初中圆的考点讲解
第十二章圆
考点一、圆的相关概念（3分）
1、圆的定义
在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随
之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示
以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”
考点二、弦、弧等与圆有关的定义（3分）
（1）弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）
（2）直径
经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）
直径等于半径的2倍。
（3）半圆
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（4）弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）
考点三、垂径定理及其推论（3分）
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：
过圆心
垂直于弦
直径平分弦知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
考点四、圆的对称性（3分）
1、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（3分）
1、圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弦心距
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
考点六、圆周角定理及其推论（3~8分）
1、圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2、圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
考点七、点和圆的位置关系（3分）
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
d d=r?点P在⊙O上； d>r?点P在⊙O外。 考点八、过三点的圆（3分） 1、过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件） 圆内接四边形对角互补。 考点九、反证法（3分） 先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。 考点十、直线与圆的位置关系（3~5分） 直线和圆有三种位置关系，具体如下： （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么： 直线l与⊙O相交?d 直线l与⊙O相切?d=r； 直线l与⊙O相离?d>r； 考点十一、切线的判定和性质（3~8分） 1、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。 考点十二、切线长定理（3分） 1、切线长 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 2、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 考点十三、三角形的内切圆（3~8分） 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 考点十四、圆和圆的位置关系（3分） 1、圆和圆的位置关系 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。 2、圆心距 两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3、圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么 两圆外离?d>R+r 两圆外切?d=R+r 两圆相交?R-r 两圆内切?d=R-r（R>r） 两圆内含?d 4、两圆相切、相交的重要性质 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 考点十五、正多边形和圆（3分） 1、正多边形的定义 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2、正多边形和圆的关系 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 考点十六、与正多边形有关的概念（3分） 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 考点十七、正多边形的对称性 （3分） 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 考点十八、弧长和扇形面积 （3~8分） 1、弧长公式 n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180 r n l π= 2、扇形面积公式 lR R n S 2 13602==π扇 其中n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。 3、圆锥的侧面积 rl r l S ππ=?=22 1 其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。 1、相交弦定理 ⊙O 中，弦AB 与弦CD 相交与点E ，则AE ?BE=CE ?DE 2、弦切角定理 弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。 弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。 即：∠BAC=∠ADC 3、切割线定理 PA 为⊙O 切线，PBC 为⊙O 割线， 则PC PB PA ?=2 圆的方程 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程. 2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 【要点梳理】 【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】 要点一：圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径. 要点诠释： (1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是2 2 2 x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时： ||||a b r ==；过原点：222a b r += (2)圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-=?圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 要点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为2 2 2 ()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有 (1)若点()00M x y ，在圆上()()2 2 200||CM r x a y b r ?=?-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()2 2 200||CM r x a y b r ?>?-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()2 2 200||CM r x a y b r ?