(完整word版)圆周运动绳杆模型

圆周运动中的临界问题

一.两种模型:

(1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运

动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m r

v 2

，这时的速度是做圆周运动的最小速

度v min ＝ . （绳只能提供拉力不能提供支持力）. 类此模型：竖直平面内的内轨道

(2)轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 . （杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力.） ①当v ＝0 时，杆对小球的支持力 小球的重力； ②当0

于小球的重力；③当v

＝gr 时，杆对小球的支持力 于零； ④当v >

gr 时，杆对小球提供 力. 类此模型：竖直平面内的管轨道.

1、圆周运动中绳模型的应用 【例题1】长L ＝0.5m 的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m ＝0.5Kg 的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2）在最高点时，若速度v ＝3m/s ，水对筒底的压力多大？

【训练1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑，到半径为r 的圆形轨道最高点

B 时恰好对轨道无压力。求在圆形轨道最高点B 时的速度大小。

【训练2】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：

(1)最高点水不流出的最小速率。 (2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．

2、圆周运动中的杆模型的应用

【例题2】一根长l ＝0.625 m 的细杆，一端拴一质量m=0.4 kg 的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求：

(1)小球通过最高点时的最小速度；

(2)若小球以速度v 1=3.0m ／s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何？

v

R 【训练3】如图所示，长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（ ） A.小球到达最高点的速度必须大于gL

B .小球到达最高点的速度可能为0 C.小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力 D.小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力

【训练4】如图所示，在竖直平面内有一内径为d 的光滑圆管弯曲而成的环形轨道，环形轨道半径R 远远大于d ，有一质量为m 的小球，直径略小于d ，可在圆管中做圆周运动。若小球恰能在圆环轨道中完成圆周运动，则小球在通过最高点时 受到轨道给它的作用力为___________。若小球通过圆环轨道 最高点时速度恰为gL ，则小球在通过最高点时受到轨道给 它的作用力为___________。

【训练5】如图所示，用一连接体一端与一小球相连，绕过O 点的水平轴在竖直平面内做圆周运动，设轨道半径为r ，图中P 、Q 两点分别表示小球轨道的最高点和最低点，则以下说法正确的是( )

A.若连接体是轻质细绳时，小球到达P 点的速度可以为零

B.若连接体是轻质细杆时，小球到达P 点的速度可以为零

C.若连接体是轻质细绳时，小球在P 点受到细绳的拉力可能为零

D.若连接体是轻质细杆时，小球在P 点受到细杆的作用力为拉力， 在Q 点受到细杆的作用力为推力

二、水平面内的圆周运动临界问题

【例题3】如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长为L 的绳（质量不计），一端固定在圆锥体的顶点O 处，另一端拴着一个质量为m 的小物体（物体可看作质点），物体以速率v 绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。

⑴当v ＝1

6

gL 时，求绳对物体的拉力； ⑵当v ＝3

2

gL 时，求绳对物体的拉力。

O L m

L m

O θ

基础巩固、

1．如图6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O 在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F 表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则F 可能 （ ）

A ．是拉力

B ．是支持力

C ．等于零

D ．可能是拉力，可能是支持力，也可能等于零

2．（1999年 全国）如图6-11-6所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O

点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表

示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 （ ）

A ．a 处为拉力，b 处为拉力

B ．a 处为拉力，b 处为推力

C ．a 处为推力，b 处为拉力

D ．a 处为推力，b 处为推力

3．长为L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端与光滑的水平轴相连。现给小球一个初

速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球在最高点时的速度为v ，则下列叙述正确的是 （ ）

A ．v

B ．v 由零逐渐增大，向心力也逐渐增大

C ．v 由零逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大

D ．v

4．质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v 的速度经过最高点时，对轨道的压力是 （ ）

A ．0

B ．mg

C ．3mg

D ．5mg

5．长为L 的细绳一端拴一质量为m 的小球，小球绕细绳另一固定端在竖直平面内做圆周运动并恰能通过最高点，不计空气阻力，设小球通过最低点和最高点时的速度分别为1v 和

2v ，细线所受拉力分别为1F 、2F ，则 （ ）

A ．1v

B ．2v = 0

C ． 1F = 5mg

D ．2F = 0

6．质量可忽略，长为L 的轻棒，末端固定一质量为m 的小球，要使其绕另一端点在竖直平面内做圆周运动，那么小球在最低点时的速度v 必须满足的条件为 （ ）

A ．v

B ．v

C ．v ≥

D ．v

图6-11-5

图6-11-6

7．如图6-11-7所示，一个高为h 的斜面，与半径为R 的圆形轨道平滑地连接在一起。现有一小球从斜面的顶端无初速地滑下，若要使小球通过圆形轨道的顶端B 而不落下，则斜面的高度h 应为多大？

8．如图6-11-8所示，杆长为L ，杆的一端固定一质量为m 的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端O 在竖直平面内作圆周运动，求：

（1）小球在最高点A 时速度A v 为多大时，才能使杆对小球m 的作用力为零？

（2）小球在最高点A 时，杆对小球的作用力F 为拉力和推力时的临界速度是多少？

（3）如m = 0.5kg, L = 0.5m, A v = 0.4m/s, 则在最高点A 和最低点B 时,

杆对小球m 的作用力各是多大? 是推力还是拉力?

