垂径定理练习题及答案[1]

垂径定理

一.选择题

★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）

A ．4

B ．6

C ．7

D ．8

答案：D

★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

答案：B

★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ）

A ．9cm

B ．6cm

C ．3cm

D ．

cm 41

答案：C

★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）

A ．12个单位

B ．10个单位

C ．1个单位

D ．15个单位

答案：B

★★5．如图，O ⊙的直径

AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

答案：D

★★6．下列命题中，正确的是（ ）

A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径

B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心

D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心

答案：D

★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A．5米 B．8米 C．7米 D．53米

答案：B

★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( )

A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm

答案：D

★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( ) A．2 B．8 C．2或8 D．3

答案：C

二.填空题

★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm

答案：5 cm

★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm

答案：3 cm

★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于

答案：6

★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm

答案：5 cm

★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝厘米

图 4

答案：

★★6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径

OA的弦长为 cm.

答案：

★★7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm

，则OM的长等于 cm

★★8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，

CD=8，OE=1，则AB=____________

答案：

★★9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是

答案：6

m

★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为

答案：4

★★11．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2)

和A(2，0)，则点B的坐标是

答案：(6，0)

★★12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则

OD= cm

答案：3

★★13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=

答案：3

★★14．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30o,则AB= cm

P

B

A

O

答案：6

★★★15．⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，那么AB 和CD 的距离是 Cm

答案：7cm 或17cm

★★★16．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB ，交AB 于D ，若AB=8，CD=2，则圆的半径为

答案：5

★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 米 答案：52

★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是 厘米

答案：7或1

★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面

AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个

隧道所在圆的半径OA 是___________米

答案：5

★★★20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。若AC=8cm ，DE=2cm ，则OD 的长为

cm

答案：3

★★★21．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为 答案：8或2

★★★22．如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为

★★★23．如图，⊙O的的半径为5，直径AB⊥弦CD，垂足为E，CD=6，那么∠B的余切值为

_________

答案：3

三.解答题

★★1．已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长

答案：

★★2．已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm.

求：（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小

答案：（1

）（2）0

60

★★3．如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB

答案：40

★★4．如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，他们之间距离为7，AB=6求：弦CD的长．

答案：8

★★5．如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=12m，求△ACD的周长

B

★★6．如图，已知C 是弧AB 的中点，OC 交弦AB 于点D ．∠AOB=120°，AD=8．求OA 的长

★★7．已知：如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，AD ⊥BC ，垂足为点E ，BC=8，AD=10．

求：（1）OE 的长；（2）∠B 的正弦值

答案：（1）3 （2★★★8．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D 。已知：AB=24cm ，CD=8cm

（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求（1）中所作圆的半径.

★★★9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在这个三角形的高AD 上，AB=10，BC=12．

求⊙O 的半径

A

B C E

O ．

答案：

254

★★★

25，弦AB 长为48，C 是弧AB 的中点．求AC 的长．

答案：30

★★★11．1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）

答案：27.9

★★★12．已知：在△ABC 中，AB=AC=10, BC=16.求△ABC 的外接圆的半径.

答案：

253

★★★13．本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A 、B 、C 三根木柱，使得A 、B 之间的距离与A 、C 之间的距离相等，并测得BC 长为240米，A 到BC 的距离为5米，如图5所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。

答案：1442.5

B

★★★14．如图是地下排水管的截面图（圆形），小敏为了计算地下排水管的直径，在圆形

弧上取了A ,B 两点并连接AB ，在劣弧AB 上取中点C 连接CB ，经测量4

5=BC 米， 87.36=∠ABC °，根据这些数据请你计算出地下排水管的直径。

（87.36sin °60.0≈，87.36cos °80.0≈，87.36tan °75.0≈）

答案：

2512

★★★15．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB 为0.6米．

（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；

（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．

答案：（1）0.1 （2）0.1或0.7

★★★16．已知：如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，CD ⊥AB ，垂足为点D ，F 是

AC 的中点，OF 与AC 相交于点E ，AC =8 cm ，2EF =cm.

（1）求

AO 的长；

（2）求sin C 的值.

