第2讲命题及其关系
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件
【2013年高考会这样考】
1．考查四种命题的意义及相互关系．
2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解．
3．题型主要以选择题、填空题形式出现，常与集合、几何等知识结合命题．【复习指导】
复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判定．
基础梳理
1．命题
(1)定义：用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句．
(2)特点：能判断真假、陈述句．
(3)分类：真命题、假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假判断
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．
②两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作p?q，称p是q的充分条件，q是p 的必要条件．
(2)如果既有p?q，又有q?p，记作p?q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件.
一个区别
命题的否定、否命题的区别
若p表示命题，“非p”叫做命题的否定，如果原命题是“若p，则q”，否命题是“若綈p，则綈q”，而命题的否定是“若p，则綈q”，即只否定结论．一个转换
由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．
两种方法
充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．
(2)集合法：记A＝{x|x∈p}，B＝{x|x∈q}．若A?B，则p是q的充分条件或q 是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)命题“如果b2－4ac＞0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中是真命题的个数为
()．A．0 B．1
C．2 D．3
解析原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，则b2－4ac＞0”，为真命题，则它的否命题也为真．
答案 D
2．(2011·山东)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()．
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．
答案 A
3．(2011·福建)若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
解析若a＝1，则|a|＝1，反之，若|a|＝1，则a＝±1.
∴|a|＝1 a＝1，故“a＝1”是“|a|＝1”的充分而不必要条件，所以选A.
答案 A
4．(2011·湖南)“x＞1”是“|x|＞1”的()．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
解析|x|＞1?x＞1或x＜－1，∴“x＞1”?“|x|＞1”．“|x|＞1”?/ “x＞1”．由充分与必要条件的定义可知选A.
答案 A
5．下列命题中所有真命题的序号是________．
①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；
②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；
③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．
解析①由2＞－3?/ 22＞(－3)2知，该命题为假；
②a2＞b2?|a|2＞|b|2?|a|＞|b|，该命题为真；
③a＞b?a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c?a＞b；
∴“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件为真命题．
答案②③
考向一四种命题及其关系
【例1】?(2011·威海期末)下列命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；
③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题；
④“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题；
⑤“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题．
其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号填在横线上)．
[审题视点] 分清命题的条件与结论，再结合相关知识判断．
解析①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③由于原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是真命题；④易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假；⑤逆命题为“a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”为真命题．
答案②③⑤
在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要判定命题为假命题时只需举反例；对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．
【训练1】设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．
解“当c＞0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a＞b，结论是ac＞bc.因此它的逆命题：
当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b.它是真命题；
否命题：当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；
逆否命题：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题．
考向二充分、必要、充要条件的判断
【例2】?(2011·天津)设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x －2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
[审题视点] 结合充分条件、必要条件的定义判断所给条件和结论的关系．
解析化简得A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜0}，C＝{x|x＜0，或x＞2}．∵A∪B＝C，∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．
答案 C
判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条
件q ；二是由条件q 能否推得条件p .
【训练2】 下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )． A ．p ：a ＋c ＞b ＋d ，q ：a ＞b 且c ＞d
B ．p ：a ＞1，b ＞1，q ：f (x )＝a x －b (a ＞0，且a ≠1)的图象不过第二象限
C ．p ：x ＝1，q ：x 2＝x
D ．p ：a ＞1，q ：f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数
解析 B 选项中，当b ＝1，a ＞1时，q 推不出p 成立，因而p 为q 的充分不必要条件．C 选项中，q 为x ＝0或1，不能够推出p 成立，因而p 为q 的充分不必要条件．D 选项中，p ，q 可以互推，因而p 为q 的充要条件． 答案 A
考向三 充要条件的探求
【例3】?方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( )． A ．0＜a ≤1 B ．a ＜1 C ．a ≤1 D ．
0＜a ≤1或a ＜0
[审题视点] 本题为选择题，可采用排除法；若采用直接法，应考虑a ＝0和a ≠0两种情况．
解析 法一 当a ＝0时，原方程变形为一元一次方程2x ＋1＝0有一个负实根， 当a ≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1， 设两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a ， 当有一负实根时，????
?
a ≤1，1
a
＜0?a ＜0；
有两个负实根时，?????
a ≤1，
－2
a
＜0，?0＜a ≤1.
1a ＞0
综上所述，a ≤1.
法二 (排除法)当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ；当a ＝1时，
原方程有两个相等的负实根，可以排除B ，所以选C. 答案 C
(1)解决此类问题一般是把充要条件等价转化为方程根的问题，根据判
别式以及根与系数的关系列关于参数的不等式(组)求解．
(2)①p 的充分不必要条件为q 等价于p ?q ，p ?/ q ；②p 的必要不充分条件为q 等价于p ?q ，p ?/ q .
【训练3】 关于x 的方程x 2－(2a －1)x ＋a 2－2＝0至少有一个非负实根的充要条件是________．
解析 设方程的两根分别为x 1，x 2，当有一个非负实根时，x 1x 2＝a 2－2≤0，即
－2≤a ≤
2；当有两个非负实根时，???
Δ＝(2a －1)2－4(a 2－2)≥0，
x 1＋x 2＝2a －1＞0，
x 1x 2＝a 2－2≥0
?
?????
