高中数学研究性学习课题集锦

高中数学研究性学习课题集锦

一、课本知识延伸型

1、空集是一切集合的子集，但在解决关集合问题时，常常忽略这一事实。试整理这方面的各类问题。

2、整理求定义域的规则及类型（特别是复合函数的类型）。

3、求函数的值域、单调区间、最小正周期等有关问题时，往往希望将自变量在一个地方出现，所以变量集中的原则就提供了解题的方向，试研究所有与变量集中原则有关的类型（如配方法、带余除法等）。

4、总结求函数值域的有关方法，探索判别式法的一般情形——实根分布的条件用于求值域。

5、利用条件最值的几何背景进行命题演变，与命题分类。

6、回顾解指数、对数方程（不等式）的化归实质（利用外层函数的单调性去掉两边的外层函数的符号），我们称之为“给函数更衣”，于是我们可以随心所欲地将方程（不等式）进行演变。你能利用这一点编拟一些好题吗。

7、探求“反函数是它本身”的所有函数。从而可解决一类含抽象函数的方程，概括所有这种方程的类型。

8、在原点有定义的奇函数，其隐含条件是f(0)=0,试以这一事实编拟、演变命题。

9、把两面镜子相对而立，若你处于其中，将看到许多肖像位置呈现出周期性，你能把这一事实数学化吗？若把轴对称改为中心对称又怎么结论？

10、对于含参数的方程（不等式），若已知解的情况确定参数的取值范围，我们通常用函数思想及数形结合思想进行分离参数，试概括问题的类型，总结分离参数法。

11、改变含参数的方程（不等式）的主元与参数的地位进行命题的演变。探索换主元的功能。

12、数形结合是数学中的重要的思想方法之一，而单位圆中的三角函数线却被人们所遗忘，试探它在解决三角问题中的数形结合功能。

13、整理三角代换的的类型，及其能解决的哪几类问题。

14、一个三角公式不仅能正用，还需会逆用与变用，试将后者整理之。

15、三角形的形状判定中，对于含边角混合关系的条件，利用正、余弦定理总有两种转化，即转化为角关系或边关系，探索其中一种对另一种解法的启示功能。

16、一个数学命题若从正面入手分类情况较多，运算量较大，甚至无法求解，此时不妨考虑其反面进行求解得解集，然后再取其补集即得原命题的解。我们把它称为“补集法”，试整理常见的类型的补集法。

17、概括使用均值不等式求最值问题中的“凑”的技巧，及拆项、添项的技巧。

18、观察式子的结构特征，如分析式子中的指数、系数等启示证题的的方向。

19、探求一些著名不等式（如柯西不等式、排序不等式等）和多种证法，寻找其背景以加深对不等式的理解。

20、整理常用的一些代换（三角代换、均值代换等），探索它在命题转化中的功能。

21、考虑均值不等式的变换，及改变之后的不等式的背景意义。

22、分母为多项式的轮换对称不等式，由于难以参于通分，证明往往较难。探求一种代换，将分母为多项式的转化为单项式。

23、关于数学知识在物理上的应用探索

24、对于数学的公式，我们应当做到三会：即正用、变用和逆用。如解几中有许多公式如两点距离、点到直线距离公式，定比分点、斜率公式等，考虑其逆用，就可得到构造法证题，试研究解几中的各种公式逆用，以充实构造法证明。