答案：（1）5 （2）

45

★★★★17．如图，在半径为1米，圆心角为60°的扇形中有一内接正方形CDEF ，求正方形CDEF 面积。

F C

A B

答案：2

四.证明题

★★1．如图，AB 是⊙O 的弦（非直径），C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD 。求证：

OC=OD

答案：略

★★2．如图，

AB 是⊙O 的弦，点D 是弧AB 中点，过B 作AB 的垂线交AD 的延长线于C ．

求证：AD ＝DC

答案：略 ★★3．已知：如图所示：是两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于CD ，求证：

AC=BD

答案：略

★★★4．如图，AB 、CD 是⊙O 的弦，且AB=CD ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别是点M 、N ， BA 、DC 的延长线交于点P ． 求证：PA=PC

答案：略 B

A

D

C O ·

★★★5．已知：如图，点P 是⊙O 外的一点，PB 与⊙O 相交于点A 、B ，PD 与⊙O 相交于C 、D ，AB=CD ．

求证：（1）PO 平分∠BPD ；（2）PA=PC

答案：略

★★★6． 已知：如图所示，点P 是⊙O 外的一点，PB 与⊙O 相交于点A 、B ，PD 与⊙O 相交于C 、D ，AB=CD .求证：（1）PA=PC ；（2）

AE EC 答案：略

五.作图题

★★1．已知弧AB,用直尺和圆规平分这条弧．

O D

C

P

A

B A B

垂径定理经典练习题.

圆垂径定理专题练习题 1．垂径定理：垂直于弦的直径____这条弦，并且____弦所对的两条弧． 2．如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，则OC＝( ) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 3．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是( ) A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5 4. 如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为___． 5. 如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于点E. (1)请写出四个不同类型的正确结论； (2)若BE＝4，AC＝6，求DE的长． 6. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是( )

A．4 B．5 C．6 D．8 7. 为了测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示(单位：cm)，则该铁球的 直径为____． 8. H5N1亚型高致病性禽流感是一种传染速度很快的传染病，为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3 千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感疫区， 如图所示，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在免疫区内有多少千米？ 9．如图，直线与两个同心圆交于图示的各点，MN＝10，PR＝6，则MP＝____． 10．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，GB＝8 cm，AG＝1 cm，DE＝2 cm， 则EF＝____cm. 11. 如图，⊙O的直径AB＝16 cm，P是OB的中点，∠APD＝30°，求CD的长．

3.3 垂径定理(1)

9下§3.3垂径定理（1）（垂径定理） 课题组 一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.） 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧； 2. 垂径定理解读： （1）条件：“弦”可以是直径； （2）结论：“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧； 3. 垂径定理的三种语言： 文字语言 图形语言 几何语言 是直径（AB 过圆心） 二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.） 1.回顾（补充）学习： 轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合. 2.垂径定理证明方法:构造等腰三角形,由垂直于弦得出平分弦;由圆心角相等得出弧相等. 3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作弦的垂线段(弦心距),再由半 径、弦心距、半弦构成直角三角形，利用勾股定理解答. 三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.） 【典例】如图，已知圆O 的半径为mm 30，弦AB =mm 36，求点O 到AB 的距离及OAB ∠的正弦值． 一读：关键词：半径,弦. 二联：重要结论：过圆心的垂线平分弦. 重要方法：半径、半弦、弦心距构造直角三角形. 三解：解： 过 圆心O 作 于M ;DM AM =∴;AD AC =;BD BC =AB M CD AB ,于⊥ 18362121=?==∴AB AM A B O M AB OM ⊥

在 中， 由勾股定理得： 在 中， 所以，点 到AB 的距离为mm 24，OAB ∠的正弦值为 四悟：解决有关圆中相关数量问题时，常通过连接半径，作出弦心距，利用垂径定理构造 直角三角形解答. 四、金题核思点拨（学习抓关键，思维抓核心，学必须学的.） 1. 已知圆O 的直径是m c 50，圆O 的两条平行弦cm AB 40= ，cm CD 48=，求弦AB 与 CD 之间的距离. 核思点拨: 弦CD AB //,但不知两弦与圆心的位置关系,所以分两种情况讨论: 圆心在两弦之间或圆心在两弦同侧.再由垂径定理及勾股定理解答. 答案：过点 作 于 ，则 于 连接 由垂径定理得, 在 中, 由勾股定理得: OAM RT ?OAM RT ? O 15 22=-=BF OB OF OBF RT ?2421,2021====CD DE AB BF OD OB 、AB OF ⊥18,300==AM A 2422=-=AM OA OM 54302400sin ===A M A .54CD OE ⊥E O F .25,20==OB BF