【拓展提高】

9．如图6-11-9所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD ，其A 点与圆心等高，D 点为轨道最高点，DB 为竖直线，AC 为水平线，AE 为水平面，今使小球自A 点正上方某处由静止释放，且从A 点进入圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点D ，

则小球在通过D 点后 （ ）

A ．会落到水平面AE 上

B ．一定会再次落到圆轨道上

C ．可能会落到水平面AE 上

D ．可能会再次落到圆轨道上

10．如图6-9-10所示，半径为R ，内径很小的光滑半圆管竖直放置，AB 段平直，质量为m 的小球以水平初速度0v 射入圆管。

（1）若要小球能从C 端出来，初速度0v 多大？

（2）在小球从C 端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速度0v 各应满足什么条件？

图6-11-8

v

图

6-11-9

B

A

图6-11-10

圆周运动-圆盘模型

圆周运动——圆盘模型 1、如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳中张力为零），物块与转盘间最大静摩擦力是其重力的k倍，求： 2、（1）转盘的角速度为时绳中的张力T1； （2）转盘的角速度为时绳中的张力T2。 2、如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A、B两个小物块。A的质量为，离轴心，B的质量为，离轴心，A、B与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求：（1）当圆盘转动的角速度为多少时，细线上开始出现张力？ （2）欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（）

3、如图11所示，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向放置以细线相连的质量均为 m的A、B两个小物块。A离轴心r 1＝20 cm，B离轴心r 2 ＝30 cm，A、B与圆盘 面间相互作用的最大静摩擦力为其重力的0.4倍，取g＝10 m/s2。 (1)若细线上没有张力，圆盘转动的角速度ω应满足什么条件？ (2)欲使A、B与圆盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度多大？ (3)当圆盘转速达到A、B刚好不滑动时，烧断细线，则A、B将怎样运动？ 4、如图所示，在水平圆盘上沿半径方向放置用细线相连的质量均为m的A、B

两个物块（可视为质点）．A和B距轴心O的距离分别为r A=R，r B=2R，且A、B 与转盘之间的最大静摩擦力都是f m，两物块A和B随着圆盘转动时，始终与圆盘保持相对静止．则在圆盘转动的角速度从0缓慢增大的过程中，下列说法正确的是（） A．B所受合外力一直等于A所受合外力 B．A受到的摩擦力一直指向圆心 C．B受到的摩擦力一直指向圆心 D．A、B两物块与圆盘保持相对静止的最大角速度为 5、如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心r=20cm处放置一小物块A，其质量为m＝2kg，A与盘面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k倍（k＝0.5），试求 ⑴当圆盘转动的角速度ω＝2rad/s时，物块与圆盘间的摩擦力大小多大？方向如何？ ⑵欲使A与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大 角速度多大？（g=10m/s2）

圆周运动中绳模型和杆模型的一般解析

圆周运动中绳模型和杆模型的一般解析 一：绳模型：若已不可伸长的绳子长L ，其一端栓有一质量m 的小球（可看成质点）。现使绳子拉着小球绕一点O 做匀速圆周运动，则（1）小球恰好通过最高点的速度v 。 (2)当能通过最高点时，绳子拉F 。 解：（1）小球恰能通过最高点的临界条件是绳子没有拉力， 则对小球研究，其只受重力mg 作用， 故，由其做圆周运动得: L v m mg 2= 故 gL v = (2)由分析得，当小球到最高点时速度gL v v =>'时， 则，mg L mv F -=2 ' 而，当gL v v =<'时，那么小球重力mg 大于其所需向心力，因此小球做向心运动。 二：杆模型：若一硬质轻杆长L ，其一端有一质量m 的小球（可看成质点）。现使杆和小球绕一点O 做匀速圆周运动， 则 （1）小球恰好通过最高点的速度v 。 (2)当能通过最高点时，杆对小球的作用力F 。 解：（1）因为杆具有不可弯曲不可伸长的性质，所以小球在最高点，当速度为0时，恰好能通过。 （2）①由绳模型可知，当小球通过最高点速度gL v =时，

恰好有绳子拉力为0，则同理可知，当杆拉小球到最高点时， 若小球速度gL v =时，小球所需向心力恰好等于重力mg ， 故，此时杆对小球没有作用力。 ②当小球通过最高点时速度gL v >时， 则小球所需向心力比重力mg 大，所以此时杆对小球表现为拉力，使小球不至于做离心运动 故对小球有， L mv mg F 2=+ ③同理，当小球通过最高点时速度gL v <时， 则小球所需向心力小于重力mg ，所以此时小球对杆有压力作用，有牛顿第三定律得，杆对小球表现为支持力作用， 故对小球有， L mv F mg 2=-

圆周运动的三种模型

一、圆锥摆模型: 如图所示：摆球的质量为 m ,摆线长度为L ，摆动后摆球做圆周运动，摆线与竖直方向成 分析， 正交分法解 得： 竖直方向： ________________ 水平方向： F<= _______ 最终得 F 合= _________ 用力的合成法得 F 合= _________ 。半径 r = _______ ，圆周运动 F 向= _________ = ________ , 由F 合=卩向可得V= ________ , 3= ______ 圆锥摆是物理学中一个基本模型，许多现象都含有这个模型。分析方法同样适用自行车, 摩托车，火车转弯，飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。 力的合力提供向心力，向心力方向水平。 1、小球在半径为 R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中 的夹角）与线速度 V ，周期T 的关系。（小球的半径远小于 R ） 2、如图所示，用一根长为 1= 1m 的细线，一端系一质量为 m = 1kg 的小球（可视为质点），另一端固定在一光 滑锥体顶端，锥面 9 3时, 圆周运动的三种模型 共同点是由重力和弹 0 （小球与半球球心连线跟竖直方向 细线的张力为T 。求（取g = 10m/s 2,结果可用根式表示）： （1 ）右要小球离开锥面，则小球的角速度 30至少为多大？ （2）若细线与竖直方向的夹角为 60°则小球的角速度 3Z 为多大？