时，方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ?? - - ?? ?为圆心， 为半径. 要点诠释： 由方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=得22 224224D E D E F x y +-? ???+++= ? ?? ??? (1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =- =-.它表示一个点(,)22 D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 2021届高考数学（理）考点复习 圆的方程 圆的定义与方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准 式 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0) 圆心为(a ，b ) 半径为r 一 般 式 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 充要条件：D 2＋E 2－4F >0 圆心坐标：????－D 2，－E 2 半径r ＝1 2 D 2＋ E 2－4F 概念方法微思考 1．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？ 提示 ???? ? A ＝C ≠0， B ＝0， D 2＋ E 2－4A F >0. 2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？ 提示 点和圆的位置关系有三种． 已知圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)， (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2 ， 半径为1的圆经过点(3,4)，可得该圆的圆心轨迹为(3,4)为圆心，1为半径的圆， 故当圆心到原点的距离的最小时， 连结OB ，A 在OB 上且1AB =，此时距离最小， 由5OB =，得4OA =， 即圆心到原点的距离的最小值是4， 故选A ． 2．（2018?天津）在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为__________． 【答案】22(1)1x y -+=（或2220)x y x +-= 【解析】【方法一】根据题意画出图形如图所示， 结合图形知经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆， 其圆心为(1,0)，半径为1， 则该圆的方程为22(1)1x y -+=． 【方法二】设该圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 则0 42020F D F D E F =?? ++=??+++=? ， 解得2D =-，0E F ==； ∴所求圆的方程为2220x y x +-=． 故答案为：22(1)1x y -+=（或2220)x y x +-=． 高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 圆的方程 【考纲要求】 1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程， 2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程. 3.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径； 4.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 【知识网络】 【考点梳理】 【高清课堂：圆的方程405440 知识要点】 考点一：圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径. 要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222 x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：2 2 2 a b r +=. (2)圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-=?圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 考点二：圆的一般方程 当2 2 40D E F +->时，方程22 0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ?? - - ?? ? 为圆心，. 圆的方程 圆的一般方程 简单应用 圆的标准方程 点与圆的关系 要点诠释：由方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=得22 224224D E D E F x y +-? ???+++= ? ?? ??? (1)当22 40D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =- =-.它表示一个点(,)22 D E --. (2)当2 2 40D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)当22 40D E F +->时，可以看出方程表示以,2 2D E ?? -- ???. 考点三：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有 (1)若点()00M x y ，在圆上()()2 2 2 00||CM r x a y b r ?=?-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()2 2 2 00||CM r x a y b r ?>?-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()2 2 2 00||CM r x a y b r ? 第四章圆与方程 4．1 圆的方程 4．1.1 圆的标准方程 1．以(3，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为() A．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－3)2＋(y＋1)2＝16 D．(x＋3)2＋(y－1)2＝16 2．一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为() A．(1,0)，4 B．(－1,0)，2 2 C．(0,1)，4 D．(0，－1)，2 2 3．圆(x＋2)2＋(y－2)2＝m2的圆心为________，半径为________． 4．若点P(－3,4)在圆x2＋y2＝a2上，则a的值是________． 5．以点(－2,1)为圆心且与直线x＋y＝1相切的圆的方程是____________________．6．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为() A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 7．一个圆经过点A(5,0)与B(－2,1)，圆心在直线x－3y－10＝0上，求此圆的方程．8．点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是() A．|a|＜1 B．a＜1 13 C．|a|＜1 5 D．|a|＜1 13 9．圆(x－1)2＋y2＝25上的点到点A(5,5)的最大距离是__________． 10．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为2 3，求a的值． 