§4.1角的概念的推广

教与学过程设计

第一课时

角的概念的推广（一）

（一）三角函数背景介绍

同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。如本章章头图提到的问题，用三角学知识来解的话，会很简单，以后大家将会体会到。

三角学起源于对三角形边角关系的定量考察，这始于古希腊一批天文学家对天文的测量。比如希腊人阿利斯塔克（公元前310～前230）提出“日心说”：太阳处于宇宙的中心，而地球绕太阳旋转，同时自转。这一观点早于哥白尼1700多年，因而被恩格斯称为“古代的哥白尼”。他的现存著作只有一篇短文《论日月的大小及距离》，其中记载了他侧得月亮上弦时日月之间的角距离为870。如图所示，设日地距离为a ，

月地距离为b ，因月亮上弦时∠EMS=900，故∠S=30。阿利斯 塔克用一种比较复杂的几何方法算得

18

13sin 20

1<

=<

a

b ，由此他断言日地距离介于月地距离的18倍与20倍之间。虽

然这一结果与现代测量的数值（约389倍）相差甚远，的，他的方法正确简明，为后人继续使用。（上弦时日、月间的角距离为89051，，而不是870） 因此在相当长一个时期里，三角学隶属于天文学，而在它的形成过程中里同了当时已经积累得相当丰富得算术、几何和天文知识。鉴于此种原因，作为独立得数学分支的三角学诞生之前，它的贡献者主要是一些天文学家，如梅内劳斯、托勒密等。这两个人在数学上的成就也

很大，如果大家有看课外书的话，可能会知道以这两人命名的定理，这在初等几何中是非常有名的。有机会再向大家介绍。三角学作为一门数学分支是什么时候传入中国的呢？1631年，三角学输入中国。明朝学者徐光启所编译的《大测》一书就是介绍三角学的。徐光启的工作使中国开始接受欧洲科学知识，对我国的天文学和数学的发展有重大影响。至于有关本章具体内容介绍，我建议大家去看一下《精编》第一页的“学习导引”，可能会对大家很有帮助。好，下面我们正式开始学习新课。（8分钟）

（二）复习0○

～360○

角的概念

师：初中时，我们已学习了0○～360○

角的概念，它是如何定义的呢？

生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 师：如图1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按 逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。旋转开始时的

射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的

顶点。（10分钟） （三）角概念的推广

师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720○

” （即转体2周），“转体10800

”（即转体3周）

；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？

生：逆时针旋转300

；顺时针旋转300

.

师：很好！在日常生活中，我们经常要遇到大于360○的角以及按不同方向旋转而成的角，这些都说明了我们研究推广角概念的必要性。同学们再思考一下，举出几个现实生活中“大于360○的角或按不同方向旋转而成的角”的例子。

生：自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时所成的角。

师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它等于300与7500；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？

生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。

师：如图3，以OA 为始边的角α=-1500，β=-6600。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这是形成了一个角，并把这个角称为零角。

师：好，角的概念经过这样的推广之后，就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说α.（15分钟）

（四）象限角

师：在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。同学们已经经过预习，请一位同学回答什么叫：象限角？（木莉盈）

生：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

师：很好，从刚才这位同学的回答可以知道，她已经基本理解了“象限角”的概念了。下面请大家将书上象限角的定义划好，同时思考这么三个问题：（18分钟）1．定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？

2．定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？

3．是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？

处理：学生思考片刻后回答，教师适时予以纠正。（刘夏鸣或陈娴）

答：1.不行，始边包括端点（原点）；

2．端点在原点上；

3．不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。

师：同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的预习才是有效果的。（22分钟）

师生讨论：好，按照象限角定义，图中的300，3900，-3300角，都是第一象限角；3000，-600角，都是第四象限角；5850角是第三象限角。

师：很好，不过老师还有几事不明，要请教大家：（1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？

生：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；

师：（2）锐角就是小于900的角吗？

生：小于900的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；

师：（3）锐角就是00～900的角吗？（学生沉思）请同学们看课本第5页的绿体字，然后再回答。

生：锐角：{θ|00<θ<900}；00～900的角：{θ|00≤θ<900}. （25分钟）学生练习（口答）已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？

（1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100.

答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.（28分钟）

（五）终边相同的角的表示法

师：让我们再来看图中的三个角，3900，-3300都不是0○～360○角，但它们都与300角的终边相同，请同学们思考为什么？能否再举三个与300角同终边的角？

生：图中发现3900，-3300与300相差3600的整数倍，例如，3900=3600+300，-3300=-3600+300；与300角同终边的角还有7500，-6900等。

师：好！这位同学发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差3600的整数倍。例如：7500=2×3600+300；-6900=-2×3600+300。那么除了这些角之外，与300角终边相同的角还有：

3×3600+300-3×3600+300

4×3600+300-4×3600+300

……，……，

由此，我们可以用S={β|β=k×3600+300，k∈Z}来表示所有与300角终边相同的角的集合。师：那好，对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？

生：S={β|β=α+k×3600，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数

个周角的和。（33分钟）（六）例题讲评

例1 在00到3600范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角. （1）-1200；（2）6400；（3）-950012，.

