第三十七讲如何处理团队冲突

第37讲如何处理团队冲突（二）

【本讲重点】

对五种处理方式的分析

不同情况下采用的处理方式

【自检】

在实践中，你认为哪一种解决冲突的方式效果最好？

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对五种处理方式的分析

1.竞争

处理事情的办法就是要么你对我错，要么我对你错。

优点：快，能立即分出胜负来。

缺点：不能解决任何问题，全凭的是权力的压力。

2.回避

处理事情时不合作也不武断，你不找我我也不找你。

优点：不发生冲突，回避矛盾，个人得益。

缺点：公司受到损害，很多工作没有人去做，工作积压。

3.迁就

牺牲一方的利益，满足对方的要求。

优点：尽快地处理事情，可以私下解决，不用找上司，可以维护比较好的人际关系。

缺点：本身并没有解决问题，岗位职责没有得到维护。

4.妥协

双方各让半步，在一定程度上满足对方的一些要求。

优点：双方的利益都照顾到了，比较快或能够及时达成共识。

缺点：一些根源性的问题没有解决。

5.合作

双方彼此尊重，不牺牲任何一方的利益。

优点：能够彻底地解决冲突双方的问题，并找出解决此类问题的办法，而且通过事先的约定，防止下一次类似问题的发生。

缺点：成本太高，双方需要来回地沟通。

不同的情况下采用的处理方式

这五种方式各有优缺点，那么，什么情况下该用哪种方式呢？这和《时间管理》中讲到的第二象限工作法有相通的地方。

图37－1 第二象限工作法

既紧急又重要的工作采取竞争的方式解决

一提起竞争，就让人想到两败俱伤的结局，就认为竞争是不好的，不可取的。其实并非如此，并不是在任何情况下采取竞争的方式都是不可取的。在某些情况下，采取竞争策略是行之有效而且是十分必要的,在有些情况下必须使用竞争方式。

那么，在什么情况下应采取竞争的策略呢？

(1)情景一：处于紧急情况下，需要迅速果断地作出决策并要及时采取行动时；

例：“有一份重要合同明天就要与其他公司签约了，你们部门如果不管这件事，我们部门就要管了”。

在这种情况下，最好的策略就是竞争。

这时，假如双方都采取回避的策略，你们部门不管，我们部门也不管，势必会影响公司按时签约，从而使公司的利益受到损失。

这时，假如其中一个部门想与另一个部门进行合作，但首先需要两个部门进行沟通，而沟通本身要花费时间。在明天就要签合同的紧急情况下，没有时间等两个部门沟通好了再来合作。

（2）情景二：你想要实施一项不受团队成员欢迎的重大措施时；

例：财务部决定缩减公司开支，严格公司报销制度。

在这种情况下财务部必须采取竞争策略。

对于公司员工来说，没有哪一个员工不希望公司的规章制度松一些，但公司要缩减开支就必须这样做。

这时假如财务部采取迁就或妥协的策略来对待公司的财务制度，就是对公司不负责任。久而久之，必定会造成公司制度的混乱，甚至给公司带来财务危机。

（3）情景三：在你知道自己是正确的情况下，并且问题的解决有益于团队，需要对付那些从非竞争性行为中受益的人。

例：在九月份阮经理的部门有五名软件工程师不能到岗，工作计划就要拖延，整个公司计划受影响，这是绝对不允许的。

如果这时采取回避、迁就、妥协的策略，软件开发工作可能就会被拖延，就会使公司的利益受到损害。

【自检】

公司与其他公司签了一个重要的协议，要交付一定的预付款，必须在签协议的同时将款项打入对方的账户，因为已来不及打报告，负责的经理只好动用所有的资源来筹款，以配合这个协议的签订。这时候只能按照这个经理的意图来办，如果非要按别人的意图，必然要争出个输赢来。你是否同意经理的意见？

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不紧急也不重要的工作采取回避的方式解决

不要以为回避就是不负责任，其实并非如此，在实际工作中，许多时候采取回避的策略会得到意想不到的结果。

什么情况下应采取回避的策略呢？

（1）情景一：发生冲突的事情微不足道，或者是还有更紧迫、更重要的问题需要解决；

例：行政部下达通知，销售部经理问：“这个通知别的部门都是十五日收到，我们怎么是十六日收到？”

（2）情景二：当你认识到不可能满足你的要求和愿望时；

例：我今年关心的是涨工资，而今天是评先进，我并不感兴趣，所以我不关心自己能否评上，也就没有劲头去跟他们争论。

（3）情景三：当收集信息比立刻决策更重要时；

例：我们感觉销售部在东北区的市场推广计划中存在问题，没有按计划来做。这时如果直接指责他们，

会引起冲突，所以我们要事先搞清楚是怎么回事。

（4）情景四：当一个问题是另一个更大问题的导火索时；

例：销售部的销售奖励政策大家都很不满意，以前讨论过多次要改，这时，如果销售部经理提出对手下的某一个特别优秀的或特差的业务员，采取特别的奖励或惩戒办法，就会引起更大的冲突。所以肖经理不急于处理某个业务员。

（5）情景五：当你认为部门之间职能划分不清楚，但现在又不影响工作时；

例：在一个新成立的公司，财务部就年度审计问题给各部门下达了详细规范的要求，但目前各部门还没有搞，双方不必现在就纠缠此事。

这时假如利用竞争的方式解决部门之间的冲突，就不太合适。因为公司刚刚成立，要做的事情很多，这时部门职能划分与公司的其他事情比起来是小事，没有必要在这点小事上花费太多的时间和精力。

（6）情景六：当发现不是解决问题的最佳时机。

例：人事部经理没有按计划为软件开发部招聘到程序员。软件开发部经理正想去找他问。走到路上，他听说人事部经理正在为某某事情生气呢！于是决定不去了。

如果软件开发部经理采取竞争的方式与人事部经理正面接触，去谈为软件开发部招聘的事，本来人事经理心里正有气没有地方撒，搞不好会把矛盾引到自己身上，甚至还会产生更大的冲突，会成为其他问题的导火索。在这种情况下，最好是采取回避的策略，暂时先回避一下，以后再说。