垂径定理练习题

一 ?选择题（共7小题） 1. （ 2014?凉山州）已知O O 的直径CD=10cm , AB 是O O 的弦，AB=8cm ，且AB 丄CD ，垂足为M ，则AC 的长为 （ ） A ?瓦 J cm B ?：?.,tm | C . - cm 或*J 3cm | D . _ ；cm 或 *Jm cm 2. （2014?舟山）如图，O O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ,且CE=2 , DE=8，则AB 的长为（ ） A . 2 B . 4 C . 6 | D . 8 AB 是O O 的直径，弦 CD 丄AB 于点E ,则下列结论正确的是（ A . OE=BE B . ':=■ 11 C . △ BOC 是等边三角形 D . 四边形ODBC 是菱形 5. （2014?南宁）在直径为 200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽 AB=160cm ，则油的最 大深度为（ ） I — 160 f A . 40cm B . 60cm C . 80cm | D . 100cm 6. （2014?安顺）如图，MN 是半径为1的O O 的直径，点 A 在O O 上，/ AMN=30 °点B 为劣弧AN 的中点.P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为（ ） 3. （2014?毕节地区）如图，已知O O 的半径为13,弦AB 长为24,则点O 到AB 的距离是（ A . 6 B . 5 C . 4 D . 3

7. (2014?沛县模拟)如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第一象限，O A 与x 轴交于 B ( 2, 0)、 C (8, 0)两点, 与y 轴相切于点D ，则点A 的坐标是( ) 10. (2009?长宁区二模)如图，点 C 在O O 的弦AB 上，CO 丄AO ，延长CO 交O O 于D .弦DE 丄AB ，交AO 于 F . (1) 求证：OC=OF ; (2) 求证：AB=DE . C . (5, 3) (3, 5) O 的直径为10cm ，弦AB=8cm , P 是弦AB 上的一个动点，求 OP 的长度范围 . 9. (2014?盘锦三模)如图, (1) 求AB 的长； (2) 求O O 的半径. CD 为O O 的直径，CD 丄AB ，垂足为点F , AO 丄BC ,垂足为E ,二二 B O (4, 5) 二?解答题(共7小题) & (2014?佛山)如图，O 0 D

垂径定理练习题及答案(可编辑修改word版)

一.选择题 垂径定理 ★1．如图 1，⊙O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，那么弦 AB 的长是（） A．4 B．6 C．7 D．8 答案：D ★★2．如图，⊙O的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（） A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B ★★3．过⊙O内一点M 的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM 的长为（） A．9cm B．6cm C．3cm 答案：C ★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 OA、OB 在 O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 O 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8 个单位，OF=6 个单位，则圆的直径为（） A．12 个单位B．10 个单位C．1 个单位D．15 个单位 答案：B ★★5．如图，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，CD 6cm ，则直径AB 的长是（） A. 2 3cm B. 3 2cm C. 4 2cm D. 4 3cm D ． 41cm

3答案：D ★★6．下列命题中，正确的是（） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 答案：D ★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24 米，拱的半径为13 米，则拱高为( ) A.5米B．8 米C．7 米D．5 米 答案：B ★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为( ) A. 1 cm B． 7cm C． 3 cm 或4 cm D． 1cm 或7cm 答案：D ★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为 5 的⊙O上，如果底边 BC 的长为 8，那么 BC 边上的高为( ) A．2 B．8 C．2 或8 D．3 答案：C 二.填空题 ★1．已知AB 是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm 答案：5 cm ★2．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm，则它的弦心距为cm 答案：3 cm ★3．在半径为10 的圆中有一条长为16 的弦，那么这条弦的弦心距等于 答案：6 ★★4．已知AB 是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm 答案：5 cm ★★5．如图，⊙O的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，若∠COD＝120°，OE＝3 厘米，则CD＝厘米

垂径定理知识点及典型例题

垂径定理 一、知识回顾 1、到定点距离等于的点的集合叫做圆，定点叫做，定长叫做；连接圆上任意两点间的线段叫做，经过圆心的弦叫做；圆上任意两点间的部分叫做，它分为、、三种。 2、能够的两个圆叫做等圆；能够互相的弧叫做等弧，他只能出现在中。 3、圆既具有对称性，也具有对称性，它有对称轴。 4、垂直于弦的直径，并且；平分弦（不是直径）的直径，并且。 5、顶点在的角叫做圆心角；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等，也相等；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的、、；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的、、。 6、顶点在，并且相交的角叫做圆周角。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的；在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧。 7、半圆（或直径）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是。 8、如果一个多边形的都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的。圆的内接四边形。 二、典例解析 例1 如图，某市新建的滴水湖是圆形人工湖，为了测量该湖的半径，小明和小亮在湖边选取A、B、C三根木桩，使得A、B之间的距离等于A、C之间的距离，并测得BC=240m，A 到BC的距离为5m。请帮忙求出滴水湖的半径。 D两点，已知C（0,3）、D（0，-7），求圆心E的坐标。