4a ≤9，a ＞12，a ≤－2或a ≥
2，
即2≤a ≤94.综上，得－2≤a ≤94. 答案 －2≤a ≤9
4
难点突破2——高考中充要条件的求解
从近几年课改区高考试题可以看出，高考主要以选择题或填空题的形式对充分条件、必要条件内容进行考查，一般难度不大，属中档题，常与不等式、数列、向量、三角函数、导数、立体几何等内容结合考查．考查形式主要有两种：一是判断指定的条件与结论之间的关系；二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件．
判断充分、必要条件要从两方面考虑：一是必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立，该类问题虽然属于容易题，但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分． 一、充要条件与不等式的解题策略
【示例】?(2011·天津)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
二、充要条件与方程结合的解题策略
【示例】?(2011·陕西)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
三、充要条件与数列结合的解题策略
【示例】?(2010·山东)设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的()．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
四、充要条件与向量结合的解题策略
【示例】?(2010·福建)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
五、充要条件与三角函数结合的解题策略
【示例】?(2010·上海)“x＝2kπ＋π
4(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的()．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考 答案 说明：红色标注题目可以暂且不做 命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目 一、填空 1、若P，Q，为二命题，Q P→真值为0 当且仅当。2、命题“对于任意给定的正实数，都存 在比它大的实数”令F(x)：x为实数，:) , (则命题的逻辑谓词公式y L> x x y 为 。
3、谓词合式公式)( xP? ?的前束范式 x → ) (x xQ 为。 4、将量词辖域中出现的 和指导变元交换为另一变元符号，公式 其余的部分不变，这种方法称为换名规 则。 5、设x是谓词合式公式A的一个客体变 元，A的论域为D，A(x)关于y是自由的，则 被称为存在量词消去规则，记为ES。 6．设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则 → ∨ Q P? ∨ ?的真值 → ∧ ? (S ))) ( R ( ) P R ( = 。 7．公式P ∧) ( ) (的主合取范式为 ∨ R S R P? ∨ ∧
。 8．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)( xP? → ?在I下真值为 xP ) (x x 。 9. P：你努力，Q：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为 ；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为 。 10. 论域D={1，2}，指定谓词P 则公式),(x y ?真值 x? yP 为。 11.P，Q真值为0 ；R，S真值为1。则
∧ wff∧ R ∨ → )) ∧的真值∨ S P )) P ) ( ( (( Q R (S 为 。 12. R ?) ) ((的主合取范式 ∧ R Q ∨ P wff→ 为 。 13.设 P（x）：x是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x是奇数 N (x,y)：x可以整数y。则谓词))) x y O P y ?的自然语言是 → ? wff∧ x ( ) ( N ( , y ( (x ) 。 14.谓词)),,( x y z P x z ?的前束 ? P ? ∧ → wff? y ) , ( , )) y ( z ( uQ x (u 范式为 。
逻辑学第三版答案第五章 复合命题及其推理
第五章复合命题及其推理 一、分析下列语句各表达什么复合命题？请写出其逻辑式。 1.书山有路巧为径，学海无涯乐作舟。 答：这是一个二支联言命题，可表示为：p∧q 2．只有发展外向型经济，才能打入国际市场。 答：这是一个必要条件假言命题，可表示为：p←q 3．但凡家庭之事，不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。 答：这是一个二支不相容选言命题，可表示为：p q 4．并不是每一个科学家都是上过大学的。 答：这是个负A 命题，它等值一个O 命题：?(SAP) ←→ SOP 5．足球的进攻方式，主要是中路突破，此外或边线进攻，或长传短切，或单刀直入。 答：这是一个四支不相容选言命题：p q r s 6．法律如果并且只有推开特权的大门，才能跨进人民的心。 答：这是一个充分必要条件假言命题：p←→ q 二、下列语句是否表达选言命题？如表达，各表达什么选言命题？请 写出逻辑式。 1．身体不好，或者是由于有病，或者是由于锻炼差，或者是由于营养 不良。 答：表达一个三支相容选言命题：p∨q∨r 2．这堂课是你上，还是我上？ 答：表达一个二支不相容选言命题：p q 3．这次围棋名人赛，要么小林光一取得胜利，要么马晓春取得胜利。答：表达一个二支不相容选言命题：p q 4．雇用的女工大抵非馋即懒，或者馋而且懒。 答：表达一个二支相容选言命题，用p 表示“女工馋”，用q 表示“女 工懒”，其逻辑式为：p∨q，也可理解为三支不相容选言命题：（?p∧q） (p∧?q) (p∧q),二者等值。 三、下列语句是否表达假言命题？如表达，各表达哪种假言命题？请 写出它们的逻辑式。 1．一人抽烟，大家受害。 答：表达一个充分条件假言命题：如果一人抽烟，那么大家受害，p →q 2．人们首先必须吃、喝、住、穿，然后才能从事政治、科学、艺术、 宗教等等。 答：表达一个必要条件假言命题：p←q 3．如果说幼年时期的无知是天真的表现的话，那么，成年以后还满足 于自己的无知就是愚蠢的表现了。 答：这个假设句不表达假言命题，而表达转折联言命题。 4．人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。 答：表达一个充分必要条件假言命题，用p 表示"人犯我"，用q 表示 “我犯人”：p←→q 5．没有共产党，就没有新中国。 答：可有两种理解：一是充分条件假言命题，一是必要条件假言命题。
