映射与函数

二、函数

1. 映射与函数

知识网络

映射与函数知识结构简图

画龙点晴 概念

映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A ，B ，以及集合A 到集合B 的对应关系f 叫做集合A 到集合B 的映射，记作：f: A →B 。

象和原象：如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，那么A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象。 映射的特点：

1?映射中的两个集合可以是数集，也可以是点集或图形等组成的集合，这是它与函数的主要区别; 20映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射是两个不同的映射; 30对于集合A 中的不同元素，在集合B 中都有唯一的象 ;

4?集合B 中的每一个元素在集合A 中可能有一个或几个原象，也可能没有原象。

A 到

B 内的映射、A 到B 上的映射：设f: A →B 是集合A 到集合B 的映射，

C 是象的集合，若C ≠

? B ，则称f: A →B 是集合A 到集合B 内的映射；若C=B ，则称f: A →B 是集合A 到集合B 上的映射。

A 到

B 内的映射、A 到B 上的映射的区别在于象集

C 满足条件C ≠

? B 与C=B 。 一一映射：设A 、B 是两个集合，f: A →B 是集合A 到集合B 上的映射。如果在这个映射的作用下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，并且在B 中的每一个元素都有原象，那么这个映射就叫做A 到B 上的一一映射。A 到B 上的映射是A 到B 上的一一映射的必要条件，但不是充分条件。

逆映射：设f: A →B 是集合A 到集合B 上的一一映射，如果对于B 中的每一个元素，使在A 中的原象和它对应，这样得到的映射叫做映射f: A →B 的逆映射，记作f -1: B →A 。

若f 1: A →B 是一一映射，则f 2: B →A 也是一一映射且互不逆映射。即一一映射是存在逆映射的充分且必要条件。

[活用实例]

[例1] 判断下列对应是否为从集合A 到集合B 的映射：

(1) A=R ，B=（0，+∞），x ∈A ，对应法则f ：x →|x|;

(2) A=R ，B={y|y ∈R 且y ≥1}，x ∈A ，对应法则f ：x →y=x 2-2x+2 ; (3) A={x|x .1:},,1|{},,02

+=→∈≥=∈≤x y x f R y y y B R x [题解] （1）不是映射，因为A 中的0，B 中没有元素与之对应。

（2）x 2-2x+2=（x-1）2+1≥1对任意x ∈R ，都有唯一确定的y 值与之对应，所以f ：A →B 是映射, 但不是一一映射。

(3)是映射,并且是一一映射, 其逆映射为f –1: y .1--=→y x

[例2]设集合P=Q={(x,y)|x,y ∈R}，f ：P →Q 是从集合P 到集合Q 的映射f ：(x,y) →(x+y,x-y)., 求： （1）P 中元素（3，1）的象; （2）Q 中元素（3，1）的原象。 [题解] 解：（1）（3，1）为P 中元素，∴x=3, y=1，则x+y=4，x-y=2，

∴ P 中元素（3，1）的象为（4，2）。

（2）（3，1）为Q 中元素，∴x+y=3，x-y=1，解得x=2 ,y=1， ∴ Q 中元素（3，1）的原象为（2，1）。

区间：设是两个实数a ,b ，且a

b x b x a x a x <≤>≥,,,的实数x 的集合叫做无穷区间，分别表示为[)(]),(,,),,(,,b b a a -∞∞-+∞+∞，全

体实数也可以用区间表示为（-).,+∞∞

函数：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f(x) ,x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的范围A 叫做函数的定义域; 与x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A}叫做函数的值域。

函数的三要素：定义域、值域以及对应法则是函数的三要素，当函数的定义域和对应法则确定后，函数的值域也随之确定，因此，两个函数相同，就是指两个函数的定义域与对应法则完全一致。

[活用实例]

[例3]下列四组f (x ), g (x )，表示同一函数的是（ ）

（A ）f (x )=x , g (x )=(x )2 （B ）f (x )=x , g (x )=3

3x

（C ）f (x )=1, g (x )=

x

x

（D ）f (x )=1, g (x )=x 0 [题解]A 、C 、D 中f (x )与g (x )的定义域不同，不是同一函数。B 中f (x )与g (x )的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数，故选B 。

说明：求用解析式表示的函数的定义域，就是求使函数各个组成部分有意义的集合的交集，对实际问题中函数关系的定义域，还需要考虑实际问题的条件。求一些常见函数的定义域，目前主要根据： 10分式的分母不等于零; 20偶次根式内的式子大于或等于零； 30对数的真数大于零，底数大于零且不等于1。

[活用实例]

[例4]求下列函数的定义域：

(1)2

14

3)(2-+--=

x x x x f ; (2)=

)(x f x

11111++

；

（3）若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )4

1(-?x f 的定义域。 [题解] (1) 解：要使函数有意义，必须：

??

?≠-≠-≤-≥????≠-+≥--13140

210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<-->?x x x 或或 ∴函数2

14

3)(2-+--=

x x x x f 的定义域为：{x |4133≥-≤<-->x x x 或或}.

(2) 解：要使函数有意义，必须： 0111

101

10≠+

+≠+≠x

x x ? 2

1

10-≠-≠≠x x x

∴函数的定义域为：?

?????--≠∈21,1,0|x R x x 且.

（3）要使函数有意义，必须：4343454

34345

14111411≤≤-??????≤≤-≤≤-?????

?≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41

(+=x f y )4

1(-?x f 的定义域为：?

???

??≤≤-

434

3

|x x . 求函数值域的常用方法：

10配方法：主要适用于二次函数; 20换元法：主要适用于无理函数;

30逆求法：主要适用于一次分式函数； 40“?”判别式法：主要适用于二次分式函数。

[活用实例]

[例5]求函数y=

1

1

2+-x x 的值域。 [题解]由y=

1

1

2+-x x 得.2,21≠∴-+=

y y y x 即所求函数的值域为{}.2|≠y y [例6]已知x ∈R ，f(x)=x 2-4bx+2b+30恒大于零，求g(b)=(b+3)[1+|b-1|]的值域。 [题解] 32

5

0)302(4162

<<-?<+-=?b b b , 当1≤b<3时，g(b)= (b+

23)2-4

9

，得4

当-25

9

，18）。

[例7]若函数y=12++x b

ax 的最大值是4, 最小值是-1, 求a,b 的值。

[题解]由y=1

2++x b ax 得yx 2-ax+y-b=0，0)(42

≥--=?b y y a ,

即4y 2-4by-a ≤20，又Θ-14≤≤y ,∴-1，4是方程4y 2-4by-a 2=0的两根，

则??