变式2 已知O e 的半径为13cm ，弦AB ∥CD ，AB=10cm ，CD=24cm ，求AB 和CD 之间的距离。 变式3 如图，O e 的直径AB=15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在半圆AMB 上滑动（点C 与点A ，点D 与点B 不重合），且CE ⊥CD 交AB 于点E ，DF ⊥CD 于点F 。 （1）求证：AE=BF ；（2）在动弦CD 的滑动过程中，四边形CDFE 的面积是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请予以证明并求出这个值。 变式4 如图，某地方有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一竹排运送一货箱欲从桥下通过，已知货箱长10米，宽3米，高2米，问货箱能否顺利通过该桥？ 例2 如图，BC 是O e 的直径，OA 是O e 的半径，弦BE ∥OA 。求证：弧AC=弧AE 。 H D N M F E C B A

垂径定理练习题

垂径定理练习题 1、已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。 2、在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝____ _。 3、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。 4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。 5、在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则这两条弦之间的距离为_____ _。 6、如图，在⊙O 中，OA 是半径，弦AB ＝310cm ，D 是弧AB 的中点，OD 交AB 于点C ，若∠OAB ＝300，则⊙O 的半径____cm 。 7、在⊙O 中，半径OA ＝10cm ，AB 是弦，C 是AB 弦的中点，且OC:AC=3:4，则AB=_____。 8、在弓形ABC 中，弦AB=24，高CD=6，则弓形所在圆的半径等于 。 9．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，AB ＝10cm ，CD ＝6cm ，则AC 的长为_____。 10、如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于E ，CD=10，BE=1，则AB= 。 11、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ） A ．∠ COE ＝∠DOE B ．CE ＝DE C ．OE ＝BE D ． BD =BC 12、如图所示，P 为弦AB 上一点，CP ⊥OP 交⊙O 于点C ，AB ＝8，AP:PB ＝1:3，求PC 的长。 10题图 6题图

垂径定理练习题及答案

垂径定理 一.选择题 ★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 答案：D ★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：B ★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 41 答案：C ★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 答案：B ★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ） A ． B ． C ． D ．

答案：D ★★6．下列命题中，正确的是（） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 答案：D ★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A．5米 B．8米 C．7米 D．53米 答案：B ★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( ) A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm 答案：D ★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( ) A．2 B．8 C．2或8 D．3 答案：C 二.填空题 ★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm ★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm 答案：3 cm ★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 答案：6 ★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm ★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD ＝厘米

九年级数学： 垂径定理典型例题及练习

典型例题分析： 例题1、 基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深 度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. 2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的 最大深度为________cm. 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长． 5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是 的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF. O A E F

例题3、度数问题 1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径. 2、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。 例题4、相交问题 如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长. 例题5、平行问题 在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离. 例题6、同心圆问题 如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的 半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=?. 例题7、平行与相似 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证： FD EC =. A B D C E O

垂径定理练习及答案

| 垂径定理一、选择题 1. 在Rt△ABC，∠C=90°，BC=5，AB=13，D是AB的中点，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则⊙C与点D的位置关系是( ) A. D在圆内 B．D在圆上 C．D在圆外 D．不能确定 2．下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶角的距离相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．下面的四个判断中，正确的一个是( ) A．过圆内的一点的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦； B．过圆内的一点的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦； C. 过圆内的一点的无数条弦中，有一条且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦； D．过圆内的一点的无数条弦中，既没有最长的弦，也没有最短的弦． 4．下列说法中，正确的有( )①菱形的四个顶点在同一个圆上；②矩形的四个顶点在同一个圆上； ③正方形四条边的中点在同一个圆上；④平行四边形四条边的中点在同一个圆上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图所示，在⊙0中，直径MN⊥AB，垂足为C，则下列结论中错误的是( ) A．AC=CB B. C. D. OC=CN 6．过⊙O内一点M的最长的弦长为4 cm，最短的弦长为2 c( ) A．B． C. 8 cm D．