4.1.2 圆的一般方程 1．圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心坐标是________． 2．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F ＝________. 3．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．k >1 B ．k <1 C ．k ≥1 D ．k ≤1 4．已知圆的方程是x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0，则下列直线中通过圆心的是( ) A ．3x ＋2y ＋1＝0 B ．3x ＋2y ＝0 C ．3x －2y ＝0 D ．3x －2y ＋1＝0 5．圆x 2＋y 2－6x ＋4y ＝0的周长是________． 6．点(2a,2)在圆x 2＋y 2－2y －4＝0的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－1 专题复习――圆与方程教材梳理 ?知识点一圆的方程 1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(C(a,b)为圆心,r为半径) 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是:x2+y2=r2 2.圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0） D E 其中圆心C(-,-)，半径r= 22D2+E2-4F 2 求圆的方程的主要方法有两种：一是定义法，二是待定系数法 定义法：是指用定义求出圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程； 待定系数法：即列出关于D,E,F的方程组，求D,E,F而得到圆的一般方程，步骤为： (1)根据题意，设所求的圆的标准方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 (2)根据已知条件，建立关于D,E,F的方程组； (3)解方程组。求出D,E,F的值，并把它们代人所设的方程中去，就得到所求圆的 一般方程． ?知识点二点和圆的位置关系 3.点和圆的位置关系给定点M(x,y)及圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2 00 ①M在圆C内?(x-a)2+(y-b)2 直线与圆的位置关系判断方法 (1)几何法:由圆心到直线的距离d和圆r的半径的大小关系来判断 ①d=r时，l与C相切；②d 专题30圆的方程 一、 考纲要求： 1. 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 2. 初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 二、 概念掌握和解题上注意点 ： 1. 求圆的方程的两种方法 1直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 2待定系数法： ① 若已知条件与圆心 a , b 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关 于a , b , r 的方程组，从而求出 a , b , r 的值. ② 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D, E , F 的方程组，进而求出 D, E , F 的值. 2. 与圆有关的最值问题的三种几何转化法 v — b 1形如口= 形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题 x — a 2形如t = ax + by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题 3形如 m= x — a 2+ y — b 2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方 的最值问题. 3. 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 1) 直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解 2) 定义法：根据圆的定义列方程求解 . 3) 几何法：利用圆的几何性质得出方程求解 . 4) 代入法 相关点法 ：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 求解. 三、 高考考题题例分析 与该圆相交于A , B 两点，则△ ABC 的面积为 【答案】 例1. (2020天津卷) 已知圆x 2+y 2 - 2x=0的圆心为 C ,直线 ,(t 为参数) 【解析】；圆梓诺-2E 化为标准方程是(x-1):坪也 圆心为C <1, 0)」半径Ej 化为普通方?S K +Y-2=0, t 1 A-2X 2 -\AABC 的面积为 S=l.|AB|.d=i 2 故答叫? 例2. (2020江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线I : y=2x 上在第一象限内的点， B(5, 0)，以AB 为直径的圆C 与直线I 交于另一点D.若1=0,则点A 的横坐标为 ________________ . 【答案】3 【解析】：设A ( a , 2a ), a >0, ??? B (5, 0), ??? C ( ' , a ), 2 则圆 C 的方程为(x - 5) (x - a ) +y (y - 2a ) =0. 、Cx-5) (x-a)+y (y-2a)=C 联立 ，解得D (1, 2). 屁厉二(5-& -2a>〔音L 2-Q 茲辿乜宀削 2 _ 2 = . 解得：a=3或a= - 1. 又 a > 0, ? a=3. 即A 的横坐标为3. 故答案为：3. 例3.(2020高考山东卷)一条光线从点 2, 3射出，经y 轴反射后与圆 直线 y= L 则圆心f 到该宜线的距离为d Jl±0z2j_j/l ? ■二 2 裁 Lx 逅X 唾丄? 2 2 2 V2 圆的方程 【考点梳理】 1. 圆的定义和圆的方程 2. 点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)d>r?M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圆外； (2)d＝r?M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圆上； (3)d [答案] C [解析] 法一：由x 2＋y 2－6x ＝0得(x －3)2＋y 2＝9. ∴r 2＝9，r ＝3，则圆面积为S ＝πr 2＝9π，故选C. 法二：∵r ＝1 2D 2＋E 2－4F ＝1 2(－6)2＋02－4×0＝3. ∴圆的面积为S ＝πr 2＝9π，故选C. 3．(必修2 P 123练习T 2(3)改编)若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．4 [答案] B [解析] 由r ＝12D 2＋E 2－4F ＝1 24a 2＋4b 2＝2得 a 2＋b 2＝2. ∴点(a ，b )到原点的距离d ＝a 2＋b 2＝2，故选B. 4．(必修2 P 119例2改编)过点A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)的圆的面积为( ) A ．15π B ．20π C ．25π D ．30π [答案] C [解析] 由题意得线段AB 的中垂线方程为x －2y －8＝0，① 线段BC 的中垂线方程为x ＋y ＋1＝0，② 将①②联立解得??? x ＝2y ＝－3，∴过三点A ，B ，C 圆的圆心坐标为(2，－3)，则该 圆的半径为r ＝5，∴该圆的面积S ＝πr 2＝25π，故选C. 5．