2021版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件教案
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件 一、知识梳理 1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件p?q且q?/p p是q的必要不充分条件p?/q且q?p p是q的充要条件p?q p是q的既不充分也不必要条件p?/q且q?/p 才有“p?q”，即“p?q”?“若p，则q”为真命题． 常用结论 1．充要条件的两个结论 (1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件． (2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．
2．一些常见词语及其否定 词语 是 都是 都不是 等于 大于 否定 不是 不都是 至少一个是 不等于 不大于 1．(选修1-1P8A 组T2改编)命题“若x 2 >y 2 ，则x >y ”的逆否命题是( ) A ．“若x
命题逻辑复习题和答案
. 命题逻辑 一、选择题（每题3分） 1、下列句子中哪个是命题？(C) A、你的离散数学考试通过了 吗？ B 、请系好安全带！ C、是有理数 D 、本命题是假的 2、下列句子中哪个不是命 题？(C) A、你通过了离散数学考试 B 、我俩五百年前是一家 C、我说的是真话 D 、淮海工学院是一座工厂 3、下列联接词运算不可交换的 是(C) A、B、 C 、 D 、 4、命题公 式P Q不能表述为(B) A、P或Q B 、非P每当QC、非P仅当Q D、除非P，否则Q 5、永真式的否定是(B) A、永真式 B 、永假 式 C 、可满足式 D 、以上答案均有可能 6、下列哪组赋值使命题公 式P(P Q)的真值为假(D) A、P假Q真 B、P假Q假C 、P真Q真D、P真Q假 7、下列为命题公式P (Q R)成假指派的是(B) A、100 B 、101 C 、110 D 、111 8、下列公式中为永真式的是(C) A、P(PQ) B、P (PQ) C、(PQ) Q D、(PQ)Q 9、下列公式中为非永真式的是(B) A、(P P) Q B、(P P) Q C、P(P Q) D、P(PQ) 10、下列表达式错误的是(D) A、P(PQ) P B 、P(PQ) P C、P(PQ)PQ D 、P(PQ)PQ 11、下列表达式正确的是(D) A、PPQ B、PQP C、Q (P Q) D、(PQ)Q 12、下列四个命题中真值为真的命题为(B) （1）2 2 4当且仅当3是奇数（2）2 2 4 当且仅当3不是奇数； （3）2 2 4当且仅 当3是奇数（4）2 24当且仅当3不是奇数 A、（1）与（2） B 、（1）与（4）C、（2）与（4） D 、（3）与（4） 13、设P：龙凤呈祥是成语，Q：雪是黑的，R：太阳从东方升起，则下列假命题为(A) A、P Q R B 、Q P S C、P Q R D 、Q P S 14、设P：我累，Q：我去打球，则命题：“除非我累，否则我去打球”的符号化为（ B ） A、PQ B 、P Q C、PQ D、P Q 15、设P：我听课，Q：我睡觉，则命题“我不能一边听课，一边睡觉”的符号化 为(B) A、PQ B 、P QC、PQ D、P Q 提示：(P Q) P Q 16、设P：停机；Q：语法错误；R：程序错误， 则命题“停机的原因在于语法错误或程序错误”的符号化为（ D） A、PQR B、P QR C、QRP D、QRP 17、设P：你来了；Q：他唱歌；R：你伴奏 则命题“如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而的符号化为（D ）
命题及其关系
命题及其关系 知识点： 1. 命题： 1.1 概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 1.2 分类： 真命题 假命题 1.3 关系： 原命题 逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则 这两个命题称为互逆命题。 若原命题为“若p ，则q”，它的逆命题为“若q ，则p” 否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结 论的否定，则这两个命题称为互否命题 若原命题为“若p ，则q”，则它的否命题为“若 p ，则 q” 逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和 条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题 若原命题为“若 ，则 ”，则它的逆否命题为“若 ，则 ” 1,4 四种命题的真假性：（有且仅有一下四种情况） 规律： 1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 2. 充分必要条件： 2.1 概念： 若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 全称量词：“?” 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词 存在量词：“?” 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词 全称命题：含有全称量词的命题 “对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ” 特称命题：含有特称量词的命题
“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 2.2 命题之间关系： 1）“且” p q ∧ 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题； 当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 2）“或” p q ∨ 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题 3）“非” p ? 若p 是真命题，则p ?必是假命题 若p 是假命题，则p ?必是真命题 2.3 全称命题的否定 全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?． 全称命题的否定是特称命题． 练习： 1. 给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 2. 设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是?( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 3. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 设x∈R,则“2-x≥0”是“|x -1|≤1”的?( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