【自检】

有个职业经理说，我需要做的沟通工作太多，太累。有个做IT的员工工作有问题，但他找的参考书不对路，我得告诉他怎么找书；有个材料上周交给关系部门了，过了一周还没有答复，我得去问一问；部门的耗材需要购买，打了报告给行政部，一周过去了也没有买回来，我还要去问一问……而且我还有很多更重要的事情，一些问题只能先放一放。你用什么办法把这位经理从这么多事情中解放出来？

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紧急而不重要的工作采取迁就的方式解决

不要以为迁就说明自己软弱，就是害怕对方。迁就往往是先退一步，为的是后进一步。

什么情况下可以采取迁就的策略呢？

（1）情景一：当你发现自己是错的

例：市场部本月有好几次加班，由于他们没有把加班单及时交给人力资源部，所以加班费没有按时发下来。这显然是市场部的责任，这种情况下市场部应该去找人力资源部说明是自己没有及时交加班单引起的，并承认错误。

（2）情景二：当你想表现出自己通情达理时

例：象前面的例子，既然市场部已经承认是自己的错，责任在自身，以后早点把加班单送过来，人力资源部就应该原谅对方，表现出自己的通情达理。

(3)情景三：你明知这个问题对别人比对你更重要

例：前面例子中人力资源部坚持的是公司的考勤制度，制度是绝对不能随便受到破坏、受到挑战的。显然制度比几十元钱的加班费更为重要，你显然应该知道不要向制度挑战。这时，你可以迁就人力资源部的态度不好等。

（4）情景四：当别人给你带来麻烦，但这种麻烦你可以承受时

例：本月销售部交来的报表，有许多格式填得不对，财务部人员想销售部也不常犯这种错，于是他们就花了一个多小时的时间改报表。

（5）情景五：当融洽和稳定至关重要时

例：公司进行一项重大的推广计划，这项计划关系到公司的生死存亡问题，市场部和软件开发部为谁写这个产品说明书争论不休，这是没有必要的。这时采取迁就策略是最恰当的。

（6）情景六：当你允许别人从错误中得到学习和经验时

例：人力资源部收到各部门报来的人员需求表，看到上面填得五花八门。这时，可以采取迁就的办法，以后在适当的时候再和他们讲清楚应该怎么填写。

情景七：为了对以后的事情建立起责任感时

例：刚刚来到公司的任经理为软件开发部招聘软件工程师，但由于任经理对情况不熟悉，结果招来的人软件开发部不满意。任经理主动上门检讨自己，听取软件开发部对招聘工作的意见和要求。

【自检】

公司规定周四报销，结果销售部的肖经理周二就来报销，这段时间他一直在外面跑，天南海北的，好不容易才在公司里露上一脸，明天还要到上海去出差。柴经理认为他确实很急，就给他报了账。柴经理是否违反了原则？

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紧急而不重要的工作采取妥协的方式解决

妥协表面上看是双方都后退了一步，好象是双方都吃了亏，实际上是双方都达成了目标。

什么情况下应采取妥协的策略？

（1）情景一：当目标十分重要，但过于坚持己见可能会造成更坏的后果时

例：计算机公司的软件开发一部、二部就联合开发一种新软件的具体合作事宜想达成一个协议，由于种种原因一直没有达成，而双方又都不具备独立开发的实力。这时国家一项重点工程正准备招标这种新软件产品，于是两个软件开发部决定在双方合作条件上各做出一些让步，使双方达成协议共同开发这种新软件产品，以便在竟标中获胜，从而使双方获利。

在这种情况下，如果软件开发一部、二部采取竞争的策略，双方谁也不让步，双方的实力又都不够，可能中标的就是其他具有实力的公司。最后的结局会是双方都劳民伤财，而没有结果。

如果两个部门都采取回避的策略。两个部门谁也不理谁，自己又都知道自己没有竞标的实力，而默默地放弃参加竟标。这样两个部门都会失去一次发展自己公司的机会。

最好的办法就是双方都采取妥协的策略，你让三分，我让三分。从而使两个部门增加了竞标的实力，使双方都能获利或减少损失。

（2）情景二：当对方做出承诺，不再出现类似的问题时

例：如果销售部的报表需要财务部花很大的力气来修改，这时如果销售部经理承诺以后不再发生此类问题，财务部可以采取的办法是：“好，这次就算了，下不为例”。

（3）情景三：当为了对一个复杂的问题达成暂时的和解时

例：由于用人部门对于职位说明书的填写不准确，往往使人力资源部招来的人，不能满足用人部门的准确要求。但是，如果要解决这个问题，就需要公司进行整体的组织设计和职位分析，而这项工作没有几十万元和几个月的时间是完不成的。这时用人部门可以和人力资源部达成暂时的和解：由用人部门先提出

招聘的条件，由人力资源部进行修改完善，再由用人部门加以确认之后即可。

（4）情景四：当时间十分紧迫需要采取一个妥协方案时

例：我们经常在工作中会出现第一套方案、第二套方案、第三套方案，就是为妥协用的。

不紧急而重要的工作采取合作的方式解决

合作是五种冲突处理策略中最好的一种。通过事先的沟通达成共识，既满足了自己的愿望，同时也站在对方的立场上为对方的利益考虑。对于很重要，但不是特别紧迫的，有时间进行沟通的问题，必须采取这种策略。

什么情况下可以采取合作的策略？

（1）情景一：当你发现两个方面都很重要并不能进行妥协时

例：财务部要出台新的财务管理办法，这件事与销售部、行政部的关系最为密切，因为销售部和行政部在费用方面比较特殊。财务部事先与这两个部门进行沟通，为的是既能坚持财务制度，又便于这两个部门报销费用。这两个部门要考虑怎样才能既使本部门报销时方便又要遵守公司的财务制度。

在这种情况下，如果采取回避、迁就、妥协的策略来处理冲突，都会使双方的利益，以致公司的利益受到损害，造成公司的财务制度不够严密，或是销售部、行政部的工作效率被人为地降低。

（2）情景二：当你需要了解、综合不同人的不同意见时

例：公司将进行整体的品牌推广，这件事不只是企划部的事情，它涉及到产品开发、市场定位、销售、企业文化……，也就是说，需要听取发展部、市场部、销售部、人力资源部的意见。这就需要合作。