?=±=????

??-=-=3444

3

2b a a b 。 [例8]求函数y=2x-3-x -1的值域。 [题解1] 令t x =-1，则x=1-t 2 (t ≥0)， y=-2t 2-t-1=-2(t+

41)2-8

7

，当t=0时，y max = -1，∴函数的值域为(]1-∞-. [题解2]Θ 函数y=2x-3-x -1在(]1,-∞上是单调增函数，∴当x=1时，，y max = -1，

∴函数的值域为(]1-∞-. 常用的函数表示法：

解析法：把两个变量之间的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。 列表法：把两个变量之间的函数关系，用列表格来表示的方法叫做列表法。 图象法：把两个变量之间的函数关系，用图象来表示的方法叫做图象法。 求函数解析式的常用方法：

10直接凑合法; 20换元法; 30待定系数法; 40构造方程法。

[活用实例]

[例9]（1）已知f(x+2

2

1

)1x x x

+

=，求的解析式; （2） []221)(,21)(x x x g f x x g -=-= (x ≠0) 求)2

1

(f ;

（3）已知f (x )是一次函数, 且f [f (x )]=4x -1, 求f (x )的解析式；

（4）已知f(x)+2f(-x)= 2x+1 ，求f(x)的解析式。 [题解] （1）（直接凑合法）由已知得f(x+2)1()1

2

-+=x

x x ，.2)(2-=∴x x f 用判别式法可求得}.22|{)(.21

21-≤≥∴-≤+≥+

x x x x f x

x x x 或的定义域为或 （2） [解法1] （换元法）令x t 21-= 则 2

1t

x -=

∴2

22221234

)1(4)1(1)(t t t t t t t f +--+=

---

= ∴154

11141

13)2

1(=+

--

+=

f .

[解法2]令 2121=-x 则 41=x ∴15)

4

1()41

(1)2

1(22

=-=f .

（3）（待定系数法）设f (x )=kx +b 则 k (kx +b )+b =4x -1

则??

???-==????-=+=3121)1(42b k b k k 或 ???=-=12b k ∴312)(-=x x f 或12)(+-=x x f . (4)( 构造方程法) Θf(x)+2f(-x)= 2x+1 , 用-x 代x 得f(-x)+2f(x)= -2x+1 , 消去f(-x)得f(x) = -2x+3

1. 函数的单调性: 一般地,设函数的定义域为I:

如果对于属于定义域I 内某个区间上的两个自变量的值x 1,x 2,当x 1

如果对于属于定义域I 内某个区间上的两个自变量的值x 1,x 2,当x 1f(x 2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数。

根据定义证明函数f(x)在(a,b)上单调性的一般步骤是：

10任取a

[活用实例]

[例10]讨论函数21)(x x f -=的单调性。

[题解] 定义域 {x |-1≤x ≤1} 在[-1,1]上任取x 1,x 2且x 1

则2111)(x x f -= 2

221)(x x f -= 则)(1x f -2

22

1

211)(x x x f ---==

22

2

12

22111)

1()1(x

x x x -+----

=

22

21

121222

212

12211))((11x

x x x x x x

x x x -+--+=

-+--

∵21x x < ∴012>-x x 另外，恒有011222

1>+++x x ∴若-1≤x 10 则)(1x f -0)(2>x f )(1x f >)(2x f ∴ 在[-1，0]上f (x )为增函数，在[0，1]上为减函数。

[例11]若函数f(x) = ax 2-(3a-1)x+a 2在[)+∞,1上是增函数，求实数a 的取值范围。 [题解] 解：（1）a=0，f （x ）=x 在[)+∞,1上是增函数;

（2）a>0时，要使f(x)在[)+∞,1上是增函数，则1012130≤

??≤->

a a

a a ;

（3）a<0时，由二次函数图象可知，f(x 不能在[)+∞,1上是增函数.

综上所述，a 的取值范围为[0,1] .

函数的奇偶性: 对于函数f(x): 如果对定义域内任意一个x ,都有f(-x) = -f(x),那么函数叫做奇函数; 如果对于定义域内任意一个x , 都有f(-x) =f(x),那么函数叫做偶函数.

说明: 具有奇偶性的函数,它的定义域是关于坐标原点对称的区间. 因此要判断一个函数是否为奇、偶函数，首先应研究该函数的定义域是否关于原点对称，然后再讨论是否有f(-x) = -f(x)或f(-x) =f(x)成立。

[活用实例]

[例12]以下四个函数：(1)f(x) =2x+1; (2)f(x)= 1

1

+-x x ; (3) f(x)=x x x x f x x +-+=-+11)1()()4(;112

2.既不是奇函数，又不是偶函数的是_______________.

[题解]（2）、（4）的定义域分别是{x|x (]1,1},,1-∈-≠R x ，它们关于原点不对称，对于（1）显然有)()()(x f x f x f -≠≠-，从而f(x)是非奇非偶函数。对于（3），有f(-x)=f(x)，故f(x)是偶函数。故填（1）、（2）、（4）。

定理

关于奇函数、偶函数图象的定理：奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反过来，如果一个函数的

图象关于原点成中心对称图形，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形，反过来，如果一个函数的图象关于y 轴成轴对称图形，那么这个函数是偶函数。

[活用实例] [例13]

[题解]

[例14]已知定义在（-∞，+∞）上的函数f (x )的图像关于原点对称，且当x ＞0时，f (x )= x 2-2x +2，求函数f (x )的解析式．

[题解] 当x ＜0时，-x ＞0，故f (-x )=(-x )2-2(-x )+2=x 2+2x +2．

因函数f (x )的图像关于原点对称，故函数f (x )为奇函数．于是f (-x )= -f (x )，从而f (x ) = - f (- x ) = - (x 2+2x +2)= - x 2-2x -2．

又当x =0时，f (0)= f (-0)= -f (0)，从而f (0)=0． 因此f (x )在（-∞，+∞）上的解析式是

??

