全等三角形证明——SSS

学生1对1个性化教案

第 6 次课学生姓名年级授课日期

教师科目数学时间段

授课内容全等三角形证明——SSS

出题依据初二预习

知识点一：SSS定理

（一）知识点精讲

①AB=DE ②BC=EF ③CA=FD ④∠A= ∠D ⑤∠B=∠E ⑥∠C= ∠F

思考：1.满足这六个条件可以保证△ABC ≌△DEF吗？

2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC ≌△DEF吗?

探究一：1.只给一个条件：只给一条边时；只给一个角时.

结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.

2.如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？

①两边；②一边一角；③两角。

①如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时

结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.

②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:

结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.

③如果三角形的两个内角分别是30°，45°时

结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.

根据三角形的内角和为180度，则第三角一定确定，所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等

结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。

3.如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？

①三角；②三边；③两边一角；④两角一边。

⑴三个角

已知两个三角形的三个内角分别为30°，60°，90°它们一定全等吗？

结论：这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等

⑵三条边

已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm 。它们一定全等吗？

探究二：先任意画出一个△ABC，再画出一个△A’B’C’,使A’B’= AB ,B’C’=BC, A’ C’ =AC.把画好△A’B’C’的剪下，放到△ABC上，他们全等吗？

画法:

1.画线段B’C’ =BC;

2.分别以B’，C’为圆心,BA,BC为半径画弧,两弧交于点A’;

3. 连接线段A’B’，A’C’ .

上述结论反映了什么规律？

边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等。简写为“边边边”或“SSS”

注：这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理。

判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。

如何用符号语言来表达呢?

在△ABC与△DEF中

AB=DE

AC=DF

BC=EF

∴△ABC≌△DEF（SSS）

（二）典型例题剖析

例1 ：如图, △ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，求证：△

ABD≌△ACD

证明：∵D是BC的中点

∴BD=CD

在△ABD与△ACD中

AB=AC（已知）

BD=CD（已证）

AD=AD（公共边）

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠B=∠C，

归纳：证明的书写步骤：

①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；

②三角形全等书写三步骤：

1.写出在哪两个三角形中

2.摆出三个条件用大括号括起来

3.写出全等结论

练习：已知：如图，AB=AD，BC=DC，求

证：△ABC≌△ADC

例2：填空题：

（1）如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。

解：△ABC≌△DCB

理由如下：

AB = CD

AC = BD ==> △ABC ≌（）

=

（2）如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ，还需要条件

（1）（2）

例3：已知：如图1，AC=FE，AD=FB,BC=DE，求证：（1）△ABC≌△FDE，（2）∠C=∠E，（3）AC∥EF；DE∥BC

证明：（1）∵AD=FB

∴AB=FD（等式性质）

在△ABC和△FDE 中

AC=FE（已知）

BC=DE（已知）

AB=FD（已证）

∴△ABC≌△FDE（SSS）

（2）∵△ABC≌△FDE（已证）

∴∠C=∠E （全等三角形的对应角相等）

（3）

例4：已知:如图，AB=AC，DB=DC，请说明∠B =∠C成立

的理由

解：连接AD

在△ABD和△ACD中，

AB=AC (已知）

DB=DC （已知）

AD=AD （公共边）

∴△ABD≌△ACD (SSS)

∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等）

例5：已知：如图，四边形ABCD中，AD=CB，

AB=CD，求证：∠A＝∠C。

分析：要证两角或两线段相等，常先证这两

角或两线段所在的两三角形全等，从而需构

造全等三角形。

构造公共边是常添的辅助线

例6：已知：AC=AD，BC=BD，求证：AB是∠DAC的平分线.

证明:在△ABC和△ABD中

AC=AD(已知)

BC=BD（公共边）

AB=AB(已知)

∴△ABC≌△ABD（SSS）

∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）

∴AB是∠DAC的平分线（角平分线定义）

小结:

1.边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等 简写成：“边边边”（SSS ）

2.边边边公理发现过程中用到的数学方法（包括画图、猜想、分析、归纳等.)

3.边边边公理在应用中用到的数学方法:

证明线段(或角)相等转化为证明线段(或角)所在的两个三角形全等.

两个三角形全等的注意点：

1. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.

2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.

3. 有时需添辅助线(如:造公共边)

（三）随堂练习 一、填空

1、能够完全 的两个三角形叫做全等三角形.

2、全等三角形的 相等，全等三角形的 相等.

3、完成下面的证明过程：

如图，OA ＝OB ，AC ＝BC.

求证：∠AOC ＝∠BOC.

证明：在△AOC 和△BOC 中，

OA ______,

AC ______,OC ______.?=?

=??=?

∴ ≌ （SSS ）.

∴∠AOC ＝∠BOC （ ）.