25、我们对待任何问题（包括解决数学问题）往往用自己的审美意识去审视，以调节自己的行动计划。在解几中探索与搜集以美的启迪思维的题材，加以整理与综合研究。

26、整理解几中常常被人忽视和特例而使问题的解决不完整的有素材，如用点斜式而忽视斜率存在，截距式而忽视截距为零等。

27、利用角参数与距离参数的相互转化以实现命题的演变，达到以点带面，触类旁通的目的。

28、研究求轨迹问题中的坐标转移法与参数法的相互联系。

29、关于斜率为1的特殊直线的对称问题的简捷解法中，概括出适用范围更加广阔的解题策略。

30、解决椭圆问题不如圆容易，能否使问题化归，即椭圆问题的圆化处理，进而研究圆锥曲线（包括其退化情形如两条相交线，平行线等）的圆化处理。

31、整理与焦半径有关的问题，并将之“纯代数化”，进而研究其“纯代数解法”，从中探索新方法。

32、把点差法解中点弦问题进行推广，使之能解决“定比分点弦”问题。

33、在定比分点公式、弦长公式、点到直线的距离公式的推导过程中隐含着“射影思想”，扩大这思想在解几中的地位或功能。

34、与中点弦有关的圆锥曲线中的参数范围确定问题，往往需要建立不等式进行求解，各种方法中以点在曲线内部条件为隹。试将这方法推广到定比分点弦的情形。

35、平几中证点共线、线共点往往较难，通常出现在竞赛中。而立几中的这类问题却是非简

单，主要的依据仅仅是平面的基本性质：两个平面的公共点共线。可否将平几问题的这类问题进行升维处理。即把它转化为立几问世题加以解答。

36、用运变化的观点对待数学问题，将会发现问题的实质及问题之间的联系，但对于立几中的这方面还显得不够，可以通过整理、收集这方面的材料加以综合研究。

37、作为降维处理的一个例子：可考虑异面直线距离的几种转化，如转化为线面距、点线距、面面距等。

38、异面直线的距离是：异面直线上两动点的连线中最短的线段长度。所以可以用函数的观点来解决。即建立一个两动点的距离函数，利用求函数的最小值达到目的。

39、立几中的许多问题可化归为确定点在平面内的射影位置。如点面距、点线距、体积等。于是确定点在平面内的射影显得非常重要，试给出一种通用方法进行确定。

40、等积变换在立几中大显上内身手，而非等积变换是它的一般情形，作用更大，却被人们所忽视。利用非等积变换能解决求体积、求距离、证明位置关系等问题。试利用类比平几的相应方法探索之。

二、生活应用型（需要学生自己动手去有关部门搜集和整理原始资料）

1、银行存款利息和利税的调查

2、购房贷款决策问题

3、有关房子粉刷的预算

4、关于数学知识在物理上的应用探索

5、投资人寿保险和投资银行的分析比较

6、编程中的优化算法问题

7、余弦定理在日常生活中的应用

8、证券投资中的数学

9、环境规划与数学

10、如何计算一份试卷的难度与区分度

11、中国体育彩票中的数学问题

12、“开放型题”及其思维对策

13、中国电脑福利彩票中的数学问题

14、城镇/农村饮食构成及优化设计

15、如何安置军事侦察卫星

16、如何存款最合算

17、哪家超市最便宜

18、数学中的黄金分割

29、通讯网络收费调查统计

20、数学中的最优化问题

21、水库的来水量如何计算

22、计算器对运算能力影响

23、统计铜陵市月降水量

24、出租车车费的合理定价

25、购房贷款决策问题

26、设计未来的中学数学课堂

27、电视机荧屏曲线的拟合函数的分析

28、用计算机软件编制数学游戏

29、制作一个数学的练习与检查反馈软件

30、制作较为复杂的数据统计表格与分析软件

31、制作一个中学生数学网站

32、如何计算一份试卷的难度与区分度

33、多媒体辅助教学在数学教学中的作用调查

34、零件供应站(最省问题)

35、拍照取景角最大问题

36、当地耕地而积的变化情况，预测今后的耕地而积

37、衣服的价格、质地、品牌，左右消费者观念多少？

38、如何提高数学课堂效率

39、数学的发展历史

40、“开放型题”及其思维对策

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高中数学知识点总结(精华版)

高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 .