???<---=>+-=0,220,00,22)(22x x x x x x x x f ．

概念

反函数： 一般地，函数y=f(x)(x ∈A)中，设它的值域为C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把 x 表示出，得到x=?(y)。如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x=?(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=?(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数。这样的函数x=?(y)(y ∈C)叫做函数y=f(x)(x ∈A)的反函数，记作x=f -1

(y).

说明：1? 如果 y = f (x ) 有反函数 y = f -1(x )，那么 y = f -1

(x ) 的反函数是 y = f (x )，它们互为反函数;

2? 并不是所有的函数都有反函数， 因此，只有决定函数的映射是一一映射，这个 函数才有反函数;

3? 两个函数互为反函数，必须：原函数的定义域是它的反函数的值域,

原函数的值域是它的反函数的定义域;

求函数反函数的步骤：

1?判析 2?反解 3?互换 4?写出定义域.

[活用实例]

[例15]（1）求函数 211x y --= （-1≤ x < 0）的反函数。

（2）已知f(x+1)=

1

2+x x

，求f –1(x+1). [题解]（1）∵ -1≤ x < 0 ∴0 < x 2

≤ 1 ∴0≤1 - x 2

< 1

∴ 0 ≤21x -< 1 ∴0 < y ≤ 1

由：211x y --= 解得：22y y x --= (∵ -1≤ x < 0 )

∴211x y --=(-1≤ x < 0)的反函数是：22x x y --=( 0 < x ≤1 ) . （2）由f(x+1)=

12+x x ，得f(x)=x x 22-，设y=x

x 2

2-，则x=

)2(22≠-y y , ∴f –1(x)=

)2(22

≠-x x

，∴ f –1(x+1)=

).1(12)1(22≠-=+-x x x [例16]已知函数y=21x -，（1）写出其单调区间; （2）若x ]0,1[-∈时，求其反函数； （3）当y=

23时，求x 的值; 当x ]0,1[-∈时，求f –1(21); 当x ]1,0[∈时，求f –1(2

1

)。 [题解]（1）Θf(x)=

21x -(-11≤≤x )(定义域关于原点对称)，

且f(-x)=2

)(1x --=

21x -=f(x)，∴f(x)的图象关于y 轴对称，

显然f(x)在区间[-1，0]上是增函数，在区间[0，1]上是减函数. （2）当x ]0,1[-∈时，y=21x -，有x= -2

1y -，即f –1(x)=-

21x -(01≤≤x )。

（3）若y=

23，即23=21x -，得x=2

1

±; 当x ]0,1[-∈时，f –1(x)=-21x -, ∴f –1(

2

1

)=-23; 当x ]1,0[∈时，f –1(x)=21x -, ∴f –1(

2

1)=23.

[例17] 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=?，且当0x >时，

()01f x <<．（1）试求()0f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明你的结论；（3）试举出一个满足条件的函数()f x ．

[题解 ]（1）在()()()f m n f m f n +=?中，令1,0m n ==．得()()()110f f f =?．

因为()10f ≠，所以，()01f =．

（2）要判断()f x 的单调性，可任取12,x x R ∈，且设12x x <．

在已知条件()()()f m n f m f n +=?中，若取21,m n x m x +==，则已知条件可化为：()()()

2121f x f x f x x =?-．

由于210x x ->，所以()2110f x x >->．

为比较()()21f x f x 、的大小，只需考虑()1f x 的正负即可．

在()()()f m n f m f n +=?中，令m x =，n x =-，则得()()1f x f x ?-=． ∵ 0x >时，()01f x <<，∴ 当0x <时，()()

1

10f x f x =

>>-． 又()01f =，所以，综上，可知，对于任意1x R ∈，均有()10f x >． ∴ ()()()()2112110f x f x f x f x x -=--

∴ 函数()f x 在R 上单调递减． （3）如()12x

f x ??= ?

??

．

反函数的性质：

10

函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f

1

-(x)的图象关于直线y=x 对称.

20若函数y=f(x)的图象过点（a ，b ），则其反函数 y=f 1

-(x)的图象过点（b ,a ）.

30一个函数存在反函数，若要证明它的图象本身关于直线y=x 对称，则只要证明这个函数的反函数即为本身。

40互为反函数的两个函数在对应区间内具有相同的单调性:

若函数y=f(x)在区间[a,b]上是增函数，则y=f -1(x)在区间[f(a) ,f(b)]也是增函数; 若函数y=f(x)在区间[a,b]上是减函数，则y=f -1(x)在区间[f(b) ,f(a)]也是增函数。

[活用实例]

[例18]已知点（1，2）既在y=b ax +的图象上，又在其反函数的图象上，求实数a ，b 的值。 [题解] Θ点（1，2）在y=b ax +反函数的图象上，∴点（2，1）也在原函数的图象上， 则??

?=-=????=+=+???

???+=+=73124212b a b a b a b a b a . 定理

互为反函数的函数图象间的关系定理：函数y= f(x)的图象和它的反函数y=f -1(x)的图象关于直线y=x对称。

[活用实例]

[例19]已知函数y= f(x) (定义域为D,值域为A)有反函数y=f -1(x), 则方程有解x=a, 且f(x)>x的充要条件是y=f -1(x)满足_________________.

[题解]: Θf(a)=0, 即函数的图象过点P(a ,0).

Θy=f (x)与y=f -1(x)的图象关于直线对称, ∴y=f -1(x)的图象过点Q(0, a).

又f(x)>x , ∴y= f(x)的图象在直线y=x的上方, 因而y=f -1(x)的图象在直线y=x的下方.