4、△ABC 和A B C '''△中，若AB A B ''=，BC B C ''=，则需要补充条件 可得 到△ABC ≌A B C '''△．

5、如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，

则△ABD ≌△ACD ，根据是_______，AD 与BC 的位置关系是_______． 二、选择

1、如图，AB ＝DB ，BC ＝BE ，欲证△ABC ≌△DBC ，则需补充的条件是（ ） Ａ．∠A ＝∠D Ｂ．∠E ＝∠C Ｃ．∠A ＝∠C Ｄ．AE ＝DC

2、全等三角形是( )

A ．三个角对应相等的三角形

B ．周长相等的两个三角形

C ．面积相等的两个三角形

D ．三边对应相等的两个三角形

C

O

A B

（ ）

3、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定( )

A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDE C．△ABE≌△ACE D．以上都不对

4、下列各组条件中能判定△ABC≌△DEF的是（）

A、AB=DE，BC=EF

B、∠A=∠D，∠C=∠F

C、AB=DE,BC=EF,ΔABC的周长等于ΔDEF的周长

D、∠A=∠D，∠B=∠E, ∠C=∠F

1.解答题

1、已知：如图，A、B、E、F在一条直线上，且AC=BD，CE=DF，AF=BE。

求证：△ACE≌△BDF

2、已知：如图，B、E、C、F在一条直线上，且BE=CF，AB=DE，AC=DF。求证：△ABC≌△DEF。

3、已知：如图，AB=DC，AD=BC，求证：∠A=∠C。

4、已知：如图, AB=AC , AD=AE , BD=CE．求证：∠BAC=∠DAE．

F

E

D

C

B A

D

F

C

E

B

A

D

C

B

A

E

D

B C

A

A

B

O

C

D

课后作业

一、基础知识

1、能够完全 的两个三角形叫做全等三角形.

2、全等三角形的 相等，全等三角形的 相等.

3、如图所示，沿直线AC 对折，△ABC 与△ADC 重合，则△ABC ≌ ，

AB 的对应边是 ，BC 的对应边是 ，∠BCA 的对应角是 ．

4、如图，AB 、DC 相交于点O ，△AOB ≌△DOC ，A 、D 为对应顶点，则这两个三角形中，相等的边有____________，_______________，_____________，

相等的角有__________，____________，_________． 5、边边边公理：______________________________ 6、完成下面的证明过程： 如图，OA ＝OB ，AC ＝BC. 求证：∠AOC ＝∠BOC. 证明：在△AOC 和△BOC 中，

OA ______,AC ______,OC ______.

?=?

=??=?

∴ ≌ （SSS ）.

∴∠AOC ＝∠BOC （ ）.

7、尺规作图。已知：∠AOB. 求作：∠DEF,使∠DEF=∠AOB

C

O

A

B

（ ） （ ） （ ）

二、巩固练习

1、已知：如图，A 、B 、E 、F 在一条直线上，且AC=BD ，

CE=DF ，AF=BE 。求证： △ACE ≌△BDF

2、如图，△ABC 中，D 是BC 边的中点，AB=AC ，求证：∠B=∠C 。

F

E

D

C

B

A

C

3、已知：如图，B、E、C、F在一条直线上，且BE=CF，AB=DE，AC=DF。求证：△ABC≌△DEF。

4、已知：如图，AD=BC,AC=BD. 求证：∠OCD=∠ODC

D

F

C

E

B

A

5、已知：如图，AB=DC，AD=BC，求证：∠A=∠C。

6、已知：如图, AB=AC , AD=AE , BD=CE．求证：∠BAC=∠DAE．

7、已知AB=DE，BC=EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：AB//DE．

D C

B

A

E

D

B C

A

8、已知AB=DE ，BC=EF ，D ，AF ＝CD ，求证EF//BC ：

9、如图，已知AB ＝AC ，AD 为△ABC 的中线，求证：AD ⊥BC

10、 如图，已知AB=CD ，AC=BD ，求证：∠A=∠D.

11、如图，已知AB=AD ，AC=AE ，BC=DE,求证：∠1=∠2

A

B

C

D

O

2

1

F

E

D

C

B A

D A

C

D

A

C

2

1

E

B

D

A

C B

12、已知AD=BE ，BC=EF ，D ，AC ＝DF ，求证EF//BC ：

13、已知AB=AE ，BC=EF ，D ，AF ＝AC ，求证：∠BAE=∠CAF

14、已知AB=DC ，AC=DB ，求证：∠DBC=∠ACB

D

A C F

E

B

15、已知C是BD上一点，AC=CE,AB=CD,BC=DE, ∠B=900求证：AC⊥CE

16、如图，已知AE=AB，AF=AC，EC=BF，求证：∠CMF=∠CAF C

B A

D

E

A

E

B M

C

F