§3.6.1数列应用题(1)

数列综合应用（一）

一.教学目的：1.理解等差、等比数列这两种数学模型；能正确区分是求数列的项还是求

项的和；

2.能运用等差、等比数列的有关知识解决一些与数列相关的实际应用问题。

二.重点、难点：将实际问题转化为数学问题（数学建模）。

三.教学过程：

（一）复习：

1.等差数列通项公式、前n项和公式；

2.等比数列通项公式、前n项和公式。

（二）例题分析：

例1.打一口30m深的井，打到第一米深处需要40分钟，从第一米深处打到第二米深处需要50分钟，以后每向深处打1m都比前一米多用10分钟，则从20m到21m时要用多少时间？打完这口井共用多少时间？

例2. 从盛满m升酒精的容器里倒出n（m

n ）升，然后用水加满，再倒出n升，再用水加满，这样连续倒了k次，容器里还有多少纯酒精？

例3.（1）某人1999年1月1日到银行存入a元（一年到期），若年利率r保持不变，且每年到期则把本息自动转为新的一年定期，到2005年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回多少钱？

（2）某人从1999年1月1日起，每年1月1日到银行存入a元（一年到期），若年利率r保持不变，且每年到期则把本息自动转为新的一年定期，到2005年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回多少钱？

例 4.某工厂原有资金a万元，每年资金增长率为%

25，但每年要扣除消费基金x万元，余下的资金再投入生产，为使20年后资金翻两翻（扣除消费基金后），那么每年扣除消费基金x的最大值是多少？（参考数据：30

3

lg=）

.0

2

.0

lg=，48

四.课后作业： 班级 学号 姓名

1.两物体A 、B 相距m 厘米，在同一时间A 、B 两物体相向运动，甲第一秒的速度为3厘米/秒，以后每一秒的速度比前一秒的速度增加4厘米/秒；乙第一秒经过2厘米，以后每一秒的速度是前一秒速度的23

倍，在经过8秒钟后，两物体相遇，求m 的值。

2.某工厂月产值的平均增长率为q ，求年平均增长率。

3.某市人口1999年底为20万人，人均住房面积102m ，计划在2003年底达到人均住房面积12.52m ，如果该市计划将每年人口平均增长率控制在1%，那么要实现上述计划，这个城市平均每年至少要新增住房面积多少万平方米？（结果保留两位小数）

4.有10台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的庄稼，若同时投入至收割完毕需要24小时，但现在它们是每隔相同的时间顺序投入工作的，每一台投入工作后都一直工作到庄稼完毕，如果第一台收割工作的时间是最后一台的5倍，求用这种收割方法收割完这片土地上的庄稼需要用多少时间？

5.某地位于沙漠边缘地区，人与自然进行长期顽强的斗争，到99年底全地区的绿化率已达到30%，从2000年开始，每年将出现下列变化：原沙漠面积的16%将栽上树改造为绿洲，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠，

（1）设全地区面积为1，99年底绿洲面积为1031=

a ，经过一年绿洲面积为2a ，经过n 年绿洲面积为1+n a ，求证数列}54{-n a 是等比数列；

（2）问至少经过多少年努力才能使全县的绿洲面积超过60%（年取整数）。

奥数：1-2-3等差数列应用题

【例 1】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬 冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？ 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20 【答案】20 【例 2】 一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ，那么这个队列共有多 少人？ 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 （方法一）利用等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将 和为102的两个数一一配对，可配成25对． 所以2469698100++++++=2+10025=10325=2550??（） （方法二）根据12398991005050++++++=，从这个和中减去1357...99+++++的和，就可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫． 【答案】2550 【例 3】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴 蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按 照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102 个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？ 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、…… ，求这个数列的第102项是多少？999是 第几项？由刚刚推导出的公式——第n 项=首项+公差1n ?-（） ， 所以，第102项321021205=+?=（-）；由“项数=(末项-首项)÷公差1+”，999所处的项数是： 999321996214981499-÷+=÷+=+=（） 【答案】499 【巩固】 有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了 28层．问最下面一层有多少根? 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，…可以看出，这是一个等差数列，它的 首项是5，公差是1，项数是28．求的是第28项．我们可以用通项公式直接计算． 解： 1(1)n a a n d =+-? 5(281)1=+-? 32=(根) 故最下面的一层有32根． 【答案】32 【巩固】 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次 每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？ 例题精讲 等差数列应用题