2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念

1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设

高一数学创新题型探究

高一数学创新题型探究 贵州 洪其强 一、建构数列型 数列作为特殊的函数，在高考数学中占有相当重要的位置，主要涉及增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，建立起等差、等比、或递推数列的模型来解题． 例1 （2003年朝阳区高三统一练习（二））2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化. （Ⅰ）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为10 4 1= a ，经过n 年后绿化的面积 为,1+n a 试用n a 表示1+n a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的第1+n 项1+n a ； 解析：（Ⅰ）设现有非绿化面积为1b ，经过 n 年后非绿化面积为.1+n b 于是 .1,111=+=+n n b a b a 依题意：1+n a 是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积n a 减去被 非绿化部分 n a 1002 后剩余的面积n a 10098，另一部分是新绿化的面积.1008n b 于 是1+n a =n a 10098+.1008n b =n a 10098+.25 2109)1(1008+=-n n a a （Ⅱ）1+n a = ,252109+n a 1+n a －54=－).54(109-n a , 数列}54 {-n a 是公比为,10 9首项5254104541-=-=-a 的等比数列. n n a )10 9)(52(541-+=∴+ 二、信息迁移型 信息迁移题指的是不便于直接运用所学数学知识解决问题，而需要从所给材料中获取信息，并用于新问题解决的一类问题．这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体． 信息迁移型题可分为定义信息型、图表信息型、 图形图像信息型等. 1．定义信息型 例2 （2001上海22）对任意函数f (x ), x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1=f (x 0)； ②若x 1?D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2=f (x 1)，并依此规律继续下去.现定义1 2 4)(+-= x x x f （1）若输入x 0= 65 49 ，则由数列发生器产生数列{x n }，请写出{x n }的所有项； （2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值；

高一数学必修一易错题集锦答案

高一数学必修一易错题集锦答案 1. 已知集合M={y |y =x 2 ＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ） 解：M={y |y =x 2 ＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }． ∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2 ＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2 ＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的． 2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2} 3 。已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个) 解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z , ∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。 4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围． 解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3 ②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2. 由①、②得：p≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2 }．若A=B ，求c 的值． 分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． （1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2 －2ac=0， a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c 2 －2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2 －ac －a=0， ∵a≠0，∴2c 2 －c －1=0， 即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－ 21． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则 a -11∈A ，1≠a 且1?A. ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若a∈A，证明：1－ a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.

高考数学常用公式及结论200条(一)【天利】

高考数学常用公式及结论200条（一） 湖北省黄石二中 杨志明 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11()f x N M N > --. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}m i n m a x m a x ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(), ()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}m i n () m i n ( ),() f x f p f q = ，若

高二会考数学重点知识点梳理五篇

高二会考数学重点知识点梳理五篇 高二会考数学知识点1 空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行. 线线平行线面平行 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行 (2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行

(线面平行→面面平行), (2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行. (线线平行→面面平行), (3)垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.(面面平行→线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(面面平行→线线平行) 高二会考数学知识点2 导数是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x 在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f(x0)或df(x0)/dx。 导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的

线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。 不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。 对于可导的函数f(x)，x?f(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也****于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。 高二会考数学知识点3 第一章：集合和函数的基本概念，错误基本都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就是五分没了。次一级的知识点就是集合的韦恩图，会画图，集合的“并、补、交、非”也就解决了，还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.

高中数学《新课程标准》考试试题及答案(一)

高中数学《新课程标准》考试试题及答案（一） 一、选择题（共10题） 1.高中数学课程在情感、态度、价值观方面的要求下面说法不正确的是(D ) A.提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心 B.形成锲而不舍的钻研精神和科学态度 C.开阔数学视野，体会数学的文化价值 D.只需崇尚科学的理性精神 2.《高中数学课程标准》在课程目标中提出的基本能力是(B ) A.自主探究、数据处理、推理论证、熟练解题、空间想象 B.运算求解、数据处理、推理论证、空间想象、抽象概括 C.自主探究、推理论证、空间想象、合作交流、动手实践 D.运算求解、熟练解题、数学建模、空间想象、抽象概括 3.高中数学新课程习题设计需要( C) A.无需关注习题类型的多样性，只需关注习题功能的多样性 B.只需关注习题类型的多样性，无需关注习题功能的多样性 C.既要关注习题类型的多样性，也要关注习题功能的多样性 D.无需关注习题类型的多样性，也无需关注习题功能的多样性 4.下面关于高中数学课程结构的说法正确的是( D) A.高中数学课程中的必修课程和选修课程的各模块没有先后顺序的必要 B.高中数学课程包括4个系列的课程 C.高中数学课程的必修学分为16学分 D.高中数学课程可分为必修与选修两类 5.在教学中激发学生的学习积极性方法说法正确的是(B ) A.让学生大量做题，挑战难题 B.创设问题情境，让学生有兴趣、有挑战 C.让学生合作交流讨论、动手操作、有机会板演讲解 D.通过数学应用的教学使学生了解数学在现实生活中的作用和意义 6.要实现数学课程改革的目标，关键是依靠( A) A.学生 B.教师 C.社会 D.政府领导 7.在新课程中教师的教学行为将发生变化中正确的是( A)