解：（1）-1200=2400+（-1）×3600，∴与-1200角终边相同的角是2400角，它是第三象限角；（2）6400=2800+3600，∴与6400角终边相同的角是2800角，它是第四象限角；

（3）-950012，=129048，+（-3）×3600，∴与-950012，角终边相同的角是129048，角，它是第二象限角.

处理：学生思考，教师板演。（38分钟）师：注意以下几点：（1）k∈Z；

（2）α是任意角；（正角、负角、零角）

（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差3600的整数倍。（40分钟）

1，2，3，4. （45分钟）学生练习（口答）课本P

7

（七）本课小结

本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，本节课的重点是学习终边相同的角的表示法。（八）作业

1

1．课本P

7

2．《每课一练》角的概念的推广（一）

第二课时角的概念的推广（二）

（一）复习

师：上节课我们学习了角的概念的推广，推广后的角分为正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念，下面请一位同学叙述一下它们的定义。

生：略

师：上节课我们还学习了所有与α角终边相同的角的集合的表示法，[板书]

S={β|β=α+k×3600，k∈Z}

这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广，解决一些简单问题。

（二）例题选讲

例1 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：

（1）600；（2）-210；（3）363014，

解：（1）S={β|β=600+k×3600，k∈Z}

S中适合-3600≤β<7200的元素是

600+（-1）×3600=-3000

600+0×3600=600

600+1×3600=4200.

（2）S={β|β=-210+k×3600，k∈Z}

S中适合-3600≤β<7200的元素是

-210+0×3600=-210

-210+1×3600=3390

-210+2×3600=6990

说明：-210不是00到3600的角，但仍可用上述方法来构成与-210角终边相同的角的集合。（3）S={β|β=363014，+k×3600，k∈Z}

S中适合-3600≤β<7200的元素是

363014，+（-2）×3600=-356046，

363014，+（-1）×3600=3014，

363014，+0×3600=363014，

说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。

学生练习：课本P

7

练习5

例2 写出终边在下列位置的角的集合

（1）x轴的非正半轴上；（2）y轴上

分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个角即α，然后在后面加上k×3600即可。

解：（1）∵在0○～360○间，终边在x轴非正半轴上的角为1800，∴终边在x轴非正半轴上的所有角构成的集合是{β|β=1800+k×3600，k∈Z }

（2）∵在0○～360○间，终边在y轴上的角有两个，即900和2700，∴与900角终边相同的角构成的集合是

S

1

={β|β=900+k×3600，k∈Z }

同理，与2700角终边相同的角构成的集合是

S

2

={β|β=2700+k×3600，k∈Z }

提问：同学们思考一下，能否将这两条式子写成统一表达式？

师：一下子可能看不出来，这时我们将这两条式子作一简单变化：

S

1

={β|β=900+k×3600，k∈Z }

={β|β=900+2k×1800，k∈Z } (1)

S

2

={β|β=2700+k×3600，k∈Z }

={β|β=900+1800+2k×1800，k∈Z }

={β|β=900+（2k+1）×1800，k∈Z } (2)

师：在（1）式等号右边后一项是1800的所有偶数（2k）倍；在（2）式等号右边后一项是1800的所有奇数（2k+1）倍。因此，它们可以合并为1800的所有整数倍，（1）式和（2）式可统一写成900+n×1800（n∈Z），故终边在y轴上的角的集合为

S= S

1∪S

2

={β|β=900+2k×1800，k∈Z }∪{β|β=900+（2k+1）×1800，k∈Z }

={β|β=900+n×1800，n∈Z }

处理：师生讨论，教师板演。

提问：终边落在x轴上的角的集合如何表示？

（思考后）答：{β|β=1800+n×1800，n∈Z }

进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？

答：{β|β=450+n×1800，n∈Z }

推广：{β|β=α+k×1800，k∈Z }（图形表示）

处理：“提问”由学生作答；“进一步”教师引导，学生作答；“推广”由学生归纳。

例3 若α是第二象限角，则α2，

2

α

，

3

α

分别是第几象限的角？

师：α是第二象限角，如何表示？

解：（1）∵α是第二象限角，∴900+k ×3600<α<1800+k ×3600

（k ∈Z ） ∴ 1800+k ×7200<2α<3600+k ×7200

∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y ．轴的非正半轴．．．．．．上．

。 （2）∵)(901802

45180Z k k k ∈+?<<+?

