人教版九年级数学上册知识点及习题归纳
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一、一元二次方程的概念
1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．
2.一般形式：
20(0)ax bx c a ++=≠ 【注意】1.定义的隐含条件：①是整式方程；②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2。 2. 任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成一般形式。要特别注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程。
例1 ：若043)2(2
2
=+---x x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值是 。
变式1：已知关于 x 的方程02)3(21
=+---x x a a 是一元二次方程，则a= 。
二、一元二次方程的解法
1.直接开平方法：方程的一边可化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，那么可用直接开平方法解这类方程．
2.配方法：
（1）将方程的左边化成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，这样，我们可根据平方根的定义，把方程两边开平方，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
初三上知识点汇总
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（2）配方法解一元二次方程的一般步骤：
第一步：二次项系数化为1，方程两边都除以二次项的系数； 第二步：移项：将常数项移到方程的右边；
第三步：配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2
()x m n +=的形式；
第四步：求解：若方程右边的n 为非负数，解可以根据平方根的定义求出方程的解．
【注意】对于配方为
2
()x m n +=的一元二次方程，只有当0n ≥时，才可直接开平方求解；若0n <，方程无解．
3.求根公式法：
（1
）求根公式：x 2
(40)b ac -≥
（2）用公式法解一元二次方程的一般步骤： 第一步：把一元二次方程化为一般形式； 第二步：确定a b c 、、的值；
第三步：求出2
4b ac -的值；
第四步：若240b ac -≥，则把a b c 、、以及24b ac -的值代入求根公式；若2
40b ac -<，则方程无解．
4.因式分解法：
（1）当一元二次方程整理成2
0ax bx c ++=时，如果可以因式分解，则可以选用这个方法．
（2）因式分解法的一般步骤： 第一步：将方程整理为一般形式；
第二步：将方程左边因式分解，得到两个一次因式的积； 第三步：令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
第四步：解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
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【注意】应用因式分解法解一元二次方程时，方程的右边必须是零． 例2：用适当的方法解下列方程：
（1）5)12(2
=-x （2） x 2-8x+15=0
（3）x 2-10x+24=0 （4）2
6510x x -+=
（5）01132
=--x
变式2：（1）2
1202
x x -
++= （2）261360x x ++=
三、根的判别式
1.一元二次方程根的判别式：2
4b ac ?=-
2.根的判别式用来判别根的个数情况：
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（1）0?>?方程
2
0(0)ax bx c a ++=≠
有两个不相等的实数根1,2
x =
（2）0?=?方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根
122b
x x a ==-
．
（3）0?
20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 3.一元二次方程根的判别式的应用 （1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）根据方程根的情况，确定方程中字母系数的值或取值范围； （3）讨论因式分解问题及方程组的解的情况．
例3：若关于x 的方程2
420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值。
变式3：已知关于x 的方程022
=-++a ax x ，（1）当方程的一个根为1时，求a 的值；（2）求证：无论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
四、根与系数的关系——韦达定理
1.设一元二次方程20ax bx c ++=的两个根为12x x ，
，则两个根满足： 1212b c
x x x x a a +=-?=
，
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例4：已知,αβ是方程2
270x x --=的两根。不解方程求下列代数式的值。
（1）22
αβ+ （2）
βα
αβ
+ （3）()()11αβ-- (4)αβ-
变式4：已知12,x x 是方程2
250x x --=的两根。求
12
11
x x +的值。
五、一元二次方程与实际问题
1.面积最大化问题
2.利润最大化问题
3.增长率问题
4.传播问题
5.动点问题
例5：某个体户以50000元资金经商，在第一年中获得一定的利润，已知这50000元资金加上第一年的利润在第二年共获利润2612.5元，而且第二年的利润率比第一年多0.5%，则第一年的利润是多少元？
变式5：某个体户以50000元资金经商，在第一年中获得一定的利润，已知这50000元资金加上第一年的利润在第二年共获利润2612.5元，而且第二年的利润率比第一年多0.5%，则第一年的利润是多少元？
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【例1】下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A.2(1)(3)30a x a x -++-=
B.()()()(2)x a x a x b x b +-=+-
4
2610x -+= D.22(1)230a x x +-+=
【例2】关于x 的方程22(1)260a x ax ++-=是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ）
A.1a ≠±
B.0a ≠
C.a 为任何实数
D.不存在
【例3】关于x 的一元二次方程22
(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）
A.1
B.1-
C.1或1-
D.
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【例4】已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的
根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的正实数根
B ．有两个异号的实数根
C ．有两个不相等的负实数根
D ．不一定有实数根
【例5】关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）
A ． 1k <
B ． 0k ≠
C ．10k k <≠且
D ． 1k >
【例6】若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________
【例7】若m 是方程23220x x --=的一个根，那么代数式23
12
m m -+的值为 ________
【例8】若关于x 的二次方程
2
(1)220m x mx m -++-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是____________
【例9】设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是____ 【例10】选择恰当的方法解下列方程
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（1）21
9()43x +=；
（2）260x x --=；
（3）2211
0362
x x --=
（4）22(54)(43)0x x ---=； （5）(1)(3)12x x -+=
【例11】设方程22140x x ---=，求满足该方程的所有根之和．
【例12】证明：无论实数m 、n 取何值时，方程2()0mx m n x n +++=都有实数根
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【例13】已知关于x 的方程210x mx m -+-=有两个不相等的实根1x 、2x ，
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m x x +=，求m 的值
【例14】某个体户以50000元资金经商，在第一年中获得一定的利润，已知这50000元资金加上第一年的利润在第二年共获利润2612.5元，而且第二年的利润率比第一年多0.5%，则第一年的利润是多少元？
【例15】一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染电脑会不会超过700台？
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第二十二章 二次函数
一、二次函数的概念 二次函数的定义
1.一般地，形如
c bx ax y ++=2
（c b a ,,为常数，0≠a ）的函数称为x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，c b a ,,分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.
2.任何二次函数都可以整理成c bx ax y ++=2
（c b a ,,为常数，0≠a ）的形式． 3.判断函数是否为二次函数的方法：
（1）含有一个变量，且自变量的最高次数为2； （2）二次项系数不等于0； （3）等式两边都是整式．
4.二次函数自变量x 的取值范围是全体实数． 二次函数图象的画法：五点绘图法
利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式
2
()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标
在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及
()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴
对称的点）．
二、二次函数的图象性质
二次函数c bx ax y ++=2
）（0≠a 的性质
对称轴：a
b
x 2-
= 顶点坐标：)44,2(2
a
b a
c a b --
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最值：
① 0>a 时有最小值a b ac 442
- （如图1）