二.轻绳模型 （一）轻绳模型的特点: 1. 轻绳的质量和重力不计； 2. 只能产生和承受沿绳方向的拉力； （二）轻绳模型在圆周运动中的应用 小球在绳的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动的临界问题: 1?临界条件：小球通过最高点，绳子对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力： ______ = _____ ，v 临界= 2?小球能通过最高点的条件： v ____ v 临界（此时，绳子对球产生 —力） 3. 不能通过最高点的条件： v v 临界（实际上小球还没有到最高点时，就脱离了轨道） 练习： 质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为 v ，当小球以2v 的速度经过最高点时，对轨道的压力是（ ） A . 0 B. mg C .3mg D 5mg （一）轻杆模型的特点： 1. 轻杆的质量和重力不计； 2. 能产生和承受各方向的拉力和压力 （二 ）轻杆模型在圆周运动中的应用 轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况: 1. 小球能通过最高点的最小速度 v= ___ ，此时轻杆对小球的作用力 N= ___ （ 2 2. 当 _______ =m v 临界（轻杆对小球的作用力 N= 0 ）， V 临界 __ j gR （即0v 临界）时，有

课时分层作业50匀速圆周运动的数学模型函数y=Asin(ωx+φ)的图象

课时分层作业 (五十 ) 函数 y ＝ Asin(x ＋ φ) (建议用时： 60 分钟) [合格基础练 ] 、选择题 1．下列表示函数 y ＝sin 2x － 3 在区间 －2 ，π上的简图正确的是 ( 当 x ＝6π 时 y ＝ sin 0＝0，排除 C ， 故选 A.] 2．把函数 y ＝sin 2x －4π的图象向左平移 8π个单位长度， 所得到的图象对应的 函数是 ( ) A ．奇函数 B.偶函数 C ．既是奇函数也是偶函数 D.非奇非偶函数 A [y ＝sin 2x －4π＝sin 2 x －8π ，向左平移 8π个单位长度后为 y ＝ 3．同时具有性质“ (1)最小正周期是 π；(2)图象关于直线 x ＝3π对称； (3)在 A [当 x ＝π时， y ＝ sin －3π＝－ 23 排除 B 、 D. sin 2x ，为奇函数 ．]

－6π，3π 上单调递增”的一个函数是 ( ) 证知只有 C 符合要求 ． ] 4．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B 的一部分图象如图所示， 若 A>0，ω>0， |φ|< 2π ，则 ( ) A ． B ＝4 C ．ω＝1 B [ 由函数图象可知 f(x) min ＝ 0， f(x) max ＝4. 4－0 4＋0 所以 A ＝ 2 ＝ 2，B ＝ 2 ＝2. 2π 5π π 由周期 T ＝ω＝4 12－6 知 ω＝2. 由 f 6 ＝4得 2sin 2× 6＋φ＋ 2＝ 4， π π π sin 3＋φ＝ 1，又 |φ|<2，故 φ＝6.] 5．已知函数 f(x)＝cos ωx －6π (ω>0)的相邻两个零点的距离为 2π ，要得到 y ＝f(x)的图象，只需把 y ＝cos ωx 的图象 ( ) A ．向右平移 1π2个单位 B ．向左平移 1π2个单位 A ． y ＝sin 2x ＋6 B ． y ＝cos 2x ＋ 3 C ． π y ＝sin 2x － 6 D ． y ＝cos2x －6 [ 由(1)知 T ＝π＝2ω π， 2，排除 A. 由(2)(3)知 x ＝ ，f(x)取最大值 ，验 π B ．φ＝6 D ．A ＝4 π C ．向右平移 6π 个单 D ．向左平移 6π 个单位

圆周运动的三种模型

圆周运动的三种模型 一、圆锥摆模型： 如图所示：摆球的质量为m，摆线长度为L ，摆动后摆球做圆周运动，摆线与竖直方向成θ角，对小球受力分析， 正交分法解得：竖直方向：水平方向：F X=最终得F合=。 用力的合成法得F合=。半径r=，圆周运动F向==，由F合=F向可得V=，ω= 圆锥摆是物理学中一个基本模型，许多现象都含有这个模型。分析方法同样适用自行车， 摩托车，火车转弯，飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。 1、小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度V ，周期T 的关系。（小球的半径远小于R） 2、如图所示，用一根长为l＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T。求（取g＝10m/s2，结果可用根式表示）： （1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？ （2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω＇为多大？

二．轻绳模型 （一）轻绳模型的特点： 1. 轻绳的质量和重力不计； 2. 只能产生和承受沿绳方向的拉力； （二）轻绳模型在圆周运动中的应用 小球在绳的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动的临界问题： 1. 临界条件：小球通过最高点，绳子对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力： = ，v 临界 = 2. 小球能通过最高点的条件： v v 临界（此时，绳子对球产生 力） 3. 不能通过最高点的条件： v v 临界 （实际上小球还没有到最高点时，就脱离了轨道） 练习： 质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v 的速度经过最高点时，对轨道的压力是（ ） A . 0 B. mg C .3mg D 5mg 三．轻杆模型： (一)轻杆模型的特点： 1.轻杆的质量和重力不计； 2.能产生和承受各方向的拉力和压力 (二)轻杆模型在圆周运动中的应用 轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况： 1. 小球能通过最高点的最小速度v= ，此时轻杆对小球的作用力N= （ N 为 力） 2. 当 =R v m 2临界 （ 轻杆对小球的作用力N= 0 ），gR v 临界 3 当 （即0v 临界）时，有 =R v m 2 （轻杆对小球的作用力N 为 力） 练习： 半径为R=0.5m 的管状轨道，有一质量为m=3kg 的小球在管状轨道内部做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2m/s ，g=10m/s2 ，则（ ） A. 外轨道受到24N 的压力 B. 外轨道受到6N 的压力 C. 内轨道受到24N 的压力 D. 内轨道受到 6N 的压力