α，

处理：先将k 取几个具体的数看一下（k=0，1，2，3…），再归纳出以下规律： 当)(2Z n n k ∈=时，)(903602

45

360

Z k n n ∈+?<<

+?

α

，

2

α

是第一象限的角； 当)(12Z n n k ∈+=时，)(2703602

225360Z k n n ∈+?<<

+?

α

，2

α

是第三象限的

角。 ∴2

α

是第一或第三象限的角。

说明：配以图形加以说明。

（3）学生练习后教师讲解并配以图形说明。（

3

α

是第一或第二或第四象限的角）

进一步求α-是第几象限的角（α-是第三象限的角），学生练习，教师校对答案。 （三）例题小结

1． 要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的； 2． 要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k 取不同的值讨论型如 θ=a+k ×1200（k ∈Z ）所表示的角所在的象限。 （四）课堂练习

练习1 课本P 7 习题4.1第3题（1）（3）（5）（7），第5题

练习2 若α的终边在第一、三象限的角平分线上，则α2的终边在y 轴的非负半轴上.

练习3 若α的终边与600角的终边相同，试写出在（00，3600）内，与3

α

角的终边相同的

角。 （200，1400，2600）

（备用题）练习4 如右图，写出阴影部分（包括边界）的角

的集合，并指出-9500

12，是否是该集合中的角。 （{α| 1200+k ×3600≤α≤2500+k ×3600，k ∈Z}；是）

（五）作业

1． 课本P 7 习题4.1 第2、4题及第3题的（2）（4）（6）（8）小题； 2． 《每课一练》角的概念的推广（二）

角的概念的推广

技工学校教案用纸 教学过程 一、引入课题 通过生活中常见现象的解释来引入知识点，如螺 丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，确定“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握。 二．知识点 1、角的概念 ⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α． 学 科 数 学 角的概念的推广 授课班级 ２０１５级机 械二班 授课时数 6课 授课时间 第二周 教学目的 使学生了解角的概念的推广是解决现实生活和生产中实际问题的需要 如何让学生用数学的观点分析、解决实际问题 教学重点 和 难 点 1.使学生初步理解用“旋转”定义角的概念； 2．理解“正角” 、“负角”、“零角”、“象限角”、“终边相同的角”的含 义； 3．掌握所有与 角终边相同的角（包括 角）的表示方法 复习提问 B A O 始边 终边

2100 -1500 旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点． ⑵．“正角”与“负角”、“0o角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA 为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660° （3）．象限角与终边相同角 1.“象限角” 为了方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：30 、390 、 330 是第Ⅰ象限角， 300 、60是第Ⅳ象限角 585 、1300是第Ⅲ象限角， 135、2000 是第Ⅱ象限角等 6600

(完整版)角的概念的推广教学设计

角的概念的推广一教学设计 哈尔滨市交界职业高中杜银霞 课题：角的概念推广（第一课时） 教学目的： 1?掌握用旋转”定义角的概念，理解并掌握正角”负角”象限角”终边相同的角”的含义。 2. 掌握所有与a角终边相同的角（包括a角）的表示方法。 3?从射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。 教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。 教学难点：终边相同的角的表示。 设计理念： 本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。 教学过程： 一、复习引入： 1. 回忆：初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。 这种概念的优点是形象、直观、容易理解，角的范围是O°WaW 360°,但其仅从图形的形状来定义角，弊端在于狭隘” 2. 生活中很多实例会不在范围0°

(完整版)角的概念的推广(教学设计)

§2 角的概念的推广 【教学目标】 1.通过实例，理解角的概念推广的必要性，了解任意角的概念，根据角的旋转方向，能判断正角、负角和零角； 2.学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法； 3.通过观察、联想得出相应的数学规律的学习过程，体会由特殊到一般的数学思维方法. 【教学重点】 1.了解任意角的概念，初步理解正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念； 2.初步学会终边相同的角的表示方法. 【教学难点】 终边相同的角的集合的表示方法. 【教学方法】 六环节分层导学法 【课前准备】 （学案导学）教师编印导学案，提前两天下发，指导学生完成并检查. 学生预习教材P6-8相关内容，完成优化设计基础知识梳理部分和导学案自主学习部分内容，形成对角的概念的推广的初步认识；学有余力的同学尝试完成优化设计典型例题领悟部分和导学案合作探究部分，至少明确本节课的研究主线. （小组交流）学生分组交流讨论，分享自己的学习心得，解决个别同学存在的困惑，共同梳理出自己小组存在的问题，以便在课堂上得到及时解决。 （检查反馈） 学生自主学习能力比较差，主要存在以下问题： 1)书写不够规范，角的单位“°”容易漏写； 2)思维不够严谨，审题不仔细，做题往往不注意条件； 3)终边相同的角的表示方法掌握不熟练； 4)概念辨析缺乏方法. 完成较好的学生有：白焕焕、杨宇、杨强、何楠.