7．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm， AP：PB=1：5，那么⊙O的半径等于( ) A．6 cm B． C．8 cm D． 8．如果⊙O中弦AB与直径CD垂直，垂足为E，AE=4，CE=2，那么⊙O 的半径等于( )A. 5 B. C. D. 9. 如图所示，AB是⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半 圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB．∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C 在上半圆(不包括A、B两点)上移动时，点P( )A．到CD的距离保持不变 B．位置不变 C. 等分D．随C点的移动而移动 10. 如图所示，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AC=CD，AB的弦心距等于CD的一半。则这两个同心圆的大小圆的半径之比( ) A. 3：1 B. C. D. 二、填空题 11．半径为5 cm的定圆O中，长度为6 cm的弦的中点的集合是______. 12．平面内一点到圆上点的最小距离是2cm，最大距离是8 cm．那么这个圆的半径________. 13．在半径为5 cm的圆内有两条平行弦。分别为6 cm和8 cm．则两弦之间的距离是______． 14．在圆中，垂直平分一条半径的弦长为，则此圆的半径等于_________.

圆心角和垂径定理练习题含答案

2017年01月07日圆心角，垂径定理 一．选择题（共50小题） 1．如图，⊙O的直径BD=4，∠A=60°，则BC的长度为（） A．B．2 C．2D．4 2．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是（） A．30°B．40°C．50°D．60° 3．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（） A．2 B．4 C．D．2 4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦AC的长为3，sinB=，则⊙O的半径为（） A．4 B．3 C．2 D． 5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠AOB=100°，则∠ACB的度数为（） A．100°B．130°C．150°D．160° 6．如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（） A．40°B．50°C．60°D．80° 7．如图，已知点A，B，C在⊙O上，且∠BAC=25°，则∠OCB的度数是（） A．70°B．65°C．55°D．50° 8．如图，AB是⊙O直径，∠AOC=140°，则∠D为（） A．40°B．30°C．20°D．70° 9．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的正弦值是（） A．B．C．D． 10．如图，在⊙O中，弦AC与半径OB平行，若∠BOC=50°，则∠B的大小为（） A．25°B．30°C．50°D．60° 11．如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，若∠AOC=130°，则∠D等于（） A．20°B．25°C．35°D．50° 12．如图，⊙O中，劣弧AB所对的圆心角∠AOB=120°，点C在劣弧AB上，则圆周角∠ACB=（） A．60°B．120°C．135°D．150°

垂径定理典型例题及练习

垂径定理练习题 典型例题分析： 例题、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度 为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. 2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的 最大深度为________cm. 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长． 5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=2 1 BF. 例题3、度数问题 1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径. O A E F

2、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2 、3.求BAC ∠的度数。 例题4、相交问题 如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长. 例题5、平行问题 在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离. 例题6、同心圆问题 如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半 径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=?. 例题7、平行与相似 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证： FD EC =. A B D C E O

垂径定理

2 1 垂径定理 一、 圆的对称性 圆是轴对称图形，对称轴是 二、 如图是一个圆形纸片把该纸片沿直径AB 折叠，其中点A 和点是一组对称点 （1）思考∵OC=OD, ∴Δ OCE ≌ΔODE, ∠OEC= ∠OED= ∴AB 与CD 的位置关系是 （2）又∵点C 和点D 是一组对称点 ∴CE= 即点E 是CD 的中点 （3）根据折叠可得，弧AC=弧AD, 弧BC=弧BD, 结论：垂径定理及其推论 1、垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两段弧 2、推论：平分弦（不是直径）的直径 并且 弦所对的两条弧 三、规律总结;垂径定理及其推论与“知二得三” 对于一个圆和一条直线，若具备： （1） 过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个 条件中的任何两个条件都可以退出其他三个结论 四、 垂径定理基本图形的四变量、两关系 四变量：弦长a,圆心到弦的距离d,半径r ，弓形高h ，这四个量知道任意两个可求其他两个。 五、垂径定理及其推论的应用 （一）、选择题： 1、已知圆内一条弦与直径相交成300角，且分直径成1CM 和5CM 两部分，则这条弦的弦心距是： A 、 B 、1 C 、2 D 、25 2、AB 、CD 是⊙O 内两条互相垂直的弦，相交于圆内P 点，圆的半径为5，两条弦的长均为8，则OP 的长为： A 、3 B 、3 C 、3 D 、2 3、⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ） A B C ． D ．4、如图2，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 5、高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7 C ． 375 D ．377 6、如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ） A ．6.5米 B ．9米 C ．13米 D ．15米 7、如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AB 是直径．若80BOC ∠=°，则A ∠等于（ ） A ．60° B ．50° C ．40° D ．30°