∴y=f -1(x)满足的条件是其图象过点(0, a)且在直线y=x的下方(或者f -1(0)= a且f-1(x)

第2讲函数与映射的概念复习.docx

第2讲函数与映射的概念 ★知识梳理 1.函数的概念 (1)函数的定义：设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则于，对于集合A中的每一个数x ,在集合B中都冇唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从4到B的一个函数，通常记为y = /(x),x G A (2)函数的定义域、值域 在函数y = /(x),x G A中，x叫做口变量，x的取值范碉A叫做y = /0)的定义域；与x的值和对应的y值叫做函数值，函数值的集介｛f(x)卜e A｝称为函数y = f(x)的值域。 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2.映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/,对于集合A中的任意元素，在集合B小都有唯-确泄的元素与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f : A — B ★重、难点突破 重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象两数的定义域 重难点：1?关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没冇弄清所给函数Z间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数y = /(x)的定义域为[a, b],求y = /(x + 2)的定义域. 问题2：己知y = /(x + 2)的定义域是[d, b],求函数y = f (x)的定义域. 1.求值域的几种常用方法 (1 )配方法：对于(可化为)'、二次函数型〃的函数常用配方法，如求函数y = -sin2兀一2cosx + 4, 变为y = - sin? x-2cosx + 4 = (cosx-1)2 + 2解决. (2)基本函数法：一些由基木函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数y = log j (-x2 + 2x + 3)就是利用函数y = log丨u和u = -x2 + 2兀+ 3的值域来求. 2 2 2JC + 1 (3)判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数/ 的值域 兀'―2兀+ 2 山)，=严+1得y/—2(y + i)x + 2y — l = 0,若y = 0 ,则得 % = 所以y = 0 x - 2x + 2 2 是函数值域中的一个值；若y ^0 ,则由△ = [—2(y + l)『—4y(2y —1)? 0得

函数及映射基础知识加经典练习题及讲解

第2讲 函数与映射的概念 ★知识梳理 1．函数的概念 (1)函数的定义： 设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域 在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念 设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →: ★重、难点突破 重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域 [误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤ ，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a [正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤ 2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤ 2中x 的围 问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域 [误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而

函数与映射的概念及其表示方法

函数与映射的概念 ★知识梳理 1．函数的概念 (1)函数的定义： 设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域 在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{} A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念 设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为 B A f →: ★重、难点突破 重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域 [误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a [正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围 问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域 [误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而

函数与映射概念的理解

玩转函数第一招 第1招：函数与映射概念的理解【知识点理解】 ①映射.映射f : A→B 的概念。 对于两个集合A，B 如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任．何．一．个．元素在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括A、B 及f）叫做从集合 A 到集合B的映射. 记作：f：A→B. 对于映射这个概念，应明确以下几点： ①映射中的两个集合A 和B 可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合. ②映射是有方向的，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往是不相同的. ③映射要求对集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有象，而这个象是唯一确定的.这种集合 A 中元素的任意性和在集合 B 中对应的元素的唯一性构成了映射的核心. ④映射允许集合B 中的某些元素在集合A 中没有原象，也就是由象组成的集合 C B. ⑤映射允许集合A 中不同的元素在集合B 中有相同的象，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”. 一一映射：设 A ，B 是两个集合，f ：A → B 是从集合 A 到集合 B 的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A 中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且 B 中每一元素都有原象，那么这个映射叫做从．A．到．B．上．的一一映射. 一一映射既是一对一又是 B 无余的映射. 在理解映射概念时要注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一； ⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。总结：取 元任意性，成象唯一性。 【精准训练】

（1）设f :M→N是集合M到N的映射，下列说法正确的是 A、M中每一个元素在N中必有象 B、N中每一个元素在M中必有原象 C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的 D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）； （2）、若从集合A 到集合B 的映射 f满足 B 中的任何一个元素在 A中都有原象，则称映射 f 为从集合 A 到集合 B 的满射，现集合 A 中有 3 个元素，集合 B 中有 2 个元素，则从集合 A 到集合 B 的满射 f 的个数是： A 、 5 B 、6 C、 8 D、 9 （答：B ）（3）点（a,b）在映射f的作用下的象是（a-b,a+b），则在f作用下点（3,1）的原象为点 _______ （答：（2，－1））； （4）a、b为实数，集合M{b ,1}, N ={a,0}, f : x→ x表示把集合M中的元素x映射到集合N中a 仍为x，则a +b= A、1 B、0 C、－1 D、±1 （5）若A = {1,2,3,4}，B ={a,b,c}，a,b,c R，则A到B的映射有个，B到A的 映射有个，A到B的函数有个（答：81,64,81）； （6）设集合M={-1,0,1},N={1,2,3,4,5}，映射f :M→ N满足条件“对任意的x M，x+ f（x）是奇数”，这样的映射f有_____ 个（答：12）； （7）设f :x→ x2是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则A B一定是_______ （答： 或{1}）. 8）、已知集合A = {1, 2,3} ，B={-1,0,1}，则满足条件f（3）=f（1）+f（2）的映射f : A→ B的个数是（）（A）2 （B）4 （C）5 （D）7 （9）、从集合A={1,2,3}到B={3,4}的映射f : A→ B中满足条件f（3）= 3个数是（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D）6 （10）、已知集合A={1,2,3}，在A→ A的映射中满足条件f（3）=3，f（2）=1个数是（） （11）、．A={1，2，3，4，5，}，B={6，7，8，}从集合A到B的映射中满足f（1）≤f （2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射有（） A、27 B、9 C、21 D、12 解：（1）当一个不等号也没有时，（即与B中的一个元素对应），则f有C13个

函数、映射的概念

函数、映射的概念 ?1、映射： （1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应， 那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。 （2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。 2、函数： （1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 （2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称 f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x ∈A}叫做函数f（x）的值域。显然值域是集合B的子集。 3、构成函数的三要素： 定义域，值域，对应法则。 值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。 4、函数的表示方法： （1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法； （2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法； （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。 注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。?映射f：A→B的特征： （1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像； （2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个； （3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的； （4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。 ?（1）函数两种定义的比较： ①相同点：1°实质一致2°定义域，值域意义一致3°对应法则一致 ②不同点：1°传统定义从运动变化观点出发，对函数的描述直观，具体生动. 2°近代定义从集合映射观点出发，描述更广泛，更具有一般性.