【教学过程】 一、导入新课 初中阶段我们学习了“角的概念”，请大家思考一下问题： （1）初中学过的角是如何定义的，角的范围又是怎样的？ （2）跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用角度来表示？ （3）汽车在前进和后退中，车轮转动的角度如何表示才合理？ （4）工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，扳手转动的角度如何表示比较合适？ 学生围绕以上问题进行讨论，从而得出正角、负角和任意角的有关概念. 教师对学生的回答进行总结，并强调：在日常生活中，我们经常要遇到大于360°的角及按不同方向旋转而成的角，这些都说明了我们研究推广角的概念的必要性. 之后提出本节课的主要问题，即在初中学习的基础上，将角的概念推广到任意角. 【板书】角的概念的推广 二、展示评价 学生以组推荐代表展示导学案的完成情况，并回答问题：本节课中学习了哪些新概念，这些概念分别是如何定义的？其他同学补充完善，不同组别之间展开交流点评，教师根据学生的回答情况进行板书，并点拨、激励、评价. 展示形式：实物投影展示导学案的完成情况，口头表述回答教师所提问题. 三、导引探究 教师引导学生重点探究象限角的判定与终边相同角的表示方法，学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法. 探究1：判断角所在象限 例1在0°~360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （1）480°；（2）-760°；（3）932°； 归纳小结：判断角α所在象限的方法：先在0°~360°之间，找出与所求角终边相同的角β，因为α与β终边相同，因此只需判断角β所在象限，即为角α所在象限. 跟踪训练1：象限角的概念： 第一象限角的集合可表示为____________ ______； 第二象限角的集合可表示为_________ ________ _； 第三象限角的集合可表示为；

角的概念的推广及弧度制

第一节：角的概念的推广及弧度制 一、基础知识 1、角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置得到的图形（正角：逆时针；负角：顺时针；零角：没做任何旋转） 2、象限角：以角的顶点为原点，以角的始边为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，由角的终边所在位置确定象限角（终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限称为“轴上角”或“象限界角”） 3、与α终边相同的角（连同α在内）可写作{}Z k k x x s ∈+==,360|α 4、弧度的定义：圆周上弧长等于半径的弧所对的圆心角 '18573.571801 ==∏ =rad 1801∏= 5、弧长公式及扇形面积公式 R l l ||||R 22αα=?=∏∏ lR R S S 2 1||21||R 222==?=∏∏αα 二、重要题型剖析 1、常用的角的集合表示法 （1）终边相同的角 例1、当α的终边分别落在x 轴的正半轴上，y 轴的负半轴上时，则α用弧度制表示，分别组成的集合 例2、①终边落在x 轴上的角的集合 ②终边落在y 轴上的角的集合 ③终边落在坐标轴上的角的集合 ④终边落在第一三象限平分线上角的集合 （2）区域角和对顶角 例1、写出阴影区域表示的角α集合（包括边界）

例2、①终边在第一象限角的集合 ②终边在第一四象限角的集合 ③终边在第二象限角的集合 ④终边在第一二象限角的集合 ⑤终边在第三象限角的集合 ⑥终边在第二三象限角的集合 （3）对称角 2、已知角x 所在象限求232x x x 、、所在象限 例1、若θ为第三象限，求 32θθ、所在象限并在该象限表示出来 3、旋转角度的应用题 例1、当12点过4 1小时的时候，时钟的长短针的夹角为多少弧度？ 例2、时针走过2小时40分，则分针转过的角为多少？

(新)教案1：5.1角的概念的推广

5.1 角的概念的推广 【教学目标】 1．理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减运算． 2．通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念． 3．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想． 【教学重点】 理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法． 【教学难点】 任意角和终边相同的角的概念． 【教学方法】 本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不足之处，进而探索新的概念．讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念． 环节教学内容师生互动设计意图 复习导入1．复习初中学习过的角的定义． 2．提出新问题： 运动员掷链球时，旋转方向可以 是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不 止一个平角，那如何来度量角的大小 呢？ 师：初中学过的角的定义是 什么？ 生：在平面内，角可以看作 一条射线绕着它的端点旋转而 成的图形． 师：如图： ∠AOB=∠BOA=120 ， B 初中时的角不考虑旋转方 向，只考虑旋转的绝对量 而且角的范围在0~360°． 复习旧知，使学生 发现旧知识的局限性， 激发学习新知识的兴 趣． 新课1．任意角的概念． （1）射线的旋转方向： 逆时针方向——正角； 顺时针方向——负角； 没有旋转——零角． 画图时，常用带箭头的弧来表示旋 转的方向和旋转的绝对量．旋转生成的 角，又常称为转角． 教师画图说明正角，负角， 零角，以及角的始边、终边. 教师小结：由旋转方向的 不同定义正负角，由旋转量的不 同得到任意范围内的角．