（3）情景三：当部门之间在主要的职责上相互关联时

例：市场部作一个大的推广计划，这个计划的成败实际上要在销售的业绩上得到体现和检验，而销售业绩又是销售部工作的结果，这时市场部不能离开销售部。两个部门的业绩是相关的，这时就必须采取合作的方式。

（4）情景四：当有可能扩大双方共同的利益时

例：前面例子中软件一部、二部可以不合作，各自有各自的业务范围，但是合作可以扩大双方的利益。对于软件一部、二部来说，及早建立合作关系和战略，比应急的妥协要好得多。

合作需要成本，需要时间和精力，所以应该处理不紧急的工作。另外，合作的方式是用来解决原则性的重要的工作，事先要规定一些重要的内容，把合作的模式建立起来，以达到更好的管理和团队合作的目的。

【自检】

市场部前段时间在华东区做的广告效果不好，影响了销售部的业绩，由于这个区是重点，所以销售部非常有意见，销

售部经理找市场部找了多回，也争吵了好几次，像这种情况，有没有合适的方式来解决？

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首先，企业在华东区投放了广告，销售效果不好，关键是要弄清楚效果不好的原因是不是就在广告本身，还是其它原因。

第二，这个问题很重要，不但涉及到销售部门，而且涉及到整个公司年度的业绩，要慎重地去处理。

第三，像这类问题，要拿出一定的时间来进行研究和处理。所以，采取合作的方式来处理是最佳的一种处理方式。

而这种重要的问题是不能回避的，所以回避是不可取的；而采用竞争的方式，可以争一争是谁的责任，但不能解决问题，所以不能使用这种方式；另外，市场部精通广告，但不懂销售，销售部又不可能是广告专家，是两种不同的领域，无法通过迁就达成一致，所以不能采用迁就的方法；而且，这种事情根本不是各自退让半步就可以解决的，也不能采用妥协的方式。所以，这类重要而不紧急的问题要采用合作的方式去处理。

不同情况下使用的解决方式实例分析

【事例】

为了提高软件部的开发能力，阮经理向人力资源部提出了用人申请，很长时间过去了，人力资源部没有能够提供这样的程序员。看看阮经理和人力资源部的任经理是怎么对待这件事的？

（1）如果采用竞争方式

结果一：发生激烈的争吵，甚至将官司打到老总那里去，让他评出一个是非曲直，双方的裂缝和矛盾不断加大，可能会影响到其他的合作，甚至因这次冲突会产生个人恩怨；

结果二：问题得不到解决。争吵半天，问题一个都没解决，而且在争吵当中，不仅浪费时间和精力，还造成新的问题；

结果三：通常只好由双方的上司来“摆平”。如果人力资源部上面有人事副总，软件开发部上面有技术副总或总工，可能会产生高层之间的矛盾，由招聘的事影响到业务推广的大局；

结果四：也许会将两个部门的各自成员都拖入这场冲突当中，引发更大范围的不和；

结果五：问题的根源还在。即使老总采取强硬或怀柔的办法消除了这场冲突，将来在其他工作上可能仍会出现冲突。其实，这场冲突是结果，不是原因。

（2）如果采取回避的方式

结果一：矛盾潜伏下来。等到某一日回避不了时，冲突就爆发了；

结果二：问题一个也没解决。有的问题拖得时间长了，本身就成为问题。有些问题会带来连锁反应，甚至导致形成一种团队规则；凡遇到可能引起冲突的工作都躲着走。最终导致整个团队绩效降低；

结果三：解决问题的时机错过或拖延，增加了今后解决问题的成本；

结果四：公司的事情没人管。团队成员失去共同的目标。明哲保身，不求有功，但求无过。

（3）如果采取迁就的方式

通常的结果

结果一：冲突暂时被防止，也许以后不再发生此类矛盾，也许以后又会重复发生；

结果二：一方总要作出牺牲和让步，这种让步表面上看来是以牺牲某个部门或某个团队成员的要求、权利和利益为代价，实质上是牺牲了整个团队利益，换取了暂时的合作；

结果三：管理严谨的企业是环环相扣的，一般很难作出较大让步，或者说，让步几乎没有余地。说明这些或这个团队成员要么其工作并不重要或必要，要么说明整个公司的管理是懈怠的；

结果四：如果让步总能换来安稳和团队，谁不愿让步呢？当让步形成一种团队风气或传统时，团队绩效无疑会不断下降；

结果五：团队成员平等关系破坏。

（4）如果采取妥协的方式

通常的结果

结果一：起码表面上，事情得到了“圆满”的解决。团队的团结与“友爱”得到维护，一团和气，甚至皆大欢喜；

结果二：处理冲突的成本较低，又能维护团队成员的面子和平等关系，又能很快处理分歧，操作容易；

结果三：可能丢失原则。本来应该坚持的制度、规则和目标要求等，可能就在妥协当中被放弃。从而引起公司管理松懈、纪律松弛、目标降低等一系列“并发症”；

结果四：以延误工作为代价；

结果五：问题没有得到根本解决并且积累下来，到双方都无法妥协的时候，可能会出现总爆发。

（5）如果采取合作的方式

通常的结果

结果一：问题被事先预防或被消灭在萌芽状态；

结果二：某个问题或影响团队合作的某个问题得到彻底的解决或根除。由于是从对方的角度、从整个团队目标的角度考虑问题，本次的良好合作将出现良好的循环，此类问题也将得到防止或大大降低；

结果三：团队价值得到提升；

结果四：双方的工作目标均得以达成。

【本讲总结】

本讲通过实例分析并解释了各种处理团队冲突的方式的优劣。掌握了这些要点，可以在以后的工作中针对不同的情况选择有效的处理方式，使工作效果更好。

【心得体会】

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第三讲---双曲线的第二定义

第三讲 双曲线的第二定义
知识梳理
（一）双曲线的第二定义：平面内一动点 的比为常数 e ? 到一定点 F (c, 0) 的距离与到一定直线 L : x ?
a2 的距离 c
c (e>1) a
定点 F (c, 0) 是双曲线的焦点，定直线 L 是双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率。 （二）焦点三角形的面积公式。
S?
1 ? r1r2 sin ? ? b 2 tan 2 2
3.双曲线的方程，图形，渐进线方程，准线方程和焦半径公式： 标准方程 图像 渐进线方程
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0.b ? 0) a 2 b2
b x a a2 x?? c M 在右支上 r左 =|MF1 |=ex0 ? a y??
y 2 x2 ? ? 1(a ? 0.b ? 0) a 2 b2
a x b a2 y?? c y??
准线方程
半径公式
r右 =|MF2 |=ex 0 ? a M 在左支上 r左 =|MF|=-ex 1 0 ?a r右 =|MF2 |=-ex 0 ? a
典例分析 题型一：与双曲线准线有关的问题 例 1.(1)若双曲线
x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 ，则点 P 到右准线的距离为______ 13 12
x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2，则该双曲线的两条准线间的距离为________ A.若双曲线 m 3
练习：已知双曲线的渐进线方程为 3x ? 2 y ? 0 ，两条准线间的距离为 解：双曲线渐进线方程为 y ? ?
16 13 ，求双曲线的标准方程。 13
3 x 2
1