函数与映射(1)

2.1 映射与函数 〖考纲要求〗了解映射的概念，在此基础上理解函数及其有关概念. 〖复习要求〗掌握函数的有关概念及三种表示方法，会求简单函数的解析式. 〖复习建议〗在理解映射概念的基础上，深刻理解函数的概念——非空数集之间的映射，函 数定义的三要素中，定义域是函数的灵魂，对应法则是核心，要学会用函数的观点与思想解决方程、不等式和数列问题，要理解函数的符号，掌握函数表示法，会判断两个函数是否是同一函数. 〖双基回顾〗1、A 到B 的映射： ； 2、集合A 中有n 个元素，集合B 中有m 个元素，那么从A 到B 的映射有 个； 3、函数的近代定义 是： ； 4、函数的三要素是： ； 〖重点难点〗函数表达式的建立 一、知识点训练： 1、下列是映射的是…………………………………………………………………………………（ ） (A)1、2、3 (B)1、2、5 (C)1、3、5 (D)1、2、3、5 2、设集合A={a ，b ，c}，B={0，1}，那么从B 到A 的映射有………………………………（ ） (A)3个 (B)6个 (C)8个 (D)9个 3、下列与函数y =x 是同一函数的是……………………………………………………………（ ） (A)2 x y = (B)x x y 2= (C)x a a y log = (D)x a a y log = 4.已知映射f :A →B ,其中A ={－3,－2,－1,0,1,2,3},集合B 中的元素是A 中的元素在f 下的象，且对任意的a ∈A ,在B 中和它对应的元素为|a |,则集合B 中元素的个数至少为 A.6 B.5 C.4 D.7 5、?? ???≥<<--≤+=2 221 1 |1|)(2 x x x x x x x f ，那么f (f (－2))= ；如果f (a)=3，那么实数a= . 6.已知函数y =862++-m mx mx 的定义域为R ，则实数m 的范围为__________. 二、典型例题分析：

函数与映射的概念主要知识梳理

函数与映射的概念知识梳理第 1 页 共 1 页 函数与映射的概念主要知识梳理 ●函数的基本概念： 1、函数的定义：设B A ,是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，则称B A f →:为从A 到B 的一个函数。 ①关键词：非空的数集、任意性、唯一性 ②作用：判断一个对应是否是函数 2、函数的三要素： 定义域A 、值域(?B)、对应法则f （定义域和对应法则最为关键） 作用：判断两函数是否是同一函数的依据（只要判断定义域和对应法则是否相同即可） ●函数的表示方法： 解析式法，列表法，图像法 ●分段函数与复合函数 分段函数：? ??∈∈=)()()()()(21D x x h D x x g x f ，复合函数：))((x g f y = ●映射的概念 1、定义：设设B A ,是非空集合，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ， 在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，则称B A f →:为从A 到B 的一个映射。 ①关键词：非空集合、任意性、唯一性 ②作用：判断一个对应是否是映射 2、映射的三要素： 原象集A 、象集(?B)、对应法则f 作用：判断两映射是否是同一映射的依据（只要判断原象集和对应法则是否相同即可） 3、函数是特殊的映射； ●反函数 1、概念; 设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，由()y f x =求出()x y ?=.如果对于C 中 每个y 值，在A 中都有唯一的值和它对应，那么()x y ?=为以y 为自变量的函数，叫做()y f x =的反函数，记作1()y f x -=，（x C ∈） 2、存在反函数的条件：函数()y f x =在定义域内单调（一 一映射） 3、求反函数的一般步骤： （1）求原函数的值域； （2）反解，由()y f x =解出)(y x ?=； （3）写出反函数的解析式1()y f x -=（互换,x y ），并注明反函数的定义域（即原函数的值域）. 4、互为反函数的两个函数具有如下性质： （1）反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域； （2）互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的单调性；它们的图象关于x y = 对称； （3）?=b a f )(a b f =-)(1 ●常见的思想方法 1、主要思想: ①数形结合:-------树形图 ②分类讨论：①按象的个数分类；②按原象个数分类； ③按对应关系（一对一、多对一，不能一对多）分类. 2、易错易混点 ①映射B A f →:与函数的定义).(x f y =-----A 中元素的任意性和B 中元素的唯一性? ②一个映射与某一对应的值. ③定义域与原象集以及与集合A 的关系. 值域与象集以及集合B 的关系. 3、主要题型: ①判断映射与函数； ②知原象、象、对应法则三者中的任意二个求余下一个； ③求映射与函数的个数.(注意分类讨论、注意和排列组合知识的综合应用)

第2讲 函数与映射的概念js

第二讲 函数与映射的概念 ★知识梳理 1．函数的概念 (1)函数的定义： 设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域 在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{} A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念 设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为 B A f →: ★重、难点突破 重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域 [误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a [正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围 问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域

函数的映射、图像及解析式

映射 引入：初中所学的对应 1）、对于任何一个实数a ，数轴上都有唯一的一点P 和它对应； 2）、对于坐标平面内的任何一个点A ，都有唯一的一个有序实数对（x,y ）和它对应； 在集合的基础之上重点研究两个集合元素与元素之间的一种特殊的对应——映射。 【预习导引】 1、 关于映射，下列说法错误的是 （ ） A ． A 集合中的每个元素在 B 集合中都存在元素与之对应； B ． “在B 集合中存在唯一元素和A 集合中元素对应”即A 中的元素不 能对应B 集合中一个以上的元素； C ． A 集合中可以有两个或两个以上的元素对应B 集合中的一个元素； D ． B 集合中不可以有元素不被A 集合中的元素所对应； 2、 判断下列对应是否为A 集合到B 集合的映射和一一映射？ （1）x x f A x R B R A →∈==:,,,； （2）1:,,,-→∈==+x x f A x N B N A ； （3）{}{} 22:,,,0,,22+-=→∈∈≥=∈≥=x x y x f A x Z y y y B Z x x x A ； （4）[][]()b a x a b y x f A x b a B A -+-=→∈==2:,,,,2,1 1）、引例：观察以下几个集合间的对应，讨论特征 A B A B 多对一 一对一 ③ ④