角的概念的推广——教学设计

《角的概念的推广》——教学设计 一、教材分析 1、地位与作用 我校使用的是高等教育出版社由李广全、李尚志编写的基础模块《数学》教材。角的概念的推广来自本教材的第五章的第一节。这节课主要内容是角的概念的推广，首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了象限角的概念。本节课的学习具有以下必要性： 1、在实际生活中应用广泛。 2、是前面所学函数类型的延伸。 3、是描述旋转运动和周期性现象的重要特征量。 4、是专业的重要学习工具。 2、课时安排 5.1.1节：任意角的概念的推广，45分钟。 3、教学目标 知识目标：掌握用旋转定义角的概念；理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”的含义，培养学生用运动变化观点审视事物。 能力目标：通过布置课前任务——培养学生的自学能力； 通过让学生讨论、讲解——锻炼学生的语言表达能力； 通过让学生解决生活中与数学相关的问题——提高学生分析问题、解决问题的能力。 情感目标：通过解决生活中的数学问题——让学生感悟数学的实用性； 通过小组活动——培养学生的团队协作意识。 4、教学重点难点 教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握象限角的判断方法。 教学难点：旋转方向的观察、象限角的判断。

二、学情分析 学习对象为中职一年级学生，虽然有一定的观察能力，他们普遍对初中数学有恐惧感，数学基础普遍较差；学生重视专业课，忽视基础课的学习；学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但缺乏耐心和恒心。 三、教学策略选择与设计 针对职业学校学生、学科特点，更多的学习活动设计将以观察、识别、分析、判断、讨论为主线，以掌握方法、步骤为目标，让学生更能体会到数学的实用性。引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。 教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学策略：（1）引导发现法。通过已学过角的定义来发现角的概念是可以推广的。 （2）任务驱动法。通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。 （3）多媒体法。通过讲解、归纳、概括来介绍角的有关要概念，通过练习来达到巩固知识、突出重点、解决难点。 教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：（1）分类学习法：了解数学知识是有规律可循的，要弄清角的分类及分类的方法。 （2）合作学习法：通过分组合作让学生学会观察、分析和解决问题。

角的概念的推广练习题

角的概念的推广练习题 班级________ 姓名________ 一、选择题： 1、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ） A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360° 2．若是第四象限角，则 2 α 是（ ）． A ．第二象限角 B ．第三象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第二或第四限角 3、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝ B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ 4、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C 5.下列各角中，与-1050°的角终边相同的角是 ( ) ????30-D C30 60-B. 60.A 6.若α是锐角，则180°－α是( ) A.第一象限角 B.第二角限角 C.第三象限角 D.第四象限角 7、如果x 是第一象内的角，那么（ ） （A ）x 一定是正（B ）x 一定是锐角（C ）-3600x-2700或00x900 （D ）xxk3600xk3600+900 kZ 8、设A=为正锐角，B=为小于900的角}， C={为第一象限的角}，D={为小于900的正角}。则下列等式中成立的是（ ） （A ）A=B （B ）B=C （C ）A=C （D ）A=D 二、填空题： 1.一昼夜时针转过多少度 2.跳水运动员后滚翻两周半跳水，转过多少度 3、－1120°角所在象限是______________________ 4、与角－1560°终边相同角的集合中最小的正角是 . 5.将-885°化为α + k ·360°(0°＜α＜360°，k ∈Z )的形式是______________________ 6、终边在x 轴上的角的集合是____________________；终边在y 轴上的角的集合是_________________。 三、解答题： 1、写出与-2250角终边相同角的集合，并在这个集合中求出-7200~10800内的所有角。 2、求θ，使θ与ο 900-角的终边相同，且[ ]ο ο1260180， -∈θ． 3、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1）ο 210-； （2）731484'-ο ． 4、写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来. (1)－15° (2) 124°30′

角的概念的推广——教学设计

《角的概念的推广》一一教学设计 一、教材分析 1、地位与作用 我校使用的是高等教育出版社由李广全、李尚志编写的基础模块《数学》教材。角的概念的推广来自本教材的第五章的第一节。这节课主要内容是角的概念的推广，首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了象限角的概念。本节课的学习具有以下必要性： 1、在实际生活中应用广泛。 2、是前面所学函数类型的延伸。 3、是描述旋转运动和周期性现象的重要特征量。 4、是专业的重要学习工具。 2、课时安排 5.1.1节：任意角的概念的推广，45分钟。 3、教学目标 知识目标：掌握用旋转定义角的概念；理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”的含义，培养学生用运动变化观点审视事物。 能力目标：通过布置课前任务一一培养学生的自学能力； 通过让学生讨论、讲解一一锻炼学生的语言表达能力； 通过让学生解决生活中与数学相关的问题一一提高学生分析问 题、解决冋题的能力。 情感目标：通过解决生活中的数学问题一一让学生感悟数学的实用性； 通过小组活动一一培养学生的团队协作意识。 4、教学重点难点 教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握象限角的判断方法。 教学难点：旋转方向的观察、象限角的判断。 二、学情分析 学习对象为中职一年级学生，虽然有一定的观察能力，他们普遍对初中数学有恐惧感，数学基础普遍较差；学生重视专业课，忽视基础课的学习；学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但缺乏耐心和恒心。