双曲线经典例题讲解

第一部分 双曲线相关知识点讲解 一．双曲线的定义及双曲线的标准方程： 1 双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨 迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中 |1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 二．双曲线的外部： (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 三.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ， 焦点在y 轴上）. 四．双曲线的简单几何性质 22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴围：|x |≥a ，y ∈R

第十一讲 练习题

第十一讲练习题 一、概念解释 1．学习 2．接受学习 3．发现学习 4．陈述性知识 5．程序性知识 6．学习策略 1．学习：目前教育心理学界对于学习概念的理解主要有这样三种：一种是广义的学习概念。认为学习是人和动物共有的一种心理现象，它集中表现为通过实践或者练习而获得，由经验而引起的比较持久的心理和行为变化的过程。另一种是次广义的学习概念，专指人类的学习。其这定义为“在社会生活实践中，以语言为中介，自觉地、积极主动地掌握社会和个体经验的过程。”第三种是狭义的学习概念。即指在校学生的学习。学生的学习是在教师的指导下，有目的、有计划、有组织、有系统地进行的，是在较短的时间内接受前人所积累的文化科学知识，并以此来充实自己的过程。 2．接受学习：指人类个体经验的获得，来源于学习活动中，主体对他人经验的接受，把别人发现的经验经过其掌握、占有或吸收，转化成自己的经验。 3．发现学习：就是通过学习者的独立学习，独立思考，自行发现知识，掌握原理原则。发现，并不局限于寻求人类尚未知晓的事物。 4．陈述性知识：也叫“描述性知识”它是指个人具有有意识的提取线索，而能直接加以回忆和陈述的知识。 5．程序性知识：是个人没有有意识提取线索，只能借助某种作业形式间接推论其存在的知识。 6．学习策略：就是学习者为了提高学习的效果和效率，有目的、有意识地制定的有关学习过程的复杂方案。 二、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，选出一项最符合题目要求的选项） 1．小学生认知发展的特点之外的现象是（D ） A．注意的稳定性较差 B．注意的范围小 C．注意的分配能力不强 D．机械记忆仍不占主要地位 2．梅耶则提出了对学习的三种类型的分类办法，下列哪项没有涉及（D） A．语义性学习B．程序性学习C．策略性学习D．意义学习 3．反映中学生个性发展特点的主要品质是（C） A．自我为中心的性格倾向逐步减弱B．缺乏适当的自控能力C．自我意识的发展从具体的、片面的向抽象的、较为全面的认识过渡D．独立批判性思维增强 三、填空题 1．奥苏伯尔将学习分为__机械学习_______和___意义学习______。 2．陈述性知识的学习可以分为__习得阶段_______、_巩固与转化阶段________和___提取应用阶段______ 三个阶段。 3．动作技能的构成包括_动作或动作组________、__体能_______和___认知能力______ 三种成分。 四、判断正误 1．接受学习是儿童青少年的主要学习方式。（错误） 2．复述是短时记忆的信息进入长时记忆的必要条件。（错误） 3．进入青春期后，中学生自我意识迅速发展，性心理的影响日益增强，出现创造力的高峰，情感丰富、充满活力。（正确） 五、简答题 1．简述学习的实质和主要类型。 答：传统的行为主义学习理论强调学习的本质是刺激与反应之间的联系，学习重在强化训练。

(完整word版)双曲线讲义

圆锥曲线第二讲 双曲线 一 双曲线的定义 平面内到两个定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数2a （小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距. 注：（1）定义中的限制条件1202a F F <<.当122a F F =时，点的轨迹是分别以12,F F 为端点的两条射线；当122a F F >时，轨迹不存在；当20a =时，点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线. （2）定义中的绝对值必不可少.若没有绝对值符号则点的轨迹表示双曲线的一支. 例 1 已知1(5,0)F -，2(5,0)F ，动点P 满足122PF PF a -=，当a 为3和5时，P 的 轨迹分别是_________.双曲线的一支和一条射线. 例2 已知点(,)P x y 的坐标满足下列条件，是判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形： （16=； （26= 练习1 已知平面上定点1F ，2F 及动点M ，命题甲：22()MF MF a a -=为常数，命题乙：M 点轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线，则甲是乙的____条件.必要不充分条件 练习2 若平面内一动点(,)P x y 到两定点1(1,0)F -，2(1,0)F 的距离之差的绝对值为定值(0)a a ≥，讨论点P 的轨迹方程.

二 双曲线的标准方程 （1）设(,)M x y 是双曲线上任意一点，焦点1F ，2F 的坐标分别为(,0)c -，(,0)c ， M 与1F 和2F 的距离之差的绝对值等于常数2(0)a c a >>，则双曲线的标准方程 为 ：22 221(0,0)x y a b a b -=>> 其中：①222c a b =+； ②a c b c <<且，a 和b 大小关系不明确 （2）设(,)M x y 是双曲线上任意一点，焦点1F ，2F 的坐标分别为(0,)c ，(0,)c -， M 与1F 和2F 的距离之差的绝对值等于常数2(0)a c a >>，则双曲线的标准方程为 ：22 221(0,0)y x a b a b -=>> 其中：①222c a b =+； ②a c b c <<且，a 和b 大小关系不明确 例1 若方程22 123 x y m m +=--表示双曲线，则实数m 的取值范围为______. (3,2)(3,)-+∞U 例2 若1k >，则关于,x y 的方程222(1)1k x y k -+=-所表示的曲线是____.焦点在 y 轴上的双曲线. 例3 方程22 1cos 2010sin 2010 x y ?? -=所表示的曲线为_______.焦点在y 轴上的双曲线. 练习1 若方程 22 21523 x y m m m +=---表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为_____.(5,)+∞ 练习2 已知双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k =_____.-1 三 双曲线的定义及其标准方程的应用 例1 若12,F F 是双曲线22 1916 x y - =的两个焦点，若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，则点M 到另一个焦点的距离为____（4或28），若P 是双曲线左支上 的点，且1232PF PF =g ，则12F PF V 的面积为_____.16