初中数学垂径定理中考题精选

初中数学垂径定理练习 一．选择题（共13小题） 1．（2015?大庆模拟）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（） A．cm B．9 cm C．cm D．cm 2．（2015?东河区一模）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形的ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（） A．6B．13 C．D．2 3．（2015?上城区一模）一张圆心角为45°的扇形纸板和一张圆形纸板分别剪成两个大小相同的长方形，若长方形长和宽的比值为2：1，则扇形纸板和圆形纸板的半径之比为（） A．2：1 B．：1 C．2：1 D．：1 4．（2014?乌鲁木齐）如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA 最大时，PA的长等于（） A．B．C．3D．2 5．（2014?安溪县校级二模）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）

A．点P B．点Q C．点R D．点M 6．（2014?简阳市模拟）如图，⊙O的半径为5，若OP=3，则经过点P的弦长可能是（） A．3B．6C．9D．12 7．（2014?宝安区二模）如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，与AB垂直的半径OC交于点D且CD=2OD，则折痕AB的长为（） A．B．C．6D． 8．（2014?河北区三模）如图，以（3，0）为圆心作⊙A，⊙A与y轴交于点B（0，2），与x轴交于C、D，P为⊙A上不同于C、D的任意一点，连接PC、PD，过A点分别作AE⊥PC 于E，AF⊥PD于F．设点P的横坐标为x，AE2+AF2=y．当P点在⊙A上顺时针从点C运到点D的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象是（）

《垂径定理》典型例题

《垂径定理》典型例题 例1. 选择题： （1）下列说法中，正确的是（） A. 长度相等的弧是等弧 B. 两个半圆是等弧 C. 半径相等的弧是等弧 D. 直径是圆中最长的弦答案：D （2）下列说法错误的是（） A. 圆上的点到圆心的距离相等 B. 过圆心的线段是直径 C. 直径是圆中最长的弦 D. 半径相等的圆是等圆答案：B 例2. 如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB。 分析：要证弧相等，可证弧所对的弦相等，也可证弧所对的圆心角相等。 证明：连结OC、OD ∵M、N分别是OA、OB的中点 ∵OA＝OB，∴OM＝ON 又CM⊥AB，DN⊥AB，OC＝OD ∴Rt△OMC≌Rt△OND ∴∠AOC＝∠BOD 例3. 在⊙O中，弦AB＝12cm，点O到AB的距离等于AB的一半，求∠AOB的度数和圆的半径。 分析：根据O到AB的距离，可利用垂径定理解决。 解：过O点作OE⊥AB于E ∵AB＝12 由垂径定理知：

∴△ABO为直角三角形，△AOE为等腰直角三角形。 例4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。 分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。 解：过点C作CF⊥AB于F ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4 ∵∠A＝∠A，∠AFC＝∠ACB ∴△AFC∽△ACB 例5. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。 分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。 解：连OA，过点O作OM⊥AB于点M ∵点P在AB上，PA＝4cm

圆的垂径定理习题及答案

圆的垂径定理习题 一. 选择题 1. 如 图1,00的直径为10,圆心0到弦AB 的距离0M 的长为3,那么弦AB 的长是（ ） 2. 如图，O 0的半径为5,弦AB 的长为8,M 是弦AB 上的一个动点，则线段0M 长的最小值为（ ） 3. 过O 0内一点M 的最长弦为10cm 最短弦长为8cm 则0M 的长为（ ） A* 9cm E, 5cm 4. 如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 0A 0B 在 0点钉在一起，并使 它们保持垂直，在测直径时，把 0点靠在圆周上，读得刻度0E=8个单位，0F=6个单位，则圆的直 位 D. 15个单位 5. 如图，00的直径AB 垂直弦CD 于 P,且P 是半径0B 的中点，6cmCD ，则直径AB 的长是（ ） 6. 下列命题中，正确的是（ A .平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B .平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C .弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D .在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 7. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为 A.4 B. 6 C. 7 D. 8 B. 3 C. 4 D. 5 B . 10个单位 C. 1个单 A . 2 12个单位