三、教学策略选择与设计 针对职业学校学生、学科特点，更多的学习活动设计将以观察、识别、分析、判断、讨论为主线，以掌握方法、步骤为目标，让学生更能体会到数学的实用性。引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。 教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习，充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学策略： （1）引导发现法。通过已学过角的定义来发现角的概念是可以推广的。 （2）任务驱动法。通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。 （3）多媒体法。通过讲解、归纳、概括来介绍角的有关要概念，通过练习来达到巩固知识、突出重点、解决难点。 教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导： （1）分类学习法：了解数学知识是有规律可循的，要弄清角的分类及分类的方法。 （2）合作学习法：通过分组合作让学生学会观察、分析和解决问题。

角概念推广优秀教案

【课题】5．1 角的概念推广 【教学目标】 知识目标： ⑴了解角的概念推广的实际背景意义； ⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念． 能力目标： （1）会判断角所在的象限； （2）会求指定范围内与已知角终边相同的角； （3）培养观察能力和计算技能． 情感目标： （1）经历推广角的概念及随之带来的新知识的认知过程，树立科学探究精神； （2）参与数学建模过程，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用. 【教学重点】 终边相同角的概念． 【教学难点】 终边相同角的表示和确定． 【教学设计】 （1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广； （2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角； （3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力； （4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法． 【教学备品】 教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】

0°（1）（2）

终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、?90°、?270°角等都是界限角． 运用知识强化练习 教材练习5.1.1 ．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角： ⑴ 60°；⑵?210°；⑶225°；⑷?300°． 动手操作实验观察 用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的位置，将另一根先转动到OB的位置，然后再按照顺时针方向或逆时

终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为

角终边相同的角的集合是 说明写出终边在y轴上的角的集合．

最新《角的概念的推广》——教学设计方案-复习课程

角的概念的推广教学设计 扶风县第二高中冯海平 一、教学内容解析： 1．本节课的主要内容是角的概念的推广，主要是运用运动观点来定义和理解角，即用角的始边和终边及旋转方向来定义任意角，从而达到对角的概念的推广。 2．地位和作用：本节内容是高中数学北师大版必修四第一章三角函数的第二节，是对初中锐角三角函数的一个延伸和推广，主要是推广到任意角三角函数。 本节课《角的概念的推广》就起到了一个铺垫的作用。它是学习任意角的三 角函数必备的知识。 二、教学目标设置 1.知识与技能 （1）理解为什么要推广角的概念，怎样来推广,理解并掌握正角、负角、零角的定义 （2）理解任意角、象限角的概念；掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；会判断是哪个象限角还是终边在坐标轴上的角 （3）类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广 2.过程与方法 （1）借助图片、视频、实物演示、动手绘制角等手段，让学生充分体会到多媒体等手段对数学教学的作用。 （2）在老师的引导、及时评价下，同学之间的互相评价下，学生积极探究知识的形成过程。 3.情感、态度与价值观 （1）通过本节的学习，让学生意识到数学来源于生活，服务于生活，激发学习数学的兴趣。 （2）体会数形结合思想，学会运用运动变化的观点认识事物. （3）通过课堂上的学生自评、互评，教师评价，培养学生竞争意识和团队合作意识，锻炼学生的语言表达能力，提高分析问题和解决问题的能力。 重、难点突破措施： 采用看图片，视频，列举生活中的实例等多种形式来理解为什么要推广角的概念?怎样来推广？这两个问题。借助电子白板和几何画板让同学做角，来感受现在的角是动态的。再用几何画板展示终边相同的角的产生过程，从而理解终边相同的角不是一个而是无数个，这些角可以组成一个集合。这样会形象直观理解这些抽象的概念，并且产生了深刻的印象。 三、学情分析 高一学生因为在初中学习时，学习态度，学习方法，学习能力的不同，知识掌握程度参差不齐，两级分化已经形成，但普遍储备了一定感性具体的数学问题情境，在初中，学生学习了角的定义，角的范围很窄。现实中存在大量的角，但无法用初中角的知识来解决，例如：五边形内角和540°，他们是知道的但无法做的。因此我们本节课的教学要充分关注整个知识的产生过程，充分调动了学生的参与性，再借助多媒体形象直观展示。