学一轮复习第十一章第61课双曲线自主学习(pdf)

第61课 双 曲 线 (本课对应学生用书第139-141页) 自主学习 回归教材 1. 双曲线的简单几何性质

2. (1) 等轴双曲线:实轴和虚轴相等的双曲线叫作等轴双曲线,也叫等边双曲线. (2) 等轴双曲线?两条渐近线垂直(位置关系)?实轴长=虚轴长. (3) 双曲线的离心率与b a 3. 点P(x 0,y 0)和双曲线22x a -22 y b =1的关系: (1) P在双曲线内?202x a -202 y b >1(含焦点); (2) P在双曲线上?202x a -202 y b =1; (3) P在双曲线外?202x a -202 y b <1. 4. 焦半径:双曲线上的点P(x 0,y 0)与左(下)焦点F 1或右(上)焦点F 2之间的线段长

度称作焦半径,分别记作r 1=PF 1,r 2=PF 2. (1) 22x a -22 y b =1(a>0,b>0).若点P在右支上,r 1=ex 0+a ,r 2=ex 0-a;若点P在左支上,r 1=-ex 0-a,r 2=-ex 0+a. (2) 22y a -22 x b =1(a>0,b>0).若点P在上支上,r 1=ey 0+a ,r 2=ey 0-a;若点P在下支上,r 1=-ey 0-a,r 2=-ey 0+a. 5. 焦点弦:AB为经过双曲线22y a -22 x b =1(a>0,b>0)的焦点的弦,通径AB=22b a . 1. (选修2-1P46练习1改编)双曲线216x -2 9y =1的离心率为 . [答案]5 4 [解析]c 2=a 2+b 2=25,所以e 2=22 c a =2516,所以离心率为54. ),则曲线C的标准方程为 . [答案]y 2-x 2=1 [解析] ,所以曲线为等轴双曲线,其方程可以设为x 2-y 2=λ. ),所以λ=1-2=-1,标准方程为y 2-x 2=1. 3. (选修2-1P46例1改编)若双曲线x 2 -my 2 =1的实轴长是虚轴长的2倍,则m= . [答案]4

命题37 双曲线(解析版)

备战2021新高考数学命题分析与探究 命题37 双曲线 第一部分 命题点展示与分析 1．【2020年高考浙江卷8】已知点 ()()()0,0,2,0,2,0O A B -．设点P 满足–2PA PB =，且P 为函数 y =OP = （ ） A ． 2 B ． 5 C D 【答案】D 【解析】由条件可知点P 在以,A B 为焦点的双曲线的右支上，并且2,1c a ==，∴23 b =， 方程为()22103y x x -=> 且点P 为函数y = 上的点，联立方程()2 2 103y x x y ?-=>???=? ，解得： 2134x = ，2274 y =，OP ∴==D ． 2．【2020年高考全国Ⅰ卷文数11】设12,F F 是双曲线2 2 :13 y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且2OP =，则12PF F ?的面积为 （ ） A ． 72 B ．3 C ．5 2 D ．2 【答案】B 【思路导引】由12PF F ?是以P 为直角直角三角形得到2 2 12 16PF PF +=，再利用双曲线的定义得到

122PF PF -=，联立即可得到12PF PF ，代入12121 2 F F P P S F PF = △中计算即可． 【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，∵121 12 OP F F ==， ∴点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形， 故2221212||||||PF PF F F +=，即2 2 12||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==， ∴2 124||||PF PF =-=22 12||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ， 解得12||||6PF PF =，∴12F F P S = △121 ||||32 PF PF =，故选B ． 3．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线()22 22:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点12,F F ，离心 率为5．P 是C 上的一点，且P F P F 21⊥．若21F PF ?的面积为4，则=a （ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】A 【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案． 【解析】解法一： 5c a =，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121 ||42 PF F PF F S P = ?=△，即12||8PF PF ?=， 12F P F P ⊥，()2 2 212||2PF PF c ∴+=，() 2 212 1224PF PF PF PF c ∴-+?=，即22540a a -+=， 解得1a =，故选A ． 解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2 tan 2 2 1θb S F PF =．∴? 45tan 2 b =4，则2=b ， 又∵5== a c e ，∴1=a ． 解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222== =+a c e c n m ，求的1=a ． 4.(2019福建模拟，5分)已知A (3，2)是双曲线x 23－y 2 ＝1上一点，F 1是双曲线的左焦点，B 是双曲线右支 上异于点A 的一点．设△ABF 1的内切圆在边AF 1上的切点为P ，则|F 1P |的最小值为( ) A. 3 B ．2 3 C ．33－ 2 D ．63－2 2

第53讲 双曲线(解析版)

第53讲 双曲线 一、课程标准 1、了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质． 3、通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想. 二、基础知识回顾 1、 双曲线的定义 平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P ＝{M ||| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0. (1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 2 、双曲线的标准方程和几何性质

三、常用结论 1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2 a ，也叫通径． 2、与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2 b 2＝t (t ≠0)． 3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b . 4、若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . 四、自主热身、归纳总结 1、 双曲线x 23－y 2 2 ＝1的焦距为( ) A. 5 B. 5 C. 2 5 D. 1 【答案】 C 【解析】 由题意得c 2＝3＋2＝5，所以c ＝5，所以双曲线的焦距为2 5. 2、以椭圆x 24＋y 2 3 ＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( ) A. x 2－y 23＝1 B. x 23 －y 2 ＝1 C. x 2－ y 22＝1 D. x 24－y 2 3 ＝1 【答案】 A 【解析】 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)．由题意得双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0)，所以 a ＝1，c ＝2，所以 b 2＝ c 2－a 2＝3，所以双曲线的标准方程为 x 2－ y 2 3 ＝1. 3、已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 2 3＝1有公共焦点， 则C 的方程为( ) A . x 28－y 210＝1 B . x 24－y 2 5＝1 C . x 25－y 24＝1 D . x 24－y 2 3＝1 【答案】B 【解析】双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，在椭圆中：a 2＝12， b 2＝3，∴ c 2＝9，c ＝3，故双曲线C 的焦点坐标为(±3，0)，∴双曲线中的方程组：b a ＝5 2 ，c ＝3，c 2＝a 2＋b 2，解得a 2＝4，b 2