2014高考数学难题集锦(一)含详细答案及评分标准

2014高考数学难题集锦(一) 1、已知集合，若集合，且对任意的，存在 ，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底. （Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由； ①，； ②，. （Ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：； （Ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的 一个基底. 2、设函数 （1）若关于x的不等式在有实数解，求实数m的取值范围； （2）设，若关于x的方程至少有一个解，求p 的最小值. （3）证明不等式： 3、设，圆：与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为， 直线与轴的交点为． （1）用表示和; （2）求证:;

（3）设,,求证:． 4、数列，（）由下列条件确定：①；②当时，与满足：当 时，,；当时，，. （Ⅰ）若，，写出，并求数列的通项公式； （Ⅱ）在数列中，若(,且)，试用表示； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列满足，， (其中为给定的不小于2的整数)，求证：当时，恒有. 5、已知函数f（x）是定义在[-e,0）∪（0,e]上的奇函数，当x∈（0,e],f（x）=ax+lnx（其中e是自然对数的底数，a∈R） （1）求f（x）的解析式； （2）设g（x）=,x∈[-e,0）,求证：当a=-1时，f（x）>g（x）+; （3）是否存在实数a，使得当x∈[-e,0）时f（x）的最小值是3 如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由． 6、（理）对数列和，若对任意正整数，恒有，则称数列是数列的“下界数列”. （1）设数列，请写出一个公比不为1的等比数列，使数列是数列的“下界数列”； （2）设数列，求证数列是数列的“下界数列”； （3）设数列，构造

最全高中数学知识点总结(最全集)

最全高中数学知识点总结（最全集） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。

高考数学创新题型精选

2007年高考数学创新题型精选 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（06年山东）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为( ) A ．0 B.6 C.12 D.18 2．（06年辽宁卷）设○ +是R 上的一个运算, A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○ +封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是（ ） A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集 3．(05天津)从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22 221x y m n +=方程中的m 和n ，则能组 成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是（ ） A. 43 B. 72 C. 86 D. 90 4．（05福建）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6） 内解的个数的最小值是 （ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5．(06上海卷)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ） A.48 B. 18 C. 24 D.36 6．点P 到点A(21，0)，B(a ，2)及到直线x ＝－2 1 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 ( ) A. 21 B.23 C.21或23 D.－21或2 1 7．如果 二次方程 x 2 -px-q=0(p,q∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程 有 （ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 8. 设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （ ） A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个 9。（05全国Ⅲ）计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母 A .6E B. 72 C .5F D. B0 10．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ ABc PBC S S ??， λ2＝ABC PCA S S ??， λ3＝ ABC PAB S S ??，定义f (P)=(λ1, λ, λ3),若G 是△ABC 的重心，f (Q)＝（21，31，6 1 ），则 （ ） A. 点Q 在△GAB 内 B. 点Q 在△GBC 内 C. 点Q 在△GCA 内 D. 点Q 与点G 重合 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。类比上述性质，请叙述在立体几何中相应地特性，并画出图形。不必证明。 类比性质叙述如下 ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 12．规定记号“?”表示一种运算，即+∈++=?R b a b a b a b a 、，. 若31=?k ，则函数()x k x f ?=的

历年高考数学压轴题集锦

高考数学压轴题集锦 1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0OP OQ ?=，求直线PQ 的方程； （3）设AP AQ λ=（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证 明FM FQ λ=-. (14分) 2． 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。 （1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。 （2） 证明)(x f 是偶函数。 （3） 试问方程01 log )(4=+x x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。 3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2 2 =-+y x 。 （1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g （3） 过轨迹E 上一点P 点P 的坐标及S

4.以椭圆2 22y a x +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试 判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 6 已知过函数f （x ）=12 3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。 （1） 求a 、b 的值； （2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； （3） 令()()132 ++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有 最大值1？ 7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→ → ?PN PM 的等比中项。 （1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线； （2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程。 8．已知数列{a n }满足a a a a b a a a a a a a n n n n n n +-=+=>=+设,2),0(322 11 （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与 8 7 的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围； （Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程． 10. )(x f 对任意R x ∈都有.2 1)1()(= -+x f x f

