二元一次方程知识点及经典例题
知识点1二元一次方程的定义:含有两个未知数,且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。
注:1。①方程中有且只有一个未知数。②方程中含有未知数的项的次数为1。
③方程为整式方程。(三个条件完全满足的就是二元一次方程)
2.①含有未知数的项的系数不等于零,且两未知数的次数为1。即若ax m+by n=c 是二元一次方程,则a≠0,b≠0且m=1,n=1
例1:下列方程中是二元一次方程的是()
A.3x-y2=0 B.2
x
+
1
y
=1 C.
3
x
-
5
2
y=6 D.4xy=3
例2 :已知关于x,y的二元一次方程(2m-4)x -3 +(n+3)y|n|-2 =6,求m,n的值
知识点2二元一次方程组的定义:由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组(不必记)
注:①方程组中有且只有两个未知数。②方程组中含有未知数的项的次数为1。
③方程组中每个方程均为整式方程。
例1下列方程组中,是二元一次方程的是()
①
2
2
8 423119
(23754624)
x y
x y a b x
B C D
x y b c y x x y
+= +=-=??
=
??
????+=-==-=????
知识点3方程的解的定义:使方程左右两边的值相等的未知数的值。方程组的解的定义:方程组中所有方程的公共解叫方程组的解。
例1已知
1
2
x
y
=
?
?
=-
?
是关于x,y的二元一次方程组
26
35
ax y
x by
-=
?
?
-=-
?
的解,求2a+b
的值.
m2
例2已知方程组44ax y -=???
,(1)2x+by=14,(2)由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为 26x y =-??=?,, 乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为44.x y =-??=-?
,若按正确的a 、b 计算,
求原方程组的解.
知识点4求二元一次方程的特殊解
例2:求二元一次方程2x+5y=30的①正整数解.②非负整数解
方法:1、从系数最大(绝对值最大)的未知数从小到大开始取值,并求出相应的另一未知数的值,直至另一未知数不再有符合条件的对应值为止。2、从取值中选出正整数解,或非负整数解。
知识点5:二元一次方程的变形:用一个未知数表示另一个未知数
例:已知二元一次方程5x-2y=10 ①将其变形为用含x 的代数式表示y 的形式。②将其变形为用含y 的代数式表示x 的形式
知识点6:用代入消元法解二元一次方程组。
步骤1、选择一个未知数系数较简单的方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式。步骤2、将其代入到另一个方程中消去一个未知数并求出另一个未知数的值。步骤3、将求出的未知数的值代入方程中求出另一个未知数的值。
例1:解下列二元一次方程组
3410,490;x y x y +=??+-=? 3(1)5,5(1)3(5);x y y x -=+?
?-=+?
6,
234()5() 2.
x y
x y x y x y +-?+=???+--=?
例2 解下列二元一次方程组。
1949x+1999y=119440 5x+2y=3x+6y=12 x : y=2 : 3
1999x+1949y=117440 2x-3y=-10
已知???=-+=+-0325
02z y x z y x 求:z y x z
y x
23324+--+的值
例3:已知关于x 、y 的二元一次方程组 4x+y=5 和 3x-2y=1
有相同的解。求m 、n 的
值。
mx+ny=3 nx-my=1
相关练习:
1.方程x+y=5的解有
( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .无数个
2.下列方程组中,不是二元一次方程组的是
( )
A .112x y =??-=?,
B .13x y x y +=??-=?,
C .2104
x y xy +=??=?, D .21x y x y =??-=?
, 3.方程5x+4y=17的一个解是
( )
A .13x y =??=?
, B .21x y =??=?, C .32x y =??=?, D .41x y =??=?, 4.若关于x 、y 的方程2211a b a b x y -++-=是二元一次方程,那么a 、b 的值分别是
( )
A .1、0
B .0、-1
C .2、1
D .2、-3 5.若x :y=3:2,且3x+2y=13,则x 、y 的值分别为 ( )
A .3、2
B .2、3
C .4、1
D .1、4
6.某班共有学生49人.一天,该班某男生因事请假,当天的男生人数恰为女生人
数的一半.若设该班男生人数为x ,女生人数为y ,则下列方程组中,能正确
计算出x 、y 的是
( )
A .()4921x y y x -=???=+??,
B .()4921x y y x +=???=+??,
C .()4921x y y x -=???=-??
, D .()
4921x y y x +=???=-??, 7.在方程2x -y=1中,若x=-4,则y=________;若y=-3,则x=________. 8.写出满足二元一次方程x+2y=9的非负整数解_____________.
9.若一个二元一次方程的一个解为21
x y =??
=-?,,则这个方程可以是_______.(只要求写出一个) 10.若二元一次方程组23521x y x y +=??
-=?
,的解是方程8x -2y=k 的解,则k=___________.
11.解下列方程组: (1)4519323m n m n +=-??-=?