A B A B ⑤ ⑥ 定义1：一般地，设Ａ、Ｂ是两个集合，若按照某种对应法则f ，对于集合Ａ中的任何一个元素，在集合Ｂ中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应叫做集合Ａ到集合Ｂ的映射，记作f ：A →B 。 （这种具有对应关系的元素也有自己的名称，引出象与原象的概念。） 定义2：给定一个映射f ：A →B ，且a ∈A,b ∈B ，若元素a 与元素b 对应，则b 叫做a 的象，而a 叫做b 的原象。（以②③④⑥具体说明谁是谁的象，谁是谁的原象）。 2、映射定义剖析： 1）、映射是由三部分构成的一个整体：集合A 、集合B 、对应法则f ，这一点从映射的符号表示f ：A →B 可看出，其中集合A 、B 可以是数集、点集或其他集合，可以是有限集也可以是无限集，但不能是空集。（用引例说明） 2）、映射f ：A →B 是一种特殊的对应，它要求A 中的任何一个元素在B 中都有象，并且象唯一，即元素与元素之间的对应必须是“任一对唯一”，不能是“一对多”。如：引例中①不是映射。又如：设A=｛0、1、2｝，B=｛0、1、 21 ｝，对应法则f ：取倒数，可记为f:x →x 1,因A 中0无象，所以不是映射。 3）、映射f ：A →B 中，A 中不同的元素允许有相同的象，即可以“多对一”，如③。 4）、映射f ：A →B 中，不要求B 中每一个元素都有原象，如④。即若映射f ：A →B 的象集为C ，则C ?B 。 5）、映射是有顺序的，即映射f ：A →B 与f ：B →A 的含义不同。 3、概念的初步应用

一函数与映射的基本概念

一、函数与映射的基本概念 一、基本概念 1．函数的定义： 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称这样的对应“f :A →B ”为从集合A 到B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合C={y|y = f （x ）,x ∈A }叫做函数的值域)(B C ?. 函数符号y =f (x )表示“y 是x 的函数”，或简记为f (x )．这里的“f ”即对应法则，它确定了y 与x 的对应关系．从函数概念看，“定义域、值域和对应法则”是构成函数的三个要素，其中，“定义域和对应法则”是两个关键性要素，定义域和对应法则一旦确定，函数的值域也随之确定． 2、对应法则 是指y 与x 的对应关系，它含有两层意思，一是对应的过程（形式），即由x 求出y 的运算过程，一般体现在函数的解析表达式中；二是运算的结果（本质），即y 的值，两个对应法则是否相同，要看对于同一个自变量的值所得到的函数值是否相同，有时形式上不同的对应法则本质上是相同的。例如：x x x y x y ++=+=2 2 cos sin 1与的对应法则是相同的。 3、同一个函数 两个函数当且仅当定义域和对应法则二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件． 4、变换字母 在函数的定义域及对应法则不变的条件下，用不同的字母表示自变量及对应法则，这对于函数 本身并无影响，比如f （x ）=x 2+1，g （t ）= t 2+1，都表示同一函数. 5、区间及其表示方法． 区间是数学中常用的表示数集的术语与符号．设b a R b a <∈,、， 规定闭区间: [a ，b ]={}b x a x ≤≤|，开区间:（a ，b ）={}b x a x <<|， 半开半闭区间:（a ，b ]={}b x a x ≤<|，[a ，b ）={}b x a x <≤|． 其中a 、b 分别为区间的左端点、右端点，b -a 为区间长度． 符号+∞读作正无穷大，﹣∞读作负无穷大，它们都不是一个具体的数． 用+∞或-∞作为区间的端点，表示无穷区间，并且只能用开区间的形式． 如：{}a x x a >=+∞|),(，{}}|),(b x x b <=-∞，R =+∞-∞),( 6．映射的概念： 映射是两个集合间的一种特殊的对应关系，即若按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任一元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A 、B 和对应法则f ）就叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ．在映射f ：A →B 中，若A 中元素a 与B 中元素b 对应，则b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象．因而，映射可以理解为“使A 中任一元素在B 中都有唯一象”的特殊对应（即单值对应）．如果映射f ：A →B 满足①A 中不同元素在B 中有不同的象；②B 中任一元素均有原象，那么这个映射就是A 到B 上的一一映射． 7、映射与函数的关系 函数是映射，但映射不一定是函数。由映射的概念可知，函数本质上是定义在两个非空数集

高一数学《函数—映射与函数》测试题(含答案)[1]

函数—映射与函数 一. 选择题： 1. 已知下列四个对应，其中是从A 到B 的映射的是（ ） A B A B A B A B a m a m a a m b n b m n c n b p c b p (1) (2) (3) (4) A. (3)(4) B. (1)(2) C. (2)(3) D. (1)(4) 2. 已知A x x B y y =≤≤=≤≤{|}{|}0402，，从A 到B 的对应法则为：(1)f x y x :→= 1 2 ，(2)f x y x :→=-2，(3)f x y x :→=，(4)f x y x :||→=-2， 其中能构成一一映射的是（ ） A. (1)(2)(3)(4) B. (1)(2)(3) C. (1)(3) D. (1)(4) 3. 设A 到B 的映射为f x y x 121:→=+，B 到C 的映射f y z y 22 1:→=-，则A 到C 的映射f 是（ ） A. f x z x x :()→=+41 B. f x z x :→=-212 C. f x z x :→=22 D. f x z x x :→=++4412 4. 下列函数f(x)和g(x)中，表示同一函数的是（ ） A. f x x g x x x ()()== -2 1， B. f x x x g x x ()()= --=+21 1 1， C. f x x g x x ()||()== ，2 D. f x x x g x x ()||||()||=++=+121， 5. 某种玩具，每个价格为10.25元，买x 件玩具所需的钱数为f x x ().=1025元，此时x 的取值范围为（ ） A. R B. Z C. Q D. N 6. 函数y x x x =+ || 的图象是（ ）