逻辑学第三版答案第五章-复合命题及其推理
逻辑学第三版答案第五章-复合命题及其推理
第五章复合命题及其推理 一、分析下列语句各表达什么复合命题？请写出其逻辑式。 1.书山有路巧为径，学海无涯乐作舟。 答：这是一个二支联言命题，可表示为：p∧q 2．只有发展外向型经济，才能打入国际市场。 答：这是一个必要条件假言命题，可表示为：p←q 3．但凡家庭之事，不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。 答：这是一个二支不相容选言命题，可表示为：p q 4．并不是每一个科学家都是上过大学的。 答：这是个负A 命题，它等值一个O 命题：?(SAP) ←→ SOP 5．足球的进攻方式，主要是中路突破，此外或边线进攻，或长传短切，或单刀直入。 答：这是一个四支不相容选言命题：p q r s 6．法律如果并且只有推开特权的大门，才能跨进人民的心。 答：这是一个充分必要条件假言命题：p←→ q 二、下列语句是否表达选言命题？如表达，各表达什么选言命题？请 写出逻辑式。 1．身体不好，或者是由于有病，或者是由于锻炼差，或者是由于营养 不良。 答：表达一个三支相容选言命题：p∨q∨r 2．这堂课是你上，还是我上？ 答：表达一个二支不相容选言命题：p q 3．这次围棋名人赛，要么小林光一取得胜利，要么马晓春取得胜利。答：表达一个二支不相容选言命题：p q 4．雇用的女工大抵非馋即懒，或者馋而且懒。 答：表达一个二支相容选言命题，用p 表示“女工馋”，用q 表示“女 工懒”，其逻辑式为：p∨q，也可理解为三支不相容选言命题：（?p∧q）(p∧?q) (p∧q),二者等值。 三、下列语句是否表达假言命题？如表达，各表达哪种假言命题？请 写出它们的逻辑式。 1．一人抽烟，大家受害。 答：表达一个充分条件假言命题：如果一人抽烟，那么大家受害，p →q 2．人们首先必须吃、喝、住、穿，然后才能从事政治、科学、艺术、 宗教等等。 答：表达一个必要条件假言命题：p←q 3．如果说幼年时期的无知是天真的表现的话，那么，成年以后还满足 于自己的无知就是愚蠢的表现了。 答：这个假设句不表达假言命题，而表达转折联言命题。 4．人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。 答：表达一个充分必要条件假言命题，用p 表示"人犯我"，用q 表示 “我犯人”：p←→q 5．没有共产党，就没有新中国。 答：可有两种理解：一是充分条件假言命题，一是必要条件假言命题。
命题逻辑练习题附答案
命题逻辑练习题 一、从五个备选答案中选择一个正确地答案,并做出简要地分析： 1、古代一位国王率领张、王、李、赵、钱五位将军一起打猎,各人地箭上均刻有自己地姓氏.围猎中,一只鹿中箭倒下,但却不知是何人所射.国王令众将军猜测. 张说：“或者是我射中地,或者是李将军射中地.” 王说：“不是钱将军射中地.” 李说：“如果不是赵将军射中地,那么一定是王将军射中地.” 赵说：“既不是我射中地,也不是王将军射中地.” 钱说：“既不是李将军射中地,也不是张将军射中地.” 国王令人把射中鹿地箭拿来,看了看,说：“你们五位将军地猜测,只有两个人地话是真地.” 根据国王地话,可以判定以下哪项是真地 A、张将军射中此鹿. B、王将军射中此鹿. C、李将军射中此鹿. D、赵将军射中此鹿. E、钱将军射中此鹿. 1、某大学进行演讲比赛,得第一名地只有一人.在对六个参赛者进行名次预测时,四人作了如下预 测： 甲：取得第一名地要么是我,要么是乙. 乙：取得第一名地要么是甲,要么是丙. 丙：如果不是戊取得第一名,就一定是己. 丁：第一名决不会是甲. 比赛结果发现,只有一个人地预测正确.请问谁得第一名谁地预测正确 A、甲得第一名,乙地预测正确. B、乙得第一名,甲地预测正确. C、丙得第一名,乙地预测正确. D、丁得第一名,丁地预测正确. E、戊得第一名,丙地邓测正确. 2、销售经理地人选,对于一个公司地生存和发展十分重要.哈维珍珠有限责任公司对于销售经理地 任用,就非常填重.由于前任销售经理因故离任,关于公司新销售经理地人选,甲、乙、丙三位董 事经过充分考虑,提出了他们地意见： 甲：要么聘用李先生,要么聘用王先生. 乙：如果不聘用李先生,那么也不聘用王先生. 丙：如果不聘用王先生,那么就聘用李先生. 以下诸项中,能同时满足甲、乙、丙三位董事意见地方案是哪一项
四种命题及其关系
第2讲 四种命题及其关系 【学习目标】 1．了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论； 2．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假； 3．能熟练判断命题的真假性. 【要点梳理】 要点一、命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题. 要点诠释： 1. 不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“2x >”，“2不一定大于3”. 2. 只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“π是有理数吗？”、“今天天气真好！”等. 3. 语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性. 要点二、命题的结构 命题可以改写成“若p ，则q ”的形式，或“如果p ，那么q ”的形式.其中p 是命题的条件，q 是命题的结论. 要点诠释： 1. 一般地，命题“若p 则q ”中的p 为命题的条件q 为命题的结论. 2. 有些问题中需要明确指出条件p 和q 各是什么，因此需要将命题改写为“若p 则q ”的形式. 要点三、四种命题 原命题：“若p ，则q ”； 逆命题：“若q ，则p ”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置； 否命题：“若非p ，则非q ”，或“若p ?，则q ?”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定； 逆否命题：“若非q ，则非p ”，或“若q ?，则p ?”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定. 要点诠释： 对于一般的数学命题，要先将其改写为“若p ，则q ”的形式，然后才方便写出其他形式的命题. 要点四、四种命题之间的关系 四种命题之间的构成关系