等差数列应用题.题库

等差数列应用题 例题精讲 【例 1】体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？ 【例 2】一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？ 【例 3】有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按 照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102 个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？ 【巩固】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根? 【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？ 【难度】2星【题型】解答 【例 4】一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？ 【巩固】某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？ 【巩固】一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三排有14个座位，……最后一排他们数了一下，一共有210个座位，思考一下，剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢?

等差数列求和及练习题(整理)

等差数列求和 引例：计算1+2+3+4+……+97+98+99+100 一、有关概念: 像1、2、3、4、5、6、7、8、9、……这样连起来的一串数称为数列；数列中每一个数叫这个数列的一项，排在第一个位置的叫首项，第二个叫第二项，第三个叫第三项，……，最后一项又叫末项；共有多少个数又叫项数；如果一个数列，从第二项开始，每一项与前一项之差都等于一个固定的数，我们就叫做等差数列。这个固定的数就叫做“公差”。 二、有关公式： 和=（首项+末项）×项数÷2 末项=首项+公差×（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 项数=（末项-首项）÷公差+1 三、典型例题： 例1、聪明脑筋转转转： 判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项、公差及项数写出来，如果不是请打“×”。 判断首项末项公差项数 （1）1、2、4、8、16、32. （）（）（）（）（）（2）42、49、56、63、70、77. （）（）（）（）（）（3）5、1、4、1、3、1、2、1. （）（）（）（）（）（4）44、55、66、77、88、99、110（）（）（）（）（）

例2、已知等差数列1,8,15,…,78.共12项，和是多少？（博易P27例2）（看ppt,推出公式） 例3、计算1+3+5+7+……+35+37+39 练习2：计算下列各题 （1）6+10+14+18+22+26+30 （3）1+3+5+7+……+95+97+99 （2）3+15+27+39+51+63 （4）2+4+6+8+……+96+98+100 （3）已知一列数4,6,8,10，…，64，共有31个数，这个数列的和是多少？ 例5、有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有10根，每向下一层增加一根，共堆了10层。这堆圆木共有多少根？（博易P27例3）（看ppt） 练习3： 丹丹学英语单词，第一天学了6个单词，以后每一天都比前一天多学会一个，最后一天学会了26个。丹丹在这些天中共学会了多少个单词？

数列应用题专题训练

数列应用题专题训练 高三数学备课组以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。 一、储蓄问题 对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2) 存几年。 单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。设本金为P元，每期利率为r,经过n期，按 单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr) 。 复利是一种计算利率的方法, 即把前一期的利息和本金加在一起做本金, 再计算下一期的利息。设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。 例1、(储蓄问题) 某家庭为准备孩子上大学的学费,每年6月30日在银行中存入2000元, 连续 5 年，有以下两种存款的方式： (1)如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a(1+n 6.5%)计本利(n为年数); ⑵如果按每年转存计，即每存入a元，按(1+5.7%)n a计算本利(n为年数)。 问用哪种存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利较高？分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。 解：若不计复利， 5 年的零存整取本利是 2000(1+5 X 0.065)+2000(1+4 X 0.065)+ …+2000(1+0.065)=11950 若计复利，则 2000(1+5%) 5+2000(1+5%) 4+ …+2000(1+5%)?1186元。 所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。 二、等差、等比数列问题等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。 例2、(分期付款问题) 用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%。若交付150元以后的第

1-2-1-3 等差数列应用题.教师版【小学奥数精品讲义】

1 【例 1】 100以内的自然数中。所有是3的倍数的数的平均数是 。 【考点】等差数列应用题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第3题，5分 【解析】 100以内的自然数中是3的倍数的数有0，3,6,9,99共33个，他们的和是 ()09934 179916832 +?=?=，则他们的平均数为1683÷34=49.5。 【答案】49.5 【例 2】 一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了 3个野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。最后，每只小猴分得8个野果。这群小猴一共有_________只。 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第7题 例题精讲 等差数列应用题