(必修2 P 124B 组T 3改编)已知A (－1,0)，B (2,0)，动点C 满足|CA |＝2|CB |，则△ABC 面积的最大值是( ) 考点41 圆的方程 【思维导图】 【常见考法】 考点一 圆的方程 1．圆心为()3,1，半径为5的圆的标准方程是 。 【答案】()()2 2 3125x y -+-= 【解析】∵所求圆的圆心为()3,1，半径为5，∴所求圆的标准方程为：()()2 2 3125x y -+-=， 2．已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ?外接圆的圆心坐标为 【答案】()5,2 【解析】线段AB 中点坐标为()2,5，线段AB 斜率为64 131 -=-，所以线段AB 垂直平分线的斜率为1-，故线段AB 的垂直平分线方程为()52y x -=--，即7y x =-+. 线段AC 中点坐标为()2,3，线段AC 斜率为 60331-=-，所以线段AC 垂直平分线的斜率为1 3 -，故线段AC 的垂直平分线方程为()1 323y x -=--，即11133 y x =-+. 由7 5111233y x x y y x =-+?=?? ??? ==-+??? .所以ABC ?外接圆的圆心坐标为()5,2. 3．方程x 2 ＋y 2 ＋ax ＋2ay ＋2a 2 ＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是 【答案】－2解得223a -<<. 考法二 点与圆的位置 关系 1．点()1,1在圆()2 211x y +-=的（ ） A ．圆上 B ．圆内 C ．圆外 D ．无法判定 【答案】A 【解析】将点()1,1的坐标代入圆()2 211x y +-=的方程即()2 21111+-=，∴点()1,1在圆()2 211x y +-=上， 2．经过点(1,2)A 可做圆2 2 240x y mx y ++-+=的两条切线，则m 的范围是（ ） A ．(,(23,)-∞-+∞ B ．(5,(23,)--+∞ C ．(,)-∞-?+∞ D ．(5,(22,)--+∞ 【答案】B 【解析】圆2 2 240x y mx y ++-+=，即为222 ()(1)324m m x y -+-= -，2304 m ∴- >?m < -m >由题意知点A 在圆外，14440m ∴++-+>，解得5m >-． 所以5m -< <-m >故选B 3．若坐标原点在圆2 2 2 22240x y mx my m +-++-=的内部，则实数m 的取值范围是（ ） 圆的方程知识点总结和经典例题 (1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程． (2)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一条件． 2．点与圆的位置关系 点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2 ＜r 2. 3．直线与圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系的判断方法 设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)， 圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， d 为圆心(a ，b )到直线l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 1．几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． 2．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． （2）过一点的圆的切线方程的求法 1．当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程． 2．若点在圆外时，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在． （3）求弦长常用的三种方法 1．利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系r 2＝d 2＋? ???? l 22 解题． 2．利用交点坐标 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 3．利用弦长公式 设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆的两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ (1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]. 4. 圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法 设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O ：(x －a 2＋(y －b 2＝r 2 两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径； 考点48 圆的方程 1．（广东省2019届高考适应性考试理）若向量a ，b ，c 满足a b ≠，0c ≠，且()() 0c a c b -?-=，则 a b a b c ++-的最小值是（ ） A ．3 B ．22 C ．2 D ． 3 2 【答案】C 【解析】 设向量a OA =，b OB =，c OC =,则由()() 0c a c b -?-=得0AC BC ?=,即C 的轨迹为以AB 为直径的圆，圆心为AB 中点M ，半径为1||2 AB ， 因此11 ||||||(||)||22 c OC OM r OA OB AB =≤+= ++ 1111 (||)(||)(||)(||)2222 OA OB OA OB a b a b =++-=++- 从而 2a b a b c ++-≥，选C. 2．（河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测数学理）设是圆 上的点， 直线与双曲线： 的一条斜率为负的渐近线平行，若点到直线距离的最大值为 8，则（ ） A ．9 B ． C ．9或 D ．9或 【答案】C 【解析】 因为双曲线的一条斜率为负的渐近线的斜率为， 所以，解得 . 圆 的圆心坐标是 ，半径为 ， 因为圆心 到直线 距离为 ， 所以点到直线距离的最大值为 ， 解得或. 当时，； 当时，. 综上，或.故选. 3．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）过双曲线的右支上一点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，则的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】 圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为， 设双曲线的左右焦点为，， 连接，，，，可得 ． 当且仅当为右顶点时，取得等号， 即最小值5． 故选：． 圆的方程 【学习目标】 1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程. 2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 【要点梳理】 【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】 要点一：圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径. 