复合命题及其推理答案
第四章复合命题及其复合命题推理答案 一、填空题 1.复合命题的逻辑性质是由联结词的逻辑性质决定的，复合命题的真假是由支命题的真假决定的。 2.只有在前件真而后件假时，充分条件假言命题才假。 3.“老赵、老李、老孙三人中至少有一个人是火车司机”这一复合命题的逻辑形式是 p∨q∨r 。 4.当q真时，p→q 真，p∨q 真；当?p∨q为真且q为假时，p的取值为假。 5.若p→q取值为假，则?p∨q 假，p∧?q 真。 6.已知p真且q假，则p∧q 假；p∨q 真； p→q 假； p←q 真；p←→q 假。 二、单项选择题 1.两个假言命题的逻辑形式相同，是指（ D ）相同。 A.前件和后件 B.前件和联结词 C.后件和联结词 D.联结词 2.“要么甲，要么乙”这个命题的逻辑含义是（ D ） A.甲和乙必有一真，并可同真 B.甲和乙至少一真，也可同假 C.甲和乙必有一假，也可同假 D.甲真或乙真，但不可同真 3.下列推理形式中，正确的是（ C ） A.（p←→q）∧?p→q B.（p→?q）∧p→q C.（?p∧q）→（q∧?p） D.（p∨?q∨r）∧?q→（p∨r） 4.要使（?p（）q）∧p→?q成为有效式，括号里应填入联结词（ D ） A.∨ B.∧ C.→ D.← 5.“如果某人未犯法，那么某人未犯罪；某人犯罪，所以，某人犯法。”这个推理属于充分条件假言推理的（D） A.肯定前件式 B.肯定后件式 C.否定前件式 D.否定后件式 6.“如果患了肺炎，就会发烧；此人发烧，所以，他患了肺炎。”这个推理属于（ B ） A.有效的充分条件假言推理 B. 非有效的充分条件假言推理 C.有效的必要条件假言推理 D. 非有效的必要条件假言推理 7.“一个推理结论不必然正确，或者是由于前提虚假，或者是由于推理形式不正确；这个推理结论不必然正确是由于前提虚假；所以，整个推理结论不必然正确不是由于推理形式不正确。”这个推理是（ C ） A.正确的相容选言推理 B. 正确的不相容选言推理 C.错误的相容选言推理 D. 错误的不相容选言推理 8.若p、q都为假，则与“p或者q”等值的命题是（ C ） A.如果p，那么q B.只有p，才q 并且q 当且仅当q 9.与“只有非p，才非q”等值的命题是（ B ） A.如果非p，则非q B.如果非q，则非p C.如果p，则非q 并且非p 三、双项选择题 1.下列推理形式中，有效式是（ AB ） A.（p∧q∧r）→（p∧r ） B.（?p→?q）∧q→p C.（p∨q）∧p→?q D.（?p←q )∧?p→q E.（p→?q）∧?p→q 2.下列推理形式中，无效式是（AC）
命题逻辑练习题
《离散数学》命题逻辑部分练习题 一、选择题 1．下列句子中，（ ）是命题。 A ．2是常数。 B ．这朵花多好看呀！ C ．请把门关上！ D ．下午有会吗？ 2．令p : 今天下雪了，q :路滑，r :他迟到了。则命题“下雪路滑，他迟到了” 可符号化为（ ）。 A. p q r ∧→ B. p q r ∨→ C. p q r ∧∧ D. p q r ∨? 3．令:p 今天下雪了，:q 路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化 为（ ）。 A. p q ∧? B. p q ∧ C. p q ∨? D. p q →? 4．设()P x :x 是鸟，()Q x :x 会飞，命题“有的鸟不会飞”可符号化为（ ）。 A. ()(()())x P x Q x ??→ B. ()(()x P x ??∧())Q x C. ()(()())x P x Q x ??→ D. ()(()x P x ??∧())Q x 5.设()F x :x 是人，()G x :x 犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（ ）。 A ．(()())x F x G x ?∧ B ． (()())x F x G x ??→? C ．(()())x F x G x ??∧ D ． (()())x F x G x ??∧? 6.下列命题公式不是永真式的是（ ）。 A. ()p q p →→ B. ()p q p →→ C. ()p q p ?∨→ D. ()p q p →∨ 7．下列式子为矛盾式的是（ ）。 A ．()p p q ∨∧ B ．p p ∨? C ．p p ∧? D ． ()p q p q ?∨??∧? 8．命题：“所有马都比某些牛跑得快” 的符号化公式为( )。 假设：H(x )：x 是马；C(x )：x 是牛；F(x,y )：x 跑得比y 快。 A. ()(()()(()(,)))x H x y C y F x y ?∧?∧ B. ()(()()(()(,)))x H x y C y F x y ?→?→ C. ()(()()(()(,)))x H x y C y F x y ?→?∧ D. ()()(()(()(,)))y x H x C y F x y ??→→ 二、计算题（仅给出部分题目的解题思路，未给出答案自己完成）
2013届高考数学(理) 集合与常用逻辑用语第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件(人教A版)
2013届高考数学(理) 集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件(人教A版)
2013届高考数学（理）一轮复习教案：第一篇集合与 常用逻辑用语 第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件【2013年高考会这样考】 1．考查四种命题的意义及相互关系． 2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解． 3．考查题型主要以选择题、填空题形式出现，常与集合、几何等知识结合命题．【复习指导】 复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判 定． 基础梳理 1．命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题 命题表述形式 原命题若p，则q 逆命题若q，则p 否命题若綈p，则綈q 逆否命题若綈q，则綈p (2)四种命题间的逆否关系