E & 5米B, 8米C. 7米D,出米D

8.0O 的半径为5cm 弦AB//CD ,且AB=8cm,CD=6cn 则AB 与CD 之间的距离为( ) A . 1 cm B. 7cm C. 3 cm 或 4 cm D. 1cm 或 7cm 9?已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的0 0上，如果底边BC 的长为8,那么BC 边上的高为 ( ) A . 2 B. 8 C. 2 或 8 D. 3 二、填空题 1. _________________________________________________________________________ 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OCL AB 与C, 0C=3cm 则O 0的半径为 __________________________ c m 2. ____________________________________________________________________ 在直径为10cm 的圆中，弦 AB 的长为8cm,则它的弦心距为 _______________________________ cm 3. 在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 _____________________ 4. 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OC L AB 与C, 0C=3cm 则O O 的半径为 ________________ cm 5. ______________________________________________________________________________ 如图，O 0的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若/C0氐120°, 0E= 3厘米，贝U CD= ___________ 厘 6. _____________________________________________________________ 半径为6cm 的圆中，垂直平分半径 0A 的弦长为 _______________________________________________ c m 7. 过O 0内一点M 的最长的弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则0M 勺长等于 cm 8. 已知AB 是O 0的直径，弦CD L AB E 为垂足，CD=8 0E=1则AB= __________ 9. 如图，AB 为O 0的弦，O 0的半径为5, OC L AB 于点D,交O 0于点C,且CD= l ，则弦AB 的长 11. __________________________ 如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于 A 、B 两点，已知P(4, 2)和A(2, 0), 贝卩点B 的坐标是 12. ____________________________________________________________ 如图，AB 是O 0的直径，ODL AC 于点D, BC=6cm 则0D ________________________________ cm 10. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB= 16m 半径04 10m 则中间柱 CD 的高度为

九年级数学垂径定理圆心角弧弦弦心距间的关系人教版知识精讲

九年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 ［学习目标］ 1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。 2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O ，垂足M ，弦中点M ，劣弧中点D ，优弧中点C ，五点共线。（M 点是两点重合的一点，代表两层意义） 3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM ，在Rt △AOM 中，AO 为圆半径，OM 为弦AB 的弦心距，AM 为弦AB 的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该Rt △AOM 时，注意巧添弦心距，或 半径，构建直角三角形。 4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。 ()()()()1234??? 6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。 7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。 二. 重点、难点： 垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。 【典型例题】 例1. 已知：在⊙O 中，弦AB ＝12cm ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：∠AOB 的度数和圆的半径。 点悟：本例的关键在于正确理解什么是O 点到AB 的距离。 解：作OE ⊥AB ，垂足为E ，则OE 的长为O 点到AB 的距离，如图所示： ∴==?=OE AB cm 121 2 126() 由垂径定理知：AE BE cm ==6 ∴△AOE 、△BOE 为等腰直角三角形 ∴∠AOB ＝90° 由△AOE 是等腰直角三角形 ∴==OA AE 626， 即⊙O 的半径为62cm 点拨：作出弦（AB ）的弦心距（OE ），构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键。 例2. 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为a ，b 。 求证：AD BD a b ·=-2 2 证明：作OE ⊥AB ，垂足为E ，连OA 、OC 则OA a OC b ==， 在Rt AOE ?中，AE OA OE 222=- 在Rt COE ?中，CE OC OE 2 2 2 =- ()() ∴-=---AE CE OA OE OC OE 222222 =-=-OA OC a b 22 2 2 即()()AE CE AE CE a b +-=-22 BD AC ED CE ==, AD ED AE CE AE =+=+∴ BD AC CE AE ==- 即2 2b a BD AD -=? 点拨：本题应用垂径定理，构造直角三角形，再由勾股定理解题，很巧妙。 例3. ⊙O 的直径为12cm ，弦AB 垂直平分半径OC ，那么弦AB 的长为（ ） A. 33cm B. 6cm C. 63cm D. 123cm （20XX 年辽宁） 解：圆的半径为6cm ，半径OC 的一半为3cm ，故弦的长度为 ( ) 2632321632 2 2 2 -=-=()cm 故选C 。 例4. 如图所示，以O 为圆心，∠AOB ＝120°，弓形高ND ＝4cm ， 矩形EFGH 的两顶点E 、F 在弦AB 上，H 、G 在AB ? 上，且EF ＝4HE ， 求HE 的长。 解：连结AD 、OG ∠= ∠=??=?AOD AOB 121 2 12060 OA ＝OD ∴△AOD 为等边三角形 ∵OD ⊥AN ∴NO ＝ND ＝4cm C O A B M D O

九年级《圆》垂径定理练习及答案资料

九年级《圆》垂径定理练习及答案

九年级《圆》垂径定理练习 一、选择题 1. 在Rt△ABC，∠C=90°，BC=5，AB=13，D是AB的中点，以C为圆心，BC 为半径作⊙C，则⊙C与点D的位置关系是( ) A. D在圆内 B．D在圆上 C．D 在圆外 D．不能确定 2．下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶角的距离相等；④半径相等的两个半圆是等 弧．其中正确的有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．下面的四个判断中，正确的一个是( ) A．过圆内的一点的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦； B．过圆内的一点的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦； C. 过圆内的一点的无数条弦中，有一条且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦； D．过圆内的一点的无数条弦中，既没有最长的弦，也没有最短的弦．

