2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)

2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i

2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（?U A）∩B的子集个数为（）

A．7 B．3 C．8 D．9

3．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D．

4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）

A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10

5．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）

2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（）

A．B．C．D．

6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2）

7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．

8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）

A．1006 B．1007 C．1008 D．1009

9．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）?（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（）A．随增大而增大B．随增大而减小

C．是2 D．是4

10．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）

A．4πB．12πC．16πD．36π

11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）

A．B．C．D．

12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y ∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（1，e]D．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则

=．

14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是．

15．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*），设，则数列{c n}的前2016项的和为．

16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），

当△APF周长最小时，其面积为．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．

（Ⅰ）求AD的长；

（Ⅱ）求cosC．

18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF 均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．

（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；

（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．

19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：

（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；

（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d 的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

经济损失不超经济损失超过合计

过

4000元

4000元

a=30b

捐款超过

500元

c d=6

捐款不超

过500元

合计

P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828附：临界值表参考公式：，．20．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x ﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．

（1）求抛物线C的方程；

（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；

（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|?|BF|的最小值．

21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．

（1）求a，b 的值；

（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；

（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．

[选修4-5：不等式选讲]

23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．

（1）求集合M；

（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．

2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i

【解答】解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，

所以z2=1﹣i，

∴z1z2=（1+i）（1﹣i）=2．

故选：A．

2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（?U A）∩B的子集个数为（）

A．7 B．3 C．8 D．9

【解答】解：由|x+1|﹣1＞0，得|x+1|＞1，即x＜﹣2或x＞0．

∴A={x|x＜﹣2或x＞0}，则?U A={x|﹣2≤x≤0}；

由sinπx=0，得：πx=kπ，k∈Z，∴x=k，k∈Z．

则B={x|sinπx=0}={x|x=k，k∈Z}，

则（?U A）∩B={x|﹣2≤x≤0}∩{x|x=k，k∈Z}={﹣2，﹣1，0}．

∴（?U A）∩B的元素个数为3．

∴（?U A）∩B的子集个数为：23=8．

故选：C．

3．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）

A．B．C．2 D．

【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为，可得周期T=π，那么ω=2，

角φ的终边经过点，在第一象限．

即tanφ=，

∴φ=

故得f（x）=sin（2x+）

则=sin（+）=cos=．

故选：A

4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）

A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10

【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，

由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，

由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，

则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50﹣12﹣12=26，故m=26

故选：B．

5．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）

2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（）

A．B．C．D．

【解答】解：不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）

2≤2表示的平面区域为Ω2，如图：

对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是可行域内的点O与圆的圆心连线减去半径，

所以，|MN|的最小值为：=．

故选：C．

6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2）

【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＞0，∴2﹣m＞0，故m＜2．

f′（x）=．

∵f（x）有两个绝对值大于1的极值点，∴m﹣x2=0有两个绝对值大于1的解，∴m＞1．

故选：D．

7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．

【解答】解：由多面体的三视图得：

该多面体为如图所示的四棱锥P﹣ABCD，

其中底面ABCD是边长为1的正方形，

平面PAD⊥平面ABCD，

点P到平面ABCD的距离为1，

∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，

∴PA==，

∴该多面体各面的面积中最大的是△PAB的面积：

S△PAB==．

故选：C．