(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件． 一个区别 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法． 两条规律 (1)逆命题与否命题互为逆否命题； (2)互为逆否命题的两个命题同真假． 三种方法 充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p?q”为真，则p是q的充分条件． (2)等价法：利用p?q与綈q?綈p，q?p与綈p?綈q，p?q与綈q?綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
高中数学 第2讲 命题及其关系、充要条件
第2讲命题及其关系、充要条件 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(·重庆卷改编)命题“若p，则q”的逆命题是________． 解析根据原命题与逆命题的关系可得：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”． 答案若q，则p 2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题． 答案若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3 3．(·南通调研)“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行” 的________条件． 解析因为两直线平行，所以(a2－a)×1－2×1＝0，解得a＝2或－1. 答案充分不必要 4．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是________．解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”． 答案若x＋y不是偶数，则x、y不都是偶数 5．A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B” 是“x∈C”的________条件． 解析由题意得，A＝{x∈R|x>2}，A∪B＝{x∈R|x<0，或x>2}，C＝{x∈R|x<0，或x>2}，∴A∪B＝C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件． 答案充分必要 6．(·盐城调研)“m<1 4”是“一元二次方程x 2＋x＋m＝0有实数解”的________ 条件．
解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14. 答案 充分不必要 7．已知a ，b ，c 都是实数，则在命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”与它的逆命题、 否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________． 解析 当c 2＝0时，原命题不正确，故其逆否命题也不正确；逆命题为“若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，逆命题正确，则否命题也正确． 答案 2 8．(·扬州模拟)下列四个说法： ①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真； ②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件； ④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真． 其中说法不正确的序号是________． 解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真 命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0 或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命 题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确． 答案 ①② 二、解答题 9．判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． 解 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根． 逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0. 判断如下： ∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a ＜0，∴a ＜－14＜0. ∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题． 10．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0(a >0)．若p 是q 的充分不必要
逻辑学复合命题及其推理附加习题Ⅰ参考答案
逻辑学复合命题及其推理附加习题Ⅰ参考答案集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
复合命题及其推理附加习题Ⅰ参考答案一、单选题 1．两个假言命题的逻辑形式相同，其相同的是（ D ） A．前件和后件B．前件和联结词 C．后件和联结词D．联结词【主联结词】 2．如果一个包含两个选言支的不相容选言命题为真，则其两个选言支（ D ）A．可同真且可同假B．可同真但不可同假 C．不可同真但可同假D．不可同真不可同假 3．下列命题形式中，与既不同真又不同假的是（ C ） A．p→q B．p←q C．pq D．p∨q 4．若“如果某甲掌握两门外语，那么他精通逻辑”为假，则下列为真的是（ B ）A．某甲掌握两门外语并且精通逻辑B．某甲掌握两门外语但不精通逻辑 C．某甲没掌握两门外语但精通逻辑D．某甲没掌握两门外语也不精通逻辑 5．以“A并且B”和“非B或者C”为前提进行演绎推理，可得出的结论是（ C ）A．A并且非B B．B并且非C C．B并且C D．A并且非C 6．在下列表达式中，正确表达直言命题中的A命题与O命题之间真假关系的是（ D ）A．A→﹁O B．﹁A→O C．A∨O D．