,; (2)32123x y x y ++==
(3) 1998x+1996y=2 (4)
1996x+1998y=-2
12.已知关于x 、y 的方程组???=-=+53ny mx y x 与方程组?
??=-=-512y x my nx 同解,求m 、n 的值.
13.已知3x-4y-z=0,2x+y-8z=0,求xz
yz xy z y x 22
22++++的值. 14.某班共有60名学生,准备租车去动物园游玩,已知大车有15个座位,小车有10个座位,若要求租车方案中既不会有多余的座位又不会有学生没有座位,你能设计出几种租车的方案?
. . . 一元二次方程测试题 考试范围:一元二次方程;考试时间:120分钟;命题人:瀚博教育 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题(共12小题,每题3分,共36分) 1.方程x(x﹣2)=3x的解为() A.x=5 B.x1=0,x2=5 C.x1=2,x2=0 D.x1=0,x2=﹣5 2.下列方程是一元二次方程的是() A.ax2+bx+c=0 B.3x2﹣2x=3(x2﹣2)C.x3﹣2x﹣4=0 D.(x﹣ 1)2+1=0 3.关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0,则a的值为() A.﹣1 B.1 C.1或﹣1 D.3 4.某旅游景点的游客人数逐年增加,据有关部门统计,2015年约为12万人次,若2017年约为17万人次,设游客人数年平均增长率为x,则下列方程中正确的是() A.12(1+x)=17 B.17(1﹣x)=12 C.12(1+x)2=17 D.12+12(1+x)+12(1+x)2=17 5.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8cm,BC=6cm.动点P,Q分别从点A,B同时开始移动,点P的速度为1cm/秒,点Q的速度为2cm/秒,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动.下列时间瞬间中,能使△PBQ的面积为15cm2的是() A.2秒钟B.3秒钟C.4秒钟D.5秒钟 6.某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地,它的长比宽多12米,设场地的长为x 米,可列方程为() A.x(x+12)=210 B.x(x﹣12)=210 C.2x+2(x+12)=210 D.2x+2(x﹣12)=210 7.一元二次方程x2+bx﹣2=0中,若b<0,则这个方程根的情况是() A .有两个正根B.有一正根一负根且正根的绝对值大 C.有两个负根D.有一正根一负根且负根的绝对值大 8.x1,x2是方程x2+x+k=0的两个实根,若恰x12+x1x2+x22=2k2成立,k的值为() A.﹣1 B.或﹣1 C.D.﹣或1 9.一元二次方程ax2+bx+c=0中,若a>0,b<0,c<0,则这个方程根的情况是() A.有两个正根B.有两个负根 C.有一正根一负根且正根绝对值大D.有一正根一负根且负根绝对值大 10.有两个一元二次方程:M:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0,其中a﹣c≠0,以下列四个结论中,错误的是() A.如果方程M有两个不相等的实数根,那么方程N也有两个不相等的实数根 B.如果方程M有两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同 C.如果5是方程M的一个根,那么是方程N的一个根 D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1 11.已知m,n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根,则(m+2)(n+2)的最小值是() A.7 B.11 C.12 D.16
二元一次方程组练习题100道(卷一) 1、?? ?? ?-==312y x 是方程组?????? ?=-=-9 10326 5 23 y x y x 的解 …………( ) 2、方程组? ? ?=+-=5 231y x x y 的解是方程3x -2y =13的一个解( ) 3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组( ) 4、方程组???????=-++=+++2 5323 473 5 23y x y x ,可以转化为?? ?-=--=+27651223y x y x ( ) 5、若(a 2-1)x 2 +(a -1)x +(2a -3)y =0是二元一次方程,则a 的值为±1( ) 6、若x +y =0,且|x |=2,则y 的值为2 …………( ) 7、方程组? ? ?=+-=+8 1043y x x m my mx 有唯一的解,那么m 的值为m ≠-5 …………( ) 8、方程组?? ???=+=+62 3 131 y x y x 有无数多个解 …………( ) 9、x +y =5且x ,y 的绝对值都小于5的整数解共有5组 …………( ) 10、方程组? ? ?=+=-351 3y x y x 的解是方程x +5y =3的解,反过来方程x +5y =3的解也是方程组?? ?=+=-3 51 3y x y x 的解 ………( ) 11、若|a +5|=5,a +b =1则3 2-的值为b a ………( ) 12、在方程4x -3y =7里,如果用x 的代数式表示y ,则4 37y x +=( ) 二、选择: 13、任何一个二元一次方程都有( ) (A )一个解; (B )两个解;
z一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题 例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解 设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%) (1+x)2=193.6, 即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答 这两个月的平均增长率是10%. 说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n. 二、商品定价 例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 解 根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0, 解这个方程,得a1=25,a2=31. 因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去. 所以350-10a=350-10×25=100(件). 答 需要进货100件,每件商品应定价25元. 说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.