高中数学常用二级结论

高中数学常用二级结论 1.任意的简单n 面体内切球半径为 表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为2 00))(())((r b y b y a x a x =--+-- ②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ④抛物线)0(22 >=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ⑤二次曲线的切点弦方程为02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =-

高三数学知识点重难点梳理最新5篇

高三数学知识点重难点梳理最新5篇 与高一高二不同之处在于，高三复习知识是为了更好的与高考考纲相结合，尤其水平中等或中等偏下的学生，此时需要进行查漏补缺，但也需要同时提升能力，填补知识、技能的空白。 高三数学知识点总结1 1.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+(n-1)d. 3.等差中项 如果A=(a+b)/2，那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n，m∈N_. (2)若{an}为等差数列，且m+n=p+q， 则am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N_. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N_是公差为md的等差数列. (4)数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列.

(5)S2n-1=(2n-1)an. (6)若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2; 若n为奇数，则S奇-S偶=a中(中间项). 注意： 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式： Sn=a1+a2+a3+…+an，① Sn=an+an-1+…+a1，② ①+②得：Sn=n(a1+an)/2 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元. (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 四种方法 等差数列的判断方法 (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数; (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N_都成立; (3)通项公式法：验证an=pn+q; (4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn. 注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明

高考数学创新题型

题型训练四 创新题型 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（06年山东）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为( ) A ．0 B.6 C.12 D.18 2．（06年辽宁卷）设○ +是R 上的一个运算, A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○ +封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是（ ） A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集 3．(05天津)从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22 221x y m n +=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是（ ） A. 43 B. 72 C. 86 D. 90 4．（05福建）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0 在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5．(06上海卷)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ） A.48 B. 18 C. 24 D.36 6．点P 到点A( 21，0)，B(a ，2)及到直线x ＝－2 1 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 ( ) A. 21 B.23 C.21或23 D.－21或2 1 7．如果二次方程 x 2 -px-q=0(p,q∈N*) 的正根小于3, 那么这 样的二次方程有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 8. 设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （ ） A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个 9。（05全国Ⅲ）计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A .6E B. 72 C .5F D. B0 10．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ ABc PBC S S ??， λ2＝ABC PCA S S ??， λ3＝ ABC PAB S S ??，定义f (P)=(λ1, λ, λ3),若G 是△ABC 的重心，f (Q)＝（21，31，6 1 ），则 （ ） A. 点Q 在△GAB 内 B. 点Q 在△GBC 内

高中数学经典高考难题集锦(解析版)

2015年10月18日杰的高中数学组卷 一．解答题（共10小题） 1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B． （1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值； （2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程． 2．（2010?模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S． （Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域； （Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值． 3．（2013?越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程． 4．（2013?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 5．（2009?）（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标． （2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数）试判断他们的公共点个数； （3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1． 6．（2009?东城区一模）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A （﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C； （Ⅱ）当时，求直线l的方程； （Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．

高中数学常用结论集锦

1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 2U U A B A A B B A B C B C A =?=???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 3. 若Ａ={123,,n a a a a },则Ａ的子集有2n 个,真子集有(2n －1)个,非空真子集有(2n －2)个 4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式 2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 三次函数的解析式的三种形式①一般式32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠ ②零点式123()()()()(0)f x a x x x x x x a =---≠ 5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6.函数()y f x =的图象的对称性: ①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-= ②函数()y f x =的图象关于直2 a b x +=对称()()f a x f b x ?+=-()()f a b x f x ?+-=. ③函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ?=-- 函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ? =-- 7.两个函数图象的对称性: ①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m += 对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数)(x f y =和)(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 8.分数指数幂 m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. 1 m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 9. log (0,1,0)b a N b a N a a N =?=>≠>. log log log a a a M N MN +=(0.1,0,0)a a M N >≠>> log log log a a a M M N N -=(0.1,0,0)a a M N >≠>>

高中必修二数学知识点全面总结

第1章 空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 222r rl S ππ+=

2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形， 锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2