7．命题“老赵、老钱、老孙三人至少有一人是复员军人”可表示为（ C ）A．(p∧q)∨r B． C．p∨q∨r D．p→(q∧r) 8．“不是在保守中落后，就是在改革中进步”与“不是在保守中落后，而是在改革中进步” 这两个命题（ D ） A．都是选言命题 B．都是联言命题 C．前者为联言命题，后者为选言命题 D．前者为充分条件命题，后者为联言命题 注意，“不是在保守中落后，就是在改革中进步”的意思是“如果不是在保守中落后，那么就是在改革中进步”，是充分条件命题；也可以看作选言命题。9．“这部作品或者思想性不强，或者艺术性不高，或者既思想性不强又艺术性不高”这一命题应符号化为（ C ） A．p∨q∨r B． C．p∨q D． 解析：不相容析取命题为真，当且仅当，一个析取支为真。选项B和D显然不符合不相容析取命题的特征。 相同命题表示为相同符号，这是符号化的一个基本原则。如果以p表示“思想性不强”，以q表示“艺术性不高”，那么这个符合命题应当符号化为： p∨q∨(p∧q)。 由合取对析取的分配律，即A∨(B∧C)=(A∨B)∧(A∨C)可得， p∨q∨(p∧q)=(p∨q∨p)∧(p∨q∨q) 由析取结合律可得，
逻辑学 复合命题及其推理习题I 参考答案
UNIT 5 —复合命题及其推理理习题I I. 符号化运?用所提供的简写模式，将下列列陈述翻译为符号。 1.庄稼将会枯死，除?非天下?雨。（C: 庄稼将会故事；R: 天下?雨。） 翻译为：C V R 或者￢R →C 2.罗伯特缺乏?自由。（R:罗伯特是?自由的。） 翻译为：￢R 3.如果史密斯不不能赢，那么要么琼斯赢要么史密斯和琼斯平?手。（S:史密斯赢；J: 琼斯 赢；T: 史密斯和琼斯平?手。） 翻译为：￢S→(J ?￢T) 4.蛇是哺乳动物，仅当蛇?用奶喂养它们的后代，但蛇并不不?用奶喂养它们的后代。（M：蛇 是哺乳动物；N: 蛇?用奶喂养它们的后代。） 翻译为：(M →N)∧￢N 5.Marie Curie作为?一个科学家是?一个必要条件，?而不不是充分条件，因为他是物理理学家。 （S: Marie Curie 是?一个科学家；P:Marie Curie是?一个物理理学家。） 翻译为：(P → S) ∧￢(S → P) II．如果A、B和C都是真陈述，并且X，Y，Z是假陈述，下列列复合陈述哪些是真的？ 1.￢{[(￢A ∧ B) ∧(￢X ∧ Z)] ∧￢[(A ∧￢B) ∨￢（￢Y ∧￢Z）]} 真 2.￢{￢[(B ∧￢C)∨(Y ∧￢Z)] ∧[(￢B∨X)∨(B∨￢Y)]} 假 3.{[A→(B→C)]→[(A∧B)→C]}→[(Y→B)→(C→Z)] 假 4.{[(X→Y)→Z]→[Z→(X→Y)]}→[(X→Z)→Y] 假 III. 如果已知A和B为真，X和Y为假，但不不知P和Q的真值，能确定下列列哪些复合陈述的真值？ 5.￢[￢P∨(￢Q∨A)]∨[￢(￢P∨Q)∨(￢P∨A)] 真 6.￢[(P∧Q)∨(Q∧￢P)]∧￢[(P∧￢Q)∨(￢Q∧￢P)] 假 7.[P→(A∨X)] →[(P→A) →X] 假
命题逻辑复习题及答案.docx
命题逻辑 一、选择题（每题3分） 1、下列句子中哪个是命题？( C ) A、你的离散数学考试通过了吗？ B、请系好安全带！ C、是有理数 D、本命题是假的 2、下列句子中哪个不是命题？( C ) A、你通过了离散数学考试 B、我俩五百年前是一家 C、我说的是真话 D、淮海工学院是一座工厂 3、下列联接词运算不可交换的是( C ) A、B、C、D、 4、命题公式不能表述为( B ) A、或 B、非每当 C、非仅当 D、除非，否则 5、永真式的否定是( B ) A、永真式 B、永假式 C、可满足式 D、以上答案均有可能 6、下列哪组赋值使命题公式的真值为假( D ) A、假真 B、假假 C、真真 D、真假 7、下列为命题公式成假指派的是( B ) A、B、C、D、 8、下列公式中为永真式的是( C ) A、B、C、D、 9、下列公式中为非永真式的是( B ) A、B、C、D、 10、下列表达式错误的是( D ) A、B、 C、D、 11、下列表达式正确的是( D ) A、B、C、D、 12、下列四个命题中真值为真的命题为( B ) （1）当且仅当是奇数（2）当且仅当不是奇数； （3）当且仅当是奇数（4）当且仅当不是奇数 A、（1）与（2） B、（1）与（4） C、（2）与（4） D、（3）与（4） 13、设：龙凤呈祥是成语，：雪是黑的，：太阳从东方升起，则下列假命题为( A ) A、B、C、D、 14、设：我累，：我去打球，则命题：“除非我累，否则我去打球”的符号化为（B ） A、B、C、D、 15、设：我听课，：我睡觉，则命题“我不能一边听课，一边睡觉”的符号化为( B ) A、B、C、D、 提示： 16、设：停机；：语法错误；：程序错误， 则命题“停机的原因在于语法错误或程序错误”的符号化为（D ） A、B、C、D、 17、设：你来了；：他唱歌；：你伴奏
命题及其关系练习题
1.1 命题及其关系 校本作业 一、选择题： 1.（基础题）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（） A. 100 B. 99 C. 98 D. 97 2.（基础题）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cos A=， 则b=（） A. B. C. 2 D. 3 3.（中档题）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（） A. B. C. D. 4.（中档题）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积 为（） A. B. C. D. 5.（提高题）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x-1）＜f（） 的x取值范围是（） A. B. C. D. 6.（提高题）已知是奇函数，当时，当时，等 于 A. B. C. D. 二、填空题： 7.（基础题）若命题“?t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 8.（中档题）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（-∞，0）时，f（x）=2x3+x2， 则f（2）=______． 9.（提高题）已知y=f（x）是一次函数，且有f[f（x）]=16x-15，则f（x）的解析式 为______ ． 三、解答题： 10.（基础题）设p：实数x满足x2+2ax-3a2＜0（a＞0），q：实数x满足x2+2x-8＜0， 且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