大全圆周运动模型

圆周运动模型 一、匀速圆周运动模型 1．随盘匀速转动模型 1．如图，小物体m 与圆盘保持相对静止，随盘一起做匀速圆周运动，则物体的受力情况是： A ．受重力、支持力、静摩擦力和向心力的作用 B ．摩擦力的方向始终指向圆心O C ．重力和支持力是一对平衡力 D ．摩擦力是使物体做匀速圆周运动的向心力 2． 如图所示，质量为m 的小物体系在轻绳的一端，轻绳的另一端固定在转轴上。轻绳长度为L 。现在使物体在光滑水平支持面上与圆盘相对静止地以角速度 做匀速圆周运动，求： （1）物体运动一周所用的时间T ； （2）绳子对物体的拉力。 3、如图所示，MN 为水平放置的光滑圆盘，半径为1.0m ，其中心O 处有一个小孔，穿过小孔的细绳两端各系一小球A 和B ，A 、B 两球的质量相等。圆盘上的小球A 作匀速圆周运动。问 （1）当A 球的轨道半径为0.20m 时，它的角速度是多大才能维持B 球静止？ （2）若将前一问求得的角速度减半，怎样做才能使A 作圆周运动时B 球仍能保持静止？ 4、如图4所示，a 、b 、c 三物体放在旋转水平圆台上,它们与圆台间的动摩擦因数均相同，已知a 的质量为2m ，b 和c 的质量均为m ，a 、b 离轴距离为R ，c 离轴距离为2R 。当圆台转动时,三物均没有打滑，则：（设最大静摩擦力等于滑 动摩擦力）（ ） A.这时c 的向心加速度最大 B ．这时b 物体受的摩擦力最小 C.若逐步增大圆台转速，c 比b 先滑动 D ．若逐步增大圆台转速，b 比a 先滑动 5、如右图所示，某游乐场有一水上转台，可在水平面内匀速转动，沿半径方向面对面手拉手坐着甲、乙两个小孩，假设两小孩的质量相等，他们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两小孩刚好还未发生滑动时，某一时刻两小孩突然松手，则两小孩的运动情况是( ) A ．两小孩均沿切线方向滑出后落入水中 B ．两小孩均沿半径方向滑出后落入水中 C ．两小孩仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动而落入水中 D ．甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，乙发生滑动最终落入水中 6、线段OB=AB ，A 、B 两球质量相等，它们绕O 点在光滑的水平面上以相同的角速度转动时，如图4所示，两段线拉力之比T AB ：T OB ＝______。 2.转弯模型 1．火车在水平轨道上转弯时，若转弯处内外轨道一样高，则火车转弯时：[ ] A ．对外轨产生向外的挤压作用 B ．对内轨产生向外的挤压作用 C ．对外轨产生向内的挤压作用 D ．对内轨产生向内的挤压作用 2.火车通过半径为R 的弯道，已知弯道的轨道平面与水平面的夹角为θ，要使火车通过弯道时对内外轨道不产生挤压，求火车通过弯道时的速度？ O ω ω m

高考物理模型之圆周运动模型

第二章 圆周运动 解题模型： 一、水平方向的圆盘模型 1． 如图1.01所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍，求： （1）当转盘的角速度ωμ12=g r 时，细绳的拉力F T 1。 （2）当转盘的角速度ωμ232=g r 时，细绳的拉力F T 2。 图2.01 解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为ω0，则μωmg m r =02，解得ωμ0=g r 。 （1）因为ωμω102=g r ，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力F T 2，由牛顿的第二定律得：F mg m r T 222+=μω，解得 F mg T 22=μ。 2． 如图2.02所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A 、B 两个小物块。A 的质量为m kg A =2，离轴心r cm 120=，B 的质量为m kg B =1，离轴心

r cm 210=，A 、B 与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求： （1）当圆盘转动的角速度ω0为多少时，细线上开始出现张力？ （2）欲使A 、B 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大 角速度为多大？（g m s =102/） 图2.02 解析：（1）ω较小时，A 、B 均由静摩擦力充当向心力，ω增大，F m r =ω2可知，它们受到的静摩擦力也增大，而r r 12>，所以A 受到的静摩擦力先达到最大值。ω再增大，AB 间绳子开始受到拉力。 由F m r fm =1022ω，得：ω011111 055===F m r m g m r rad s fm ./ （2）ω达到ω0后，ω再增加，B 增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供，A 增大的向心力靠增加拉力来提供，由于A 增大的向心力超过B 增加的向心力，ω再增加，B 所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如ω再增加，B 所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。如ω再增加，就不能维持匀速圆周运动了，A 、B 就在圆盘上滑动起来。设此时角速度为ω1，绳中张力为F T ，对A 、B 受力分析： 对A 有F F m r fm T 11121+=ω 对B 有F F m r T fm -=2212 2ω 联立解得：ω112 112252707=+-==F F m r m r rad s rad s fm fm /./ 3． 如图2.03所示，两个相同材料制成的靠摩擦传动的轮A 和轮B 水平放置，两轮半径 R R A B =2，当主动轮A 匀速转动时，在A 轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A 轮边缘上。若将小木块放在B 轮上，欲使木块相对B 轮也静止，则木块距B 轮转轴的最大距离为（ ） A. R B 4 B. R B 3 C. R B 2 D. R B 答案： C

