见：https://www.wendangku.net/doc/fa18207330.html,/wxt/list.aspx?ClassID=3060来源学科网