【解析】平均每只猴分8个野果，所以最后一只猴摘了821=15 ?-只果，共有15只猴. 【答案】15只猴子 【例 3】15位同学排成一队报数，从左边报起思思报10．从右边报起学学报12．那么学学和思思中间排着有位同学． 【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】填空 【关键词】学而思杯，1年级 【解析】因为从左边起思思报10，所以，思思的右边还有15105 -=（个）；又因为从右边起学学报12，所以，学学的左边还有15123 -=（个），15645 --=（个）学学和思思中间排着5位同学．<考点> 排队问题 【答案】5位 【例 4】体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？ 【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答 【解析】首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20 【答案】20 2

数列应用题中的递推关系

数列应用题中的递推关系 以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。 一、等差、等比数列问题 等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。 例1、流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。 分析：设11月n 日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到n 日，每天新感染者人数构成一等差数列；从n+1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。 略解：由题意，11月1日到n 日，每天新感染者人数构成一等差数列a n ，a 1=20,d 1=50,11月n 日新感染者人数a n =50n —30；从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列b n ,b 1=50n-60,d 2=—30，b n =(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人数为b 30-n =20(30-n)-30=-20n+570. 故共感染者人数为：2 )30)](57020(6050[2)305020(n n n n n -+-+-+-+=8670，化简得：n 2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日这一天感染者人数最多，为570人。 二、a n - a n-1=f(n),f(n)为等差或等比数列 有的应用题中的数列递推关系，a n 与a n-1的差（或商）不是一个常数，但是所得的差f(n)本身构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度。 例2、某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件。若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为（n-1）千元时多

数列应用题专题训练

数列应用题专题训练 高三数学备课组 以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。 一、储蓄问题 对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2)存几年。 单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。设本金为P元，每期利率为r，经过n期，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr)。 复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。 例1、（储蓄问题）某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的方式： (1)如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a(1+n·6.5%)计本利(n为年数)； (2)如果按每年转存计，即每存入a元，按(1+5.7%)n·a计算本利(n为年数)。 问用哪种存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利较高？ 分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。 解：若不计复利，5年的零存整取本利是 2000(1+5×0.065)+2000(1+4×0.065)+…+2000(1+0.065)=11950； 若计复利，则 2000(1+5%)5+2000(1+5%)4+…+2000(1+5%)≈11860元。 所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。 二、等差、等比数列问题 等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。 例2、（分期付款问题）用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%。若交付150元以后的第

五年级奥数等差数列应用题教师版

【例 1】 五年级奥数等差 数列应用题教师版 【考点】等差数列应用题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯,五年级,复赛,第3题,5分 【解析】100以内的自然数中是3的倍数的数有0,3,6,9,99共33个,他们的和是()09934179916832 +?=?=,则他们的平均数为1683÷34=49.5。 【答案】49.5 【例 2】一群小猴上山摘野果,第一只小猴摘了一 个野果,第二只小猴摘了2个野果,第三只小猴摘了 3个野果,依次类推,后面的小猴都比它前面的小猴 多摘一个野果。最后,每只小猴分得8个野果。这 群小猴一共有_________只。 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,二试,第7题 【解析】 平均每只猴分8个野果,所以最后一只猴摘了821=15?-只果,共有15只猴. 【答案】15只猴子 【例 3】15位同学排成一队报数,从左边报起思思 报10．从右边报起学学报12．那么学学和思思中 间排着有 位同学． 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】学而思杯,1年级 【解析】因为从左边起思思报10,所以,思思的右边还有15105-=（个）；又因为从右边起学学报12,所以,学学的左边还有15123-=（个）,15645--=（个）学学和思思中间排着5位同学． <考点> 排队问题 【答案】5位 【例 4】体育课上老师指挥大家排成一排,冬冬站 排头,阿奇站排尾,从排头到排尾依次报数。如果冬 冬报17,阿奇报150,每位同学报的数都比前一位多 7,那么队伍里一共有多少人? 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】首项=17,末项=150,公差=7,项数=（150-17）÷7+1=20 【答案】20 例题精讲 等差数列应用题

数列解题技巧

第四讲数列与探索性新题型的解题技巧 【命题趋向】 从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势： 1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有. 2.数列中a n与S n之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等. 因此复习中应注意： 1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等. 2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等. 4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如a n与S n的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳. 5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是

学好本章的关键. 6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果. 7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【考点透视】 1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项. 2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题. 3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题. 4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.