圆周运动中的几种模型

圆周运动中的几种模型 一．轻绳模型 （一）. 轻绳模型的特点： 1. 轻绳的质量和重力不计； 2. 只能产生和承受沿绳方向的拉力； （二）.轻绳模型在圆周运动中的应用 小球在绳的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动的临界问题： 1. 临界条件：小球通过最高点，绳子对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力： 2. 小球能通过最高点的条件：（当时，绳子对球产生拉力） 3. 不能通过最高点的条件：（实际上小球还没有到最高点时，就脱离了轨道） 例：质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力是（） A . 0 B. mg C .3mg D 5mg

分析：内侧轨道只能对小球产生向下的压力，其作用效果同轻绳一样，所以其本质是轻绳模型 当小球经过最高点的临界速度为v ，则 当小球以 2v的速度经过最高点时，轨道对小球产生了一个向下的压力N ，则 因为所以 根据牛顿第三定律，小球对轨道压力的大小也是，故选 c. 二．轻杆模型： (一). 轻杆模型的特点： 1.轻杆的质量和重力不计； 2.能产生和承受各方向的拉力和压力 (二). 轻杆模型在圆周运动中的应用 轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况： 1. 小球能通过最高点的临界条件：v=0 ，N=mg （ N为支持力） 2. 当时，有（ N为支持力）

3 当时，有（N=0 ） 4 当时，有（N 为拉力） 例：半径为R=0.5m 的管状轨道，有一质量为m=3kg的小球在管状轨道内部做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2m/s ，g=10m/s2 ，则（） A. 外轨道受到24N的压力 B. 外轨道受到6N的压力 C. 内轨道受到24N 的压力 D. 内轨道受到 6N的压力 分析：管状轨道对小球既有支持力又有压力，所以其本质属于杆模型： 当小球到最高点轨道对其作用力为零时：有 则， =>2m/s 所以，内轨道对小球有向上的支持力，则有 代入数值得： N=6N 根据牛顿第三定律，小球对内轨道有向下的压力大小也为6N ，故选 D 三．圆锥摆模型： 圆锥摆模型在圆周运动中的应用：

专题一圆周运动绳杆模型

专题一：《圆周运动中的临界问题》 一.两种模型: (1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运 动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m r v 2 ，这时的速度是做圆周运动的最小速度v min ＝ . （绳只能提供拉力不能提供支持力）. 类此模型：竖直平面内的内轨道 (2)轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 . （杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力.） ①当v ＝0 时，杆对小球的支持力 小球的重力； ②当0gr 时，杆对小球提供 力. 类此模型：竖直平面内的管轨道. 1、圆周运动中绳模型的应用 【例题1】长L ＝0.5m 的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m ＝0.5Kg 的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2）在最高点时，若速度v ＝3m/s ，水对筒底的压力多大？ 【训练1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑，到半径为r 的圆形轨道最高点 B 时恰好对轨道无压力。求在圆形轨道最高点B 时的速度大小。 【训练2】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求： (1)最高点水不流出的最小速率。 (2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力． 2、圆周运动中的杆模型的应用 【例题2】一根长l ＝0.625 m 的细杆，一端拴一质量m=0.4 kg 的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求： (1)小球通过最高点时的最小速度； (2)若小球以速度v 1=3.0m ／s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何？

(完整版)最全圆周运动模型

圆周运动模型 一、匀速圆周运动模型 1．随盘匀速转动模型 1．如图，小物体m 与圆盘保持相对静止，随盘一起做匀速圆周运动，则物体的受力情况是： A ．受重力、支持力、静摩擦力和向心力的作用 B ．摩擦力的方向始终指向圆心O C ．重力和支持力是一对平衡力 D ．摩擦力是使物体做匀速圆周运动的向心力 2． 如图所示，质量为m 的小物体系在轻绳的一端，轻绳的另一端固定在转轴上。轻绳长度为 L 。现在使物体在光滑水平支持面上与圆盘相对静止地以角速度 做匀速圆周运动，求： （1）物体运动一周所用的时间T ； （2）绳子对物体的拉力。 3、如图所示，MN 为水平放置的光滑圆盘，半径为1.0m ，其中心O 处有一个小孔，穿过小孔的细绳两端各系一小球A 和B ，A 、B 两球的质量相等。圆盘上的小球A 作匀速圆周运动。问 （1）当A 球的轨道半径为0.20m 时，它的角速度是多大才能维持B 球静止？ （2）若将前一问求得的角速度减半，怎样做才能使A 作圆周运动时B 球仍能保持静止？ 4、如图4所示，a 、b 、c 三物体放在旋转水平圆台上,它们与圆台间的动摩擦因数均相同，已知a 的质量为2m ，b 和c 的质量均为m ，a 、b 离轴距离为R ，c 离轴距离为2R 。当圆台转动时,三物均没有打滑，则：（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（ ） A.这时c 的向心加速度最大 B ．这时b 物体受的摩擦力最小 C.若逐步增大圆台转速，c 比b 先滑动 D ．若逐步增大圆台转速，b 比a 先滑动 5、如右图所示，某游乐场有一水上转台，可在水平面内匀速转动，沿半径方向面对面手拉手坐着甲、乙两个小孩，假设两小孩的质量相等，他们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两小孩刚好还未发生滑动时，某一时刻两小孩突然松手，则两小孩的运动情况是( ) A ．两小孩均沿切线方向滑出后落入水中 B ．两小孩均沿半径方向滑出后落入水中 C ．两小孩仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动而落入水中 D ．甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，乙发生滑动最终落入水中 6、线段OB=AB ，A 、B 两球质量相等，它们绕O 点在光滑的水平面上以相同的角速度转动时，如图4所示，两段线拉力之比T AB ：T OB ＝______。 2.转弯模型 1．火车在水平轨道上转弯时，若转弯处内外轨道一样高，则火车转弯时：[ ] A ．对外轨产生向外的挤压作用 B ．对内轨产生向外的挤压作用 C ．对外轨产生向内的挤压作用 D ．对内轨产生向内的挤压作用 2.火车通过半径为R 的弯道，已知弯道的轨道平面与水平面的夹角为θ，要使火车通过弯道时对内外轨道不产生挤压，求火车通过弯道时的速度？ O ω ω m