解析几何第二十七讲 双曲线

专题九解析几何 第二十七讲双曲线 2019 年 1.（2019 全国III 理10）双曲线C： x y =1 的右焦点为F，点P 在C 的一条渐进线 2 2 4 2 上，O 为坐标原点，若PO = PF ，则△PFO 的面积为A． 3 2 4 B．3 2 2 C．2 2 D．3 2 2.（2019 江苏7）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 y 2 2 x 2 1(b 0) 经过点（3，4)， b 则该双曲线的渐近线方程是 . x 2 y 2 3.（2019 全国I 理16）已知双曲线C： 2 2 a b 1( 0, 0) a b 的左、右焦点分别为F1，F2，

过F1 的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点．若 F A AB ， F B F B ，则C 的 1 1 2 0 离心率为____________． 4.（2019 年全国II 理11）设F 为双曲线C： x 2 2 y 2 2 a 1( 0, 0) a b 的右焦点，O 为坐标 b 原点，以OF 为直径的圆与圆x2 y2 a2 交于P，Q 两点.若PQ OF ，则C 的离心率为A．2 B．3 C．2 D．5 5．（2019 浙江2）渐近线方程为x±y=0 的双曲线的离心率是A． 22 B．1 C．2 D．2 2 6. （2019 天津理5 ）已知抛物线y 4x 的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线 x 2 y 2 的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且| AB | 4 | OF |（O 为 2 2 a b 1 ( 0, 0) a b 原点），则双曲线的离心率为A. 2 B. 3 1 C. 2 D. 5 2010-2018 年

双曲线专题复习讲义及练习

双曲线专题复习讲义 ★知识梳理★ 1. 双曲线的定义 （1）第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在; 当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 （2）双曲线的第二义 平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线 与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(22 22≠=-λλb y a x 与双曲线122 22=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a -= 等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .； ★重难点突破★ 1.注意定义中“陷阱” 问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支 12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116 92 2>=- x y x 2.注意焦点的位置

问题2：双曲线的渐近线为x y 2 3 ± =，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时， 23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，2 3 =b a ，313=e ★热点考点题型探析★ 考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义 [例1 ] 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同 时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) 【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的． [解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020） 设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线 122 22=-b y a x 上， 依题意得a=680, c=1020， 用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|, 答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处. 【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 【新题导练】 1.设P 为双曲线112 2 2 =-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ） A ．36 B ．12 C ．312 D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ① 又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF 为21F PF ∴直角三角形，

专题九 解析几何第二十七讲 双曲线 (1)

专题九 解析几何 第二十七讲 双曲线 一、选择题 1．(2018浙江)双曲线2 213 x y -=的焦点坐标是 A ．(2,0)-，2,0) B ．(2,0)-，(2,0) C ．(0,2)，2） D ．(0,2)-，(0,2) 2．(2018全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：2 213 -=x y ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ．若?OMN 为直角三角形，则||MN = A ． 3 2 B ．3 C ．23 D ．4 3．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22 221(0,0)-=>>x y a b a b 3 A ．2=y x B ．3=y x C ．2=y x D ．3 =y 4．(2018全国卷Ⅲ)设1F ，2F 是双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 是 坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1||6|PF OP =，则C 的离心率为 A 5 B ．2 C 3 D 2 5．(2018天津)已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴 的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ， 且126d d +=，则双曲线的方程为 A ． 221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22 193 x y -=

6．（2017新课标Ⅱ）若双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线被圆 22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 A ．2 B 3 C 2 D ． 3 3 7．（2017新课标Ⅲ）已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆 22 1123 x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ． 221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22 143x y -= 8．（2017天津）已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F 2．若经 过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 A ．22144x y -= B ．22188x y -= C ．22148x y -= D ．22 184x y -= 9．(2016天津)已知双曲线 2 22=1(0)4x y b b ->，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为 A ．22443=1y x - B ．22344=1y x - C ．2224=1x y b - D ．2 224=11x y - 10．(2016年全国I)已知方程22 2 213x y m n m n -=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 A ．(–1,3) B ．(–1,3) C ．(0,3) D ．(0,3) 11．(2016全国II)已知1F ,2F 是双曲线E ：22 221x y a b -=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与 x 轴垂直，211sin 3 MF F ∠=,则E 的离心率为

第十一讲 平方反比引力

第十一讲 平方反比引力 教学时间：3学时 教学目的要求： 1、使学生掌握典型的有心力——平方反比引力，并能利用总机械能讨论轨道的具体形状。 2、通过万有引力的推导，使学生进一步掌握研究理论物理的方法。 重点：质点在平方反比引力作用下的轨道及三种轨道形状。 难点：从开普勒行星运动三定律推导万有引力定律。 教学方法：理论推导。 讲授要点及内容： 平方反比引力是自然界最普遍的一种力， 是四大自然力之一，行星就是受太阳的这种引力作 用而绕日运动。本节就是以行星的绕日运动为例研究平方反比引力。 对所研究问题的近似处理 1）认为所研究的行星只受太阳的引力作用，忽略别的星体对它的作用。 2）认为太阳是绝对固定不动的。 在这样的近似处理下，行星所受太阳的引力可视为有心力，太阳为力心，行星作有心运动。 一、行星绕日运动的轨道方程（已知力，求轨道） 研究行星公转时，可将其视为质点。 以太阳中心为极点，建立极坐标系，令 , M m 分别为太阳，行星的质量，r 为太阳与行星间 的距离，则行星所受的力为 22 2 Mm F G k mu r =-=- （负号表示引力） 。 2 G k ——万有引力常数， ——太阳的高速常数，与行星无关。 将其代入比耐公式，得 222 2 2 22 22 2 d u d u k h u u k u u d d h q q ?? +=T+= ?÷ è? （二阶常系数线形非齐次方程） 。 其解为 ( ) 2 0 2 cos k u A h q q =-+ ， 0 , A q 为积分常数，由初始条件而定，适当选取极轴取向， 可使 0 q = ，则行星运动的轨道为 2 2 22 22 11 cos 1cos h k r k h u A A h k q q === ++ 。 1cos p r e q = + ——圆锥曲线。 其中： 2 2 h p k = ——圆锥曲线正焦弦长度的一半， 2 2 h e A Ap k == ——圆锥曲线的离心率， 决定轨道的具体形状。 当 1 e < 时——椭圆轨道，当 1 e = 时——抛物线轨道，当 1 e > 时——双曲线轨道。 说明：1）在圆锥曲线中，离力心最近的点称为近日点，椭圆轨道中离力心最远的点为远日 点，其他轨道无远日点。