要点诠释： (1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是2 2 2 x y r +=.有关图形特征与方程的转化： 如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时： ||||a b r ==；过原点：222 a b r += (2)圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-=?圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 要点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为2 2 2 ()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有 (1)若点()00M x y ，在圆上()()22 2 00||CM r x a y b r ?=?-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()22 2 00||CM r x a y b r ?>?-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()22 2 00||CM r x a y b r ?时，方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ?? - - ?? ?为圆心， 为半径. 要点诠释： 由方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=得22 224224D E D E F x y +-? ???+++= ? ?? ??? (1)当22 40D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =- =-.它表示一个点(,)22 D E --. (2)当2 2 40D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 圆的方程知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、基本概念轨 迹）叫圆. 平面内到定点的距离等于长的点的集 二、基本性质、定理与公式 1.圆的四种方程 （1）圆的标准方程：（x a) 2 (y b)2 r 2，圆心坐标为(a,b) ， 半径为r(r 0) （ 2 ）圆的一般方程：x 2 y2 Dx Ey F 0(D 2 E24F0)，圆心坐标为D,E 22 半径r D 2 E 2 4F 2 (x x1)(x x2) (y y1)(y y2) 0 4）圆的参数方程： 3）圆的直径式方程若A(x1, y1),B(x2,y2)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ①x222 y2 r2（r 0）的参数方程为x r cos y rsin 为参数）； 2 2 2 ② (x a) 2 (y b)2 r 2 (r 0) 的参数方程为x a r cos y b r sin 为参数） 注对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(a r cos ,b r sin ) ( 为 参数，（a,b）为圆心，r 为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值. 2.点与圆的位置关系判断 （1）点P（x0,y0）与圆 （x a)2 22 （y b）2 r 2的位置关系： ①(x a)2(y b)2 r 2点P 在圆外； ②(x a)2(y b)2 r 2点P 在圆上； ③(x a)2(y b)2 r 2 点P在圆内. （2）点P（x0,y0）与圆 x2y 2 Dx Ey F 0 的位置关系 ① x022 y02Dx0Ey0F 0点P 在圆外； ② x02 2 y Dx0Ey0 F0 点P 在圆上； ③ x022 y 0Dx0Ey0F0点P 在圆内. 圆的方程知识点总结和经典例题 (1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程． (2)对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件．2．点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： (1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. (2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. 3．直线与圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系的判断方法 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 2．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线 与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．（2）过一点的圆的切线方程的求法 1．当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率， 用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程． 2．若点在圆外时，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出 的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在． （3）求弦长常用的三种方法 1．利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系r 2＝d 2 ＋? ????l 22解题． 2．利用交点坐标 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 3．利用弦长公式 设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆的两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝ 1＋k 2| x 1－x 2 ＝ (1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]. 4. 圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法 设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 222 两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径； (2)计算两圆圆心的距离d ； (3)通过d ，r 1＋r 2， r 1－r 2 的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． 2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系． （2）两圆相交有关问题 1．圆系方程 高一数学必修二知识点解析：圆的方程 数学是一门很特别的科目，想要学好数学并不能难，只要掌握重要的知识点就可以得心应手，小编为大家整理了高一数学必修二知识点解析：圆的方程一文，希望能够帮助到各位同学们的复习。 高一数学知识点解析：圆的方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程 （1）标准方程， 圆心，半径为r； （2）一般方程 当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为 当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。 （3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件， 若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断： （1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；； （2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程： ①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(课本命题)． ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)． 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 设圆， 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 当时两圆外离，此时有公切线四条； 当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简 x y O B A M 曲线与方程、圆的方程 1．曲线C 的方程为:f(x,y)=0?曲线C 上任意一点P （x 0,y 0）的坐标满足方程f(x,y)=0，即f （x 0,y 0）=0；且以f(x,y)=0的任意一组解（x 0,y 0）为坐标的点P （x 0,y 0）在曲线C 上。 依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P 的坐标(x,y)满足的方程（等式）。求动点轨迹方程的步骤：①建系，写（设）出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y)，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。 [举例1] 方程04)1(22=-+-+y x y x 所表示的曲线是： （ ） A B C D 解析：原方程等价于：???≥+=--4 0122y x y x ，或422=+y x ； 其中当01=--y x 需422-+y x 有意义，等式才成立，即42 2≥+y x ，此时它表示直线01=--y x 上不在圆42 2=+y x 内的部分，这是极易出错的一个环节。选D 。 [举例2] 已知点A （－1，0），B （2，0），动点M 满足2∠MAB=∠MBA ，求点M 的轨迹方程。 解析：如何体现动点M 满足的条件2∠MAB=∠MBA 是解决本题的关键。用动点M 的坐标体现2∠MAB=∠MBA 的最佳载体是直线MA 、MB 的斜率。 设M （x ，y ），∠MAB=α，则∠MBA=2α，它们是直线 MA 、MB 的倾角还是倾角的补角，与点M 在x 轴的上方 还是下方有关；以下讨论： ① 若点M 在x 轴的上方, ,0),90,0(00>∈y α 此时，直线MA 的倾角为α，MB 的倾角为π-2α， ,2 )2tan(,1tan -=-+==∴x y x y k MA απα （2090≠α） . | | | . 当 D 2 + E 2 - 4F > 0 时，方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 叫做圆的一般方程 . - , - ? 为圆心， 精品文档 用心整理 人教版高中数学必修二 知识点梳理 重点题型（常考知识点 ）巩固练习 圆的方程 【学习目标】 1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用 圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程 2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待 定系数法，由已知条件导出圆的方程． 【要点梳理】 【圆的方程 370891 知识要点】 要点一：圆的标准方程 ( x - a)2 + ( y - b )2 = r 2 ，其中 (a ，b )为圆心， r 为半径. 要点诠释： (1)如果圆心在坐标原点，这时 a = 0，b = 0 ，圆的方程就是 x 2 + y 2 = r 2 .有关图形特征与方程的转化： 如：圆心在 x 轴上：b=0；圆与 y 轴相切时： a |= r ；圆与 x 轴相切时：b |= r ；与坐标轴相切时：a |=| b |= r ； 过原点： a 2 + b 2 = r 2 (2)圆的标准方程 ( x - a)2 + ( y - b )2 = r 2 ? 圆心为 (a ，b )，半径为 r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要 a 、b 、 r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法 要点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为 ( x - a)2 + ( y - b )2 = r 2 ，圆心为 C (a ，b ) ，半径为 r ，则有 (1)若点 M (x ，y 0 0 (2)若点 M (x ，y 0 0 (3)若点 M (x ，y 0 )在圆上 ?| CM |= r ? (x 0 )在圆外 ?| CM |> r ? (x 0 )在圆内 ?| CM |< r ? (x 0 - a )2 + ( y - b )2 = r 2 0 - a )2 + ( y - b )2 > r 2 0 - a )2 + ( y - b )2 < r 2 1 2 要点三：圆的一般方程 D 2 + E 2 - 4 F 为半径. 要点诠释： ? D E ? ? 2 2 ? 重点高中数学直线与圆的方程知识点总结 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可圆的方程_基础 知识讲解
2021届高考数学(理)考点复习：圆的方程(含解析)
高中数学直线与圆的方程知识点总结
知识梳理圆的方程(基础)
最新人教版数学必修二第四章 圆与方程 知识点总结知识讲解
专题复习圆与方程与平面向量(教师用)
2020年高考数学考点分析与突破性讲练专题30圆的方程理
高考数学考点专题：解析几何：圆的方程
考点41 圆的方程(讲解)(解析版)
圆的方程知识点总结和典型例题
考点48 圆的方程(解析版)
最新版教材高中数学必修二知识讲解_圆的方程_提高
圆的方程知识点及题型归纳总结
(完整版)圆的方程知识点总结和典型例题
高一数学必修二知识点解析：圆的方程
高中数学知识点总结曲线与方程,圆的方程
人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]_圆的方程_提高
重点高中数学直线与圆的方程知识点总结
- 人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]_圆的方程_提高
- 高中数学直线与圆的方程知识点总结
- 2020年高考数学考点分析与突破性讲练专题30圆的方程理
- 考点48 圆的方程(解析版)
- 高中数学知识点总结曲线与方程,圆的方程
- 考点34 圆的方程-高考全攻略之数学(文)考点一遍过
- 知识梳理圆的方程(基础)
- 考点41 圆的方程(讲解)(解析版)
- 圆的方程知识点及题型归纳总结
- 人教版数学必修二第四章-圆与方程-知识点总结
- 圆的方程知识点总结和典型例题
- 专题复习圆与方程与平面向量(教师用)
- 高中数学知识点总结_曲线与方程,圆的方程
- 高一数学必修二知识点解析：圆的方程
- 高中数学圆的方程专题讲解
- 圆的方程考点解析
- 高中数学直线与圆的方程知识点总结
- 最新版教材高中数学必修二知识讲解_圆的方程_提高
- 2021年上海数学高考高分直通车核心专题考点详解考点09 直线与圆的方程(考点详解)解析版(02)
- 2021届高考数学(理)考点复习：圆的方程(含解析)