《1.2.1 对应、映射和函数》教案新部编本

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校

《1.2.1 对应、映射和函数》教案【教学重难点】 1.了解映射、一一映射的概念； 2.初步了解映射与函数间的关系； 3.会判定一些对应关系是不是映射、一一映射． 【教学过程】 通过对教材上实例的研究，引入映射的概念. 通过映射与函数的对比，加深对函数概念的理解，进一步体会特殊与一般的辩证关系. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.映射的概念 设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象． 2.映射的定义域、值域 集合A到B的映射f可记为f：A→B或x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)． 3.一一映射的概念 如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射. 4.函数与映射的关系 由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，特殊在构成函数的两个集合A、B必须是数集. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境]大家想一想，如果我们都没有名字了，这个世界将会怎样？一个人可以有小名，有笔名，有外号，有学名，是一人多名，也可能是多人一名，但为了便于管理，政府部门规定，每人只能有一个法定的名字，这样，每个人都有了唯一确定的身份证上的名字，人与名字的关系是居民集合到声音符号集合的一种确定的对应． 在数学里，把这种集合到集合的确定性的对应说成映射． 探究点一映射的概念及应用 问题1初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例，你能举出几个？

映射与函数-数学试题

映射与函数-数学试题 班级________ 姓名________ 得分________ 一、选择题 1．映射f：A→B是定义域A到值域B上的函数，同下列结论正确的是（）．（A）A中每个元素必有象，但B中的元素不一定有原象 （B）B中的元素必有原象 （C）B中的元素只能有一个原象 （D）A或B可以是空集 2．在下列各组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）． （A） （B） （C）（D） 3．已知函数的定义域是A，函数的定义域是B，则A、B的关系是（）．

（A）A=B （B）AB （C）AB （D）A∩B=Ф 4．函数的定义域是（）． （A）（-∞，0）（B）[0，3] （C）[0，3] （D）[-3，0] 5．若函数f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（）． （A）[] （B）[] （C）[0，4] （D）[-4，4] 6．已知，则f（0）等于（）． （A）1 （B）3 （C）7 （D）9 7．在集合A到B的映射中，对于B中的任何一个元素y，以下结论中正确的是（）（A）在A中必有原象（B）在A中有唯一的原象 （C）在A中不一定有原象（D）在A中一定没有原象 8．已知映射：f：A→B，其中A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是（） （A）4（B）5（C）6（D）7 9．对于从集合A到集合B的映射，有下面四个命题，其中正确的有（）

① A中的元素在B中不一定有象 ② A中不同的元素在B中的象也不同 ③ A中的任何一个元素在B中的象是唯一的 ④ A中的任何一个元素在B中可以有不同的象 （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 10．在给定映射f：（x，y）→（xy，x+y）下，（1，2）的象是（） （A）（1，1）（B）（2，3）（C）（3，2）（D）不存在 11．设函数f（x）=x2-3x+1，则f（a）-f（-a）等于（） （A）0（B）-6a（C）2a2+2（D）2a2-6a+2 12．下列各组函数中，f（x）和g（x）表示同一函数的是（） （A）f（x）=x0，g（x）=1（B）f（x）=|x|，g（x） （B）f（x）=2x，g（x）=（D）f（x）=x2，g（x） 13．设函数f（x）-的定义域是F，g（x）=的定义域是G，则F和G的关系是（）（A）FG （B）FG

映射和函数补充练习题

映射习题补充： 1，设A= ?π,?π 3,0,π 3 ,π 2 ，B= ?1,0,1 2 ,1，定义f:x→cosx是A到B的映射。g:x→πx是B到A的映射，若g f x=π 2 ，则x= 答案：±π 3 2，已知A=a,b,c，B=?1,0,1，映射f:A→B满足f a+f b=f(c)，映射f:A→B的个数 答案：7个 3，设f:x→x2是集合A到集合B的映射，如果B={1,2}，那么A?B等于（） A．ΦB．1C．Φ或2D．Φ或1 答案：D 4，已知集合M=1,2,3,4，N={a,b,c,d}，从M到N的所有映射中满足N中恰有一个元素无原象的映射的个数是（）A．81 B．64 C．36 D．144 答案：D 5，已知映射f:A→B，其中A=B=R，对应法则f:x→y=?x2+2x，对于实数k∈B在集合A中存在不同的两个原象，则k的取值范围是（） A．k>1B．k≤1C．k≥1D．k<1 答案：D 6，设f:x→x是集合A到集合B的映射，如果A={?2,0,2}，那么A?B等于（） A．0B．2C．0,2D．?2,0 答案：C

7，已知映射f:A→B，其中A=B=R，对应法则f:x→y=?x2+2x，对于实数p∈B在集合A中不存在原象，则p的取值范围是（） A．p>1B．p≤1C．p≥1D．p<1 答案：A 8，函数f:1,2,3→{1,2,3}满足f f(x)=f(x)，则这样的函数个数共有（） A．1 B．4 C．8 D．10 答案：D 9.设集合A=a,b,c,d，B={1,2,3}，从A到B建立映射f，使f a+f b+f c+f d=8，则满足条件的映射f共有个。答案：19 10，已知集合A={1,2,3,4,5}，在从A到A的一一映射中，恰好有3个元素与自身对应的一一映射的个数为 答案：10 ，11，已知集合A=Z，B=x x=2n+1,n∈Z，C=R，且从A到B的映射是f:x→y=2x?1，从B到C的映射是g:y→1 3y+1则从A到C的映射是。 答案：x→1 6x?2 12，判断下列是否为从A到B的映射，并判断哪些是一一映射。 （1）A=x x>0，B=y y>0，f:x→y=x2,(x?A,y?B) （2）A=x x>0，B=R，f:x→y且y2=x,(x?A,y?B) （3）A=2,3，B={3,5}，f:x→y>x,(x?A,y?B) （4）A=x x>3，B=y y≥0，f:x→y=x?3,(x?A,y?B) 答案：（1）一一映射（2）不是（3）不是（4）映射