高中物理分类模型：圆周运动

第1 页 第二章圆周运动 解题模型： 一、水平方向的圆盘模型 1．如图1.01所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍，求：（1）当转盘的角速度ωμ12=g r 时，细绳的拉力F T 1。（2）当转盘的角速度ωμ232= g r 时，细绳的拉力F T 2。图2.01解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为ω0，则μωmg m r =02，解得ωμ0=g r 。（1）因为ωμω102=g r ，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力F T 2，由牛顿的第二定律得：F mg m r T 222+=μω，解得 F mg T 22 =μ。2．如图2.02所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A、B 两个小

物块。A 的质量为m kg A =2，离轴心r cm 120=，B 的质量为m kg B =1，离轴心r cm 210=，A、B 与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求： （1）当圆盘转动的角速度ω0为多少时，细线上开始出现张力？ （2）欲使A、B 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大 角速度为多大？（g m s =102 /）图2.02 （1）当圆盘转动的角速度ω0为多少时，细线上开始出现张力？ （2）欲使A、B 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（g m s =102 /） 解析：（1）ω较小时，A、B 均由静摩擦力充当向心力，ω增大，F m r =ω2可知，它们受到的静摩擦力也增大，而r r 12>，所以A 受到的静摩擦力先达到最大值。ω再增大，AB 间绳子开始受到拉力。 由F m r fm =1022ω，得：ω011111 055===F m r m g m r rad s fm ./（2）ω达到ω0后，ω再增加，B 增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供，A 增大的向心力靠增加拉力来提供，由于A 增大的向心力超过B 增加的向心力，ω再增加，B 所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如ω再增加，B 所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。如ω再增加，就不能维持匀速圆周运动了，A、B 就在圆盘上滑动起来。设此时角速度为ω1，绳中张力为F T ，对A、B 受力分析： 对A 有F F m r fm T 1112 1 +=ω对B 有F F m r T fm -=22122 ω

高中数学用匀速圆周运动来讲解三角函数的图像和性质

以匀速圆周运动来讲解三角函数的图像和性质对于三角函数y=Asin（ωx+φ)的周期，频率，初相，它是由函数y=sinx经过怎样的变换来得到，有些同学掌握的不是很好，他们主要是觉得比较抽象，虽然对于对变换法则进行了记忆，但由于理解并不透彻，因而在具体应用时，仍然常常出错。为了让初次接触这些函数的同学能更好的理解，掌握这些函数的性质和它们之间的关系，我在此尝试用质点做圆周运动的模型来讲解三角函数y=Asin（ωx+φ)的图像和性质以及它是由y=sinx经过怎样的变换得到的。 在正式讲述之前，我们先来思考一个问题：有一个单位圆，以其圆心为坐标原点建立直角坐标系，有一质点，以单位圆与横轴的交点为起点，以角速度1rad/单位时间在单位圆上按逆时针方向做周而复始的匀速圆周运动，求任一时刻质点对横轴的位移（以x轴上方为正）是多少？并作出其图像。 对上面的问题，当我们学过单位圆和三角函数之后，我们就知道，所求的这一位移正是质点所到达位置的正弦线，如下图中的PM

因此，所求问题的解正是正弦函数y=sinx，其图像也就是三角函数y=sinx 的图像，在此模型下，函数y=sinx图像也就是质点做此圆周运动的位移---时间图像，如下图 从上面问题的叙述来看，质点的圆周运动明显是一种周期运动，那么其运动的周期是多少呢？我们知道，一个整圆的圆周角是2π，质点以1rad/单位时间的角速度在圆上做圆周运动，那么它走完一周所需要的时间就是整圆的圆周角除以质点运动的角速度，也就是2π/1=2