4．下列说法中，正确的有( )①菱形的四个顶点在同一个圆上；②矩形的四个顶点在同一个圆上； ③正方形四条边的中点在同一个圆上；④平行四边形四条边的中点在同一个圆上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图所示，在⊙0中，直径MN⊥AB，垂足为C，则下列结论中错误的是( ) A．AC=CB B. C. D. OC=CN 6．过⊙O内一点M的最长的弦长为4 cm，最短的弦长为2 c( ) A．B． C. 8 cm D． 7．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP：PB=1：5，那么⊙O的半径等于( ) A．6 cm B． C．8 cm D． 8．如果⊙O中弦AB与直径CD垂直，垂足为E，AE=4， CE=2，那么⊙O的半径等于( )A. 5 B. C.

九上《圆的基本性质》的知识点及典型例题

第三章 《圆的基本性质》的知识点及典型例题 知识框图 1、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。过三点可作 个圆。过四点可作 个圆。 2、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分 垂径定理的逆定理1：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分 垂径定理的逆定理2：平分弧的直径 3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ，所对的 圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么 都相等。 注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。在题目中，若让你求⌒A B ，那么所求的是弧长 圆 概 念 圆、圆心、半径、直径 弧、弦、弦心距、等弧 圆心角、圆周角 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形 圆的基本性质 圆周角定理及2个推论 圆的相关计算 弧可分为劣弧、半圆、优弧 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫等弧 点和圆的位置关系 不在同一直线上的三点确定一个圆 圆的轴对称性 垂径定理及其2个逆定理 圆的中心对称性和旋转不变性 圆心角定理及逆定理 求半径、弦长、弦心距 求圆心角、圆周角、弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积及表面积 圆的相关证明 求不规则阴影部分的面积 证明线段长度之间的数量关系；证明角度之间的数量关系 证明弧度之间的数量关系； 证明多边形的形状；证明两线垂直 圆心角定理及逆定理都是根据圆的旋转不变性推出来的 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等

4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆周角定理推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 圆周角定理推论2：在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等；相等的圆周角所对 的也相等 5、拓展一下：圆内接四边形的对角之和为 6、弧长公式：在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为l = 7、扇形面积公式1：半径为R ，圆心角为n °的扇形面积为 。这里面涉及3个变量： ，已知其中任意两个，都可以求出第3个变量。我们中需要记住一个公式即可。 扇形面积公式2：半径为R ，弧长为l 的扇形面积为 8、沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平，可得圆锥的侧面展开图是一个 ，圆锥的侧面积等于这个扇形的面积，其半径等于圆锥的 ，弧长等于圆锥的 9、圆锥的侧面积： ；圆锥的全面积： 10、圆锥的母线长l ，高h ，底面圆半径r 满足关系式 11、已知圆锥的底面圆半径r 和母线长l ，那么圆锥的侧面展开图的圆心角为 12、圆锥的侧面展开图的圆心角x 的取值范围为 考点一、与圆相关的命题的说法正确的个数，绝大多数是选择题，也有少部分是填空题（填序号） 考点二、求旋转图形中某一点移动的距离，这就要利用弧长公式 考点三、求半径、弦长、弦心距，这就要利用勾股定理和垂径定理及逆定理 考点四、求圆心角、圆周角 考点五、求阴影部分的面积 考点六、证明线段、角度、弧度之间的数量关系；证明多边形的具体形状 考点七、利用不在同一直线上的三点确定一个圆的作图题 考点八、方案设计题，求最大扇形面积 考点九、将圆锥展开，求最近距离 练习 一、选择题 1、下列命题中：① 任意三点确定一个圆；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③ 任意一个三角形有且仅有一个外接圆；④ 平分弦的直径垂直于弦；⑤ 直径是圆中最长的弦，半径不是弦。正确的个数是（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2、如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA AB BO -- 的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ） 3、如图所示，在△ABC 中，∠BAC=30°，AC=2a ，BC=b ，以AB 所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的全面积是（ ） A. 2πa B. πab C. 3πa2+πab D. πa （2a+b ） P A O B s t O s O t O s t O s t A ． B ． C ． D ．