数列应用题

数列应用题 课时28数列应用题 【教学目标】 1．综合运用等差、等比数列的知识解决有关一些实际应用问题，其中函数的观点，化归的方法常常在解题过程中起重要作用。 2．培养学生分析问题和解决问题的能力。 【教学难点】 难点是解决数列应用题的建摸 【教学过程】 例1填空题： ⑴一个剧场设置了20排座位，第一排有38个座位，往后每一排比前一排多2个座位，这个剧场共有个座位。 ⑵某厂产值的月平均增长率为P，则年平均增长率为。 ⑶某种汽车购车时费用为10万元，每年的保险、养路、汽油费共9千元，汽车的年维修费逐年以等差数列递增，第一年为2千元，第2年为4千元，第3年为6千元，……问这种汽车使用年后报废合算？（即汽车的年平均费用最底） (4)一幢大楼共有n层，现每层指定一人到第k层去开会，问k为______________时，使n层楼的开会人员上、下楼梯所走的台阶和最小？（假设每层楼梯的台阶数都相同） 例2某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，

月利率3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷，如果10年还清，那么每月应还贷多少元？ 例3某地现有耕地面积10000公顷，计划10年后粮食单产比现在提高22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口的年增长率为1%，那么平均每年最多只能减少耕地面积多少公顷（精确到1公顷）？(注：粮食单产=，人均粮食占有量=) 【课后作业】 1、某林场年初有森林木材存量Sm3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量为xm3。为实现经过2次砍伐以后木材存量增长50%，则x的值应是。 2、1991年，某内河可供船只航行的河段长为1000千米，但由于水资源的过度使用，促使河水断流，从1992年起，该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的，则到2000年，该内河可行驶的河段长度为。 3、如图（图见课本P.56第4题）设正三角形△ABC的边长为20cm，取BC边的中点E，作正三角形BDE；取边DE的中点G，作正三角形DFG；如此继续下去，可得到一列三角形△ABC，△BDE，△DFG，…，求前20个正三角形的面积和。 4、李刚从2011年1月开始，用零存整取的方式每月在10日发工资时存入银行200元，按银行规定，这种储蓄用单利计算利息，年利率为1.98%，且在取息时需扣除20%的利息税，则到2012年1月10日，李刚由这些存款可以到银行取出多少钱？

四年级奥数等差数列练习题-含答案

等差数列巩固练习 求项数、末项练习题 1、在等差数列 2、4、6、8中，48是第几项？168是第几项？ 24；84 2、已知等差数列5,8,11…，求出它的第15项和第20项。 47；62 3、按照1、 4、7、10、13…，排列的一列数中，第51个数是多少？ 151 4、数列3、12、21、30、39、48、57、66…… 1）第12个数是多少？102 2）912是第几个数？102 5、已知数列2、5、8、11、14……，53应该是其中的第几项？ 18 6、在等差数列5、10、15、20中，155是第几项？350是第几项？ 31；70 7、在等差数列1、5、9、13、17……401中，401是第几项？第60项是多少？ 101；237 8、在等差数列6、13、20、27……中，第几个数是1994？ 285

求和练习题 9、6＋7＋8＋9＋……＋74＋75+76＝（） 2911 10、2＋6＋10＋14＋……＋122＋126+128＝（） 4160 11、1＋2＋3＋4＋……＋2016＋2017＝（） 2035153 12、有一个数列：6、10、14、18、22……，这个数列前100项的和是多少？ 20400 13、3＋7＋11＋ (99) 1683 14、有从小到大排列的一列数，共有100项，末项为2003，公差为3，求这个 数列的和。 185450 15、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。 1127 16、（2＋4＋6＋……＋2000）－（1＋3＋5＋……＋1999）＝（） 1000 17、1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋……＋58＋59－60＝ 570