π，这就是它的周期。如果质点在此单位圆上运动的角速度变成了ω，那么其运动的周期就是2π/ω，这时，相应的函数也就变成了y=sin ωx。在上面两图中，两纵轴的意义相同，其上的纵坐标都是表示位置，但两图的横坐标却有了不同的含义，上面质点在单位圆上的运行图中，横坐标仍然是表示位置的，但下面函数图象上的横坐标就不再表示位置了，而是表示时间，整个函数图象表示的是在质点运行时间内的任一时刻质点对横轴的位移，因此，后面在此模型下讨论函数y=Asin（ωx+φ)的图象和性质时，其图象横轴都是时间轴，其轴上坐标都表示了某一时刻。在正弦函数y=sinx中的x实际上是1和x的乘积，它表示了质点以1rad/单位时间的角速度运动了x时间后所产生的角位移，把这些区别记清楚。 在上面，我们讨论到当质点做匀速圆周运动的角速度ω不为单位速度时，其周期是2π/ω，而在三角函数的书本上，我们知道，函数y=Asin（ωx+φ)的周期为2π除以频率，从这里我们可以知道，我们平时在书本上所看到的三角函数的频率正是这一模型中质点运行的角速度。下面我们从角速度的方面出发来理解频率ω为什么能决定周期。我们再来看上面质点做匀速圆周运动的模型，在这一模型中能影响质点运行周期的因素有哪些呢？从学过的关于匀速圆周运动的知识中我们知道，做匀速圆周运动的物体其运行周期取决于运行一个周期所经历的角位移的大小和运行角速度的大小。在这一模型中，无论运行的圆的半径是多少，只要是一个整圆，其圆周角就是2π，为一定值，因此，其运行的周期就只决定于质点做圆周运动的角速度ω，

圆周运动的常见模型

圆周运动的常见模型（绳、杆模型）教案 授课人：马少芳 地点：高一（5）班 时间：2014-3-21 【课前分析】 本节课主要讲圆周运动的常见模型中的轻绳模型和轻杆模型，这两个模型都属于竖直平面内的圆周运 动。竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动 （带电粒子在匀强磁场中运动除外 ），运动的速度大小和方 向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任 意位置的情况，只研究特殊的临界位置——最高点和最低点 【教学目标】 （一） 知识与技能： 1、 加深对向心力的认识，会在绳、杆两类问题中分析向心力的来源。 2、 知道两类问题的“最高点”、“最低点”临界条件。 （二） 过程与方法： 通过对几个圆周运动的事例的分析，掌握分析绳、杆问题中向心力的方法。 （三） 情感态度与价值观： 培养学生独立观察、分析问题，解决问题的能力，提高学生概括总结知识的能力。 【教学重点】绳、杆两类问题的“最高点”临界条件中向心力的分析。 【教学难点】过最高点临界条件的理解? 学情分析】通过前面知识点的学习，学生初步掌握圆周运动、向心力的相关知识，掌握了分析圆周运 动向心力来源的方法，为本节课学习做了铺垫和准备。 【教学方法】 讲授法提问法演示法 【教学用具】 黑板 多媒体 绑细线的道具小桶 【课时安排】1课时（45min ） 【教学过程】 （一）开门见山，直接导入 ［师］:前面我们通过生活中的圆周运动了解了圆周运动在生活中的联系与应用，这节课我们继续了解圆周 运动中常见的模型，其中典型的一种用绳子拉着一物体 （小球）在竖直平面内做圆周运动，这种模型叫 轻绳模型，或绳球模型。另一种是用一根杆支撑着物体在竖直面做圆周运动的，叫轻杆模型或杆球模 型。我们先了解第一种模型：轻绳模型 （说明）［师］:轻绳模型和轻杆模型都是竖直平面内的圆周运动，一般是变速圆周运动运动的速度大小和 方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向还要改变速度大小，所以一般不研究任 意位置的情况，只研究特殊的临界位置——最高点和最低点 一、轻绳模型：如图所示小球在细绳的约束下，在竖直平面内做圆周运动，小球质量为 1、在最低点时，设小球速度为 v 列小球在最低点向心力的表达式 （前面有初步了解, 请学生1回答） 最低点： 对小球受力分析，小球受到重力、绳的拉力 由牛顿第二定律得（向心力由重力 mg 和拉力T 1的合力提供） 2 得：T 1 =mg+m V1- r 在最低点拉力大于重力，速度越大，绳子拉力越大，所以在最低点绳子容易被拉断。 2、在最高点时，假设运动到最高点速度为 v,求列小球在最高点向心力的表达式（请学生 2回答） 最高点： m ,绳长为r 2 T 1-mg =m Vk r

课时分层作业50 匀速圆周运动的数学模型 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

课时分层作业(五十) 函数y ＝A sin(x ＋φ) (建议用时：60分钟) [合格基础练] 一、选择题 1．下列表示函数y ＝sin ? ????2x －π3在区间???? ??－π2，π上的简图正确的是( ) A [当x ＝π时，y ＝sin ? ???? －π3＝－32排除B 、D. 当x ＝π 6 时y ＝sin 0＝0，排除C ，故选A.] 2．把函数y ＝sin ? ? ???2x －π4的图象向左平移π8个单位长度，所得到的图象对应的 函数是( ) A ．奇函数 B.偶函数 C ．既是奇函数也是偶函数 D.非奇非偶函数 A [y ＝sin ? ????2x －π4＝sin ?????? 2? ????x －π8，向左平移π8个单位长度后为y ＝ sin ???? ?? 2? ????x －π8＋π8＝sin 2x ，为奇函数．] 3．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x ＝π 3对称；(3)在???? ?? －π6，π3上单调递增”的一个函数是( )