第37讲第三十七讲双曲线

名师作业?练全能 第三十七讲双曲线 班级 _______ 姓名 __________ 考号 _________ 日期 _________ 得分 __________ 括号内?） 1. （2019-全国I ）已知鬥、尺为双曲线C ： W —尸=1的左、右焦点，点P 在C 上，Z FiPF?=60。，则 IPFiI ? IP/T=（ ） A ?2 B ?4 D ?8 a 1 解析：由题意得 SAFiPF 2=Z>2cot2=l Xcot30°=V3,又 5AFi PFi =yIPFiI-\PFi\-sin60° =羽，則IPFil ?IPF2l=4,故选 B. 答案：B 2. （2019?浙江）设Fi 、F2分别为双曲线召_$ 右支上存在点P,满足IPF2l=IFiF 2L 且鬥到直线PFi 的距藹等于双曲线的实轴长，则该双 曲线的渐近线方程为（） A. 3x±4y=0 B ? 3x±5y=O C. 4x±3y=0 D ? 5x±4y=0 解析：设PFi 的中点为由于IPF 2l=IFiF2l, 故 F2M 丄PFi,即IF?MI=2⑴ 在直角三角形 F }F 2M 中，\F {\f\=yl(2c)2 -(2a)2 =2b 9 故 IPF 】l=4b, 根据双曲线的定狡得 4b-2c=2xi 9 得 2b-a=c 9 即(2h-a)2 =u 2 +b 2 9 即 3庆一40, b>0）的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A, //2 △OAF 的而积为二（0为原点），则两条渐近线的夹角为（） A. 30° C ?6 = K0, b>0）的左、右焦点.若在双曲线 B. 45° C. 60° 解析：依题意作图如下: D. 90。

2019版理科数学一轮复习第10章第2讲 双曲线(考题帮.数学理) Word版含解析

第二讲双曲线 题组求双曲线的标准方程 .[天津分][理]已知双曲线(>),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于四点,四边形的面积为,则双曲线的方程为() .[天津分][理]已知双曲线(>>)的一条渐近线平行于直线,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为() 题组双曲线的几何性质问题 .[全国卷Ⅰ分][理]已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为,则的取值范围是() .() .(,).() .(,) .[全国卷Ⅱ分][理]已知是双曲线的左、右焦点,点在上与轴垂直∠,则的离心率为() . . . .[新课标全国Ⅱ分][理]已知为双曲线的左、右顶点,点在上,△为等腰三角形,且顶角为°,则的离心率为() . . . .[四川分][理]过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于两点,则() . .[新课标全国Ⅰ分][理]已知为双曲线(>)的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为() . .[广东分][理]若实数满足<<,则曲线与曲线的() .离心率相等.虚半轴长相等.实半轴长相等.焦距相等 .[新课标全国Ⅰ分][理]已知双曲线(>>)的离心率为,则的渐近线方程为() ±±±±

.[北京分][理]若双曲线的离心率为,则实数. .[山东分][理]在平面直角坐标系中,双曲线(>>)的右支与焦点为的抛物线(>)交于两点.若,则 该双曲线的渐近线方程为. .[北京分][理]双曲线(>>)的渐近线为正方形的边所在的直线,点为该双曲线的焦点.若正方形的边长为,则. .[福建分][理]已知双曲线(>>)的两条渐近线分别为. (Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)如图为坐标原点,动直线分别交直线于两点(分别在第一、四象限),且△的面积恒为.试探究:是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线?若存在,求出双曲线的方程;若不存在,说明理由. 图 组基础题 .[辽宁省五校联考]在平面直角坐标系中,已知双曲线(>>)的离心率为,从双曲线的右焦点引渐近线的垂线,垂足为,若△的面积为,则双曲线的方程为() .[合肥市高三调研] 双曲线(>>)的一条渐近线与直线垂直,则双曲线的离心率为() . . . .[长春市高三第四次质量监测]已知是双曲线(>>)的两个焦点是双曲线上一点,若,且△最小内角为°,则双曲线的渐近线方程是() ±±±± .[成都市三诊]已知双曲线(>>),直线.若直线平行于双曲线的一条渐近线且经过的一个顶点, 则双曲线的焦点到渐近线的距离为()

专题九 解析几何第二十七讲 双曲线

2 2 - - = > > - = > > - = > > = 2 专题九 解析几何 第二十七讲 双曲线 2019 年 2 1.（2019 全国 III 理 10）双曲线 C ： x y =1 的右焦点为 F ，点 P 在 C 的一条渐进线 4 2 上，O 为坐标原点，若 PO = PF ，则△PFO 的面积为 A ． 3 2 4 B ． 3 2 2 C ． 2 2 y 2 D ． 3 2.（2019 江苏 7）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x - = 1(b > 0) 经过点（3，4)， b 2 则该双曲线的渐近线方程是 . x 2 3.（2019 全国 I 理 16）已知双曲线 C ： a 2 y 2 1(a 0, b 0) 的左、右焦点分别为 F 1，F 2， b 2 过 F 1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A ，B 两点．若 F 1 A = AB ， F 1B ? F 2 B = 0 ，则 C 的离心率为 ． 4.（2019 年全国 II 理 11）设 F 为双曲线 C ： x a 2 y 2 1(a 0, b 0) 的右焦点， O 为坐标 b 2 原点，以OF 为直径的圆与圆 x 2 + y 2 = a 2 交于 P ，Q 两点.若 PQ = OF ，则 C 的离心率 为 A ． B ． C ．2 D ． 5．（2019 浙江 2）渐近线方程为 x ±y =0 的双曲线的离心率是 A ． 2 2 B ．1 C ． 2 D ．2 6. （ 2019 天津理 5 ） 已知抛物线 y 2 = 4x 的焦点为 F ，准线为 l ，若 l 与双曲线 x 2 y 2 1 (a 0, b 0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且| AB | 4 | OF | （ O 为 a 2 b 2 原点），则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 2 2 3 5 3 5 2