数列应用题

必修 5 数列 数 列 应 用 题 总第13课时 一、【教学目标】掌握等差、等比数列在实际生活中的应用。 二、【教学重点】数列在实际生活中的应用。 三、【教学难点】构建数列模型，分清是等差数列还是等比数列，是求通项还是求和。 四、【展示交流】 水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题。已知西部某地区有批耕地 3000万亩需要退耕还林，国家确定从今年（2010年）起在该地区退耕还林土地面积为300万亩，以后每年退耕还林土地面积比上一年递增20％。请问： （1）2012年该地区退耕还林土地面积为多少？ （2）到哪一年该地区基本解决退耕还林问题？（计算时取63log 2.1 ） 五、【典型例题】 某人今年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元用于购买住房，月利率3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷。如果10年还清，那么每月应还贷多少元?

六、【反馈练习】 银行按规定每经过一定时间(贷款利率中的时间间隔)结算贷款的利息一次，结息后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利。现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加30％的利润；乙方案：每年初贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元，两种方案，实施期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10％的复利计算，比较两个方案，哪个获利更多？（参考数据：1.110=2.594，1.310=13.786） 七、【小结评价】 1、解实际应用题注意分清求a n 还是S n . 2、有关应用题，关键在于理解题意，建立起函数关系。当函数关系与数列的通项公式相对 应时，考虑这些项是否为特殊的等差，等比数列中的项，有关增长率问题，一般归结为等比数列的求通项，求和问题。 课外作业 1、一个凸多边形的内角的度数成等差数列，最小的角为800，最大的角为1600，则这个多 边形的边数是。 2、设三角形的三边a ,b , c 成等比数列，则公比q的取值范围是。 3、一个直角三角形三边的长成等比数列，则其较小锐角的正弦值为。 4、某企业今年初贷款a万元，年利率为r，从今年末开始，每年末偿还一定金额，预计5 年内还清，则每年应偿还的金额数为万元。 5、一个物体从1960m的高空落下，如果该物体第1秒降落4.90m，以后每秒比前一秒多降 落9.80m，那么经过秒钟才能落到地面。

四年级奥数等差数列应用

等差数列的应用 课前预习 从1到100万 大家对德国大数学家高斯小时候的一个故事可能很熟悉了. 据说他在十岁的时候，老师出了一个题目：1+2+3+……+99+100的和是多少？ 老师刚把题目说完，小高斯就算出了答案：这100个数的和是5050. 原来，小高斯是这样算的：依次把这100个数的头和尾都加起来，即1+100，2+99，3+98，……，50+51，共50对，每对都是101，总和就是101×50=5050. 现在请你算一道题：从1到1000000这100万个数的数字之和是多少？ 注意：这里说的“100万个数的数字之和”，不是“这100万个数之和”.例如，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这12个数的数字之和就是1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+2=51. 请你先仔细想想小高斯用的方法，会对你算这道题有启发. 知识框架 一、 等差数列的相关公式 （1） 三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+-?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =--?（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-?（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、 、40、43、46 ， 分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、 、(46、47、48)，注意等 差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法． ③ 求和公式：和=(首项+末项)?项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100+++ +++ 11002993985051= ++++++++共50个101 （）（）（）（）101505050=?=

等差数列典型例题及分析 (学生用)

数列 §4.1等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示． 8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2 b a +叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同 而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：?? ?≥-==-). 2(),1(1 1 n S S n S a n n n 若a 1适合 a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n . 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为 n d a n d S n )2 (212-+= ，若令A ＝2d ，B ＝a 1－2d ，则n S ＝An 2+Bn. 6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲 [例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3,指出这个数列的通项公式； [例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=2 2 ② 12 ++=n n S n

数列应用题(分期付款)