A ．y ＝sin ? ???? x 2＋π6 B ．y ＝cos ? ? ???2x ＋π3 C ．y ＝sin ? ?? ??2x －π6 D ．y ＝cos ? ?? ??2x －π6 C [由(1)知T ＝π＝2πω，ω＝2，排除A.由(2)(3)知x ＝π 3时，f (x )取最大值，验证知只有C 符合要求．] 4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图象如图所示，若A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2，则( ) A ． B ＝4 B ．φ＝π 6 C ．ω＝1 D ．A ＝4 B [由函数图象可知f (x )min ＝0，f (x )max ＝4. 所以A ＝4－02＝2，B ＝4＋0 2＝2. 由周期T ＝2πω＝4? ???? 5π12－π6知ω＝2. 由f ? ????π6＝4得2sin ? ???? 2×π6＋φ＋2＝4， sin ? ?? ?? π3＋φ＝1，又|φ|＜π2，故φ＝π6.] 5．已知函数f (x )＝cos ? ? ???ωx －π6(ω＞0)的相邻两个零点的距离为π2，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝cos ωx 的图象( ) A ．向右平移π 12个单位 B ．向左平移π 12个单位 C ．向右平移π 6个单位 D ．向左平移π 6个单位 A [由已知得2πω＝2×π 2，故ω＝2. y ＝cos 2x 向右平移π12个单位可得y ＝cos 2? ????x －π12＝cos ? ? ? ??2x －π6的图象．]

竖直平面内的圆周运动绳、杆模型)学校学案

竖直平面内的圆周运动杆模型） 学习目标： 1、加深对向心力的认识，会在绳、杆两类问题中分析向心力的来源。 2、知道两类问题的“最高点”、“最低点”临界条件。 注意知识点： 1、对于物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有 “最大”、“最小”、“刚好”等词语，常分析两种模型：绳模型、杆模型。两种模型过最高点的临界 条件不同，其实质原因主要是： （1）“绳”（或圆轨道内侧）不能提供支撑力，只能提供拉力。 （2）“杆”（或在圆环状细管内）既能承受压力，又能提供支撑力。 一、绳模型：如图所示小球在细绳的约束下，在竖直平面内做圆周运动，小球质量为 1、在最低点时，对小球受力分析，小球受到重力、绳的拉力。由牛顿第二定律得：向心力由重力mg和拉力F的合力提供： 2 2 F-mg=m V得：F =mg+m—R R 在最低点拉力大于重力 2、在最高点时，我们对小球受力分析如图，小球受到重力、绳的拉 力。可知小球做圆周运动的向心力由重力mg和拉力F共同提供： 2 F+mg= m —R 在最高点时，向心力由重力和拉力共同提供，v越大，所需的向心力越大，重力不变，因此大 力就越大；反过来，v越小，所需的向心力越小，重力不变，因此拉力也就越小。如果v不断减小，那么绳的拉力就不断减小，在某时刻绳的拉力F就会减小到0，这时小球的向心力最小F向=mg,这时 只有重力提供向心力。故： （1）小球能过最高点的临界条件：绳子（或轨道）对小球刚好没有力的作用，只有重力提供向心力，小球做圆周运动刚好能过最高点。 2 __________________________ mg= m - v临界=..』Rg R （2 ）小球能过最高点条件：-> .Rg （当-> ,Rg时，绳对球产生拉力或轨道对球产生压力，向心力由重力和绳的拉力共同提供） （3）不能过最高点条件：v < ■ Rg （实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道） 二、杆模型： m绳长为R, 如图，小球在轻杆的约束下在竖直平面内做匀速圆周运动，小球质量为1、在最低点时，对小球受力分析，向心力的来源是向心力由重力 2 合力提供，由牛顿第二定律得：F+mg= m R m杆长为R, mg和拉力F的 在最低点情况和绳模型一样 2、在最高点时，我们对小球受力分析如图，杆的弹力F N有可能是拉力，也可能是支持力。

高中物理 圆周运动中的“双星模型”

圆周运动中的“双星模型” 宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点O做同周期的匀速圆周运动。如图6所示，这种结构叫做双星．双星问题具有以下两个特点： ⑴由于双星和该固定点O 总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。 ⑵由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等， 由可得，可得，，即固定点O离质量大的星较近。 列式时须注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆。 【例1】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图1所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。 如图1 （1）可见星A所受暗星B的引力F A可等效为位于O点处质量为m’的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m’（用m1、m2表示）； （2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式； （3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速率v＝2．7×105m/s，运行周期T＝4．7π×104s，质量m1＝6m s，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G＝6．67×10－11N·m2/kg2，m s＝2．0×1030kg）

高考物理模型之圆周运动模型

高考物理模型之圆周运 动模型 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第二章 圆周运动 解题模型： 一、水平方向的圆盘模型 1． 如图1.01所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍，求： （1）当转盘的角速度ωμ12=g r 时，细绳的拉力F T 1。 （2）当转盘的角速度ωμ232=g r 时，细绳的拉力F T 2。 图2.01 解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为ω0，则μωmg m r =02，解得ωμ0= g r 。 （1）因为ωμω102=g r ，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力F T 2，由牛顿的第二定律得：F mg m r T 222+=μω，解得F mg T 22=μ。

2． 如图2.02所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的 A 、 B 两个小物块。A 的质量为m kg A =2，离轴心r cm 120=，B 的质量为m kg B =1，离轴心r cm 210=，A 、B 与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求： （1）当圆盘转动的角速度ω0为多少时，细线上开始 出现张力？ （2）欲使A 、B 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转 动的最大角速度为多大（ g m s =102/） 图2.02 解析：（1）ω较小时，A 、B 均由静摩擦力充当向心力，ω增大， F m r =ω2可知，它们受到的静摩擦力也增大，而r r 12>，所以A 受到的静摩擦力先达到最大值。ω再增大，AB 间绳子开始受到拉力。 由F m r fm =1022ω，得：ω011111 055===F m r m g m r rad s fm ./ （2）ω达到ω0后，ω再增加，B 增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供，A 增大的向心力靠增加拉力来提供，由于A 增大的向心力超过B 增加的向心力，ω再增加，B 所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如ω再增加，B 所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。如ω再增加，就不能维持匀速圆周运