11.（中档题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A） =c． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 12.（提高题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方 形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°． （Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC； （Ⅱ）求二面角E-BC-A的余弦值．
高考数学一轮专题复习：第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
高考数学一轮专题复习：第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共12题；共24分) 1. （2分） (2018高二上·大庆期中) 命题“若x2＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是（） A . 若，则或 B . 若，则 C . 若或，则 D . 若或，则 2. （2分）下列命题中，正确命题的个数是（） ①命题“?x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““?x∈R，都有x3+1＞0”． ②双曲线（a＞0，a＞0）中，F为右焦点，A为左顶点，点B（0，b）且=0，则此双曲线的离心率为． ③在△ABC中，若角A、B、C的对边为a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1，则a、c、b成等比数列． ④已知，是夹角为120°的单位向量，则向量λ+与﹣2垂直的充要条件是λ=． A . 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D . 4 个 3. （2分）(2020·上饶模拟) 已知直线平面，则“直线”是“ ”的（） A . 充分但不必要条件 B . 必要但不充分条件
C . 充要条件 D . 既不充分又不必要条件 4. （2分）已知则""是""成立的（） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 5. （2分）命题“若≠，则且”的逆否命题是（） A . 若≠，则≠且≠ B . 若≠，则≠或≠ C . 若且，则≠ D . 若≠或≠，≠ 6. （2分） (2019高一上·北京期中) 对于集合，给出如下三个结论：①如果 ，那么；②如果，那么；③如果，，那么 .其中正确结论的个数是（） A . 0 B . 1 C . 2 D . 3 7. （2分） (2016高二下·昆明期末) 有下列命题中，正确的是（） A . “若，则”的逆命题
复合命题及其推理详细讲解
第3讲复合命题及其推理 【复合命题，是指由简单命题通过联结词而构成的命题。由于联结词的不同，复合命题就有联言命题、选言命题、假言命题等不同的种类形式。】 3、1 联言命题及其推理 1、联言命题 联言命题就是断定事物的若干种情况同时存在的命题。 例如，“鲁迅是文学家并且是思想家”。 联言命题的一般公式是：p并且q；也可表示为 p∧q 。 其中，“并且”（现代逻辑上通常用符号“∧”表示，涵义为“合取”）为联结词，p、q称为联言肢（联言命题的肢命题）。 日常语言中的“…和…”、“既…又…”、“不但…而且…”、“虽然…但是…”等表示并列关系、递进关系、转折关系的语词都是“并且”的意思。 一个联言命题是真的，则其每一个肢命题都必须是真的。只要有一个肢命题假，则联言命题就是假的。 联言命题的真假特征可以表示如下： p q p∧q 真真真 真假假 假真假 假假假 2、联言推理 联言推理就是前提或结论为联言命题，并且根据联言命题的逻辑特征所进行的推理。一个联言命题是真的，当且仅当其所有肢命题是真的。联言推理的推理形式有分解式和组合式。 分解式就是由前提中一个联言命题为真推出其任一肢命题为真的联言推理。公式是： p并且q p并且q p 或者 q 组合式就是由前提中一些肢命题为真推出这些肢命题所组成的联言命题为真的联言推理。公式是： p q p并且q 应用例： 例题1-联言推理 ■李娜心中的白马王子是高个子、相貌英俊、博士。她认识王威、吴刚、李强、刘大伟四位男士，其中只有一位符合她所要求的全部条件。 (1)四位男士中，仅有三人是高个子，仅有两人是博士，仅有一人相貌英俊。 (2)王威和吴刚都是博士。 (3)刘大伟和李强身高相同。 (4)每位男士都至少符合一个条件。 (5)李强和王威并非都是高个子。 请问谁符合李娜要求的全部条件? A．刘大伟。B．李强。 C．吴刚。 D．王威。 例题2-联言推理 ■只有具备足够的资金投入和技术人才，一个企业的产品才能拥有高科技含量。而这种高科技含量，对于一个产品长期稳定地占领市场是必不可少的。
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第二章第一节命题和推理概述 一、命题与判断、语句 命题是通过语句来反映事物情况的思维形式。(proposition) 命题的主要特征是有真假。命题总是或真(true)或假的(false)。 逻辑学把命题的真和假称为命题的真值(Truth)，真命题有真的真值，假命题有假的真值。真值简称为值。 “李白是唐代诗人。” ? “美国是有2000年历史的国家。” ? 命题与判断、语句 语句(sentence)是一组表示事物情况的声音或笔画，是命题（包括判断）的物质载体。 判断(judgment)就是对事物情况有所断定（肯定或否定）的思维形式。 陈述(statement)是由陈述句表达的思想内容。 命题与判断、语句 语句是命题(包括判断)的物质载体。命题是语句的思想内容。 命题总是一种语句，但只有表达一种要么真要么假的思想的语句才是命题。 同一个命题可以用不同的语句来表达；?同一个语句还可以表达不同的命题。 人总是要死的。 没有人是不死的。 不死的人是没有的。 难道有不死的人吗？? ? 他翻身了。 那是白头翁。 小王在火车上画画。 二、命题形式及其种类 任何命题都有内容和形式两个方面。命题内容是指命题所反映的事物情况，命题形式(propositional form)是指命题内容的联系方式，即命题的逻辑形式。 命题内容不同，却可以有共同的逻辑形式。 命题的种类 性质命题 简单命题 关系命题 非模态命题 联言命题 复合命题选言命题 命题假言命题 负命题 模态命题（包括规范命题） 简单命题和复合命题 简单命题的构成成分是主词、谓词、系词、量词。 复合命题的构成成分是命题和联结词。 构成复合命题的简单命题叫作复合命题的肢命题又叫子命题），用p、q、r……表示。 联结词称为命题联结词，命题联结词对复合命题有决定性作用，它们决定着复合命题
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