课 题：分期付款中的有关计算（二） 教学目的： 通过“分期付款中的有关计算“的教学，使学生学会从数学角度对某些日常生活中的问题进行研究 教学重点：分期付款问题进行独立探究的基本步骤 教学难点：将实际问题转化为数学问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： ?? ?研究性课题的教学有两个特点：一是不仅仅局限于书本知识，更有很多课外内容，如利率、复利计息、分期付款等专业术语的含义，以及现代网络技术的运用等，这样就使探究成败不决定于数学成绩的好坏，每一位学生都可以通过自己的思考与实践获得成功；其次，不仅仅拘泥于教师主演，也不仅仅注重研究的结果，更关注的是学生在学习过程中提出问题、分析问题、解决问题的能力和心理体验,这就为学生个性的发展，能力的提高，创新精神的培养提供了广阔的空间而正因有这样的特点，就导致了不仅仅该课题本身是开放的（具有解法和结论的不确定性），其教学本身也是开放性的，这就有可能出现教师事先没预料到的问题，从而也为促进教学相长提供了好机会 研究性课题是应教改需要在新教材中新加的一个专题性栏目，为突出研究性课题的实践性，课前和课后都安排学生进行社会调查实践；为突出研究性课题的探究性，对学生适当启发引导，大胆放手，让学生独立分析和解决问题另外以突出学生主体地位为根本去设计教学环节；以面向全体学生为原则而采取分层次的教学方式，并且采用了现代网络技术等多媒体教学手段辅助教学，提高了课堂效率和教学效果 教学过程： 一、复习引入： 1．研究性课题的基本过程： 生活实际中的问题→存在的可行方案→启迪思维留有余地 →搜集整理信息→独立探究个案→提出解答并给答辩 →创建数学模型→验证并使用模型→结论分析 2．分期付款使用模型：分期付款购买售价为a 的商品,分n 次经过m 个年（月）还清贷款,每年（月）还款x,年（月）利率为p,则每次应付款： 1 )1(1)1()1(-+? ?????-++=m n m m p p p a x

小学奥数等差数列(经典)

八分之七（打一成语）？？（答案在最后一页做完题就看见了）若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中 第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差 数列，后项与前项的差称为公差。 通项公式： 第n项=首项+（n－1）×公差 项数公式： 项数=（末项－首项）÷公差＋1 随堂学案 一.巧解应用题 1.3袋子、大米和3袋面粉共重225、千克，1袋大米和1袋面粉共重多少千克？ 2.买3个篮球和5个足球共、用去480元，买同样的6个篮球和3个足球共用去519元。篮球和足球的单价各是多少元？ 3.育才小学体育组第一次买了4个篮球和3个排球，共用去了141元；第二次买了5个篮球和4个排球，共用去180元。每个篮球和每个排球各多少元？ 二.高斯行，我更行！！ （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75

（3）100+99+98+…+61+60 （4）2+6+10+14+18+22 （5）5+10+15+20+…+195+200 （6）9+18+27+36+…+261+270 1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有 多少项？ 2、有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有 多少项？ 3、已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有 多少项？ 家庭作业 1、一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？ 2、求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

3、求等差数列2，6，10，14……的第100项。 4、数列4，7，10，……295，298中，198是第几项？ 5、蜗牛每小时都比前一小时多爬0.1米，第10小时蜗牛爬了1.9米，第一小时蜗牛爬多少米？ 6、在树立俄，10，13，16，…中，907是第几个数？第907个数是多少？ 7、求自然数中所有三位数的和。 8、在等差数列1，5，9，13，17，…，401中401是第几项？

数列应用题中的地推关系

数列应用题中的递推关系 以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。 一、等差、等比数列问题 等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。 例1、流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。 分析：设11月n 日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到n 日，每天新感染者人数构成一等差数列；从n+1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。 略解：由题意，11月1日到n 日，每天新感染者人数构成一等差数列a n ，a 1=20,d 1=50,11月n 日新感染者人数a n =50n —30；从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列b n ,b 1=50n-60,d 2=—30，b n =(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人数为b 30-n =20(30-n)-30=-20n+570. 故共感染者人数为：2 )30)](57020(6050[2)305020(n n n n n -+-+-+-+=8670，化简得：n 2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日这一天感染者人数最多，为570人。 二、a n - a n-1=f(n),f(n)为等差或等比数列 有的应用题中的数列递推关系，a n 与a n-1的差（或商）不是一个常数，但是所得的差f(n)本身构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度。 例2、某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件。若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为（n-1）千元时多卖出n b 2 件，（n ∈N *）。