高中单考单招中职数学 小题练透：第29讲 双曲线

第29 讲双曲线 双曲线的方程及几何性质 焦点在x 轴上 x2 y2y2 x2 1.双曲线的标准形式为：平方除平方－平方除平方＝1 2.判断焦点位置的方法：看x2，y2项系数的正负，谁正在谁上 3.a,b,c 几何意义:a 表示实轴长的一半,b 表示虚轴长的一半,c 表示焦距长的一半, c2 = a2 + b2． 4.当a=b 时，双曲线称为等轴双曲线，其离心率e = √2,渐近线为y = ±x 5.求双曲线的渐近线的方法：先把双曲线方程中的“1”换成“0”，再开方将 y 露出来。 x2 ?y2 = 1 → x2 ?y2 = 0 → y = ±b x, y2 ?x2 = 1 → y2 ?x2 = 0 → y = ± a x a2 b2a2 b2 a a2 b2a2 b2 b 6.注意区分双曲线中 a,b,c 与椭圆的a,b,c 的关系： (1)椭圆中a 最大，a > b, a > c, a2 = b2 + c2 双曲线中c 最大，c2 = a2 + b2 (2)椭圆的离心率e = c < 1, 双曲线的离心率e = c > 1 a a 7.待定系数法求双曲线标准方程的方法：先定性，再定量。 先确定双曲线的焦点在x 轴还是y 轴上，若焦点在x 轴上，则设方程为x2 ?y2 ＝1 a2 b2若焦点在y 轴上，则设方程为y2 ?x2 = 1,再根据已知条件列方程组求出 a,b a2 b2 8.解题时重视数形结合，先画出图形，把已知条件标到图形中再分析解题

? x B. √ x . 一．选择题：本大题共 15 小题，每小题 5 分，满分 75 分. 1.(15T6)下列方程的图像为双曲线的是 ( ) A. x 2 ? y 2 = 0 B.x 2 = 2y C.3x 2 + 4y 2 = 1 D.2x 2 ? y 2 = 2 2.(19T8)双曲线x 2 ? y 2 = 1的焦点坐标为 （ ） 25 16 A.(?√41, 0), (√41, 0) B.(0, ?√41), (0, √41) C.(0,-3),(0,3) D.(-3,0),(3,0) 3.(09T10)双曲线 x 2 ? y 2 = 1的焦距是（ ） 16 9 A.√7 B.5 C.2√7 D.10 4.(03T16)已知双曲线mx 2 ? 2my 2 = 1的一个焦点坐标为(0, ?2)， 那么常数m=（ ） A 3 B.? 8 3 C. √5 4 D.? 16 5 2 5.(99T3)双曲线 2 ? y 2 = 1的离心率是（ ） 4 A.3 3 2 C. 3 D.√6 2 2 6.(17T11)已知双曲线a 2 ? y 2 = 1 (a > 0)的离心率为 2，则 a= ( 6 A. 6 B. 3 C.√3 D. √2 7.双曲线 x 2 ? y 2 = 1的渐近线方程为 ( ) 4 2 A. y = ±2x B.y = ± 1 x C.y = ± √2 x D.y = ±√2x 2 2 )

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第11讲 双曲线

第十一讲 双曲线 形如x k y = (0≠k )的函数叫做反比例函数，它的图象是由两条曲线组成的双曲线，与双曲线相关的知识有： 1． 双曲线解析式x k y = 中的系数k 决定图象的大致位置及y 随x 变化的状况． 2．双曲线图象上的点是关于原点O 成中心对称，在k >0时函数的图象关于直线x y =轴对称；在k <0时函数的图象关于直线x y -=轴对称． 3．自变量的取值是不等于零的全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴． 【例题求解】 【例1】 已知反比例函数x k y = 的图象与直线x y 2=和1+=x y 过同一点，则当0>x 时，这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而 (填增大或减小)． 思路点拨 确定k 的值，只需求出双曲线上一点的坐标即可． 注：(1)解与反比函数相关问题时，充分考虑它的对称性(关于原点O 中心称，关于x y ±=轴对称)，这样既能从整上思考问题，又能提高思维的周密性． (2)一个常用命题： 如图，设点A 是反比例函数x k y =(0≠k )的图象上一点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，过A 作AC ⊥y 轴于C ，则 ①S △AOB = k 2 1 ； ②S 矩形OBAC =k ． 【例2】 如图，正比例函数kx y = (0>k )与反比例函数x y 1 = 的图象相交于A 、C 两点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，连结BC ，若S △ABC 的面积为S ，则( ) A ．S=1 B ．S =2 C ．S=k D ．S=2k

思路点拨 运用双曲线的对称性，导出S △AOB 与S △OBC 的关系． 【例3】 如图，已知一次函数8+-=x y 和反比例函数x k y = (0≠k )的图象在第一象限内有两个不同的公共点A 、B ． (1)求实数k 的取值范围； (2)若△AOB 面积S ＝24，求k 的值． (2003年荆门市中考题) 思路点拨 (1)两图象有两个不同的公共点，即联立方程组有两组不同实数解； (2)S △AOB= S △COB S- S △COA ，建立k 的方程． 【例4】 如图，直线22 1 += x y 分别交x 、y 轴于点A 、C ，P 是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥x 轴于B ，S △ABP =9． (1)求点P 的坐标； (2)设点R 与点P 在同一个反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 的右侧，作PT ⊥x 轴于F ，当△BRT 与△AOC 相似时，求点R 的坐标． 思路点拨 (1)从已知的面积等式出发，列方程求P 点坐标；(2)以三角形相似为条件，结合线段长与坐标的关系求R 坐标，但要注意分类讨论． 【例5】 如图，正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上， 点B 在函数x k y = (0>k ，0>x )的图象上，点P(m ，n )是函数x k y = (0>k ，0>x )的图象上的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S ． (1)求B 点坐标和k 的值；