角的概念的推广经典练习题

4.1 角的概念的推广 【知识归纳】 一、轴线角（终边落在坐标轴上的角）： x 轴正半轴：{}0|360,k k Z αα=?∈；x 轴负半轴：{}00|360180,k k Z αα=?+∈ ； y 轴正半轴：{}00|36090,k k Z αα=?+∈； y 轴负半轴：{}00|36090,k k Z αα=?-∈或{}00|360270,k k Z αα=?+∈； x 轴：{}0|180,k k Z αα=?∈； y 轴： {}00|18090,k k Z αα=?+∈（注意区别） 所有坐标轴：{}0|90,k k Z αα=?∈。 二、象限角： 第一象限角：{}000|36036090,k k k Z αα?<

《角的概念的推广》教案正式版

《角的概念的推广》教案 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。 2、过程与方法 类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。 3、情感态度与价值观 通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。 难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。 三、学法与教学用具 在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。 教学用具:多媒体、三角板、圆规 四、教学思路 【创设情境，揭示课题】 同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。 这里面到底是怎么回事？这就是我们这节课所要学习的内容。 初中我们已给角下了定义，先请一个同学回忆一下当时是怎么定义的？ 我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”，这是从静止的观点阐述的。 【探究新知】 如果我们从运动的观点来看，角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。(先后用教具圆规和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备) 1．正角、负角、零角的概念(打开课件第一版，演示正角、负角、零角的形成过程)．我们规定：(板书)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，如图（见课件）。一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点.按顺时针方向旋转

《角的概念的推广》教案1

《角的概念的推广》教案 一、教学目标 知识与技能 1.认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分. 2.能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性. 3.能用集合和数学符号表示象限角. 4.能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角. 过程与方法 1.通过角的概念的扩充，让学生体会动态与静态数学观的差异，进一步理解旋转变换的作用. 2.通过角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广让学生体会在数学学科中，将概念的形式化、数量化的过程与方法，借此进一步体会数形结合的思想、方法，这是本节课的重点内容. 情感、态度和价值观 通过掌握角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广的过程与方法，让学生体会数学的抽象化、形式化等学科特点. 二、教学重、难点 教学重点 形成任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、象限角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法. 教学难点 终边相同的角的概念、其符号表示、集合表示. 三、教学方法 本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课. 四、课时 1课时 五、教学过程

引入：复习静态数学观下，按图形组合方式定义角. 师问：角是数学中最常见的基本图形之一，按图形组合的方式来看，角是由哪些基本的图形组成的呢？ 生答：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. 师问：不加任何描述条件，两条共端点的射线组成几个角？这两个角之间有什么关系？它们的取值范围是多少？ 生答：两个和为360°，0°～360°（大于等于0°且小于360°）. 师问：在图上我们如何区分这两个角？ 生答：标示、添加描述条件等. 为了解决上述问题，我们看另一种定义方式.即，一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一位置所形成的图形叫做角. 师问：两种定义方式有什么异同之处？ 解答： 角组合式旋转式 边两条射线一条射线，另一边是其经过旋转变换的结果 顶点公共端点旋转中心 个数两个 范围0°～360° 思考在旋转式定义方式下，我们会产生这样的质疑： 1．一次旋转而得的角有几个？ 2．两条射线一次组合产生的两个角，如何用旋转的方式表示？ 3．当旋转超过一周时，如何描述旋转量？ 发现静态数学观下，按“图形组合”的方式定义角的概念有很大的局限性. 比较两种角的定义，发现差异，为角的概念的推广做准备. 概念形成：任意角的概念 按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； 按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角； 当射线没有旋转时，叫做零角. 在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝

必修4角的概念的推广

任意角的三角函数 【基础回归】 1、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630° 2、角－2010°所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°， k ∈Z ）的形式是 （ ） A ．45°－4×360° B ．－45°－4×360° C ．－45°－5×360° D ．315°－5×360° 4、终边在第二象限的角的集合可以表示为（ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝ B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ 5、下列命题是真命题的是（ ） Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同 D ．{|36090,}k k Z αα=??±?∈={|18090,}k k Z αα=??+?∈ 6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C 7、若tan x >0，且sin x ＋cos x >0，则角x 的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8、某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角为（ ） A ．2° B ．2 C ．4° D ．4 9、角α的终边上有一点(a ，－a )(a >0)，则使f (α)＝－22 的一个函数是（ ） A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝tan x C ．f (x )＝cos x D ．f (x )＝cot x 10、（2010全国Ⅱ）已知α是第二象限的角，1tan 2 α=-，则cos α=___________ 【知识解读】 1、角的概念的推广：(1)角的分类：正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转)； (2) 与α角终边相同的角的集合可表示为{β|β=k ·360°+α，k ∈Z}={β|β=2k π+α，k ∈Z}； (3) 终边在x 轴正半轴上角的集合_________________；终边在x 轴负半轴上角的集合__________________； 终边在y 轴正半轴上角的集合_________________；终边在y 轴负半轴上角的集合__________________； 终边在x 轴上角的集合_________________；终边在y 轴上角的集合__________________。 2、角的度量：(1)换算关系：180°=π(弧度)，1弧度≈57°18'≈57.3°。 (2)弧长公式：l =|α|·r 扇形面积公式：S=12l ·r =12|α|·r 2 。 3、任意角的三角函数：若点P （x ，y ）为角α终边上任一点，r =|OP|， 则sin α=y r ，cos α=x r ，tan α=y x 。 4、三角函数值在各个象限内的符号（sin α、cos α、tan α）： 第一象限：___________；第二象限：___________；第三象限：___________；第四象限：__________ 【典例剖析】 〖例1〗已知α是第四象限角，求 2α与3 α所在的象限。