三、储蓄问题 例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 解 设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得 90x2+145x-3=0. 解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去. 答 第一次存款的年利率约是2.04%. 说明 这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗? 解 设渠道的深度为xm,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为 (x+0.1+1.4)m. 则根据题意,得 (x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8,整理,得x2+0.8x-1.8=0. 解这个方程,得x1=-1.8(舍去),x2=1. 所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5. 答 渠道的上口宽2.5m,渠深1m.
龙文教育学科辅导学案 教师: 学生: 年级: 日期:2013. 星期: 时段: 学情分析 课 题 一元二次方程章节复习及典型例题解析 学习目标与 考点分析 学习目标:1、通过对典型例题、自身错题的整理,抓住本章的重点、突破学习的难点; 2、通过灵活运用解方程的方法,体会四种解法之间的联系与区别,进一步熟练根据方程特征找出最优解法; 3、通过实际问题的解决,进一步熟练运用方程解决实际问题,体会方程思想在解决 问题中的作用 考点分析:1一元二次方程的定义 、解法、及根与系数的关系 学习重点 理解并掌握一元二次方程的概念及解法 学习方法 讲练说相结合 学习内容与过程 一 回顾梳理旧的知识点(这些知识点必须牢牢掌握) 一元二次方程 1、一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。 一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程解法及其经典练习题 方法一:直接开平方法(依据平方根的定义) 平方根的定义:如果一个数 的平方等于a ( ),那么这个数 叫做a 的平方根 即:如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4..25)1(412=+x 5.(2x +1)2=(x -1)2. 6.(5-2x )2=9(x +3)2. 7..063)4(22 =--x 方法二:配方法解一元二次方程 1. 定义:把一个一元二次方程的左边配成一个 ,右边为一个 ,然后利用开平方数求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤:(1) (2) (3) 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x
方法三:公式法 1.定义:利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导:用配方法解方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0) 解:二次项系数化为1,得 , 移项 ,得 , 配方, 得 , 方程左边写成平方式 , ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况: (1)当b 2-4ac>0时,=1x , =2x (2)当b 2-4ac=0时,==21x x 。 (3)b 2-4ac<0时,方程根的情况为 。 3.由上可知,一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定,因 (1)式子ac b 42-叫做方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0)根的 ,通常用字母 “△” 表示。当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根; 当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根; 当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 (2)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c = 0,当ac b 42-≥0时,?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根.这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. 4.公式法解一元二次方程的步骤:(1) (2) (3) (4) (5) 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+
一、工程问题 1、公式:工作量=工作时间×工作效率 公式变形:工作时间=工作量÷工作效率 工作效率=工作量÷工作时间 一般把总工作量看作单位“1” 2、例题: 例1、某工人原计划在限定时间内加工一批零件.如果每小时加工10个零件,就可以超额完成3 个;如果每小时加工11个零件就可以提前1h完成.问这批零件有多少个?按原计划需多少小时完成? 解:设这批零件有x个,按原计划需y小时完成, 根据题意,得 10y=x+3 x=77(个) 11·(10-1)=x y=8(小时) 答:这批零件有77个,按计划需8 小时完
二、银行存款问题 1、公式:本息和=利息+本金 利息=本金×年利率×年数 例1、小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种,一年期整存整取,共反复存了3次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息2.25%;第二种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税),问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元? 解:设x为第一种存款的方式,y第二种方式存款,则 x+y=4000 x=1500(元) 2.25%* x+2.7%* 3* y=30 3.75 y=2500(元) 解得:第一种存款的金额为1500元,第二种存款的金额为2500元 例2、某企业向商业银行申请了甲、乙两种贷款,共计35万元,每年需付出利息4.4万元。甲种贷款每年的利率是12%,乙种贷款的利率是13%。求这两种贷款的金额分别是多少? 解:设这两种贷款的金额分别x万元、y万元 由题意得: x+y=35 x=15(万元) 12%x+13%y=4.4 y=20(万元) 答:这甲种贷款的金额为15万元、乙种贷款的金额为20万元
一元二次方程 专题一:一元二次方程的定义 典例分析: 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则( ) A .2±=m B .m=2 C .2-≠m D .2±≠m 3、关于x 的一元二次方程(a -1)x 2+x+a 2-l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、-l C 、 1 或-1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是( ) A 、a ≠1 B 、a ≠-2 C 、a ≠1且a ≠-2 D 、a ≠1或a ≠-2 专题二:一元二次方程的解 典例分析: 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 。 3、已知a 是0132=+-x x 的根,则=-a a 622 。
4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中,a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为( ) A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习: 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1,则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解,求b 的值及方程的另一个根. 3、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。 专题三:一元二次方程的求解方法 典例分析: 一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法 . 难度训练: 1、如果二次三项式16)122++-x m x ( 是一个完全平方式,那么m 的值是_______________.