等差、等比数列的应用题作业

2013级高一数学作业（2014年3月14日） 等差、等比数列的应用问题 一、填空题： 1. 若121,,,4a a 成等差数列，又1231,,,,4b b b 成等比数列，则122 ______a a b += 2.已知等差数列{}n a 的公差不为零，若5915,,a a a 成等比数列，那么公比为_____ 3. 某种商品投产后，计划两年后使成本降低36%，则平均每年应降低成本_____ 4. 每次用相同体积的清水洗一件衣物，每次能洗去污垢的75%，若清洗n 次后，存留的污垢在1%以下，则n 的最小值为_____ 5．一家工厂的生产总值月平均增长率是p ，那么年平均增长率为_________ 6.一个各项均为正数的等比数列，其任一项都等于他后面两项之和，则其公比是_____ 7. 数列211,,,,n x x x -L L 的前n 项和为__________n S = 8. 在等差数列{}n a 中，已知124,a =从第7项开始为负数，则公差d 的取值范围是_____ 9．1992年底世界人口达到54.08亿，若人口的年平均增长率为x %，2014年底的世界人口为y 亿，那么y 与x 的函数关系为_________ 10．某人从2005年起，每年9月1日到银行新存a 元的一年定期存款，若年利率r 保持不 变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2015年9月1日将所有的存款及利息全部取回，他取回的钱数是_________元。（假设不扣利息税） 11.已知,,a b c 为ABC ?中角,,A B C 的对边，且2 220,2230,a a b c a b c ---=+-+= 则该三角形的最大内角为_____ 二、解答题： 12. 从盛满()1a a >升纯酒精的容器中倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后，又用水填满，如此继续下去，问第n 次操作后溶液的浓度是多少？若2a =，至少应倒几次后，才能使酒精浓度低于10% ？

小学数学培优之等差数列应用题

【例 1】 100以内的自然数中。所有是3的倍数的数的平均数是 。 【例 2】 一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了 3个野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。最后，每只小猴分得8个 野果。这群小猴一共有_________只。 【例 3】 15位同学排成一队报数，从左边报起思思报10．从右边报起学学报12．那么学学和思思中间 排着有 位同学． 【例 4】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬 冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？ 【例 5】 一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ，那么这个队列共有多 少人？ 【例 6】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴 蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按 照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102 个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？ 【例 7】 如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。其中最小的三角形顶点的 个数(重合的顶点只计一次)依次为：3，6，10，15，21，…问：这列数中的第9个是多少？ 例题精讲 等差数列应用题

【例 8】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根? 【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？ 【例 9】一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？ 【巩固】某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？ 【巩固】一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三排有14个座位，……最后一排他们数了一下，一共有210个座位，思考一下，剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢? 【例 10】有码放整齐的一堆球，从上往下看如右图，这堆球共有多少个？ 【例 11】某年4月所有星期六的日期数之和是54，这年4月的第一个星期六的日期数是。 【例 12】一辆双层公共汽车有66个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位乘客，第三站上三位乘客，依此类推，第几站后，车上坐满乘客？

高中数列应用题专题训练精选集

高中数列应用题专题训练精选集 一．解答题（共16小题） 1．（2012?）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%．预计以后每年年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴 资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n万元． （Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出a n+1与a n的关系式； （Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）．2．（2010?）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部 门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房． （Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式： （Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6） 3．（2007?）近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）． （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？ 4．（2005?）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底， （1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ 5．（2005?）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用x n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0．不考虑其它因素，设在第n年鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n成正比，死亡量与x n2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c． （Ⅰ）求x n+1与x n的关系式； （Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明） （Ⅲ）设a=2，b=1，为保证对任意x1∈（0，2），都有x n＞0，n∈N*，则捕捞强度b的 最大允许值是多少？证明你的结论．