1.1.1 角的概念的推广

张喜林制 1.1.1 角的概念的推广 考点知识清单 1．角 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，射线的端点叫做____；旋转开始时的射线叫做 ；旋转终止时的射线叫做____． 2．正角、负角和零角 一条射线绕着它的端点，按 旋转形成的角叫做正角；按 一旋转形成的角叫做负角；如果一条射线 旋转，称它形成了一个零角．3．象限角 在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与一，角的终边落在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角． 注意：终边落在坐标轴上的角不属于任一象限．4．终边相同的角 所有与角a 终边相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合一，即任一与角任终边相同的角，都可以表示成角a 与整数个周角的和． 5．(1)当射线绕其端点按照逆时针方向或按照顺时针方向旋转时，旋转的绝时量可以是____．在画图时，常用带箭头的 弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量．旋转生盛的角，常叫做 (2)各角和的旋转量等于各角 一， 要点核心解读 1．角的概念的理解 ． 角可以看做是平面内j 条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，其中逆时针旋转形成正角，顺时针旋转 转形成负角，没有旋转形成零角， 2．终边相同的角 ． 设a 是任意角，所有与a 终边相同韵角以及a 本身相成一 个集合，这个集合记为 },360|{Z k k S ∈?+== αββ 3．在直角坐标系内讨论角（象限角，象限界角） (1)象限角 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴正半轴童合， 角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角，

如 300,420,30-o 角都是第一象限的角； ,480,124 240- 角都是第二象限的角 o 150,570,210- 角都是第三象 限的角， o o o 45660,300- 角都是第四象限的角． (2)象限界角（轴线角） ‘ 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴正半轴重合， 角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称之为象 限界角．如 ,270,180,90,360,270,180,90,0o o o o --- o 360- 等都是象限界角． 4．几个重要角的集合(1)象限角的集合 第一象限角的集合 第二象限角的集合 =∈?+<

高中数学角的概念的推广

角的概念的推广 教学目标： 1、知识与技能 （1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念； （3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。 2、过程与方法 类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行 角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到 推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过 几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解 例题，总结方法，巩固练习。 3、情感态度与价值观 通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的 观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度； 让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。 难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。 三、学法与教学用具 在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。 教学用具:多媒体、三角板、圆规 四、教学思路 【创设情境，揭示课题】 同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。但不知同 学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一 下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。 这里面到底是怎么回事？这就是我们这节课所要学习的内容。 初中我们已给角下了定义，先请一个同学回忆一下当时是怎么定义的？ 我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”，这是从静止的观点阐述的。 【探究新知】 如果我们从运动的观点来看，角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。(先后用教具圆规和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备) 1．正角、负角、零角的概念(打开课件第一版，演示正角、负角、零角的形成过程)． 我们规定：(板书)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，如图（见课件）。一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点.按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作 任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角，如果α是零角，那么α＝0°。钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角．为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以记成“α”。 过去我们研究了0°～360°范围的角．如图（见课件）中的角α就是一个0°～360°范围内的角(α＝30°)．如果我们将角α的终边OB继续按逆时针方向旋转一周、两周……而形成的角是多少度?是不是

角的概念的推广教学设计

角的概念的推广－教学设计 哈尔滨市交界职业高中杜银霞 课题：角的概念推广（第一课时） 教学目的： 1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。 2.掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法。 3.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。 教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。 教学难点：终边相同的角的表示。 设计理念： 本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。 教学过程： 一、复习引入： 1．回忆：初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。 这种概念的优点是形象、直观、容易理解，角的范围是0°≤α≤360°，但其仅从图形的形状来定义角，弊端在于“狭隘”。 2．生活中很多实例会不在范围0°≤α≤360°内。 如：体操运动员转体，跳水运动员向内、向外转体 经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？ 这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，用运动的思想来研究角的概念。 二、讲解新课： 1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点． 突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边” ⑵．“正角”与“负角”“零角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，“正角”与“负角”是由旋转的方向决定的。 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角． ⑶意义 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1°角有正负之分如：a=210°b=-150°g=660°