映射与函数经典练习题

2005－2006学年度上学期 高中学生学科素质训练 高一数学同步测试（4）—映射与函数 说明：本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷60分，第II 卷90分，共150分；答题时间150分钟． 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．函数y=f （x ）的图像与直线x=2的公共点共有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．0个或1个 D ．不能确定 2 若热茶杯数y 与其关系式最接近的是 （ ） A ．6y x =+ B ．42y x =-+ C ．260y x =-+ D ．378y x =-+ 3．如果f(a+b)=f(a)?f(b)且f(1)=2，则(1)(0)f f +(3)(2)f f +(5) (4)f f +…+(2005)(2004) f f 等于 （ ） A ．1002 B ．1003 C ．2004 D ．2006 4．已知函数y = f (|x |)的图象如右图所示，则函数y = f (x )的图象不可能．．． 是 5．已知映射f:A {－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B 中的元素都是A 中的元素在映射f 下的象，且对任意的a∈A，在B 中和它对应的元素是|a|，则集合B 中 的元素的个数是 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 A C D 函数y = f (｜x ｜)的图象

6．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A→B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中 的元素2n ＋n ，则在映射f 下，象20的原象是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7． 已 知 ) (,11)11(2 2 x f x x x x f 则+-=+-的解 析 式 可 取 为 （ ） A ． 2 1x x + B ．2 12x x +- C ． 2 12x x + D ．2 1x x +- 8．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y =f (x )，另一种是平均 价格曲线y =()g x (如3 =f (2)是指开始买卖后2个小时的即时价格为3元 ；3 = g (2)表示 2个小时内的平均价格为3元)．下图给出的四个图像，其中实线表示y =()f x ，虚线表示 y = ()g x ，其 中 可能 正 确 的 是 9．设函数2 (1) 1 ()41 x x f x x ?+

映射和函数含答案

￥ 第2课时 映射与函数 课时目标 1.了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射.2.知道函数与映射的关系． 1．映射的概念 设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中____________________元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的______．这时，称y 是x 在映射f 作用下的____，记作______，x 称作y 的______． & 2．一一映射 如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的______________，在集合A 中都__________，这时我们说这两个集合的元素之间存在______________，并把这个映射叫做从集合A 到集合B 的___________________________________________． 3．映射与函数 由映射的定义可以看出，映射是______概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A ，B 必须是__________． 一、选择题 1．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面说法正确的是( ) A ．A 中的每一个元素在B 中必有象 " B ．B 中每一个元素在A 中必有原象 C ．A 中的一个元素在B 中可以有多个象 D ．A 中不同元素的象必不同 2．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( ) 3．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是( ) A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝1 3 x ^ C ．f ：x →y ＝2 3 x D ．f ：x →y ＝x 4．设集合A 、B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 下，象(2,1)的原象是( )

映射的概念分类及与函数的关系

映射的概念分类及与函数的关系 1.映射：对于非空集合A、B，定义从A到B得对应法则f， 对于A中的每一个元素a，按照法则f的作用，在B中都有唯一的元素b与之对应。这就叫做从A到B得一个映射。记作f:A→B。通常把集合A叫做像集（源像），集合B 叫做像。为了理解透彻，对其有两点说明： （1）集合A的遍历性，即集合A中的所有元素都必须参与法则f的作用，也就是说A中没有“剩余” 元素，但是集合B不要求遍历性，B中可以有“剩 余”元素，即B中可以有一部分元素不存在A中 的任何元素与之对应。 （2）对应的唯一性，即对于A中的每一个元素，在法则f作用下，只能对应B中的一个元素，即“一 对一”，如果“一对多”，则不叫做映射，只能叫 做对应。所以可以说映射是对应的一个子集。同 时，“多对一”也是映射所允许的，因为它仍满足 唯一性。 2.单射：对于f:A→B，B中的每一个不“剩余”的元素b在 A中只有一个a与之对应。即除去了“多对一”的情况，但是仍然保留了B中可以有“剩余”元素这一点。 3.满射：集合B中的每一个元素在A中都至少有一个元素与 之对应。即对A、B都要求遍历性，使B中元素也没有“剩

余”的。即“满”之意。当然，也允许“多对一”。 4.双射：既单又满谓之双，即“一一对应”，A、B元素皆遍 历，并除去了“多对一”的情况。换句话说，映射f:A→B 反过来（即f:B→A）也是映射。这大概就是“双”的意思吧。其他的类型则不然，所以双射的约束是最严苛的。 5.函数：是映射的一个子集，通常将A和B限定在数集中（对 实际问题也总能够进行数学建模抽象成数域上的函数），集合A和B分别叫做定义域和值域。法则f就抽练为函数表达式。显然，它首先必须是一个满射，即值域不能有“剩余”，如果有了，则它不是函数值，当然集合B就不能叫做值域了。其次，当函数又满足双射的条件时，自然就是所谓的严格单调函数了，或者说反函数存在（当然，函数的分类有许多种，我这样的说法严格来说是不准确的。但是对于高中生，一般处理的是一元连续实函数，故可以按此理解）。 需要说明一点，本人的这些定义并不是教材上的数学语言，故希望学子们先按照课本的严格定义学习，有一定基础时再按我说的加深理解。如有错误与遗漏，敬请大家批评指正并参与讨论

映射与函数教案

映射与函数教案Mapping and function teaching plan

映射与函数教案 前言：本文档根据题材书写内容要求展开，具有实践指导意义，适用于组织或个人。便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。 课题： 对数函数 （1）——定义、图象、性质目标： 1．了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系，会求对数函数的定义域。 2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力； 3．培养坚忍不拔的意志，培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的.辩证观点。 重点：对数函数的定义、图象、性质 难点：对数函数与指数函数间的关系 过程：

一、复习引入：实例引入：回忆学习指数函数时用的实例我 们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数是分裂次数的函数，这个函数可以用指数函数 = 表示。现在，我们来研究相反的问题，如果要求 这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数就是要得到的细胞个数的函数。根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是如果用 表示自变量，表示函数，这个函数就是由反函数概念可知，与指数函数互为反函数这一节，我们来研究指数函数的反函 数对数函数 二、新课 1．对数函数的定义：函数叫做对数函数；它是指数函 数的反函数。对数函数的定义域为，值域为。 2．对数函数的图象由于对数函数与指数函数互为反函数，所以的图象与的图象关于直线对称。因此，我们只要 画出和的图象关于对称的曲线，就可以得到的图象，然后 根据图象特征得出对数函数的性质。 活动设计：由学生任意取底数作图，观察分析讨论，教师引导、整理